利用神经网络求解并联机构位置正解

１ 机构构型分析
平 面 二 自由度并 联 机 构 的模型 如 图 １ 所 示 ，该
机 构 的运 动 副 采 用 铰 链 连 接 ， 用 三个 伺 ห้องสมุดไป่ตู้ 直 流 电
机 作 为驱动 器 。其 中Ａ． 、Ｂ 为 转动 副 的位 置 ，Ａｉ 为 驱 动 关节 ，设 坐 标 为Ａ； （ Ｘ Ｙ ｉ ２ ） ，Ｂ 为 从动 关节 ， 设 坐 标为Ｂ ｉ （ ｘ ｉ ｌ ， Ｙ ｉ ２ ） ，Ｐ 为 末端 执行 器 ，设坐 标 为Ｐ （ ｘ， ｙ ）， ０ ｉ １ 为Ａｌ Ｂ ｉ 与ｘ 轴 的夹角 ， ０ ｉ ２ 为Ｂ ｊ Ｐ 与Ｘ 轴
的数 据 结 果与 理 想轨 迹 进 行误 差 分析 ，结 果如 图６
要建 立 复杂 的数 学模 型 ，建模 及 求解过 程 复杂 。 本 文 针 对 一 种 平 面 冗 余 并 联 机 器 人 ，采 用 计
表１ 系统参数
系 统 参 数
杆长 （ Ｌ）
Ｘ
图 １ 平 面 二 自 由度 并 联 机 器 人 结 构 图
算 机 软 件 求 解 方 法 进 行 运 动 学 求 解 。 首 先 通 过
的夹 角 ，其 中ｉ ＝ ｌ ， ２ ， ３ ，杆 的 长度 均 为Ｌ，横 截 面 长
度 为ａ ，宽度为ｂ ，其 中系统 具体参 数如 表 １ 所示 。
但 由 于计 算过 程 时 间场 ，在 实 际工 程 很 难 得 到 应 用 。其 他一 些 研 究人 员 ，例 如 ，Ｐ ａ ｒ ｉ ｋ ｈ 、Ｌ ａ ｍ、宋
机 构 中 ，通 常 逆 解 相 比逆 解 更 容 易 求 得 ，逆 解 通 常通 过 闭环 矢量法 、Ｄ— Ｈ参数 法建 立机 构模 型 【 １ ｊ ，

基于差分进化的并联机器人位姿正解
王雪松;郝名林;程玉虎;李明
【期刊名称】《中国矿业大学学报》
【年(卷),期】2008(37)5
【摘要】利用并联机器人位姿反解容易求取的特点,把并联机器人的位姿正解问题转化为假设已知位姿正解,通过位姿反解求得杆长值,并使所求得的杆长值与给定的杆长值之差为最小的优化问题,然后利用差分进化的全局寻优能力来直接求解并联机器人的位姿正解.6-SPS型并联机器人位姿正解的数值仿真结果表明,该方法较遗传算法求解精度高且收敛速度快,经过508步迭代之后,位置误差小于0.000 1 mm,姿态误差小于0.000 1°.该方法不仅避免了繁琐的数学推导和迭代初值的选取,又可以获得符合精度要求的运动学正解,为解决并联机器人正向运动学问题提供了新的计算策略.
【总页数】6页(P664-669)
【关键词】并联机器人;位姿正解;位姿逆解;差分进化
【作者】王雪松;郝名林;程玉虎;李明
【作者单位】中国矿业大学信息与电气工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】TP242
【相关文献】
1.基于免疫进化的并联机器人的位姿估计 [J], 张淑平;丁永生;郝矿荣
2.并联机器人位姿正解优化算法及其仿真 [J], 李穆远;全惠敏;吴桂清
3.基于ADAMS的3-RPS型并联机器人位姿的正解与逆解 [J], 王丹;郭辉;孙志礼
4.6—SPS台体型并联机器人位姿正解的研究 [J], 牛禄峰;高秀兰;鲁开讲;马克静
5.冗余约束绳驱并联机器人的位姿正解 [J], 陶冶;张尚盈;王彦伟
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Stewart 型六自由度平台正反解研究蔡保富，廖传书武汉理工大学 电信系，武汉（430070）E-mail: cbf65627972@摘 要：本文研究了Stewart 型六自由度平台的正解和反解。

根据Stewart 型六自由度平台的结构的特点，为了达到高精度的实时控制，设计出具有算法简单、效率高，并具有易于编程的正反解算法。

本算法已经在MATLAB 下仿真模拟过，并嵌入到实际平台上VxWorks 系统下实际实现。

本文介绍这一算法的实现思想。

关键词：Stewart 型六自由度平台；正解；反解；实时控制；VxWorks1引 言六自由度运动平台是一种重要的仿真实验设备，其应用范围非常广泛。

因其结构简单、高刚度、高精度和高负载能力等优点，六自由度运动平台已成为飞机、舰船、宇航和车载设备进行动态可靠性研究的重要模拟试验装置。

这种系统普遍采用Stewart 平台及其变形机构，平台有上下两个平台和6个并联的、可独立自由伸缩的杠杆组成，伸缩杠和平台之间通过球铰链联接，通过改变伸缩杠的长度可以实现上动台面的空间多自由度运行[1]。

对于并联机构的六自由度平台在运动过程中，要保证运动的实时性和正确性，就需要通过对伸缩杠的精确控制来实现，这就需要引入六自由度平台的实时位置正反解算法。

所谓六自由度平台的位置反解，是指由运动平台的空间姿态求六个伸缩杠的伸缩量。

而六自由度的位置正解，是指有六个伸缩杠的伸缩量来求运动平台的空间姿态[2]本课题就是通过对Stewart 型六自由度运动平台的研究，建立一种具有运动学正反解的数学模型，通过计算机程序实现该数学模型，仿真并实际运行。

