2019年高考数学(理科)一轮复习达标检测(三十二) 空间角3类型——线线角、线面角、二面角

，∴∠ADE＝60°，∴AG⊥DE.
K12课件
11
[例 2] (2018·洛阳二模)已知三棱锥 A - BCD，AD⊥平面 BCD，BD⊥CD，AD＝ BD＝2，CD＝2 3，E，F 分别是 AC，BC 的中点，P 为线段 BC 上一点，且 CP ＝2PB. (1)求证：AP⊥DE；(2)求直线 AC 与平面 DEF 所成角的正弦值.
取 BC 的中点 Q，连接 PQ，MQ，
则可知△PQM 为直角三角形，且 PQ＝1，MQ＝12AC，
在△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC
＝4＋1－2×2×1×－12＝7，AC＝ 7，则 MQ＝ 27，
K12课件
图(2)
4
[例 1] (1)(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，∠ABC＝
∴A→N＝(－1，0，－2)，B→M＝(1，－1，－2)，
∴cos〈A→N，B→M〉＝|AA→→NN|·|BB→→MM|
＝－1＋4＝ 5× 6
3＝ 30
1300.
答案 C
K12课件
10
[例 2] (2018·洛阳二模)已知三棱锥 A - BCD，AD⊥平面 BCD，BD⊥CD，AD＝ BD＝2，CD＝2 3，E，F 分别是 AC，BC 的中点，P 为线段 BC 上一点，且 CP ＝2PB. (1)求证：AP⊥DE；(2)求直线 AC 与平面 DEF 所成角的正弦值.
120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( )
3
15
10
3
A. 2 B. 5 C. 5 D. 3
利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1) 选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线 的方向向量v1，v2；(3)代入公式求解.

2019届【高考数学一轮复习（理）】课后自测题（三十九） 利用空间向量求空间角[一般难度题——全员必做]1．已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝CC 1，D 为B 1C 1的中点，求异面直线BD 和A 1C 所成角的余弦值．解：如图所示，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设CA ＝CB ＝CC 1＝2，则A 1(2,0,2)，C (0,0,0)，B (0,2,0)，D (0,1,2)，∴BD ―→＝(0，－1,2)， A 1C ―→＝(－2,0，－2)，∴cos 〈BD ―→，A 1C ―→〉＝BD ―→·A 1C ―→| BD ―→||A 1C ―→|＝－105.∴异面直线BD 与A 1C 所成角的余弦值为105. 2.(2018·河南洛阳模拟)已知三棱锥A ­BCD ，AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，AD ＝BD ＝2，CD ＝23，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，P 为线段BC 上一点，且CP ＝2PB .(1)求证：AP ⊥DE ；(2)求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值．解：(1)证明：作PG ∥BD 交CD 于点G .连接AG . ∴CGGD ＝CP PB ＝2，∴GD ＝13CD ＝23 3.∵AD ⊥平面BCD ，∴AD ⊥DC ，∵在△ADG 中，tan ∠GAD ＝33，∴∠DAG ＝30°，在R t △ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝4＋12＝16，∴AC ＝4，又E 为AC 的中点，∴DE ＝AE ＝2，又AD ＝2，∴∠ADE ＝60°，∴AG ⊥DE .∵AD ⊥平面BCD ，∴AD ⊥BD ，又∵BD ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，∴BD ⊥平面ADC ，∴PG ⊥平面ADC ，∴PG ⊥DE .又∵AG ∩PG ＝G ，∴DE ⊥平面AGP ，又AP ⊂平面AGP ，∴AP ⊥DE .(2)以D 为坐标原点，直线DB 、DC 、DA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D ­xyz ，则D (0,0,0)，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0,23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，∴DF ―→＝(1，3，0)，DE ―→＝(0，3，1)，AC ―→＝(0,23，－2)．设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ DF ―→·n ＝0， DF ―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，令x＝3，则n＝(3，－3，3)．设直线AC与平面DEF所成角为θ，则sin θ＝|cos〈AC―→，n〉|＝|AC―→·n||AC―→|·|n|＝|－6－6|421＝217，所以AC与平面DEF所成角的正弦值为21 7.3.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D­AF­E的余弦值．解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD.又CD⊥AD，PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC.又AF⊥PC，AD∩AF＝A，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF.(2)设AB＝1，则在R t△PDC中，CD＝1，又∠DPC＝30°，∴PC＝2，PD＝3，∠PCD＝60°.由(1)知CF⊥DF，∴DF＝CD sin 60°＝3 2，CF＝CD cos 60°＝1 2 .又FE∥CD，∴DEPD＝CFPC＝14，∴DE＝34.同理EF ＝34CD ＝34. 如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系，则A (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34，34，0，P (3，0,0)，C (0,1,0)．设m ＝(x ，y ，z )是平面AEF 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥AE ―→，m ⊥EF ―→.又AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34，0，－1，EF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，34，0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AE ―→＝34x －z ＝0，m ·EF ―→＝34y ＝0.令x ＝4，得m ＝(4,0，3)． 由(1)知平面ADF 的一个法向量为PC ―→＝(－3，1,0)， 设二面角D ­AF ­E 的平面角为θ，可知θ为锐角，故cos θ＝|cos 〈m ，PC ―→〉|＝|m ·PC ―→||m ||PC ―→|＝4319×2＝25719. 