【课件】必修五：正弦定理第二课时

（4）三角形中的基本关系式：
sin(B C) sin A,
cos(B C) cos A,
sin B C cos A ,
2
2
cos B C sin A
2
2
．
二、数学运用
例1． 如图，有两条相交成 60角的直线 XX 、YY ，交点是 O ，甲、 乙分别在 OX 、OY 上，起初甲离 O 点3千米，乙离 O 点1千米．后来两
P
A
Q
, , .
2ab
（3）推论：正余弦定理的边角互换功能．
①边
角
a 2R sin A,b 2R sin B,c 2R sin C
②角
边
sin A a , sin B b , sin C c
2R
2R
2R
cos A b2 c2 a2 , 2bc
a2 c2 b2
cos B
,

2ac
cos C a2 b2 c2 , 2ab
1
2
3
１°）。
例3． 如图1-3-4，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一 点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形. 问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？
图1-3-4
三、课堂练习
如图，已知 A为定角， P,Q 分别在 A的两边上，PQ为定 长．当 P,Q 位于什么位置时，APQ的面积最大？
一、知识回顾：
（1）正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
（2）余弦定理：
ba22 c2
b2 a2
a2
c2 c2
b2
2bc cos 2ac cos 2ab cos
A, B, C.

解析：(1)∵a＝7，b＝8，∴a＜b，A＜B. 又∵A＝105°＞90°，∴三角形无解．
(2)由正弦定理得：sin B＝bsian A＝20·s1in0 60°＝ 3＞1， ∴三角形无解．
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(3)由正弦定理得：
sin
B＝bsicn
C＝10·sin 60°＝ 56
22，
∴B＝45°或135°，又∵b＜c，
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题型3 判定三角形的形状
例3 在△ABC中，已知acos B＝bcos A，判断△ABC的 形状．
解析：由正弦定理可知：sina A＝sinb B＝2R， 所以a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，R为△ABC外接圆半 径． 依题意acos B＝bcos A， ∴2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A， 得sin Acos B－sin Bcos A＝0， 即sin (A－B)＝0，所以A－B＝0，即A＝B， 所以△ABC为等腰三角形．
∴△ABC为等腰直角三角形．
A为锐角
图 形
A为钝角或直角
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关系 式解 的个
数
①a＝bsin A ②a≥b
b sin A a b
一解
两解
a＜bsin A 无解
a＞b 一解
a≤b 无解
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跟踪 训练
2．已知在△ABC中，a＝ 3 ，b＝ 2 ，B＝45°，解这
个三角形．
解析：由正弦定理得sin3A＝sin 425°，sin A＝ 23，A＝60°或 120°.
答案：(1)大于
(2)解析：由3＋4＞x,4＋x＞3，x＋3＞4，可知1＜x＜7.
答案：1<x<7
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7．在△ABC中，已知A＝60°，sin B＝，则角B的大小为 ______．

∴cosθ<0，即a2＋2a2－a21a2－－12 a＋12＝2aaa2－ a－81<0，
解得12<a<8，∴a 的取值范围是(12，8)．
[误区警示] 解题时，易忽略三角形的三边满足两边之和大于第三边，而使 某些字母的范围变大，本题中 a＋(2a－1)>2a＋1，即 a>2，而不是 a>12.
[正解] ∵2a＋1，a,2a－1 是三角形的三边，
〔跟踪练习 1〕
(1)在△ABC 中，已知 a＝4，b＝6，C＝120°，则边 c 的值是( D )
A．8
B．2 17
C．6 2
D．2 19
[解析] 根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6×cos120° ＝76，c＝2 19.
(2)在△ABC 中，a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，解这个三角形．
互动探究学案
命题方向1 ⇨已知两边及一角解三角形
例题 1 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求△ABC 中其他边 与角的大小．
[分析] 已知两边及其中一边的对角，先由余弦定理列方程求c，然后求A、 C.
[解析] 由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accosB，
则
2＝3＋c2－2
(2)由余弦定理的推论，得 cosA＝AB22×＋AABC×2－ABCC2＝922＋×892×－872＝23， 设中线长为 x，由余弦定理知： x2＝(A2C)2＋AB2－2×A2C×ABcosA＝42＋92－2×4×9×23＝49，则 x＝7.所以， 所求中线长为 7.
命题方向3 ⇨判断三角形的形状
[名师点津] 由于余弦定理及公式的变形较多，且涉及平方和开方等运算， 可能会因不细心而导致错误．在利用余弦定理求出三角形的三边时，还要判断 一下三边能否构成三角形．