2运动平台空间位置分析对于一种机构的运动分析包括位置分析、速度分析和加速度分析三部分，位置分析是运动学分析最基本的任务。

机构的位置分析是求解机构的输出和输入构件之间的位置关系。

对于Stewart 型六自由度平台就是六个输入杠的长度和作为输出的运动平台的姿态和位置之间的关系[3]。

ｏ ｖ ｔ ｉ ｍｅ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ（ Ｐ Ｓ Ｏ ） ａ ｎ ｄ ｉ ｍ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ Ｐ Ｓ Ｏ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ｄ ｉ ｖ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ ． Ｔ ｈ ｉ ｓ ｌｇ ａ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｈ ａ ｄ ｌ ｅ ｓ ｓ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｐ ｒａ ａ ｍ ｅ ｔ ｅ ｒ ｎｄ ａ
ｍ ｅ ｃ ｈ ｎｉ ａ ｓ ｍ，ｉ ｔ ｄ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｕ ｎ ｃ ｏ ｒ ￣ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ｔｉ ａ ｏ ｎ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｆ ｏ ｐ ｒａ ａ ｌ ｌ ｅ ｌ ｍ ｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｓ ｍ％ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ，ａ ｎ ｄ ｍ ｄｅ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ Ｐ Ｓ Ｏ ． ｈｅ Ｔ ｅ ｘ ｐ ｅ ｒ ｉ ｍ ｅ ｎ ｔ ｓ ｈ ｏ ｗ ｓ ｔ ｈ ｔ ａ ｔ ｈ ｉ ｓ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｉ ｍ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｏ ｖ ｅ ｒ ｌｌ ａ ｓ ｅ ｒｃ ａ ｈ ｃ ａ ｐ ｂｉ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ ｆｔ ｏ ｈ ｅ Ｐ Ｓ Ｏ ｎｄ ａ ｉ ｔ ｈ ｓ ａ ｆ ａ ｓ ｔ ｅ ｒ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ， ｈ ｉ ｇ ｈ ｅ ｒ ｐ ｒ ｅ ｃ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｄａ ａ ｐｔ ｗ ｅ ｓ ｔ ａ ｌ ｅ ． ｈｉ Ｔ ｓ ｒ ｅ ｓ ｅ ｒｃ ａ ｈ ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｄ ｅ ｓ ａ ｔ ｈ ｅ ｏ ｅｔ ｒ ｉ ｃ ｌ ａ ｂ ｓｉ ａ ｓ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
ＬＩ Ｕ Ｗｅ ｉ — ｒ ｕ ｉ ，ＺＨＡＯ Ｈｅ ｎ ｇ － ｈ ｕａ

１００７－７９１Ｘ （２０１１　） ０５－０３９１－０５基于雅克比矩阵求解并联机器人位置正解方法米士彬１金振林１，２１．燕山大学机械工程学院，河北秦皇岛０６６００４；２．上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室，上海２００２４０摘要：并联机器人位置正解一直是并联机器人研究的难点之一，本文提出了一种基于雅克比矩阵求解并联机器人位置正解的新方法，该方法利用并联机器人的初始位置及雅克比矩阵，能够快速求解并联机器人的位置正解，此法可用于并联机器人的实时控制。

最后以求解６－ＰＳＳ并联机器人正解为例，验证了该方法的可行性和正确性。

位置正解；雅克比矩阵；６－ＰＳＳ并联机器人；迭代ＴＰ２４２Ａ１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７－７９１Ｘ．２０１１．０５．００３２０１０－１１－０２机械系统与振动国家重点实验室开放课题资助项目（ＭＳＶ－２０１０－２４） 作者简介：米士彬（１９８４－），男，山东新泰人，硕士研究生，主要研究方向为并联机器人理论及应用技术；通信作者：金振林（１９６２－）；男，辽宁抚顺人，教授，博士生导师，主要研究方向为并联机器人理论与应用技术，Ｅｍａｉｌ： ｚｌｊｉｎ＠ｙｓｕ．　ｅｄｕ．　ｃｎ。

２０１１３９３２０１１＠＠［１］黄昔光，廖启征，李端玲，等．基于四元数的台体型５ＳＰＳ－１ＣＣＳ 并联机器人位置正解分析［Ｊ］．机械工程学报，２００７，４３　（５）：　８－１３．＠＠［２］贺利乐，刘宏昭．一种六自由度混合驱动并联机构的位置正解 分析研究［Ｊ］．中国机械工程，２００７，１８　（８）：　９２０－９２３．＠＠［３］饶青，陈宁新，白师贤．６－６型Ｓｔｅｗａｒｔ并联机器人的正向位移 分析［Ｊ］．机械科学与技术，１９９４　（３）：　４６－５２．＠＠［４］黄昔光，廖启征，魏世民，等．一般６－６型平台并联机构位置 正解代数消元法［Ｊ］．机械工程学报，２００９，４５　（１）：　５６－６１．＠＠［５］姜虹，贾嵘，董洪智，等．六自由度并联机器人位置正解的数 值解法［Ｊ］．上海交通大学学报，２０００，３４　（３）：　３５１－３５３．＠＠［６］董彦良，吴盛林．一种实用的６－６　Ｓｔｅｗａｒｔ平台的实时位置正解 法［Ｊ］．哈尔滨工业大学学报，２００２，３４　（１）：　１１６－１１９．＠＠［７］何兵，车林仙，罗佑新．求十面体变几何桁架机器人位置正解 的改进粒子群算法［Ｊ］．机械设计，２００８，２５　（１１）：　３１－３４．Ｓｅｅｋｉｎｇ　ｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ　ｆｏｒｗａｒｄ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　 ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｊａｃｏｂｉｎ　ｍａｔｒｉｘＭＩ　Ｓｈｉ－ｂｉｎＪＩＮ　ｚｈｅｎ－ｌｉｎ。