故二面角D ­AF ­E 的余弦值为25719.[中档难度题——学优生做]1.(2018·郑州质量预测)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．(1)证明：EF∥平面A1CD；(2)若三棱柱ABC­A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．解：(1)证明：在三棱柱ABC­A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED(图略)，在△ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DE∥AC，DE＝12 AC.又F为A1C1的中点，可得A1F＝12A1C1，所以A1F∥DE，A1F＝DE，因此四边形A1FED为平行四边形，所以EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD.(2)法一：因为底面ABC是正三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1⊥CD，AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面A1ABB1.如图在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D，交直线A1D于点G，连接CG，则BG⊥平面A1CD，所以∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．设三棱柱的棱长为a ，可得A 1D ＝5a 2，由△A 1AD ∽△BGD ，可得BG ＝5a5，在R t △BCG 中，sin ∠BCG ＝BGBC ＝55.所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55.法二：设A1B 1的中点为O ，连接OC 1，OD ，因为三棱柱ABC ­A 1B 1C 1为直棱柱，所以OD ⊥平面A 1B 1C 1，所以OD ⊥OC 1，OD ⊥OA 1.又△A 1B 1C 1为等边三角形，所以OC 1⊥A 1B 1.以O 为坐标原点， OA 1―→，OD ―→， OC 1―→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O ­xyz .设三棱柱的棱长为a ，则O (0,0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，a ，32a ，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2，0，0，D (0，a ,0)．所以BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2，0，32a ，A 1D ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2，a ，0，DC ―→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，0，32a . 设平面A 1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1D ―→＝0，n ·DC ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2x ＋ay ＝0，32az ＝0.令x ＝2，得n ＝(2,1,0)．设直线BC 与平面A 1CD 所成的角为θ，则sin θ＝|n ·BC ―→ ||n |·|BC ―→|＝a 5·a 2＝55.所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55.2．如图①，正方形ABCD 的边长为4，AB ＝AE ＝BF ＝12EF ，AB ∥EF ，把四边形ABCD 沿AB 折起，使得AD ⊥平面AEFB ，G 是EF的中点，如图②.(1)求证：AG ⊥平面BCE ；(2)求二面角C ­AE ­F 的余弦值．解：(1)证明：连接BG ，因为BC ∥AD ，AD ⊥底面AEFB ，所以BC ⊥底面AEFB ，又AG ⊂底面AEFB ，所以BC ⊥AG ，因为AB 綊EG ，AB ＝AE ，所以四边形ABGE 为菱形，所以AG ⊥BE ， 又BC ∩BE ＝B ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以AG ⊥平面BCE .(2)由(1)知四边形ABGE 为菱形，AG ⊥BE ，AE ＝EG ＝BG ＝AB ＝4， 设AG ∩BE ＝O ，所以OE ＝OB ＝23，OA ＝OG ＝2，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (－2,0,0)，E (0，－23，0)，F (4,23，0)，C (0,23，4)，D (－2,0,4)，所以AC ―→＝(2,23，4)，AE ―→＝(2，－23，0)， 设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ AC ―→·n ＝0， AE ―→·n ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋23y ＋4z ＝0，2x －23y ＝0， 令y ＝1，则x ＝3，z ＝－3，即平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，1，－3)， 易知平面AEF 的一个法向量为AD ―→＝(0,0,4)，设二面角C ­AE ­F 的大小为θ，由图易知θ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2， 所以cos θ＝|n ·AD ―→||n ||AD ―→|＝437×4＝217.[较高难度题——学霸做]1.(2018·安徽省百所重点高中模拟)如图所示的几何体由平面PECF 截棱长为2的正方体得到，其中P ，C为原正方体的顶点，E ，F 为原正方体侧棱长的中点，正方形ABCD 为原正方体的底面，G 为棱BC 上的动点．(1)求证：平面APC ⊥平面PECF ；(2)设BG ―→＝λBC ―→ (0≤λ≤1)，当λ为何值时，平面EFG 与平面ABCD 所成的角为π3？解：(1)证明：由已知可知，EB ∥FD ，且EB ＝FD ，如图，连接BD ，则四边形EFDB 是平行四边形，∴EF ∥BD .∵底面ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC .∵AP ⊥底面ABCD ，∴BD ⊥AP .又AC ∩AP ＝A ，∴BD ⊥平面APC ，∴EF ⊥平面APC .∵EF ⊂平面PECF ，∴平面APC ⊥平面PECF .(2)以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz ，则B (2,2,0)，F (0,0,1)，E (2,2,1)，G (2,2－2λ，0)，FE ―→＝(2,2,0)， GE ―→＝(0,2λ，1)，设m ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，故⎩⎪⎨⎪⎧ m ·FE ―→＝0，m ·GE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－y ，z ＝－2λy ，令y ＝－1，可得m ＝(1，－1,2λ)为平面EFG 的一个法向量，而平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)．