中国石油大学2010-2011(2) 概率论与随机过程A期末考试试题及答案

概率论期末试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A的概率为P(A)，则其对立事件的概率为：A. P(A) + 1B. 1 - P(A)C. P(A) - 1D. P(A) / 22. 某校有男女生比例为3:2，随机抽取1名学生，该学生是男生的概率为：A. 1/5B. 3/5C. 2/5D. 5/73. 抛一枚均匀硬币两次，至少出现一次正面的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 5/84. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=15，p=0.4，则P(X=7)是：A. C^7_15 * 0.4^7 * 0.6^8B. C^7_15 * 0.6^7 * 0.4^8C. C^7_15 * 0.4^15D. C^8_15 * 0.4^7 * 0.6^85. 若随机变量Y服从泊松分布，λ=2，则P(Y=1)是：A. e^(-2) * 2B. e^(-2) * 2^2C. e^(-2) * 2^1D. e^(-2) * 2^06. 设随机变量Z服从标准正态分布，则P(Z ≤ 0)是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.337. 若两个事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∩B)是：A. 0.42B. 0.35C. 0.6D. 0.78. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)是：A. 2B. 4C. 0D. 19. 设随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)=-2，则X和Y：A. 正相关B. 负相关C. 独立D. 不相关10. 若随机变量X服从指数分布，λ=0.5，则P(X > 1)是：A. e^(-0.5)B. e^(-1)C. 1 - e^(-0.5)D. 2 - e^(-1)二、填空题（每题3分，共30分）11. 若随机变量X服从参数为θ的概率分布，且P(X=θ)=0.3，P(X=2θ)=0.4，则P(X=3θ)=________。

随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

【理论基础】 （1）⎰∞-=xdt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f ，分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(，2)(ba x E +=，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ，分布函数⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21)(λ=x D ； （4）2)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=--x e x f x ,21)(222)(σμπσ，分布函数∞<<-∞=⎰∞---x dt ex F xt ,21)(222)(σμπσ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。

