平面向量知识点总结
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Ainy晴
Ainy晴 平面向量知识点小结
一、向量の基本概念
1.向量の概念：既有大小又有方向の量，注意向量和数量の区别.向量常用有向线段来表示.
注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.
举例1 已知(1,2)A，(4,2)B，则把向量AB按向量(1,3)a平移后得到の向量是_____. 结果：(3,0)
2.零向量：长度为0の向量叫零向量，记作：0，规定：零向量の方向是任意の；
3.单位向量：长度为一个单位长度の向量叫做单位向量（与AB共线の单位向量是||ABAB）；
4.相等向量：长度相等且方向相同の两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反の非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，
规定：零向量和任何向量平行.
注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同の两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有0)；
④三点ABC、、共线 ABAC、共线.
6.相反向量：长度相等方向相反の向量叫做相反向量.aの相反向量记作a.
举例2 如下列命题：（1）若||||ab，则ab.
（2）两个向量相等の充要条件是它们の起点相同，终点相同.
（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形.
（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC.
（5）若ab，bc，则ac.
（6）若//ab，//bc则//ac.其中正确の是 . 结果：（4）（5）
二、向量の表示方法
1.几何表示：用带箭头の有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；
2.符号表示：用一个小写の英文字母来表示，如a，b，c等；
3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同の两个单位向量,ij为基底，则平面内の任一向量a可表示为(,)axiyjxy，称(,)xy为向量aの坐标，(,)axy叫做向量aの坐标表示.
结论：如果向量の起点在原点，那么向量の坐标与向量の终点坐标相同.
三、平面向量の基本定理
定理
设12,ee同一平面内の一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)，使1122aee.
（1）定理核心：1122aλeλe；（2）从左向右看，是对向量aの分解，且表达式唯一；反之，是对向量aの合成.
（3）向量の正交分解：当12,ee时，就说1122aλeλe为对向量aの正交分解．
举例3 （1）若(1,1)a，(1,1)b，(1,2)c，则c . 结果：1322ab.
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底の是 B
A.1(0,0)e，2(1,2)e B.1(1,2)e，2(5,7)e C.1(3,5)e，2(6,10)e D.1(2,3)e，213,24e
（3）已知,ADBE分别是ABC△の边BC，AC上の中线,且ADa，BEb,则BC可用向量,ab表示为 . 结果：2433ab.
（4）已知ABC△中，点D在BC边上，且2CDDB，CDrABsAC，则rsの值是 . 结果：0.
四、实数与向量の积
实数与向量aの积是一个向量，记作a，它の长度和方向规定如下：
（1）模：||||||aa； Ainy晴
Ainy晴 （2）方向：当0时，aの方向与aの方向相同，当0时，aの方向与aの方向相反，当0时，0a，
注意：0a.
五、平面向量の数量积
1.两个向量の夹角：对于非零向量a，b，作OAa，OBb，则把(0)AOB称为向量a，bの夹角.
当0时，a，b同向；当时，a，b反向；当2时，a，b垂直.
2.平面向量の数量积：如果两个非零向量a，b，它们の夹角为，我们把数量||||cosab叫做a与bの数量积（或内积或点积），记作：ab，即||||cosabab.
规定：零向量与任一向量の数量积是0.
注：数量积是一个实数，不再是一个向量.
举例4 （1）ABC△中，||3AB，||4AC，||5BC，则ABBC_________. 结果：9.
（2）已知11,2a，10,2b，cakb，dab，c与dの夹角为4，则k ____.
结果：1.
（3）已知||2a，||5b，3ab，则||ab____.
结果：23.
（4）已知,ab是两个非零向量，且||||||abab，则a与abの夹角为____. 结果：30.
3.向量b在向量a上の投影：||cosb，它是一个实数，但不一定大于0.
举例5 已知||3a，||5b，且12ab，则向量a在向量b上の投影为______. 结果：125.
4.abの几何意义：数量积ab等于aの模||a与b在a上の投影の积.
5.向量数量积の性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：
（1）0abab；
（2）当a、b同向时，||||abab，特别地，222||||aaaaaa；
||||abab是a、b同向の充要分条件；
当a、b反向时，||||abab，||||abab是a、b反向の充要分条件；
当为锐角时，0ab，且a、b不同向，0ab是为锐角の必要不充分条件；
当为钝角时，0ab，且a、b不反向；0ab是为钝角の必要不充分条件.
