Day Day Up高二寒假数学之加法与乘法原理

两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的活动。

当我们需要计算完成某件事情的方法数时，就会用到两个基本的计数原理：加法原理和乘法原理。

这两个原理看似简单，但却在解决各种计数问题时发挥着关键作用。

先来说说加法原理。

加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m₁种不同的方法，在第二类方式中有m₂种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁＋ m₂＋… ＋ mₙ 种不同的方法。

举个简单的例子，假如你要从A 地去B 地，有两种交通方式可选，一是坐火车，有 3 趟不同的车次；二是坐汽车，有 2 趟不同的班车。

那么你从 A 地去 B 地一共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种选择。

再比如，你周末想出去玩，有三个选择：去公园散步、去商场购物或者去电影院看电影。

去公园散步有 2 条不同的路线，去商场购物有 3 家不同的商场可去，去电影院看电影有 5 部不同的影片可选择。

那么你周末出去玩的方式就有 2 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 10 种。

加法原理的核心在于“分类”，每一类方法都是相互独立的，彼此之间没有交叉和重叠，最终将每一类的方法数相加就能得到总的方法数。

接下来谈谈乘法原理。

乘法原理是说，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m₁种不同的方法，做第二步有 m₂种不同的方法，……，做第 n 步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。

比如说，你要从你的家去一个朋友家，需要先坐公交车到地铁站，有 4 路公交车可选择；然后再从地铁站坐地铁到朋友家附近的站点，有 3 条地铁线路可选择；最后从地铁站走到朋友家，有 2 条不同的路可走。

那么你去朋友家的路线就有 4 × 3 × 2 ＝ 24 种。

乘法原理和加法原理加法原理:完成一件工作有几种不同的方法，每种方法又有很多种不同的方法，而且这些方法彼此互斥，那么完成这件方法的总数就是等于各类完成这件工作的综合。

这类方法称为加法原理，也叫分类计数原理。

乘法原理:如果完成一件工作需要很多步骤，每个步骤又有很多种方法，那么完成这件工作的方法就是把每一步骤中的不同方法乘起来，这类方法称为乘法原理，也叫分步计数原理。

例题:例1. 小军、小兰和小红三个小朋友排成一排照相，有多少种不同的排法, 例2. 书架上有5本不同的科技书，6本不同的故事书，8本不同的英语书。

如果从中各取一本科技书、一本故事书、一本英语书，那么共有多少种取法,例3.一个盒子里装有5个小球，另一个盒子里装有9个小球，所有的这些小球的颜色各不相同。

(1)从两个盒子任取一个球，有多少种不同的取法,(2)从两个盒子里各取一个球，有多少种不同的取法,例4.四个数字3、5、6、8可以组成多个没有重复数字的四位数,例5.用四种不同的颜色给下面的图形涂色，使相邻的长方形颜色不相同，有多少种不同的涂法,BACD当堂练:1. 五一前夕，学校举行亲子活动，玲玲有红、白、黄、花四件上衣和蓝、黄、青共三种颜色的裙子，找出来搭配着穿，一共有多少种不同的搭配方法,2.甲、乙、丙三个组，甲组6人，乙组5人，丙组4人，如果从三组中选出一个代表，有多少种不同的选法,3.有7、3、6三个数字卡片，能组成几个不同的三位数,课堂作业:1. 春节期间，有四个小朋友，如果他们互相寄一张贺卡，一共寄了多少张,2. 有8,0,2,4,6五个数字可以组成几个不同的五位数,3. 一个袋子里装有6个白色乒乓球，另一个袋子里装有8个黄色乒乓球。

(1).从两个袋子里任取一个乒乓球，共有多少种不同取法?(2).从两个袋子里各取一个乒乓球，有多少种不同取法,4. 南京到上海的动车组特快列车，中途只停靠常州、无锡、苏州三个火车站，共要准备多少种不同的车票,有多少种不同的票价,(考虑往返)5.在A、B、C、D四个长方形区域中涂上红、黄、蓝、黑这四种颜色，使任何相邻两个长方形颜色不同，一共有多少种不同的涂法,ABC D6.有6个不同的文具盒，4支不同的铅笔，4支不同的钢笔，2把不同的尺子。

