山东省东营市胜利第一中学2016届高三高考模拟最后一卷理数试题含解析
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一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设复数()1z bi b R =+∈且2z =，则复数z 的虚部为（ ） AB． C ．1±D． 【答案】B 【解析】2=，b ∴= B. 考点：复数的运算.2．已知集合{}2log ,1A y y x x ==>，1,12xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．∅ 【答案】A考点：集合的运算.3．定义22⨯矩阵12142334a a a a a a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若()()()sin cos 1x f x x ππ⎛-= ⎪+⎝⎭，则()f x 的图象向右平 移3π个单位得到的函数解析式为（ ）A ．22sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2cos y x =D ．2sin y x =【答案】D考点：)sin(ϕω+=x A y 的图象.【易错点睛】本题主要考查了函数图象的变换. 在进行三角函数图象的左右平移时，应注意以下几点：一要弄清是平移哪个函数图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先用诱导公式化为同名函数；三是由x A y ωsin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y 的图象时，有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.4．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据．计算该几何体的表面积为（ ） A ．37πB ．35πC ．33πD ．31π【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是由一个倒立的圆锥和一个半球组合而成，其中半球和圆锥的底面半径为3，圆锥的母线长为5，则几何体的表面积πππππ33151822=+=+=Rl R S .故选C.考点：三视图与组合体的表面积.5．在平面直角坐标系中，若22020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩）AB C ．3D ．5【答案】B 【解析】)0,1(-到平面区域上的点距离，则满足的最小值为点)0,1(-到直线20x y +-=的距离2231120122=+-+-=d .故选B.考点：线性规划.6．点A 是抛物线()21:20C y px p =>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于（） ABCD 【答案】C考点：圆锥曲线的性质.7．如图所示，由函数()sin f x x =与函数()cos g x x =在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象所围成的封闭图形的面积为（） A ．1B ．2CD ．【答案】D考点：定积分在求面积中的应用、正弦函数的图象、余弦函数的图象.8．如图，直角梯形ABCD 中，90A ∠=︒，45B ∠=︒，底边5AB =，高3AD =，点E 由B 沿折线BC 向点D 移动，EM AB ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，设BM x =，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）AB C D【答案】A 【解析】试题分析：当30≤≤x 时x x y )5(-=，当53≤<x 时3)5(⨯-=x y ，四个选项只有符合条件，故选A. 考点：函数的表示. 9．已知函数()32123f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，且12112x x -<<<<，则直线()130bx a y --+=的斜率的取值范围是（ ）A ．22,53⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．23,52⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．21,52⎛⎫-⎪⎝⎭D ．22,53⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A考点：函数在某点取得极值的条件、线性规划.【易错点睛】本题考查了导数知识的运用，考查函数的极值，考查线性规划知识，确定平面区域，明确目标函数的几何意义是关键.本题也考查了学生的分析能力、计算能力. 本题的难点是如何由12112x x -<<<<得到关于b a ,的不等式组，进而将导数问题转化成线性规划问题．本题有一定的难度，属于中档题.10．定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()3xxe f x e >+其中（e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞【答案】A考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算.【易错点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后利用导数判断函数的单调性是解题的关键.本题的难点是构造函数()()x x g x e f x e =-，利用函数的导数确定函数的单调性，再由()04f =可解得不等式的范围.本题也考查了运算能力、分析能力，综合性较强，难度较大，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．）11．已知实数[]2,30x ∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是______．【答案】149【解析】试题分析：由程序框图可知循环体执行三次，满足输出的x 不小于103，则21103x +≥，51x ∴≥，2151x +≥，25x ∴≥，2125x +≥，12x ∴≥，输出的x 不小于103的概率是14928182301230==--.