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并联机构的应用实例
一、运动模拟器
并联机构最早就是作为飞行模拟器所应用。 它能完成90%的训练任务，而所需费用仅 为实际飞行的2.5%~10%，由于效益明显， 在飞行模拟器中得到广泛应用。图为 NASA研制的波音747飞行模拟器。
二、并联机构的机床
三、并联机构的微操作机器人
其他应用：军事领域中的潜艇、坦克驾驶运动模拟器，下一代战斗机的矢 量喷管、潜艇及空间飞行器的对接装置、姿态控制器等；生物医学工程中 的细胞操作机器人、可实现细胞的注射和分割；微外科手术机器人；大型 射电天文望远镜的姿态调整装置；混联装备等，如SMT公司的Tricept混联 机械手模块是基于并联机构单元的模块化设计的成功典范。
并联机构
作者：孙嘉徽
湖南工业大学机械工程学院
并联机构的简介 研究意义及研究过程 结构及其工作原理 并联机构的应用实例
并联机构（Parallel Mechanism，简称PM）， 可以定义为动平台和定平台通过至少两个独立的运动链相连接，机构
具有两个或两个以上自由度，且以并联方式驱动的一种闭环机构。 串联机构
是指若干个单自由度的基本机构顺序联接，每一个前置机构的输出运 动是后置机构的输入,若联接点设在前置机构中作简单运动的构件上,即形 成所谓的串联式组合。
其实并联机构很早就出现了，大概经过的四个阶段。 球面并联机构；

串联和并联机器人运动学与动力学分析串联和并联机器人是工业自动化领域中常见的机器人结构形式。

它们在不同的应用场合中有着各自的优势和适用性，因此对它们的运动学和动力学进行深入分析具有重要意义。

本文将从运动学和动力学两个方面对串联和并联机器人进行分析，并对它们的特点和应用进行了介绍。

一、串联机器人的运动学和动力学分析1. 串联机器人的运动学分析串联机器人是由多个运动副依次连接而成的，每个运动副只能提供一个自由度。

其运动学分析主要包括碰撞检测、正解和逆解三个方面。

（1）碰撞检测：串联机器人在进行路径规划时，需要考虑各个运动副之间的碰撞问题。

通过对关节位置和机构结构进行综合分析，可以有效避免机器人在工作过程中发生碰撞。

（2）正解：正解是指已知各关节的角度和长度，求解末端执行器的位姿和运动学参数。

常见的求解方法包括解析法和数值法。

解析法适用于关节均为旋转副或平动副的情况，而数值法则对于复杂的几何结构有较好的适应性。

（3）逆解：逆解是指已知末端执行器的位姿和运动学参数，求解各关节的角度和长度。

逆解问题通常较为困难，需要借助优化算法或数值方法进行求解。

2. 串联机器人的动力学分析串联机器人的动力学分析主要研究机器人工作时所受到的力、力矩和加速度等动力学特性，以及与机器人运动相关的惯性、摩擦和补偿等因素。

其目的是分析机器人的动态响应和控制系统的设计。

（1）力学模型：通过建立机器人的力学模型，可以描述机器人在工作过程中的动力学特性。

常用的建模方法包括拉格朗日方程法、牛顿欧拉法等。

（2）动力学参数辨识：通过实验或仿真，获取机器人动力学参数的数值，包括质量、惯性矩阵、摩擦矩阵等。

这些参数对于后续的控制系统设计和性能优化非常关键。

（3）动力学控制：基于建立的动力学模型和参数，设计合适的控制算法实现对机器人的动力学控制。

其中，常用的控制方法包括PD控制、模型预测控制等。

二、并联机器人的运动学和动力学分析1. 并联机器人的运动学分析并联机器人是由多个执行机构同时作用于末端执行器，具有较高的刚度和负载能力。

5-5型并联机器人位置正解的简单算法石志新;叶梅燕;毛志伟;罗玉峰;杨廷力【摘要】对一类5-5台体型并联机器人机构的结构特征进行了深入分析,提出了其位置正解分析与求解的简单方法.首先利用序单开链的思想对该机构进行拓扑特征分析和结构分解,将其运动学方程维数降至最小,然后利用一维搜索法得到全部实数解,最后将该方法应用于具体实例,结果不仅表明了该方法的有效性,而且首次给出了具有20组实数解的机构实例.【期刊名称】《农业机械学报》【年(卷),期】2014(045)003【总页数】6页(P314-319)【关键词】空间机构学;5-5型并联机器人;位置正解;一维搜索法【作者】石志新;叶梅燕;毛志伟;罗玉峰;杨廷力【作者单位】南昌大学机电工程学院,南昌330031;南昌大学理学院,南昌330031;南昌大学机电工程学院,南昌330031;南昌大学机电工程学院,南昌330031;中国金陵石化公司,南京210037【正文语种】中文【中图分类】TH112引言并联机器人运动学正解是一个既重要又难以解决的问题，其核心是建立运动学方程并求解，现有方法主要包括解析法［1－6］和数值法［7－12］两大类。