两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，经常会遇到需要计算可能性或数量的情况。

而解决这些问题的有力工具，就是两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理。

让我们先来聊聊加法原理。

想象一下，你要从北京去上海，有三种交通方式可以选择：飞机、高铁和汽车。

那么你去上海的方法总数，就是这三种方式的总和，这就是加法原理。

简单来说，加法原理就是指完成一件事，如果有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

举个例子，学校组织活动，周一到周五每天都有不同的活动安排，周一可以选择参加篮球比赛或者足球比赛，周二可以选择参观博物馆或者参加文艺表演，周三可以选择参加志愿者活动或者科技竞赛，周四可以选择参加书法比赛或者绘画比赛，周五可以选择参加演讲比赛或者辩论赛。

那么这一周内你参加活动的选择总共有多少种呢？答案就是把每天的选择数相加，即 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 10 种。

再来说说乘法原理。

假如你要从A 地去B 地，中途需要经过C 地，从 A 地到 C 地有 3 条路可走，从 C 地到 B 地有 2 条路可走。

那么从 A地经过 C 地到 B 地，一共有多少种走法呢？答案是 3×2 ＝ 6 种。

这就是乘法原理。

具体而言，乘法原理是指完成一件事，如果需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。

比如，你要搭配一套衣服，上衣有 3 种选择，裤子有 2 种选择，鞋子有 2 种选择。

那么你能搭配出的服装总数就是 3×2×2 ＝ 12 种。

乘原理和加法原理的区别乘法原理和加法原理是概率论中两个重要的基本原理，它们在计算事件的可能性时起到了重要作用。

虽然它们都是计算概率的方法，但是在具体应用中有明显的区别。

首先来看乘法原理。

乘法原理是指当一个事件可以分解为多个相互独立的子事件时，可以通过将这些子事件的概率相乘来计算整个事件的概率。

简单来说，乘法原理适用于多个事件同时发生的情况。

举个例子来说明，假设一次抽取彩票的过程可以分解为两步：第一步是抽取红色球的概率为p，第二步是抽取蓝色球的概率为q。

那么整个抽取过程的概率就可以通过p和q的乘积来计算。

乘法原理的应用范围非常广泛，不仅仅局限于概率论中。

在组合数学中，乘法原理也有重要的运用。

例如，当从一个有n个元素的集合中选择k个元素时，可以通过乘法原理计算出选择的可能性，即n个元素中选出k个的组合数为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)。

而加法原理则与乘法原理不同，它适用于多个事件互斥或互不相干的情况。

加法原理指的是当一个事件可以通过多个互斥的子事件中的任意一个发生而实现时，可以通过将这些子事件的概率相加来计算整个事件的概率。

换句话说，加法原理适用于多个事件中至少发生一个的情况。

继续以上面的例子来说明，假设现在有两种不同的彩票方式可以选取，第一种方式的概率为p，第二种方式的概率为q，那么选择一种方式购买彩票的概率就可以通过p和q的和来计算。

加法原理同样在概率论以外的领域有着广泛的应用。

在组合数学中，加法原理用来计算多种情况下的组合数。

比如当一个集合可以被划分成若干个不相交的子集时，可以通过加法原理计算出集合的总数。

另外，加法原理也在马尔可夫链、图论等领域中得到应用。

简而言之，乘法原理和加法原理是计算概率时使用的两种不同方法。

乘法原理适用于多个事件同时发生的情况，可以通过将各个事件的概率相乘来计算整个事件的概率；而加法原理适用于多个事件中至少发生一个的情况，可以通过将各个事件的概率相加来计算整个事件的概率。