固体物理第五章总结

V (r a )] f (r a )
2 r a
和
2 x 2 ,
2 y2 ,
2 z 2
微分结果一样
T
Hˆ f
(r)

[
2 2m

2 r

V
(r)]
f
(r

a
)


Hf (r a ) HT f (r )
T H HT
布洛赫定理：当势场
V
(r )
具有晶格周期性时，波动
方程的解具有以下性质

(r

Rn
)

e

ik Rn
(r )


k 为一矢量。当平移晶格矢量为
了位相因子
e
ik

Rn
Rn
，波函数只增加
根据布洛赫定理，波函数可以写成

(r )

e
ik r
uk
(r )
布洛赫函数
H Hi
i
H i ( ri ) Ei ( ri )
能带理论的基本近似和假设:
3)周期性势场假设: 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
V ( r ) ( r ) u( r )
V ( r ) V ( r Rn )
在以上单电子近似核晶格周期性势场假定下，多
电子体系问题简化为在晶格周期性势场的单电子
TT T T



平移任意晶格矢量 Rm m1a1 m2a2 m3a3
对应的平移算符
T
(
Rm
)

T m1 1

d2 dx 2

d2 dy2

d2 dz 2

布洛赫、布里渊等人利用势场的周期性
[V(x)=V(x+nx)]和微扰理论，计算出了晶体中电子的能 带和禁带分布，解释了晶体中导体和绝缘体存在的原因，
并从理论上预言了半导体的存在。 16
§5.1 电子气的能量状态 一、一维晶体中电子气的能量分布
1.量子力学(索末菲)自由电子模型 (1)电子之间相作用很弱，完全忽略。电子只有动能， 没有相互作用势能。 (2)电子和离子实之间的相互作用可看成是电子在离子 实的平均势场中运动， V(x)=V0。 (3)把电子看成是服从费米-狄拉克分布的、封闭于晶体 中的理想气体(自由电子气)。
第五章 固体电子论基础
1
一、经典理论对电子气的描述
1.特鲁特自由电子模型(1900年) (1)金属中的价电子象气体分子一样组成电子气，在温 度为T的晶体内，它们的行为和理想气体中的气体分子 一样。 (2)除了和金属离子碰撞以外，基本上是自由的。通过 和金属离子的碰撞在一定温度下达到热平衡。可以用具 有确定的平均速度和平均的自由时间的电子来代表。 (3)在外电场的作用下，电子气产生的漂移运动引起了 电流。
1x2 y3 z
26
(3)化简
(4)通解

d
2 1x
d x2


k
2
x1
x

0

d
2 2
d y2
y

k
y2
2

y

0

d
2 3 z
d z2


kz2 3
z

每个代表点的体积
1 1 1 b1 ( b2 b3 ) N1 N2 N3
l1 l3 l2 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
( 2 ) Vc
3
状态密度
Vc 3 ( 2 )
3
( 2 ) N N 简约布里渊区的波矢数目 3 ( 2 )
§5.2 周期势场下电子波函数的一般特性:布洛赫定理
布洛赫定理：当势场 V ( r ) 具有晶格周期性时，波动
方程的解具有以下性质
ik Rn (r Rn ) e (r )
了位相因子 e
k 为一矢量。当平移晶格矢量为 Rn ，波函数只增加
ik R n
H i ( r i ) E i ( r i )
能带理论的基本近似和假设:
3)周期性势场假设: 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
V ( r ) ( r ) u( r )
V ( r ) V ( r Rn )
在以上单电子近似核晶格周期性势场假定下，多 电子体系问题简化为在晶格周期性势场的单电子 问题:
1 2 3
布洛赫定理
ik Rm (r Rm ) e (r )
平移算符本征值的物理意义
（1） 1
e
ik a1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
表征原胞之间电子波函数位相的变化 （2）平移算符本征值量子数
T和 H存在对易关系，则 H的本征函数同时也是各平移 算符T的本征函数 H E T1 1 , T2 2 , T3 3
平移算符的本征值 周期性边界条件
三个方向 a1 , a 2 , a 3 上的原胞数目

N (t ) P∆t
t2 t1
E
N (t ) − N (t + ∆t ) = N (t ) P∆t
dN (t ) N (t + ∆t ) − N (t ) = lim = − N (t ) P t →0 dt ∆t
解为
N (t ) = N 0 e− pt
− pt
t=0时未散射的载流子数 ∆t后被散射的载流子数
∆V ( x) = V ( x) − V0 ( x)
附加势场 实际的势场 周期性势场
E
二、半导体的主要散射机制 •电离杂质散射：电离杂质引起的散射 •晶格散射与声子散射：由于晶格振动引起的散射 •中性杂质散射：在杂质浓度不是很高时 •电子或空穴散射：高载流子浓度 •晶格缺陷散射：多晶体时很重要 •表面散射：载流子在表面运动时受表面因素作用
ρ=
ni q ( µn + µ p ) 1
σ = nqµn + pqµ p
σ i = ni q ( µn + µ p )
1 ρn = nq µn
ρp =
1 pq µ p
电子、空穴同时导电：
1 ρ= nq µn + pq µ p
N (t + ∆t ) = N0 Pe dt
t－t＋∆t内遭到散射的所有载流子的自由时间均为τ
平均自由时间
τ=
1 N0
∫
∞
0
tN0 Pe− pt dt
两次散射间所有载 流子自由时间的总和
1 = P
自由时间的总和
平均自由时间等于散射几率的倒数
第二节 载流子漂移运动基本规律 一、迁移率 假设：电场 E
J n = −nqVn
J n = nq µn E