考点：算法初步、几何概型.12．公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的．设男子身高X 服从正态分布()2170,7N （单位：cm ），参考以下概率()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=，则车门的高度（单位：cm ） 至少应设计为______． 【答案】cm 184 【解析】试题分析：由题意知，利用()220.9544P X μσμσ-<≤+=，男子身高X 服从正态分布()2170,7N ，可得车门的高度至少就为cm 18472170=⨯+，故答案为cm 184.考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.13．若()()()()92901292111x m a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++，且()()2290281393a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，则实数m 的值是______．【答案】3m =-或1m =考点：二项式定理.14．在ABC ∆中，E 为AC 上一点，且4AC AE =，P 为BE 上一点，()0,0AP mAB nAC m n =+>>，则11m n+取最小值时，向量(),m n =a 的模为______．【解析】)10(≤≤=λλ，()AP AB BP AB BE AB AE AB λλ=+=+=+-11()(1)44AB AC AB AB AC λλλ=+-=-+，1m λ∴=-，14n λ=，41m n ∴+=，1111()(4)m n m n m n +=++459n m m n =++≥，当4n m m n =即61,31==n m 时，11m n +取最小值.所以11,,36⎛⎫== ⎪⎝⎭a a . 考点：向量的加减法.【易错点睛】本题主要考查了向量的加减法运算、基本不等式等知识.由求11m n+取最小值可知本题由开始的向量问题转化成不等式问题，可推测得由向量条件可得到,m n 的等式关系，由此可知本题不等式的考查应为基本不等式，知识点综合性是现在考查的一个大方向，学生应掌握知识的综合应用.本题考查方向明确，难度中档. 15．已知命题： ①设随机变量()0,1N ξ，若()2P p ξ≥=，则()1202P p ξ-<<=-； ②命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++<”； ③在ABC ∆中，A B >的充要条件是sin sin A B <；④若不等式3221x x m ++-≥+恒成立，则m 的取值范围是(),2-∞；⑤若对于任意的()2,430n N n a n a *∈+-++≥恒成立，则实数a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； 以上命题中正确的是______（填写所有正确命题的序号）． 【答案】①⑤考点：命题的真假判断与应用.【易错点睛】本题主要考查简易逻辑，考查的知识点多，需要较好的基础，属于常考题型. 对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.命题的真假判断涉及的知识点多，面广，起到了桥梁的作用，学生须仔细分别.本题难度中等.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（本小题满分12分） 设函数()4cos sin cos 216f x x x x πωωω⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，其中02ω<<． （Ⅰ）若4x π=是函数()f x 的一条对称轴，求函数周期T ；（Ⅱ）若函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求ω的最大值． 【答案】（I ）π；（II ）34.考点：正弦函数的性质. 17．（本小题满分12分）右图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知8090分数段的学员 数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N 和9095分数段内的人数n ；（Ⅱ）现欲将9095分数段内的6名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为35，求n 名毕业生中男、女各几人（男、女人数均至少两人）．（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ．【答案】(I) 60N =，6n =；（II ）6名毕业生中有男生2人、女生4人．（III ）分布列见解析，()1E ξ=. 【解析】（Ⅱ）9095～分数段内共6名毕业生，设其中男生x 名，则女生为6x -名． 设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A ，则()2626315xC P A C -=-=，解得2x =或9（舍去）， 即6名毕业生中有男生2人、女生4人．（Ⅲ）ξ表示n 名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数， 所以ξ的取值可以为：0,1,2．当0ξ=时，()3436105C P C ξ===；当1ξ=时，()122436315C C P C ξ===； 当2ξ=时，()212436125C C P C ξ===． 所以ξ的分布列为所以随机变量ξ的数学期望为()0121555E ξ=⨯+⨯+⨯=． 考点：用样本估计总体、组合、分布列、数学期望.【易错点睛】本题主要考查了用样本估计总体、组合、分布列、数学期望等知识．求随机变量的分布列的三个步骤：(1)找：找出随机变量ξ的所有可能的取值),...,2,1(n i x i ==，并确定i x =ξ的意义．(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量ξ取每一个值的概率),...,2,1()(n i p x P i i ===ξ．(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质． 18．