文福安、梁崇高得到了一般6-6平台型并联机构的位置正解［2］，但这并不意味着并联机器人运动学正解问题得到彻底解决，尚有如下问题值得深入研究：如何降低机器人运动分析难度，提高其运动学方程求解效率，从而满足实时控制要求；更一般情况的台体型并联机构（动静平台上的铰链不在同一平面上）位置正解问题尚未完全解决；各类并联机构实数解数目的上限，并给出相应实例，现有方法仅给出复数解数目的上限，而且超过16组实数解的实例也鲜有文献报道，但在实际应用中更关心实数解。

本文对一类5-5台体型并联机器人机构的结构特征进行深入分析，提出其位置正解分析与求解的一种简单方法，而且给出具有20组实数解的机构实例。

1 基础知识对于同一机构，学者可能会将其分解为不同的单元，而不同的结构分解会导致所建立的运动学方程复杂程度截然不同。

第24卷2005年第8期8月机械科学与技术MECHAN I C AL SC I E NCE AND TECHNOLOGY Vol .24August No .82005收稿日期:20040604作者简介:王　朋(1981-),男(汉),安徽,硕士研究生E 2mail:ds wangpeng@yahoo .com.cn王　朋文章编号:100328728(2005)0820956204基于遗传算法的并联机器人运动学正解研究王　朋,段志善,贺利乐(西安建筑科技大学机电工程学院,西安　710055)摘　要:运动学正解分析是对并联机器人其它性能进行分析的基础,也是并联机器人研究中的一个难点。

本文采用遗传算法来求解并联机器人的运动学正解,并且利用灰色关联分析对求解结果进行了分组,得到了Ste wart 平台并联机器人的7组实解。

实例表明该方法简单、方便、具有通用性,是求解并联机器人运动学问题的一种新策略。

关　键　词:并联机器人;运动学正解;遗传算法;非线性方程组中图分类号:TP242 文献标识码:AResearch of the Forward K i n e ma ti cs of Para llel Robot Usi n g Geneti c A lgor ith mWANG Peng,DUAN Zhi 2shan,HE L i 2le(Mechanical and Electrical College,Xi ′an University of A rchitecture &Technol ogy,Xi ′an 710055)Abstract:The analysis of the f or ward kine matics is the f oundati on f or studying other perfor mances of the parallel r obot .This paper adop ts the genetic algorith m t o get the f or ward kine matics results and carries out the gr oup ing of these results based on the theory of gray relative analysis .The exa mp les show that this method is easy and useful f or all parallel r obots and is an effective ne w way t o s olve the for ward kine matics p r oble m of the parallel r obot .Key words:Parallel r obot;For ward kine matics;Genetic algorith m 并联机器人由于其机构本身的特点,与传统的串联机器人相比具有刚度大、承载能力强、响应速度快、误差小等特点,因而应用领域非常广泛。

基于改进粒子群优化算法的并联机构位置正解法
孙坚;丁永生;郝矿荣
【期刊名称】《制造业自动化》
【年(卷),期】2010(032)004
【摘要】本文提出一种基于改进粒子群优化算法的并联机构位置正解法.在深入分析和研究标准粒子群优化算法的基础上,定义了粒子相似性概念,提出基于高斯白噪声干扰变异的粒子群优化算法.该算法在运行过程中通过与当前最优粒子相似性的量化判定,对进入当前最优粒子邻域的粒子施加高斯白噪声干扰变异,从而提高粒子群优化算法后期多样性和收敛速度.将该算法用于并联机构位置正解寻优,仿真实验结果表明有该方法能以较高的收敛精度快速地获得并联机构的位置正解,且算法稳定.
【总页数】4页(P92-95)
【作者】孙坚;丁永生;郝矿荣
【作者单位】三峡大学,电气信息学院,宜昌,443002;东华大学,信息科学与技术学院,上海,201620;东华大学,数字化纺织服装技术教育部工程研究中心,上海,201620;东华大学,信息科学与技术学院,上海,201620
【正文语种】中文
【中图分类】TP18
【相关文献】
1.基于Groebner-Sylvester法的一般6-6型台体并联机构位置正解 [J], 黄昔光;廖启征;魏世民;庄育锋;徐强
2.基于BP法的3-RRP并联机构位置正解研究∗ [J], 韩霄;李虹;李瑞琴
3.基于调整步长牛顿法的Stewart并联机构位置正解 [J], 强红宾;王力航;姜雪;张立杰
4.并联机构位置正解的基于Hénon混沌映射的Newton迭代法 [J], 车林仙;罗佑新
5.基于拟Newton法的并联机构位置正解 [J], 耿明超;赵铁石;王唱;陈宇航;何勇因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

试验研究现代制造工程2008年第3期6/6 S PS型Ste wart并联机构运动学正解的研究*周辉,曹毅(江南大学机械工程学院,无锡214122)摘要:对具有半对称结构的6/6 SPS型S te w art并联机构的运动学正解进行了研究。

建立了一类具有半对称结构的6/6 SPS型S te w art并联机构运动学正解的数学模型,构造了一个关于该并联机构动平台位置参数及姿态参数的多元多项式方程组。

基于该方程组并采用M athe m atica符号计算软件,编制了基于M athe m atica语言的6/6 SPS型Stewa rt并联机构运动学正解的求解程序,计算结果表明,对于任意给定的该并联机构的结构参数以及六个驱动杆杆长,该类6/6 SPS型Stew art并联机构的运动学正解在复数域内最多有28组解析解。

