2015南开二模 天津市南开区2015届高三第二次高考模拟考试 数学理 Word版含答案
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南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）
2015南开二模 数 学 试 卷（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．
祝各位考生考试顺利！
第 Ⅰ 卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么 ·如果事件A，B相互独立，那么
P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A)•P(B)．
·棱柱的体积公式V柱体=Sh， ·球的体积公式V球=34R3，
其中S表示棱柱的底面积， 其中R表示球的半径．
h表示棱柱的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设i是虚数单位，则复数ii65=（ ）．
（A）6–5i （B）6+5i
（C）–6+5i （D）–6–5i
（2）已知命题p：x1，x2∈R，(f(x2)–f(x1))(x2–x1)≥0，则p是（ ）．
（A）x1，x2∈R，(f(x2)–f(x1))(x2–x1)≤0
（B）x1，x2∈R，(f(x2)–f(x1))(x2–x1)≤0
（C）x1，x2∈R，(f(x2)–f(x1))(x2–x1)＜0
（D）x1，x2∈R，(f(x2)–f(x1))(x2–x1)＜0
（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，„，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）．
（A）10 （B）11
（C）12 （D）13
（4）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（ ）．
（A）k＜132? （B）k＜70?
（C）k＜64? （D）k＜63?
（5）已知双曲线C：22xa–22yb=1的焦距为10，点P (2，1)在C的渐近线上，则C的方程为（ ）．
（A）220x–25y=1 （B）25x–220y=1
（C）280x–220y=1 （D）220x–280y=1
（6）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（ ）．
（A）725 （B）725
（C）725 （D）2425
（7）由曲线y=x2，y=x围成的封闭图形的面积为（ ）．
（A）61 （B）31
（C）32 （D）1
（8）在△ABC中，若|AB+AC|=|AB–AC|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则AE•AF=（ ）．
（A）98 （B）910
（C）925 （D）926
南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）
答 题 纸（理工类）
题 号 二 三
总分
(15) (16) (17) (18) (19) (20)
得 分 第 Ⅱ 卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；
2．本卷共12小题，共110分．
得 分 评卷人 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
（9）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x–1|≤2}，则A∩B=
．
（10）(x2–x1)6的展开式中x3的系数为______．
（11）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为
m3．
（12）已知圆的极坐标方程为=4cos，圆心为C，点P的极坐标为(4，3)，则|CP|=
．
（13）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交
直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD=AB=2，
则EB= ．
（14）已知函数f(x)=)(log]0[)2cos(2015，，，，，xxxx，若有三个不同的实数a，b，c，使得f(a)=f(b)=f(c)，则a+b+c的取值范围为 ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
得 分
评卷人
（15）（本小题满分13分）
已知函数f(x)=–2sin(2x+4)+6sinxcosx–2cos2x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值．
31363223侧视图俯视图正视图
得 分 评卷人
（16）（本小题满分13分）
某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级 摸出红.蓝球个数 获奖金额
一等奖 3红1蓝 200元
二等奖 3红0蓝 50元
三等奖 2红1蓝 10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（Ⅰ）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X )．
得 分 评卷人
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．若M，N分别为棱PD，PC上的点，O为AC的中点，且AC=2OM=2ON．
（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；
（Ⅲ）求点N到平面ACM的距离．
得 分
评卷人
（18）（本小题满分13分）
已知椭圆C：12222byax（a＞b＞0），其中e=21，焦距为2，过点M(4，0)的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为74，且AM=MB．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求实数的值．
得 分 评卷人
（19）（本小题满分14分）
在等比数列{an}中，已知a1=2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）设数列{an2–an}的前n项和为Sn，记bn=nnS2，求证：数列{bn}的前n项和Tn＜23；
南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）
数学试卷（理工类）参考答案
一、选择题：
题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
答 案 D C C B A A B B
二、填空题：
（9）(–21，3]； （10）–20； （11）18+9； （12）23； （13）32； （14）(2，2016)
三、解答题：（其他正确解法请比照给分）
（15）解：（Ⅰ）f(x)=–2sin2xcos4–2cos2xsin4+3sin2x–cos2x
=2sin2x–2cos2x=22sin(2x–4)． „„„„6分
所以，f(x)的最小正周期T=22=． „„„„7分
（Ⅱ）因为f(x)在区间[0，83]上是增函数，在区间[83，2]上是减函数．
又f(0)=–2，f(83)=22，f(2)=2，
故函数f(x)在区间[0，2]上的最大值为22，最小值为=–2．„„„13分
（16）解：设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai（i=0，1，2，3）与Bj（j=0，1）相互独立．
（Ⅰ）恰好摸到1个红球的概率为P(A1)=372413CCC=3518． „„„„4分
（Ⅱ）X的所有可能值为：0，10，50，200，
P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)=3733CC•31=1051，
P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)=3733CC•32=1052，
P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)=371423CCC•31=10512=354，
P(X=0)=1–1051–1052–354=76． „„„„11分
所以X的分布列为
所以X的数学期望E(X)=0×76+10×354+50×1052+200×1051=4．„„„„13分
X 0 10 50 200
P 76 354 1052 1051
