最新导数的概念及运算69678
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导数的概念及运算
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导数的概念及运算
重点难点分析:
1.导数的定义、意义与性质:
(1)函数的导数:对于函数f(x),当自变量x在x0处有增量Δx,则函数y相应地有改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),这两个增量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率,即。如果当
Δx→0时,有极限,我们说函数在x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数(或变化率)。记作f'(x0)或,即。
(2)导函数:如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导,这时,对于开区间(a,b)内的每一个值x0,都对应着一个确定的导数f'(x0),这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数,我们把这一新函数叫做f(x)在区间内的导函数,记作f'(x)或y',即
。
(3)可导与连续的关系:如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点x0处连续。
(4)导数的几何意义:过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导
数,即。也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是
f'(x0),切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)。
2.求导数的方法:
(1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤:
①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
②求平均变化率
③取极限,得导数。
(2)几种常见函数的导数公式:
① C'=0(C为常数);
② (x n)'=nx n-1 (n∈Q);
③ (sinx)'=cosx;
④ (cosx)'=-sinx;
⑤ (e x)'=e x;
⑥ (a x)'=a x lna
⑦;
⑧
(3)导数的四则运算法则:
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③
(4)复合函数的导数
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。
说明:
1.函数的导数实质是一个极限问题,不应理解为平均变化率,而是平均变化率的极限。
2.求函数的导数要熟练掌握求导公式,特别是复合函数的导数要学会合理地分析
3.搞清导数的几何意义,为解决实际问题,如切线,加速度等问题打下理论基础。
典型例题:
例1.求下列函数的导数
①y=(2x-3)5②③④y=sin32x
解析:①设u=2x-3,则y=(2x-3)5分解为y=u5,u=2x-3
由复合函数的求导法则得:
y'=f'(u)u'(x)=(u5)'(2x-3)'=5u4·2=10u4=10(2x-3)4
②设u=3-x,则可分解为,
。
③
④ y'=3(sin2x)2·(sin2x)'=3sin22xcos2x(2x)'=6·sin22x·cos2x
例2.已知曲线,问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直,并写出这一点切线方程。
解析:,令,即,
得x=4,代入,得y=5,
∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直,切线方程为,即x-
2y+6=0。
例3.已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4。
①求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;
②第①小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。
解析:①把x=1代入C的方程,求得y=-4,∴切点为(1,-4),y'=12x3-6x2-18x
∴切线斜率为k=12-6-18=-12,∴切线方程为y=-12x+8。
②由
得3x4-2x3-9x2+12x-4=0,即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0,。
公共点为(1,-4)(切点),,除切点外,还有两个交点。
评析:举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点,当曲线是二次曲线时,我们知道直线与曲线相切,有且只有一个公共点,这种观点对一般曲线不一定正确。
*例4.设,求f'(x)。
解析:当x>0时,,当x<0时,,
由于x=0是该函数的分界点,由导数定义知
由于f'+(0)=f'-(0)=1,故有f'(0)=1于是:,即:。
例5.已知使函数的导数为0的x值也使y值为0,求常数a。解析:y'=3x2+2ax,令y'=0,得x=0或,
由题设x=0时,y'=y=0,此时,∴a=0;当时也解出a=0。
训练题:
1.已知函数,且f'(1)=2,则a的值为______。
2.设f(x)=xlnx,则f'(2)=________。
3.给出下列命题:
①;②(tanx)'=sec2x
③函数y=|x-1|在x=1处可导;④函数y=|x-1|在x=1处连续。
其中正确的命题有:_____。
4.函数y=cosx在点处的切线方程为_______。
5.已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数,它的图象过点A(0,-1),且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0,求函数y=f(x)的表达式。
参考答案:
1. 2
2.
3. ②,④
4.
5.解:∵ f(x)是偶函数,f(-x)=f(x),∴ b=d=0,f(x)=ax4+cx2+e,
又∵图象过点A(0,-1),∴ e=-1,∴ f(x)=ax4+cx2-1,f'(x)=4ax3+2cx,
当x=1时,f'(1)=4a+2c=-2......①
对于2x+y-2=0,当x=1时,y=0。
∴点(1,0)在f(x)图象上,a+c-1=0........②
由①,②解出a=-2,c=3,
因此f(x)=-2x4+3x2-1。