并联机构运动学正解的研究为该类并联机构的工作空间分析、轨迹规划及控制奠定了重要的理论基础。

关键词:Ste w art机构;运动学正解;符号计算;M a t he m atica软件中图分类号:TP242.2 文献标识码:A 文章编号:1671 3133(2008)03 0001 05D irect kinem atics anal ysis of a speci a l class ofthe6/6 SPS Ste w artm ani pul atorsZhou H u,i Cao Y i(School ofM echan ica lEng i n eeri n g,Jiangnan Un i v ersity,W ux i214122,Jiangsu,CHN) Abstrac t:A ddresses t he direct kinem ati cs of a spec i a l c l ass of the6/6 SPS Ste w art m ani pulators i n wh i ch the mov i ng and base p l a tfor m s are t w o si m ilar sem isymm etr i ca l hex agons.A fte r proposi ng a m athe m atica lm ode l o f the d irect k i ne m atics of t h i s special class o f t he Ste w art m an i pu lators,a m ulti v ariate po lyno m ial equati ons se t i n the m oving p l atfor m pos iti on para m eters and or i enta ti on para m eters is constructed i n wh ich i npu t para m ete rs are geo m etric para m eters and the li nk length o f each li m b of t h is special class o f the6/6 SPS S te w art m an i pu lators.Based on t h ism ultivar i ate polynom ia l equa tions se t,an a l go rith m has been deve l oped inM a t he m a tica l anguag e for so lv i ng the d i rect k i ne m atics of t h is specia l c lass o f the6/6 SP S Stew artm anipulators by utilizi ng a sy m bo li c computati on so ft w are M athem ati ca,co m puta tion results first sho w tha t t he m ax i m u m number of the co m plete analytical so l uti on to t he direct k i ne m atic prob l em of t h is spec i a l class of t he6/6 SPS Stewart m an i pulators is up t o28i n the co m plex do m ain for any g i ven set of geo m etric para m eters and si x g iven li nk leng t hs o f the man i pu l a t o r cons i dered.D irec t k i ne m atic analysis o f th i s special c lass o f t he6/6 SPS Stewart m an i pu l a tors paves under l y i ng theoretical g rounds for the wo rkspace ana l y si s,pa t h p l ann i ng and contro l o f th i s specia l c lass o f the6/6 SPS S te w art m an i pu l a tors.K ey word s:Stewart m ani pulator;D irect kinem ati cs;Symbo lic co m putation;M athem ati ca so ft w are0 引言S te w art平台具有承载能力强、刚度好、无积累误差、精度高、系统动态响应快等特点[1],在飞行模拟器、机器人、新型机床等领域得到广泛应用。

五⾃由度⼯业机器⼈结构五⾃由度⼯业机器⼈结构五⾃由度⼯业机器⼈结构设计1绪论⼯业机器⼈，⼀般指的是在⼯⼚车间环境中，配合⾃动化⽣产的需要，代替⼈来完成材料或零件的搬运、加⼯、装配等操作的⼀种机器⼈。

国际标准化组织(ISO)在对⼯业机器⼈所下的定义是“机器⼈是⼀种⾃动的、位置可控的、具有编程能⼒的多功能机械⼿，这种机械⼿具有⼏个轴，能借助于可编程序操作来处理各种材料、零件、⼯具和专⽤设备，以执⾏种种任务”。

随着科学和技术的不断发展，在过去的⼏个世纪⾥，⼈类在许多⽅⾯都取得了重⼤的进展。

机器⼈技术作为⼈类最伟⼤的发明之⼀，⾃20世纪60年代初问世以来，经历了短短的40年，已取得长⾜的进步。

⼯业机器⼈在经历了诞⽣、成长、成熟期后，已成为制造业中必不可少的核⼼装备，⽽且⼯业机器⼈不仅在⼯⼚⾥成了⼯⼈必不可少的伙伴，⽽且正在以惊⼈的速度向航空航天、军事、服务、娱乐等⼈类⽣活的各个领域渗透。

据联合国经济委员会和国际机器⼈联合会去年关于世界机器⼈的报告，仅2003年新投⼊使⽤的机器⼈接近10万个，使世界⽬前使⽤的机器⼈总数超过75万。

世界使⽤机器⼈最多的国家是⽇本，约38 .9万；其次为德国(9.1万)、美国 (9万)、意⼤利(3.9万)、韩国(3.8万)、法国(2.1万)、西班⽛(1.3万)和英国(1.2 万)，并且报告估计2004年，全世界使⽤的机器⼈总数将超过100万。

我国的⼯业机器⼈发展的历史已经有20多年，从“七五”科技攻关开始，正式列⼊国家计划，在国家的组织和⽀持下，通过“七五”、“⼋五”科技攻关，不仅在机器⼈的基础理论和关键技术⽅⾯取得重⼤突破，⽽且在⼯业机器⼈整机⽅⾯，⼰经陆续掌握了喷漆、弧焊、点焊、装配和搬运等不同⽤途、典型的⼯业机器⼈整机技术，并成功的应⽤于⽣产，掌握了相关的应⽤⼯程知识。

