高二数学极限测试题及答案

5.3.2　第一课时　函数的极值

[A级　基础巩固]

1．已知函数f(x)＝2x3

＋ax2

＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )

A．(2,3) B．(3，＋∞)

C．(2，＋∞) D．(－∞，3)

解析：选B　因为函数f(x)＝2x3

＋ax2

＋36x－24在x＝2处有极值，又因为f′(x)＝6x2

＋2ax＋36，所以

f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．

2．已知f(x)＝x3

＋ax2

＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )

A．(－1,2) B．(－3,6)

C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

解析：选C　f′(x)＝3x2

＋2ax＋a＋6，∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2

－12(a

＋6)>0，∴a<－3或a>6.

3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的

图象可能是( )

解析：选C　由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0，排除B、

D；当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以

函数y＝xf′(x)的图象可能是C.

4．已知函数f(x)＝x3

－px2

－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )

A.4

27，0 B．0，4

27

C．－4

27，0 D．0，－4

27

解析：选A　f′(x)＝3x2

－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0，

得Error!解得Error!∴f(x)＝x3

－2x2

＋x.

由f′(x)＝3x2

－4x＋1＝0得x＝1

3或x＝1，易得当x＝1

3时f(x)取极大值4

27，当x＝1时f(x)取极小值0.

高二数学函数的极值与最值试题

一：选择题

1． 函数xaxxxf23)(在),0(内有两个极值点，则实数a的取值范围是( )

A．),0( B．)3,3( C．)0,( D．)3,(

【答案】D

2．函数f（x）=x2+x﹣lnx的极值点的个数是（ ）

A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个

解：由于函数f（x）=x2+x﹣lnx，（x＞0）

则==（x＞0）

令f’（x）=0，则

故函数f（x）=x2+x﹣lnx的极值点的个数是1，

故答案为 B．

3．如图所示的是函数dcxbxxxf23)(的大致图象，则2221xx等于（ ）

A．32 B．34 C．38 D．316

【答案】C

4．函数12)(xexxf,1,2x的最大值为（ ）

A.14e B.0 C. 2e D. 23e

【答案】C

5．函数)0(3)(3abaxxxf的极大值为6,极小值为2,则)(xf的减区间是( )

A. （-1，1） B. （0，1） C. （-1，0） D. （-2，-1）

【答案】A

6．右图是函数()yfx的导函数()yfx的图象， xyO1-2-3-1

给出下列命题：

①3是函数()yfx的极值点；

②1是函数()yfx的极小值点；

③()yfx在0x处切线的斜率小于零；

④()yfx在区间(3,1)上单调递增.则正确命题的序号是（ ）

A.①② B.①④ C.②③ D.②④

【答案】B

7.（2008•广东）设a∈R，若函数y=eax+3x，x∈R有大于零的极值点，则（ ）

A． a＞﹣3 B． a＜﹣3 C． a＞﹣ D． a＜﹣

极限相关试题及答案

1. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

答案： 根据洛必达法则，当分子和分母同时趋向于0时，可以对分子和分母分别求导，得到 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} =

1\)。

2. 求函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 在 \(x = 0\) 处的左极限和右极限。

答案： 左极限 \(\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\)，右极限 \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\)。

3. 判断函数 \(f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})\) 在 \(x = 0\) 处的极限是否存在，并说明理由。

答案： 极限不存在。因为对于任意小的正数 \(\epsilon\)，总存在 \(x\) 使得 \(|x^2 \sin(\frac{1}{x})| > \epsilon\)。

4. 计算极限 \(\lim_{x \to 2} (3x^2 - 4x + 1)\)。

答案： 将 \(x = 2\) 代入表达式，得到 \(\lim_{x \to 2}

(3x^2 - 4x + 1) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5\)。

5. 求函数 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) 在 \(x = 3\) 处的导数。

答案： 首先求导 \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\)，然后将 \(x = 3\) 代入得到 \(f'(3) = 3(3)^2 - 12(3) + 9 = 27 - 36 + 9 = 0\)。

6. 判断函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x = 1\) 处是否可导，并说明理由。

高中数列极限练习题

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数列极限

1.极限概念：一般地，当项数n无限增大时，无穷数列na的项na无限地趋近于某个常数A（即naA无限地接近于0），那么就说数列na以A为极限，或者说A是数列na的极限。 （由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）。

记法：limnnaA；

读作：“当n趋向于无穷大时，na的极限等于A”；

注意：（1）}{na是无穷数列；

（2）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的；

（3）不是所有数列都存在极限；如：21,nannN；

2.极限第二定义：对于无穷数列na，若存在一个常数A，对于任意小的正数，总存在自然数mN，使得当nm时，naA恒成立，则称A是数列na的极限。

说明：

limnnaA的几何意义：从几何上看，数列na的极限为A，是指以A为中心的区间(,)AA，必然从某项1ma起，后面的所有项都落在区间(,)AA之中。换句话说，数列na至多有m项123,,,...,maaaa落在区间(,)AA之外。

例1.求下列无穷数列极限：

（1）数列,21,,161,81,41,21n；

（2）数列,1,,43,32,21nn；

（3）数列,)1(,,31,21,1nn；

例2.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

（1）1111,,,...,,...23n； （2）2,2,2,...,2,...；

（3）0.1,0.1,0.1,...,(0.1),...n；

（4）11,2,4,8,16,...,2,...n；

（5）1,1,1,...,(1),...n；

（6）3,........20102,.......20102010nnanNnnn