等差数列
1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；
说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
例：1.已知等差数列{}n a 中，124971
16a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64
2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670
3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”）
3、等差中项的概念：
定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2
a b
A += a ，A ，b 成等差数列⇔2
a b
A +=
即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ）
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75
2.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B.2 C.4 D.8
4、等差数列的性质：
（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m
a a d n m
-=
-()m n ≠；
（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 5、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22
n n n a a n n S na d +-=
=+n d
a ）（2n 2112-+=。(),(2
为常数B A Bn
An S n +=⇒{}n a 是等差数列 )
递推公式：2
)(2)()1(1n
a a n a a S m n m n n --+=+=
例：1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=
（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 4.在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（ ）
（A ）5 （B ）6 （C ）8 （D ）10
5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A.13项
B.12项
C.11项
D.10项 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则
9
5
S S = 8．已知数列｛b n ｝是等差数列，b 1=1，b 1+b 2+…+b 10=100. （Ⅰ）求数列｛b n ｝的通项b n ；
9.已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( )
3
132
--
．．B A C.31 D.32
10.（陕西卷文）设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则n a =
11．设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛n
S n
｝的前
n 项和，求T n 。
12.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，
①求通项n a ；②若n S =242，求n
13.在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知658810,5,a S a S ==求和；(3)已知3151740,a a S +=求
6.对于一个等差数列：
（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ② 1
n n S a
S a +=奇偶； （2）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②1
S n
S n =-奇偶。
7.对与一个等差数列，n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。公差为 2
n d
例：1.等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）
A.130
B.170
C.210
D.260
2.一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 。
3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== 5．（全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若
36S S ＝13，则612
S
S ＝ A ．
310 B ．13 C ．1
8 D ．
1
9
8．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法： ）常数）（*
+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列
②中项法： )221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列
③通项公式法： ),(为常数b k b
kn a n +=⇒{}n a 是等差数列
④前n 项和公式法： ),(2
为常数B A Bn
An S n +=⇒{}n a 是等差数列