但总的看来，我国的⼯业机器⼈技术及其⼯程应⽤的⽔平和国外的相⽐还有⼀定的距离。

我国⽬前⼤约有 4000台⼯业机器⼈，其中仅有1/5是国产的，其余的则是从40多个国外⼚商进⼝的机器⼈。

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中图分类号：F+&+
并联机器人的运动学正解问题是给出多项式方程，并采用反解方式对正解进 行了数值验证。
" 坐标系建立与几何关系导出
球面 $ 自由度并联机构，上下角台用 $ 个 $ 转动副运动链 相联， 所有转动运动副轴线皆汇交于一点 ， 转动的上角锥绕 点 相对固定的下角锥转动。上下角锥的两个底面为等边三角形， 如图 " 所示该球面 $ 自由度并联机构的 ()* 模型， $ 个主动件 固定在定角锥棱边上。 如图 + 所示机构简图，固定坐标系 ! " #$% 建在球面机构 的中心， # 轴平行于定角台的底面三角形中心到一个顶点的直 线，% 轴垂直底面竖直向上，轴根据右手螺旋法则由 #、% 轴定 出。 动坐标系 ! " %& $& %&的原点与定坐标系原点重合， #&轴平行 于动角台的底面，指向三角形的一个顶点，该顶点方向与定角 台的顶点方向一致， %&轴指向上角台底面中心， $&轴根据右手螺 旋法则由 #&， %&轴确定。

形式相互转化
Part One
二自由度并联机器人
操作末端 的
运动特性
➢ 平移并联机器人 ➢ 两转动并联机器人 ➢ 一平动一转动并联机器人 ➢ 球面并联机器人。
PHale Waihona Puke rt One二自由度平移并联机器人
结构 布置 方式
平面结构
平面结构的二自由度平移 并联机器人常常采用平行四边 形结构作为被动支链，利用平 行四边形结构的纯平动特点来 实现二自由度平移运动。
1985年delta并联机构
Part One
1.2并联机器人结构组成
并联机器人组成：一个固定基座、一个具有n自由度的 末端执行器以及不少于两条独立的运动链。
必备的要素: ①末端执行器必须具有运动自由度; ②这种末端执行器通过几个相互关联的运
动链或分支与机架相联接; ③每个分支或运动链由惟一的移动副或转
空间结构
空间结构并联机器人不仅 含有单自由度运动副，而且还 含有多自由度运动副，如球副、 胡克铰等，并且通过支链之间 的相互约束来实现二自由度平 移运动，因此这样的机构具有 较好的空间刚度。
Part One
1.5并联机器人运动学分析
➢ 数值法——发展早、效率低
位置
➢ 解析法——消元法、求解复杂
➢ 神经网络
动副驱动
Part One
1.3并联机器人特点
① 无累积误差，精度较高； ② 驱动装置可置于定平台上或接近定平台的位置，这样运动部分重量
轻，速度高，动态响应好； ③ 结构紧凑，刚度高，承载能力大； ④ 完全对称的并联机构具有较好的各向同性； ⑤ 工作空间较小；
Part One
1.3并联机器人特点
串联机器人
1.1并联机器人发展史

第２８卷第２期　２０１２年４月　天津理工大学学报　

ＪｏＵＲＮＡＬ　ＯＦ　Ｔ　ＮＪＩＮ　Ｉ　ＲＳＩＴＹ　ｏＦ　ＴＥＣＨＮｏＬＯＧＹ　Ｖｏｌ＿２８　Ｎｏ．２　

Ａｐｒ．２０１２　

文章编号：１６７３－０９５Ｘ（２０１２）０２－００２０－０３　

一种过约束３自由度并联机构的位置正解研究　郭　玉，赵新华，李　彬　（天津理工大学机械工程学院，天津３００３８４）　

摘要：以一种过约束３自由度并联机构２一ＲＴＲ＆ＲＳＲ为研究对象，利用解析法对其位置正解进行了分析，得到了　一个只含一个未知量的１６阶多项式，给出了该机构位置正解的所有可能解的解析表达式．并通过算例验证了算法　的有效性．　关键词：并联机构；位置正解；解析法　中图分类号：ＴＰ２４　文献标识码：Ａ　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３－０９５Ｘ．２０１２．０２．００５　

Ｆｏｒｗａｒｄ　ｐｏｓｉｔｉｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ａｎ　ｏｖｅｒ－ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ　３－ＤＯＦ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ＧＵＯ　Ｙｕ，ＺＨＡＯ　Ｘｉｎ－ｈｕａ，ＬＩ　Ｂｉｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｉａｎｊｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ　３００３８４，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｄｅａｌｓ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｆｏｒｗａｒｄ　ｐｏｓｉｔｉｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ａｎ　ｏｖｅｒ—ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ　３－ＤＯＦ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ｏｆ　２一　ＲＴＲ＆ＲＳＲ．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｗａｒｄ　ｐｏｓｉｔｉｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ，ｓｉｘｔｅｅｎ　ｏｒｄｅｒ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｄｅｒｉｖｅｄ　ａｎｄ　ｇｉｖｅｓ　ｔｈｅ　ｅｎｔｉｒｅ　ｓｅｔ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｆｏｒｗａｒｄ　ｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ．Ｔｈｅ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ；ｆｏｒｗａｒｄ　ｐｏｓｉｔｉｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ；ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄ　