于是cos π3＝|cos 〈m ，n 〉|＝|2λ|2＋4λ2，解得λ＝±66， 又0≤λ≤1，∴λ＝66.2．(2018·山西太原模拟)如图甲，在平面六边形ABFCDE 中，四边形ABCD 是矩形，且AB ＝4，BC ＝2，AE ＝DE ＝2，BF ＝CF ＝5，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，分别沿直线AD ，BC 将△ADE ，△BCF 翻折成如图乙的空间几何体ABCDEF .(1)利用下面的结论①或结论②，证明：E ，F ，M ，N 四点共面；结论①：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个．结论②：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．(2)若二面角E ­AD ­B 和二面角F ­BC ­ A 都是60°，求二面角A ­BE ­F 的余弦值．解：(1)证明：如图，连接MN ，ME ，NF ，∵四边形ABCD 是矩形，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∴AM ∥BN ，AM ＝BN ，∠DAB ＝90°，∴四边形ABNM 是矩形，∴AD ⊥MN .∵AE ＝DE ，点M 是AD 的中点，∴AD ⊥ME ，又MN ∩ME ＝M ，∴AD ⊥平面EMN ，∴平面EMN ⊥平面ABCD ，同理可得平面FMN ⊥平面ABCD ，由结论②可得平面EMN 与平面FMN 是同一个平面，∴E ，F ，M ，N 四点共面．(2)由(1)知平面EMNF ⊥平面ABCD ，过点E 作EO ⊥MN ，垂足为O ，∴EO ⊥平面ABCD .以过点O 作垂直于MN 的直线为x 轴，ON ，OE 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O ­xyz .∵AD ＝2，AE ＝DE ＝2，点M 是AD 的中点， ∴AE ⊥DE ，EM ＝1，∵二面角E ­AD ­B 是60°，∴∠EMN ＝60°，∴OM ＝12，OE ＝32. 同理，过点F 作FO ′⊥MN ，可得O ′N ＝1，FO ′＝ 3.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，72，0，E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，0，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，52，3，则AB ―→＝(0,4,0)，BE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－72，32，EF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，52，32. 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AB ―→＝0，m ·EF ―→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4y 1＝0，－x 1－72y 1＋32z 1＝0， 令z 1＝2，得m ＝(3，0,2)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面BEF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·EF ―→＝0，m ·BE ―→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 52y 2＋32z 2＝0，－x 2－72y 2＋32z 2＝0，令z 2＝2，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1235，－235，2. 而cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n|＝23817， 易知二面角A ­BE ­F 是钝角，∴二面角A ­BE ­F 的余弦值为－23817.。

空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是（0,］。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动2直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求”2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是［0,—］。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

2具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

也是简称为"作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若B为线面角，为斜线与平面内任何一条直线所成的角,则有；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为BAD CAD )2.1确定点的射影位置有以下几种方法:①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上;②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC在一个平面内,PN AC,PM AB,且PN= PM （就是点P到角两边的距离相等）过P作PO （说明点O为P点在面内的射影）求证：OAN= OAM（OAN= OAM，所以AO为BAC的角平分线，所以点O会在BAC的角平分线上）证明：Q PA =PA , PN = PMPNA= PMA=90PNA PMA （斜边直角边定理）AN =AMPONO MO （斜线长相等推射影长相等）PN =PMAN = AMAO= AOAMO ANO NAO= MAO 所以，点P 在面的射影为 BAC 的角平分OM = ON线上。

专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）A B C D ．79【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．16B ．3C D ．6方法二 空间向量法例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．34-C D ．6【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C D ．1116类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论.例3如图，四边形ABCD是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅰ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．13 B． C．3 D ．