七数培优竞赛讲座第18讲__乘法公式
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第十八讲 乘法公式
乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：
1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；
2．根据待求式的特点，模仿套用公式；
3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；
例题
【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)
(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ．
(重庆市竞赛题)
思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．
注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．
从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法．
乘法公式常用的变形有：
(1)abbaba2)(222，2)()(2)()(222222babababaab．
(2)222222)()(bababa；
(3) abbaba4)()(22；
（4）4)()(22babaab，)(2)(2222acbcabcbacba
【例2】 若x是不为0的有理数，已知)12)(12(22xxxxM，)1)(1(22xxxxN，则M与N的大小是（ ）
A．M>N B． M
思路点拨 运用乘法公式，在化简M、N的基础上，作差比较它们的大小．
【例3】 计算：
(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1；
(天津市竞赛题)
(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452．(江苏省赛试题)
思路点拨 若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表示数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特征．
【例4】 (1)已知x、y满足x2十y2十45＝2x十y，求代数式yxxy的值．
(“希望杯”邀请赛试题)
(2)整数x，y满足不等式yxyx22122，求x+y的值．
(第14届“希望杯”邀请赛试题)
(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b，乙商场：两次提价的百分率都是2ba(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则哪个商场提价最多?说明理由．
(河北省竞赛题)
思路点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小．
注： 有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．
完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论：
(1)0)(2222bababa；
揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题．
(2)abba222
应用于代数式的最值问题．
代数等式的证明有以下两种基本方法：
(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．
【例5】 已知a、b、c均为正整数，且满足222cba，又a为质数．
证明：(1)b与c两数必为一奇一偶；
(2)2(a+b+1)是完全平方数．
思路点拨 从222cba的变形入手；222bca，运用质数、奇偶数性质证明．
学力训练
1．观察下列各式：
(x一1)(x+1)＝x2一l；
(x一1)(x2+x+1)=x3一1；
(x一1)(x3十x2+x+1)=x4一1．
根据前面的规律可得
(x一1)(x n+x n-1+„+x+1)= ．
(武汉市中考题)
2．已知052422baba，则baba= ．
(杭州市中考题)
3．计算：
(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；
(2)19492一19502+19512一19522+„+19972一19982+19992 = ；
(3)2199919991999199719991998222 ．
4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式 ． (大原市中考题)
5．已知51aa，则2241aaa= ．
(菏泽市中考题)
6．已知5,3cbba，则代数式ababcac2的值为( )．
A．一15 B．一2 C．一6 D．6
(扬州市中考题)
7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222等于( )．
A．20001999 B．20002001 C．40001999 D．40002001
(重庆市竞赛题)
8．若4,222yxyx，则20022002yx的值是( )．
A．4 B．20022 C． 22002 D．42002
9．若01132xx，则441xx的个位数字是( )．
A．1 B．3 C． 5 D．7
10．如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．
A．))((22bababa B．2222)(bababa
C．2222)(bababa D．222))(2(babababa
(陕西省中考题)
11．(1)设x+2z＝3z，试判断x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由．
(2)已知x2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x—1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1)．
(上海市中考题)
12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．
13．观察：2514321
21115432
21916543
„„
(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)．
(黄冈市竞赛题)
14．你能很快算出19952吗?
为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n＝3„„这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．
(1)通过计算，探索规律．
152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；
352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；„„752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．
(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．
(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ．
(福建省三明市中者题)
15．已知014642222zyxzyx，则zyx= ．
(天津市选拔赛试题)
16．(1)若x+y＝10，x3+y3=100，则x2+y2＝ ．
(2)若a-b=3，则a3-b3-9ab＝ ．
17．1，2，3，„„，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是 ．
(全国初中数学联赛试题)
18．已知a-b=4，ab+c2+4=0，则a+b=( )．
A．4 B．0 C．2 D． 一2
19．方程x2-y2=1991，共有( )组整数解．
A．6 B．7 C．8 D．9
20．已知a、b满足等式)2(4,2022abybax，则x、y的大小关系是( )．
A．x≤y B．x≥y C．xy
(大原市竞赛题)
21．已知a=1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，则多项式a2+b2+c2一ab—bc-ac的值为( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
(全国初中数学竞赛题)
22．设a+b=1，a2+b2=2，求a7+b7的值．
(西安市竞赛题)
23．已知a满足等式a2-a-1=0，求代数式487aa的值．
(河北省竞赛题)
24．若bayx，且2222bayx，求证：1997199719971997bayx．
(北京市竞赛题)
25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl，y1顺次表示第一号选手胜与负的场数；用x2，y2顺次表示第二号选手胜与负的场数；„„；用x10、y10顺次表示十号选手胜与负的场数．
求证：21022212102221yyyxxx．
26．（1）请观察：222233351122225,335112225,351225,525
写出表示一般规律的等式，并加以证明．
(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．
任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?
注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘．