a b c sin A sin B siC n
结构特点： 和谐美、对称美.
变形公式:
(1) a b
sin A； b sin B c
sin sin
B C
；
a c
sin A sin C
(2 )a :b :c siA :n sB i:n sC in
定理的理解
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等,即
∴ A=30⁰
变式训练
变式1:在△ABC中,已知a= ,b= 4
解：由
a sin A
b sinB
得
43 42 sinA sin45
2 ,B=45⁰,求A
sin A 3 ， A=60⁰或120⁰
2
∵ a>b
∴ A>45⁰ ∴ A=60⁰或120⁰
变式训练
变式2：在△ABC中,已知a=8,b= 4 2 ,B=45⁰,求A
脚踏实地过好每一天，最简单的恰恰是最难的。拿梦想去拼，我怎么能输。只要学不死，就往死里学。我会努力站在万人中央成为别人的光。行为决定性格， 性格决定命运。不曾扬帆，何以至远方。人生充满苦痛，我们有幸来过。如果骄傲没有被现实的大海冷冷拍下，又怎么会明白要多努力才能走到远方。所有的 豪言都收起来，所有的呐喊都咽下去。十年后所有难过都是下酒菜。人生如逆旅，我亦是行人。驾驭命运的舵是奋斗，不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不 停止一日努力。失败时郁郁寡欢，这是懦夫的表现。所有偷过的懒都会变成打脸的巴掌。越努力，越幸运。每一个不起舞的早晨，都是对生命的辜负。死鱼随 波逐流，活鱼逆流而上。墙高万丈，挡的只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的既然选择远方，就注定风雨兼程。漫漫长路，荆棘丛生，待我用双手踏 平。不要忘记最初那颗不倒的心。胸有凌云志，无高不可攀。人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后，海绵才能吸收新的 源泉。感恩生命，感谢她给予我们一个聪明的大脑。思考疑难的问题，生命的意义；赞颂真善美，批判假恶丑。记住精彩的瞬间，激动的时刻，温馨的情景， 甜蜜的镜头。感恩生命赋予我们特有的灵性。善待自己，幸福无比，善待别人，快乐无比，善待生命，健康无比。一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道 的开始。在你发怒的时候，要紧闭你的嘴，免得增加你的怒气。获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。骄傲是胜利下的蛋，孵出来的却是 失败。没有一个朋友比得上健康，没有一个敌人比得上病魔，与其为病痛暗自流泪，不如运动健身为生命添彩。有什么别有病，没什么别没钱，缺什么也别缺 健康，健康不是一切，但是没有健康就没有一切。什么都可以不好，心情不能不好；什么都可以缺乏，自信不能缺乏；什么都可以不要，快乐不能不要；什么 都可以忘掉，健身不能忘掉。选对事业可以成就一生，选对朋友可以智能一生，选对环境可以快乐一生，选对伴侣可以幸福一生，选对生活方式可以健康一生。 含泪播种的人一定能含笑收获一个有信念者所开发出的力量，大于个只有兴趣者。忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态 在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野、事业和成就，甚至一生。每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。懒惰像生锈一样，比操劳更 消耗身体。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道挫折其实就是迈向成功所应缴的学 费。在这个尘世上，虽然有不少寒冷，不少黑暗，但只要人与人之间多些信任，多些关爱，那么，就会增加许多阳光。一个能从别人的观念来看事情，能了解 别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。没有人富有得可以不要别人的帮助，也没有人穷 得不能在某方面给他人帮助。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。今天做别人不 愿做的事，明天就能做别人做不到的事。到了一定年龄，便要学会寡言，每一句话都要有用，有重量。喜怒不形于色，大事淡然，有自己的底线。趁着年轻， 不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的聪明和藐视一切的优越感，迟早会毁了你。无论现在的你处于什么状态， 是时候对自己说：不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。崇高的理想就像生长在高山上的鲜 花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。海浪的品格，就是无数次被礁石击碎又无数闪地扑向礁 石。人都是矛盾的，渴望被理解，又害怕被看穿。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。生活可以是甜的，也可以是苦的，但不能是没味的。你可