收稿日期:2000-09-25基金项目:辽宁省自然科学基金资助项目(9910400204)·作者简介:李树军(1955-),男,辽宁新民人,东北大学教授,工学博士·2001年6月第22卷第3期东北大学学报(自然科学版)Journal of Northeastern University (Natural Science )Jun .2001Vol .22,No .3文章编号:1005-3026(2001)03-0285-033-RPS 并联机器人机构位置正解的杆长逼近法李树军1,王　阴2,王晓光1(1.东北大学机械工程与自动化学院,辽宁沈阳　110004;2.东北大学干燥设备有限公司,辽宁沈阳　110004)摘 要:根据机构运动的同一性条件,给出一种求解3-RPS 并联机构位置的杆长逼近法,该算法的主要特点是通过逐步自动修正迭代初值,缩小搜索区间和步长,提高逼近精度,将二维搜索的杆长逼近化为一维搜索的杆长逼近·因此只要在分支的有效活动区域内任选初值,即可保证其收敛性并且不受机构奇异位形的影响,大大简化了搜索逼近过程并提高了迭代效率·给出了求解过程和逼近步骤及求解实例,其逼近精度达10-5·关　键　词:并联机构;位置正解;杆长逼近;自修正;迭代初值;奇异位形中图分类号:TH 112 文献标识码:A并联机构的位置分析,尤其是位置正解问题,包含求解一组高度非线性的方程,是并联机器人机构运动学分析的难点之一,对此已有不少研究并提出多种求解方法[1～4]·通常的数值解法多应用New ton -Raphson 算法,求解方程组的根·如图1所示的3-RPS 并联机构,若用动平台的3个球铰的位置表述其位置和姿态,需建立9个方程联立求解·对于这种多元非线性方程组,在机构的奇异位形附近解不稳定,而且初值的给定影响其收敛性·这些问题直接影响该类机构的控制,从而制约其实际应用·本文针对3-RPS 并联机构的结构特点,根据机构运动的同一性条件,将求解平面位置问题的杆长逼近法[5,6]扩展到空间并联机构位置正解的求解,给出一种求解3-RPS 并联机构位置的杆长逼近法,为并联机器人机构位置分析探索了一条新的途径·1　3-RPS 并联机器人机构的位置正解1.1　3-RPS 并联机器人机构坐标系的建立3-RPS 并联机器人机构的结构简图及坐标描述如图1所示·右手坐标系oxyz 建立在定平台上,o 1x 1y 1z 1建立在动平台上·3,4,5为转动副R ,其转动轴线与到定坐标中心的连线l 0j (j =3,4,5)垂直;6,7,8为球面副S ·βi (i =1,2,3)为第i 分支与l 0j 的夹角(j =3,4,5),θj 为定平台上l 0j (j =3,4,5)与x 轴正向的夹角·图1　3-RPS 并联机构结构简图及坐标描述Fig .1　Schematic of 3-RPS and the coordinate1.2　位置正解的杆长逼近算法由于3-RPS 并联机构动平台上3个S 副的运动空间在垂直于定平台上的对应R 副转动轴线、且通过Z 轴的平面内,因此本文给出的逼近算法的基本过程为:在各分支R 副的转动极限范围内,先选一分支与定平台的夹角β1,根据已知的l 36在其运动平面上求出6点位置,再选另一分支与定平台的夹角β2,根据已知的l 47在其运动平面上求出7点位置,然后计算6、7点间的距离与动平台的边长l 67比较,通过改变β1、β2,直至6、7点间的距离与l 67相等,从而找出6、7点的真实位置;再选另一分支与定平台的夹角β3,根据已知的l58在其运动平面上求出8点位置并计算7、8点间的距离与实际l78比较,通过改变β3直至7、8点间的距离与l78相等,求出8点的位置·将传统的求解9个非线性方程组的问题,转化为先进行二维搜索的杆长逼近,再进行一维搜索的杆长逼近·求解步骤如下·(1)设β1,β1m in≤β1≤β1m ax,由β1、l36求出6点位置x6=(l03-l36cosβ1)cosθ1y6=(l03-l36cosβ1)sinθ1z6=l36sinβ1(1)(2)设β2,β2m in≤β2≤β2m ax,由β2、l47求出7点位置x7=(l04-l47cosβ2)cosθ2y7=(l04-l47cosβ2)sinθ2z7=l47sinβ2(2)(3)计算6、7两点间的距离L67并判断是否与动平台的边长l67相等(设误差为Δl)L267=(x6-x7)2+(y6-y7)2+(z6-z7)2(3)判断|l67-L67|≤Δl(4)如果式(4)成立,转(5);(4)使β2=β2+Δβ,转(2);若β2>β2max,则β1 =β1+Δβ,转(1),直至式(4)成立·(5)设β3,β3m in≤β3≤β3m ax,由β3、l58求出8点位置x8=(l05-l58cosβ3)cosθ3y8=(l05-l58cosβ3)sinθ3z8=l58sinβ3(5)(6)计算7、8两点间的距离L78并判断是否与动平台的边长l78相等(误差为Δl)L278=(x7-x8)2+(y7-y8)2+(z7-z8)2(6)判断|l78-L78|≤Δl(7)如果式(7)成立,结束;否则β3=β3+Δβ,转(5)直至式(7)成立·求出6、7、8点的位置后,便可求出动平台的位置和姿态·2　改进的逼近算法按上述逼近算法和逼近步骤求得6,7,8点的坐标,虽然使式(4)和(7)成立,但受逼近精度Δl 的影响,有时不一定能保证6,8点的距离与l68之差在给定的精度Δl内,如果给定精度Δl过高还可能导致不收敛或逼近效率过低·因此在实际求解时可以通过采取逐步修正初始值并逐步提高逼近精度和缩小搜索区间的策略进行逼近·改进的逼近算法如下·(1)按1.2步骤(1)设定6点的一初始位置·(2)按1.2步骤(2)求出7点的位置,如果式(4)成立或β2≥β2max,转(3);否则使β2=β2+Δβ,重复(2)·(3)按1.2步骤(5)求出8点的位置,如果式(7)成立或β3≥β3max,转(4);否则使β3=β3+Δβ,重复(3)·(4)判断|l68-L68|≤Δl(8)如果式(4),(7),(8)同时成立结束逼近;否则令βi =βi-5Δβ(i=1,2,3),Δβ=0.618Δβ,Δl= 0.618Δl转(5)·(5)按式(1)～(3)求出6点的新位置,如果式(8)成立或β1≥β1max转(2);如果βi≥βi m ax(i= 1,2,3),机构装配不上,停止迭代;否则使β1=β1 +Δβ重复(5)·通过上述的逼近修正过程可以看出,新的逼近过程是通过逐渐自行修正初始值、缩小搜索区间和搜索步长、提高逼近精度实现的·改进后的逼近算法,将前述的二维搜索的杆长逼近化为一维搜索的杆长逼近,大大简化了搜索逼近过程并提高了逼近效率·3　算 例设图1所示机构的结构参数如下:定平台为正三角形,θ1=300°,θ2=60°,θ3=180°,l o3=l o4= l o5=0.16m,上平台为正三角形,l o16=l o17=l o18= 0.1m,当Δl=10-5时,计算结果如表1所示·表1　计算结果Tab.1　Calculating resultsl36/m0.1320.1320.1720.152l47/m0.1320.1320.1720.172l58/m0.1320.1520.1620.162x6/m4.9993946E-024.993849E-024.993989E-024.952895E-02 y6/m-0.0864977-8.649601E-02-8.649844E-02-8.578667E-02286东北大学学报(自然科学版) 第22卷 续表1x 7/m 4.993742E -024.993838E -024.993698E -020.0495648y 