高一数学一元二次不等式解法练习题及答案

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高一数学一元二次不等式解法练习题及答案

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分析 求算术根，被开方数必须是非负数．

解 据题意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－2．

例3 若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．

分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，考虑韦达定理．

解 根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知 例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a1(xa)(x)01aAaxBxa．＜＜．＜＜11aaCxaDxxa．＞或＜．＜或＞xaa11分析比较与的大小后写出答案． a1a解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选． 0a1aaxA11aa例有意义，则的取值范围是．2 xx2x6优秀学习资料 欢迎下载

例4 解下列不等式

(1)(x－1)(3－x)＜5－2x

(2)x(x＋11)≥3(x＋1)2

(3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)

分析 将不等式适当化简变为ax2＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．

答 (1){x|x＜2或x＞4}

(4)R

(5)R

说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．

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A．{x|x＞0} B．{x|x≥1} baa()()1211122×得ab1212，．(4)3x231325113122xxxxxx＞＞()()(2){x|1x}≤≤32(3)例不等式＋＞的解集为5 1x11x优秀学习资料 欢迎下载

C．{x|x＞1} D．{x|x＞1或x＝0}

分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．

∵x2＞0，∴x－1＞0，即x＞1．选C．

说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．

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A．(x－3)(2－x)≥0

B．0＜x－2≤1

D．(x－3)(2－x)≤0

故排除A、C、D，选B．

两边同减去2得0＜x－2≤1．选B．

说明：注意“零”．

[ ] 解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞， 1x000111122xxxxx例与不等式≥同解的不等式是6 0xx32C．≥230xx解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()xxx32020解法二≥化为＝或－－＞即＜≤ x320x3(x3)(2x)02x3x例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x1x2}aaxx1优秀学习资料 欢迎下载

[(a－1)x＋1](x－1)＜0，根据其解集为{x|x＜1或x＞2}

答 选C．

说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．

解 先将原不等式转化为

∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x－3＜0，

即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1．解集为{x|－3＜x＜1｝．

说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．

例9 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2 Aa BaCa Da．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()axx111可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a10a12a1112a例解不等式≥．8 237232xxx3723202xxx≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，2123212314782222xxxxxxxx002xx12(x)022≤，若，求的范围．0}BAa优秀学习资料 欢迎下载

分析 先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关

解 易得A＝{x|1≤x≤4}

设y＝x2－2ax＋a＋2(*)

4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．

说明：二次函数问题可以借助它的图像求解．

例10 解关于x的不等式

(x－2)(ax－2)＞0．

分析 不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论． 系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．BAa(1)BBA0若＝，则显然，由Δ＜得(2)B(*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：应有≤≤≤≤从而{x|xxx}{x|1x4}1212a12042a4a2014 12a22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤aa22187综上所述得的范围为－＜≤．a1a187优秀学习资料 欢迎下载

解 1° 当a＝0时，原不等式化为

x－2＜0其解集为{x|x＜2}；

4° 当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；

从而可以写出不等式的解集为：

a＝0时，{x|x＜2｝；

a＝1时，{x|x≠2}；

说明：讨论时分类要合理，不添不漏． 2 a02(x2)(x)0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为22aa{x|2ax2}＜＜；3 0a12(x2)(x)0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22aa{x|x2x}＜或＞；2a5 a12(x2)(x)0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22aa{x|xx2}＜或＞．2aa0{x|2ax2＜时，＜＜｝；0a1{x|x2x}＜＜时，＜或＞；2aa1{x|xx2}＞时，＜或＞．2a优秀学习资料 欢迎下载

例11 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)，求cx2＋bx＋a＜0的解集．

分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：

解法一 由解集的特点可知a＜0，根据韦达定理知：

∵a＜0，∴b＞0，c＜0．

解法二 ∵cx2＋bx＋a＝0是ax2＋bx＋a＝0的倒数方程．

且ax2＋bx＋c＞0解为α＜x＜β， －＝α＋β，＝α·β．baca即＝－α＋β＜，＝α·β＞．baca()00又×，baacbc∴＝－α＋β①由＝α·β，∴＝α·β②bccaac(1)111对＋＋＜化为＋＋＞，cxbxa0xx022bcac由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111xx002bcac∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．xx0cxbxa0{x|xx}22bcac11优秀学习资料 欢迎下载

说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．

分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．

进一步化为(ax＋1－a)(x－1)＜0．

(1)当a＞0时，不等式化为

(2)a＝0时，不等式化为x－1＜0，即x＜1，所以不等式解集为{x|x＜1}；

综上所述，原不等式解集为：

例13 (20XX年全国高考题)不等式|x2－3x|＞4的解集是________．

分析 可转化为(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4两个一元二次不等式．

答 填{x|x＜－1或x＞4}． ∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cxbxa0{x|xx} 211例解关于的不等式：＜－∈．12 x1a(aR)xx1解原不等式变为－－＜，即＜， (1a)00xxaxax111(x)(x1)01{x|a1ax1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；aaaa11(3)a0(x)(x1)01{x|x1x}＜时，不等式化为－·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．aaaaaa111当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a0{x|a1ax1}a0{x|x1}a0{x|xx1}aa1由可解得＜－或＞，．(1)x1x4(2)优秀学习资料 欢迎下载

例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则

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A．(UA)∩B＝R

B．A∪(UB)＝R

C．(UA)∪(UB)＝R

D．A∪B＝R

分析 由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即

A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即

B＝{x|5－a＜x＜5＋a}

∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6

∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．

答 选D．

说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查

不等式中恒成立问题的解法研究

在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。 优秀学习资料 欢迎下载

恒成立问题的基本类型：

类型1：设)0()(2acbxaxxf，（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。

类型2：设)0()(2acbxaxxf

（1）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，

],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff

（2）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff

],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或

类型3：

min)()(xfIxxf恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切。

类型4：

)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切

恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。

一、用一次函数的性质

对于一次函数],[,)(nmxbkxxf有：

0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立