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PC⊥底面ABCD ，底面ABCD 是梯形，AB AD ⊥，ABCD ，222AB AD CD ===，2PE BE =． （Ⅰ）求证平面EAC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若二面角P AC E --PA 与平面EAC 所成角的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II .【解析】（Ⅱ）取AB 中点为F ，连结CF ，则CF A B ⊥，以C 为原点建立空间直角坐标系如图所示，则()()()0,0,0,1,1,0,1,1,0C A B -．设()()0,0,0P a a >，则22,,333a E ⎛⎫-⎪⎝⎭， ()1,1,0CA =，()0,0,CP a =，22,,333a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．取()1,1,0=-m ．则0CP CA ⋅=⋅=m m ，∴m 为面PAC 的法向量．设(),,x y z =n 为面EAC 的法向量，则0CA CE ⋅=⋅=n n ，考点：平面与平面垂直的判定定理、空间直角坐标系与向量的关系.【易错点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定定理、空间直角坐标系与向量的关系. 利用向量求线面角的方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，22a =，且()*11232,n n n a a a n n N +-=+≥∈． （Ⅰ）设()1n n n b a a n N *+=+∈，求证{}n b 是等比数列；（Ⅱ）①求数列{}n a 的通项公式； ②求证：对于任意*n N ∈都有12212111174n n a a a a -++⋅⋅⋅++<成立． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）①()314nn n a --=；②证明见解析.【解析】试题分析：（I ）由已知得()()*1132,n n n n a a a a n n N +-+=+≥∈，则13n n b b +=，又13b =，则{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列；（II ）①由（I ）可求得11113333n n n n a a +++⋅=,设3n n n a c =，得11114123n n c -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，则()314nn n a --=．②整理得212212114433n n n n a a --+=+，故241221211111441233n n a a a a -++⋅⋅⋅++<++++⋅⋅⋅ 2124433n n -++223213231626371293291836364n -⎛⎫=+-<+==<= ⎪⎝⎭．考点：等比数列的定义、递推公式. 20．（本小题满分13分）已知,A B 为抛物线2:4C y x =上的两个动点，点A 在第一象限，点B 在第四象限，12,l l 分别过点,A B 且与抛物线C 相切，P 为12,l l 的交点．（Ⅰ）若直线AB 过抛物线C 的焦点F ，求证动点P 在一条定直线上，并求此直线方程； （Ⅱ）设,C D 为直线12,l l 与直线4x =的交点，求PCD ∆面积的最小值．【答案】（I ）证明见解析，1x =-；（II ）【解析】试题分析：（I ）利用直线12,l l 与抛物线C 相切，求出12,l l 方程，可得点P 坐标，再求出直线AB 的方程，即要得结论；（II ）求出,C D 的坐标，可得CD ，表示PCD ∆面积，利用导数法可求最小值.或解：设()()1122,,,A x y B x y ，则1l 方程为()112y y x x =+，2l 方程为()222y y x x =+． 点()()1122,,,A x y B x y 坐标满足方程()002yy x x =+，∴直线AB 方程为()002yy x x =+，由直线AB 过点()1,0F ，知()0021x =+， ∴01x =-，点P 在定直线1x =-上 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,C D 的坐标分别为121281814,,4,22C y D y y y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()1212121212168181222y y y y CD y y y y y y --⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．考点：抛物线的简单性质. 21．（本小题满分14分）设函数()ln 1af x x x =+-（a 为常数）． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线与x 轴平行，求实数a 的值； （Ⅱ）若函数()f x 在(),e +∞内有极值，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件，若()()120,1,1,x x ∈∈+∞，求证()()2112f x f x e e->+-． 【答案】（Ⅰ）12a =；（Ⅱ）12,e e ⎛⎫+-+∞ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）证明见解析.若函数()y f x '=在(),e +∞内有异号零点，即()y x ϕ=在(),e +∞内有异号零点，所以e β>，又()010ϕ=>，所以()()2210e e e ϕα=-++<，解得12a e e>+-，所以实数a 的取值范围是12,e e ⎛⎫+-+∞ ⎪⎝⎭． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，由()0f x '>，解得0x α<<或x β>；()0f x '<，解得1a x <<，或1x β<<，所以函数()f x 在()()0,,,αβ+∞上单调递增，在()(),1,1,a β上单调递减， 由()10,1x ∈得()()1ln 1f x f αααα≤=+-，考点：利用导数研究函数的极值、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用.。