7/m 8.649416E -028.649583E -020.08649348.584877E -02z 7/m 0.11751160.11751250.16114860.1608689x 8/m -9.987894E -02-9.833808E -02-9.948455E -02-0.1002699y 8/m -8.731694E -09-8.596988E -09-8.697215E -09-8.765873E -09z 8/m 0.11751360.13893090.15027270.1505866β1/(°)62.905362.9043569.5410666.36337β2/(°)62.9033162.9042569.5389969.27411β3/(°)62.905366.068568.0651568.364274　结 论(1)提出的杆长逼近法及其修正算法,只要在分支的有效活动区域内任选初值,即可保证其收敛性并不受机构奇异位形的影响,因为初值在逼近过程中是自动修正的·(2)提出的修正算法将二维搜索的杆长逼近化为一维搜索的杆长逼近,通过自动修正初值、缩小搜索区间和步长、提高逼近精度,大大简化了搜索逼近过程并提高了逼近效率·程序运行实践表明,其逼近精度达10-5·但是当逼近精度时,出现不收敛现象,需要对搜索区间和步长进行专门处理·参考文献:[1]Han K Y ,Chung W Y ,Youm Y .New resolution scheme of the forward kinematics of parallel manipulators using extra sens or [J ].Transactions of the ASM E J of M ech Design ,1996,118(2):214-219.[2]Al izade R I ,Tagiyev NR .A forw ard and reversedisplacem ent anal ysis of a 6-DOF in -parallel manipulator [J ].M ech M ach Theory ,1994,29(1):115-124.[3]Zhao X H ,Peng S X ,A s uccessive approximation algorithm for the direct position anal ysis of parallel manipulators [J ].M ech M ach Theory ,2000,35(8):1095-1101.[4]赵明扬·并串联机器人结构、建模与控制研究[D ]·沈阳:东北大学,1994·(Zhao M Y .Research on structures ,modeling and con trol of series -paral lel robot manipulator [D ].Shenyang :Northeastern University ,1994.)[5]李树军,王丹,王晓光,等·复杂平面机构运动分析的角变量逼近法[J ]·东北大学学报(自然科学版),2000,21(1):46-49·(Li S J ,W ang D ,Wang X G ,et al .Tu rning variables iterative method for kinematic analys is of complex planar linkages [J ].Journal of Northeastern Univers ity (Natu ral Science ),2000,21(1):46-49.)[6]黄真·平面多杆机构位置问题的杆长逼近法[J ]·机械工程学报,1981,17(2):68-76·(Huang Z .T he method of successive approximation of l ink length for the pos ition problem of complex plane l ink mechanisms [J ].Chinese Jou rnal of M echanical Engineering ,1981,17(2):68-76.)Forw ard Position Analysis of 3-RPS In -Parallel Manipulator UsingSelf -modified Successive Approximation MethodLI Shu -jun 1,WANG Y ue 2,WANG X iao -guang 1(1.School of Mechanical Eng ineering &Automation ,No rtheastern U niversity ,Shenyang 110004,China ;2.Drying Equipment Co .,L td .,Nor theastern University ,Shenyang 110004,China )A bstract :A new scheme for the forward position analysis of 3-RPS in -parallel manipula tor ,which is based on the fact that locations of three globular joints fo rm triangle of the moving platfo rm ,is presented .I n the successive approx imation method ,the joint positio ns of globular joints is de termined by checking the distances of three sides of moving platform .I n general numerical schemes ,which determine a solutio n from a set of nonlinear simultaneous equations ,the convergence rate varies with different joint inputs .T he co nvergence of this metho d depends chiefly o n approx imative accuracy not on the joint inputs because joint inputs ,search reg ion and step are self -modified successively in the process .T here is also no influence o n the neighborhood of sing ularity for the solutio n .T he example was given ,and running results o f the prog ram show the approx imative accuracy can be 10-5.Key words :parallel manipulator ;forw ard position ;successive approximation ;self -modified ,joint inputs ,singularity(Received September 25,2000)287第3期 李树军等:3-RPS 并联机器人机构位置正解的杆长逼近法。