23【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；GFEDCBA（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．方法二 空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用a bsin a bθ→→→→⋅=即可得出结论.例4 【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，222AD BC CD ===，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，过AB 的平面交棱PC 于点E （异于点C ，P 两点），交PO 于F .（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若F 是PO 中点，且平面EFD 与平面ABCD 求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台111ABC A B C -的下底面ABC 是边长为2的正三角形，上地面111A B C △是边长为1的正三角形.1A 在下底面的射影为ABC 的重心，且11A B A C ⊥.（1）证明：1A B ⊥平面11ACC A ；（2）求直线1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.类型三 空间二面角的求解例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥S ABC -中，2SA BC ==，SC AB ==，SB AC ==记BC 中点为M ，SA 中点为N（1）求异面直线AM 与CN 的距离； （2）求二面角A SM C --的余弦值.【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值. 【高考再现】1．【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒2. 【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为Ⅰ111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．5.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO Ⅰ平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．6．【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．7．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥P ABCD-的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PD AD==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【反馈练习】1．【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是线段BC ，1BB 的中点，则异面直线DE 与1D F 所成角的余弦值为（ ）A B C ．35 D ．452．【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ．153．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦4．【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AD ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．【山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量】如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A ．58B ．8C ．78D ．86．【福建省厦门市2020届高三毕业班（6月）第二次质量检查（文科）】如图，圆柱1OO 中，12OO =，1OA =，1OA O B ⊥，则AB 与下底面所成角的正切值为( )A ．2BC ．2D ．127．【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）】若正方体1AC 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111D C B A 的对角线11B D 上一点，且//PQ 面11AA B B ，则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为__.8．【吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考】如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.9．【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若2AP AC BC ===.（1）求异面直线AE 与BC 所成的角：（2）若三棱锥M AEF -的体积等于19，求AM BM10．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11BCC B 为菱形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，D 为棱1AA 的中点．（1）证明：1BC ⊥平面1DCB ；（2）求二面角11B DC C --的余弦值．11．【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，四边形BDFE 为矩形，平面BDFE ⊥平面ABCD ，点P 在AD 上，EP BC ⊥.（1）证明：AD ⊥平面BEP ；（2）若EP 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角C PE B --的余弦值.12．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试】如图1，在直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AC =AB =D ，E 分别为AC ，BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示.（1）求证：AE CD ⊥；（2）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值.13．【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥P ABC -的展开图如图二，其中四边形ABCD ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．14．【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，侧面PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，3ABC π∠=，点M 为AD 中点.；（1）求证：CM PB（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.。