2021·3中旬中学教学参考锐角三角函数值的求解攻略
浙江嘉善县泗洲中学（314100）杨晓霞
［摘要］锐角三角函数是历年中考数学的重点和热点内容，研究锐角三角函数对中考应用题的复习备考乃至中考数学命题
模式的把握都有非常重要的指导意义.
［关键词］三角函数；锐角；求解
［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）08-0020-02
一、定义法
［例1］如图1，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB
的垂直平分线DE交BC的延长线于点
D，垂足为E，求sin∠CAD的值.
分析：在图1中，∠CAD为直角三角形CAD的一个
内角，根据锐角的正弦的定义，可知sin∠CAD=CD
AD.因
此，本题的解题关键是求出∠CAD的对边CD和斜边
AD的长度.根据线段的垂直平分线的性质易知AD=
BD.已知条件BC=3，可表示出CD长.在Rt△CAD中
运用勾股定理求解.当然，这里最好引入一个未知数，
以简便表示相关线段长度.
解：因为AB的垂直平分线DE交BC的延长线于
点D，所以有AD=BD.不妨设AD=BD=x，又
BC=3，则CD=x-3，而AC=15，在Rt△CAD中，
根据勾股定理知AC2+CD2=AD2，即15+()x-32=
x2，解得x=4.即AD=4，CD=1，所以sin∠CAD=
CD
AD=1
4.
点评：本题主要考查锐角三角函数中正弦的定
义，并检测学生对一元二次方程的求解的掌握程度，
勾股定理在解题中起了关键作用.
二、参数法
［例2］如图2，在△ABC中，∠C=90°，
sinA=2
5，求sinB的值.
分析：根据已知条件中的sinA=2
5，可
以结合锐角三角函数中正弦的定义，引入一个参数，
设出角A的对边CB和斜边AB的长度，再运用勾股定
理求得角A的邻边AC的长度后，问题得解.
解：因为∠C=90°，sinA=2
5，根据此比值可设
CB=2x，AB=5x，其中x>0，再由勾股定理得AC2=AB2-CB2=21x2，即AC=21x，结合锐角三角函数
第1页/共4页 小专题(七) 求锐角三角函数值的方法
求锐角三角函数值的方法较多，且方法灵活，是中考中常见的题型，可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下:①直接根据定义求三角函数值，首先求出相应边的长度，然后带入三角函数公式计算即可；②若已知两边的比值或一个三角函数值，而不能直接求出对应边的长，则可采用设元的方法求解；③利用互余两角的三角函数表达式，改求其余角的三角函数值；④当直接用三角函数定义求某锐角的三角函数值较为困难时，可通过相等角进行转换求解.
类型1 利用定义直接求三角函数值
1.(金华中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tan A的值是 (A)
A.34 B.43 C.35 D.45
2.(兰州中考)如图，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于 (C)
A.513 B.1213
C.512 D.1312
3.在平面直角坐标系中，有一点P(2，5)，连接OP，且OP与x轴正半轴的夹角为α，则sin
α= 5√2929 ，cos α= 2√2929 ，tan α= 52 .
类型2 巧设参数求三角函数值
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则sin A的值是 (C)
A.12 B.2
C.√55 D.√52 第2页/共4页 5.若a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，且a∶b∶c=1∶√2∶√3，则cos B的值为 (B)
A.√63 B.√33
C.√22 D.√24
6.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cos A=35，BE=4，则tan ∠DBE的值是 2 .
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF).
(1)求证:AC=AF；
(2)求tan ∠CAE的值.
求锐角三角函数值的常用方法
学习目标
1.知识与技能，掌握锐角三角函数，特殊三角函数的值，能熟练应用解题
2.过程与方法，经历习题的训练过程，学生在已有的知识基础上，自主探索，在理性上获得对锐角三角函数的进一步掌握、运用.
3.情感与态度，通过知识回顾检索活动，逐步培养良好的数学构建思想。通过对数学问题的辨析，逐步养成善于观察比较、反思质疑的习惯，树立什么样的观念、形成坚持真理、修正错误，严谨求实的科学态度，具有辨析能力和一定的思维批判性.
教学重点：掌握求锐角三角函数值的三种方法
教学难点：会利用这三种方法解决简单的练习题
教学方法：问题引导，任务驱动与合作探究相结合
教学过程
一 反思回顾，检索要点
1、结合图形填空：
sinA= _____
cosA=______
tanA = _____
2、完成下表：
30° 45° 60°
sinα
cosα
3、根据上表填空：
随着角度α的增大sinα
随着角度α的增大cosα
随着角度α的增大tanα
二 方法一 定义法（直接根据定义求三角函数值）
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
解：∵∠C=90° AB=10，BC=6
2222 ==106=8ACABBC，
因此63sin==105BCAAB，
84cos==105ACAAB，63tan==.84BCAAC
考一考
1、在中，∠，，，则的值是（ ） ABCRt090C2AB1ACtanα （A）； （B）； （C）； （D）2.
2. 如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=23,∠APO=30°，则⊙O的半径为( )
(A)1 (B)3
1 28.1(6)锐角三角函数---15度三角函数值
一．【知识要点】
1.6262sin15;cos15;tan152344.
二．【经典例题】
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=∠BAD=15°,求∠B的锐角三角函数值.
三．【题库】
【A】
【B】
【C】
【D】
【E】
1.如图，直线1l⊥x轴于点A（2，0），点B是直线1l上的动点．直线2l：y=x+1交1l于点C，过点B作直线3l垂直于2l，垂足为D，过点O，B的直线4l交2l于点E．当直线1l，2l，3l能围成三角形时，设该三角形面积为1s，当直线2l，3l，4l能围成三角形时，设该三角形面积为2s．
（1）若点B在线段AC上，且1s=2s，则B点坐标为___________；
（2）若点B在直线1l上，且2s=13S，则∠BOA的度数为_____________ ． 2
（1）（2，0）；（2）15°或75°。
（1）设B的坐标是（2，m），则△BCD是等腰直角三角形。
∵，∴。
∴。
设直线l4的解析式是y=kx，则2k=m，解得：。
∴直线l4的解析式是。
根据题意得：，解得：。
∴E的坐标是（，）。
∴。
∴。
当S1=S2时，。 3 解得：m=0，m=4（不在线段AC上，舍去），m=3（l2和l4重合，舍去）。
∴B的坐标是（2，0）。
（2）分三种情况：
①当点B在线段AC上时（如图1），
由S2=S 1得：。
解得：或（不在线段AC上，舍去），或m=3（l2和l4重合，舍去）。
∴AB=。
在OA上取点F，使OF=BF，连接BF，设OF=BF=x，
则AF=2－x，根据勾股定理，得，解得。
∴sin∠BFA=。∴∠BFA=30°。∴∠BOA=15°。
②当点B在AC延长线上时（如图2），
此时，, 4 由S2=S 1得：。
解得：或（不在AC延长线上，舍去），或m=3（l2和l4重合，舍去）。