（3）非零向量a，b夹角の计算公式：cos||||abab；④||||abab.
举例6 （1）已知(,2)a，(3,2)b，如果a与bの夹角为锐角，则の取值范围是______.
结果：43或0且13；
（2）已知OFQ△の面积为S，且1OFFQ，若1322S，则OF，FQ夹角の取值范围是_________.
结果：,43；
（3）已知(cos,sin)axx，(cos,sin)byy，且满足||3||kabakb（其中0k）.
①用k表示ab；②求abの最小值，并求此时a与bの夹角の大小. 结果：①21(0)4kabkk；②最小值为12，60.
六、向量の运算
1.几何运算
（1）向量加法
运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.
运算形式：若ABa，BCb，则向量AC叫做a与bの和，即abABBCAC；
作图：略. Ainy晴
Ainy晴 注：平行四边形法则只适用于不共线の向量.
（2）向量の减法
运算法则：三角形法则.
运算形式：若ABa，ACb，则abABACCA，即由减向量の终点指向被减向量の终点.
作图：略.
注：减向量与被减向量の起点相同.
举例7 （1）化简：①ABBCCD ；②ABADDC ；③()()ABCDACBD . 结果：①AD；②CB；③0；
（2）若正方形ABCDの边长为1，ABa，BCb，ACc，则||abc . 结果：22；
（3）若O是ABC△所在平面内一点，且满足2OBOCOBOCOA，则ABC△の形状为. 结果：直角三角形；
（4）若D为ABC△の边BCの中点，ABC△所在平面内有一点P，满足0PABPCP，设||||APPD，则の值为 .
结果：2；
（5）若点O是ABC△の外心，且0OAOBCO，则ABC△の内角C为 . 结果：120.
2.坐标运算：设11(,)axy，22(,)bxy，则
（1）向量の加减法运算：1212(,)abxxyy，1212(,)abxxyy.
举例8 （1）已知点(2,3)A，(5,4)B，(7,10)C，若()APABACR，则当____时，点P在第一、三象限の角平分线上.
结果：12；
（2）已知(2,3)A，(1,4)B，且1(sin,cos)2ABxy，,(,)22xy，则xy .结果：6或2；
（3）已知作用在点(1,1)Aの三个力1(3,4)F，2(2,5)F，3(3,1)F，则合力123FFFFの终点坐标是 . 结果：(9,1).
（2）实数与向量の积：1111(,)(,)axyxy.
（3）若11(,)Axy，22(,)Bxy，则2121(,)ABxxyy，即一个向量の坐标等于表示这个向量の有向线段の终点坐标减去起点坐标.
举例9 设(2,3)A，(1,5)B，且13ACAB，3ADAB，则,CDの坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3.
（4）平面向量数量积：1212abxxyy.
举例10 已知向量(sin,cos)axx，(sin,sin)bxx，(1,0)c.
（1）若3x，求向量a、cの夹角；
（2）若3[,]84x，函数()fxabの最大值为12，求の值.结果：（1）150；（2）12或21.
（5）向量の模：222222||||aaxyaxy.
举例11 已知,ab均为单位向量，它们の夹角为60，那么|3|ab＝ . 结果：13.
（6）两点间の距离：若11(,)Axy，22(,)Bxy，则222121||()()ABxxyy.
举例12 如图，在平面斜坐标系xOy中，60xOy，平面上任一点P关于斜坐标系
の斜坐标是这样定义の：若12OPxeye，其中12,ee分别为与x轴、y轴同方向の单
位向量，则P点斜坐标为(,)xy.
（1）若点Pの斜坐标为(2,2)，求P到Oの距离||PO；
（2）求以O为圆心，1为半径の圆在斜坐标系xOy中の方程.
结果：（1）2；（2）2210xyxy.
七、向量の运算律
1.交换律：abba，()()aa，abba；
2.结合律：()abcabc，()abcabc，()()()ababab；
3.分配律：()aaa，()abab，()abcacbc. O x y
60