【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。

（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。

由R 的取值范围可知，)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

2011—2012学年第一学期 《概率论与数理统计》试卷专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2012年1月3号页 码 一 二 三 四 五 六 七 总 分 满 分 20 15 10 20 12 13 10 100 得 分阅卷人备注：1．本试卷正文共7页；2．封面及题目所在页背面和附页为草稿纸；3．答案必须写在该题后的横线上或指定的括号，解的过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效；4．最后附页不得私自撕下，否则作废.5．可能用到的数值(1.645)0.95Φ=，(1.96)0.975Φ=Ａ卷一、填空题（每空1分，共10分）1.设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么若,A B 互不相容，则()P B = 0.3 ；若,A B 相互独立，则()P B =0.5 .2.设事件,A B 满足：1(|)(|)3P B A P B A ==，1()3P A =，则()P B =__5/9___.3.某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为 0.6 ；第三次才取得正品的概率为 0.1 .4.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间[0,3]上的均匀分布,则{max(,)2}P X Y ≤= 4/9 .5.一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为 0.5 ，均方差为6.设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个简单随机样本，X 为样本均值，则EX = λ ，DX =nλ. 二、选择题(每题2分，共10分)1.设(),(),()P A a P B b P A B c ==⋃=，则()P AB 等于( B ).(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a - 2.设随机变量X 的概率密度为()f x ，且()()f x f x -=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a 有( B ).(A)0()1()aF a f x dx -=-⎰ (B)01()()2aF a f x dx -=-⎰(C)()()F a F a -= (D)()2()1F a F a -=-3.设6)(),1,2(~),9,2(~=XY E N Y N X ，则)(Y X D -之值为( B ).(A) 14 (B) 6 (C) 12 (D) 44.设随机变量X 的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有)10|(|<-EX X P ( C ). (A) 25.0≤ (B) 75.0≤ (C) 75.0≥ (D)25.0≥ 5.维纳过程是( A ).(A)连续型随机过程 (B)连续型随机序列 (C)离散型随机过程 (D)离散型随机序列三、计算题(共6个题目，共45分) 1.(10分)设有相同的甲、乙两箱装有同类产品.甲箱装50只其中10只正品；乙箱装20只，10只正品.今随机选一箱，从 中抽取1只产品，求：(1)取到的产品是次品的概率；(2)若已知取到的产品是正品，它来自甲箱的概率是多少？ 解：设12;A A 分为来自甲乙箱；B 为正品（1）14113()()25220P B =+=（5分） （2）11251()2/77/20P A B ⨯== （10分） 2.(5分)已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布.某台电子仪器装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为多少？解：110001110001000{1000}x P X e dx e +∞--≥==⎰ （4分）于是，由独立性仪器正常1000小时以上的概率为5e - （5分）3.(5分)设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某计数数器,()N t表示在[0,]t到达计数器的粒子个数,试求：(1)()N t的均值、方差、自相关函数；(2)相邻的两个粒子到达计数器的平均时间间隔.解：()4;()4;()()164min{,}EN t t DN t t EN s N t st s t===+（各一分，共三分）（2）平均间隔为1/4分钟（5分）4.(5分)设总体2~(,)X Nμσ的方差为1，根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值X为5，求μ的置信度为0.95的置信区间(写出过程).解：由题知~(0,1)N（2分）于是由0.9751.96U=知置信区间为（4.804,5.196）（5分）5.(10分)一质点在1、2、3三个点上做随机游动，其中1、 3是两个反射壁，当质点位于2时，下一时刻处于1、2、3是 等可能的.规定每个时刻质点只走一步，用,0n X n ≥表示第n个时刻质点所处的位置，初始分布为()1(0),1,2,33P X i i ===.求：(1)一步转移概率矩阵和二步转移概率矩阵； (2){}(0)1,(1)2,(2)3P X X X ===； (3){}(2)2P X =.解：（1）一步转移阵0101/31/31/3010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；二步转移阵1/31/31/31/97/91/11/31/31/3⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ （4分）（2）原式=1133119⨯⨯=（7分） （3）原式=7111339313()27++= （10分）6.(10分)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=，其他，02)(bx a x x f ，且12=EX .求：(1)b a ,的值；(2)}1{<X P .解：由2212b axdx b a ==-⎰；23441212()baEX x dx b a ===-⎰解得a b ==（6分）（2）原式=11/2xdx = （10分）四、（12分）设随机向量(,)X Y 的概率密度为 (2),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他求: (1)常数A ；(2)关于X Y 、的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立； (3)2Z X Y =+的概率密度.解：（1）(2)01/2;2x y Ae A A +∞+∞-+==∴=⎰⎰（2分）（2）(2)2(2)00()20020()200x x y X yx y Y e x f x e dy x e y f y e dx y -+∞-+-+∞-+⎧≥==⎨<⎩⎧≥==⎨<⎩⎰⎰ （7分）显然，独立 （8分）（3）(2)210()2000()0z zx y Z x y zzZ e ze z F z edxdy z zez f z z ---++≤-⎧--≥==⎨<⎩⎧≥=⎨<⎩⎰⎰（12分）五、（13分）已知分子运动的速度X具有概率密度22(),0,0,()0,0.xxf xxαα-⎧>>=≤⎩123,,,,nX X X X为X的简单随机样本,求：(1)未知参数α的矩估计和极大似然估计；(2)验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计.解：（1）23()xEX dx Xα+∞-===⎰ˆ2Xα∴=（5分）21211232()(,)(4)niiXn ni iL f x x eαααπα=---∑=∏=∏2211ln3ln ln(^^^niiL n Xααα==--+∑不含）23132ln/0niind L d Xααα==-+=∑ˆMLEα= (10分)（2）ˆE E X αα=== 无偏 （13分）六、（10分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都 是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数.求X 的分布律、分布函数、 数学期望和方差.解：由题知，25~(3,)X B 分布律332355{}()();;;;0,1,2,3k k kP X k C k -=== （4分） 分布函数2712581125117125001()122313x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤⎪⎩ （6分）6/5;18/25EX np DX npq ==== （10分）。

（×
）
求 (1) ( X , Y ) 的联合概率分布律；
③设 n 次独立重复试验中，事件 A 出现的次数为 X，则 5 n 次独立重复试验中，事件 A 出 现的次数未必为 5X. （ √ ） ④如果 P( A B) P( A) P( B), ，则事件 A 与 B 互不相容. ⑤如果 P( A) P( B) 1 ，则事件 A 与 B 必定相容. （× （ √ ） （√） ）
1 , y - 2 x 0, f ( x, y) 4、 （本题 18 分）设 X , Y 在由直线 y x 2, x y 2 及 y 轴所围成的区域内服从均 （4）当 2 y 0 时 ， f X |Y ( x y ) 2 y fY ( y ) 其它， 0, 2 匀分布． （1）求 X , Y 的联合概率密度函数 f ( x, y ) ， P{Y X } ； 1 , y-2 x 0, f ( x, y) （2）求 X 、 Y 的边缘概率密度函数 f X ( x) ， fY ( y) ； 当 0 y 2 时 ， f X |Y ( x y) 2 y f Y ( y) 其它， 0, X Y （3）判断 与 是否相互独立，为什么？
解： （1）由题知平面区域 G 的面积为 SG dx
2
0
x+2
x 2
dy 4,
1 , x-2 y x-2, 2 x<0, 所以 f ( x, y) 4 其它. 0,
P{Y X 2 } dx 2
1 x 0 x2 0 1 1 13 dy ( x 2 x 2 )dx 1 4 4 24
Ae x , x ( >0,A 为常数)，则概率 P{ X< +a }（a>0） 0, x