广东省汕头市潮阳区2017_2018学年高一数学上学期期末考试试题含解析

广东省潮州市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，1）D．（0，2）3．（5分）若向量=（2，﹣1），=（0，2），则以下向量中与+垂直的是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，1）D．（0，2）4．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．﹣B．C．﹣D．5．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a6．（5分）己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．27．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2B．2πC．πD．4π28．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，已知函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．7B．8C．9D．10二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值范围是．10．（5分）曲线y=﹣x3+3x2在x=1处的切线方程为．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是．13．（5分）二项式（ax2﹣）5的展开式中常数项为160，则a的值为．14．（5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为．（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）已知函数f（x）=2cos（x﹣），x∈R．（1）求f（π）的值；（2）若f（α+）=，α∈（﹣，0），求f（2α）的值．16．（13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良．（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求二面角B﹣AC=A1的余弦值．18．（14分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且2S n=a n+2n2（n∈N*）．（1）求a n，S n；（2）若a k，a2k﹣2，a2k+1（k∈N）是等比数列{b n}的前三项，设T n=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n，求T n．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为，动点M（2，t）（t＞0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以O M（O为坐标原点）为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作O M的垂线与以O M为直径的圆交于点N，证明线段O N的长为定值，并求出这个定值．20．（14分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．广东省潮州市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B的并集，找出并集的补集即可．解答：解：∵A=（0，2]，B=（﹣∞，1），∴A∪B=（﹣∞，2]，∵全集为U=R，∴∁U（A∪B）=（2，+∞）．故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，1）D．（0，2）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，化简z，可得复数z在复平面内对应的点的坐标．解答：解：由于复数z=（1+i）（1﹣i）=1﹣i2=2，故此复数对应点的坐标为（2，0），故选：B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）若向量=（2，﹣1），=（0，2），则以下向量中与+垂直的是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，1）D．（0，2）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：求出向量+，验证各选项是否满足x1x2+y1y2=0，从而判定向量是否与+垂直．解答：解：∵向量=（2，﹣1），=（0，2），∴+=（2，1），对于A，2×1+1×（﹣2）=0，∴该向量与向量+垂直；∴可以排除掉B、C、D选项．故选：A．点评：本题考查了平面向量的垂直问题，两向量垂直，有⊥⇔•=0⇔x1x2+y1y2=0，解题时应灵活地运用，是基础题．4．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数图象的顶点求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．解答：解：有函数的图象顶点坐标可得A=2，再根据==﹣求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=可得φ=，故选：D．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数图象的顶点求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．5．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数、对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=40.1＞1，b=log30.1＜0，0＜c=0.50.1＜1，∴a＞c＞b．故选：B．点评：本题考查了指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．6．（5分）己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体是三棱柱与半圆柱的组合体，且三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为2；半圆柱的底面半径为1，高为2，把数据代入棱柱与半圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体是三棱柱与半圆柱的组合体，且三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为2；半圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=×2××2+×π×12×2=2+π．故选D．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．7．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2B．2πC．πD．4π2考点：等比数列的性质；定积分．专题：等差数列与等比数列．分析：求定积分可得a2013+a2015=π，由等比数列的性质变形可得a2014（a2012+2a2014+a2016）=（a2013+a2015）2，代值计算可得．解答：解：由定积分的几何意义可得dx表示圆x2+y2=4在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，故可得a2013+a2015=dx=×π×22=π，∴a2014（a2012+2a2014+a2016）=a2014•a2012+2a2014•a2014+a2014•a2016=+2a2013•a2015=（a2013+a2015）2=π2故选：A点评：本题考查等比数列的性质，涉及定积分的求解，属中档题．8．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，已知函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．7B．8C．9D．10考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由题意可判断函数y=f（x）在R上是周期为2的函数，从而作出函数f（x）与g（x）的图象，从而得到交点的个数即可．解答：解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+1）=f（x+2）；故函数y=f（x）在R上是周期为2的函数，作出函数f（x）与g（x）的图象如下，由图象可知函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8个．故选B．点评：本题考查了函数的性质的判断与函数的图象的作法与应用，属于基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值范围是a≤3．考点：绝对值不等式．专题：计算题．分析：求出绝对值的表达式的最小值，即可求出a取值范围．解答：解：因为|x+1|+|x﹣2|的几何意义是数轴上的点到﹣1，与到2的距离之和，显然最小值为3，所以a的取值范围是：a≤3．故答案为：a≤3．点评：本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题的应用，考查计算能力．10．（5分）曲线y=﹣x3+3x2在x=1处的切线方程为3x﹣y﹣1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：根据导数的几何意义求出函数y=f（x）在x=1处的导数，即是改点处切线的斜率，从而写出切线的方程．解答：解：∵y=f（x）=﹣x3+3x2，∴y'=f′（x）=﹣3x2+6x，∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=﹣3×12+6×1=3，又x=1时，y=f（1）=﹣13+3×12=2；∴曲线y=f（x）=﹣x3+3x2在x=1处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0；故答案为：3x﹣y﹣1=0点评：本题考查了利用导数求曲线上某点的切线方程问题，是基础题．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为2．考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：根据抛物线的标准方程可知准线方程为x=﹣，根据抛物线的准线与圆相切可知3+=4求得p．解答：解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，所以3+=4，p=2；故答案为：2．点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．属于基础题．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是9．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A，y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，4），代入z=x+2y=1+2×4=9．即目标函数z=x+2y最大值为9．故答案为：9．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义结合数形结合，即可求出z的最大值．13．（5分）二项式（ax2﹣）5的展开式中常数项为160，则a的值为2．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160求得实数a的值．解答：解：由通项公式T r+1==•，令10﹣=0，求得r=4，可得常数项为（﹣2）4•C a=160，解得a=2，故答案为：2．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为472．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；排列组合．分析：利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决．解答：解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两张红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=560﹣16﹣72=472种．故答案为：472．点评：本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）已知函数f（x）=2cos（x﹣），x∈R．（1）求f（π）的值；（2）若f（α+）=，α∈（﹣，0），求f（2α）的值．考点：余弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）代入已知根据特殊角的三角函数值即可求值；（2）由已知化简可先求得sin，从而可求cos=，将f（2α）=2cos（2α﹣）用两角差的余弦公式展开后代入即可求值．解答：解：（1）f（π）=2cos（π﹣）=﹣2cos=﹣．（2）∵f（α+）=2cos（）=﹣2sinα=，∴sin∵α∈（﹣，0），∴cos=∴f（2α）=2cos（2α﹣）=cos2α+sin2α===．点评：本题主要考察了特殊角的三角函数值，两角差的余弦公式的应用，考察了计算能力，属于基础题．16．（13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良．（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为，由此利用对立事件概率计算公式能求出在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良”的概率．（2）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ．解答：（本小题满分13分）解：（1）抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率为，依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为，…（2分）设事件A表示“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良””，则P（A）=1﹣=．…（5分）答：至少有1人成绩是“优良”的概率为．…（6分）（2）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．…..（7分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==…（11分）所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P∴ξ的期望Eξ==…（13分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求二面角B﹣AC=A1的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取AB中点O，连CO，OA1，A1B，由题设条件推导出△A1AB为正三角形，从而得到A1O⊥AB，由CA=CB，得到CO⊥AB，由此能够证明AB⊥A1C．（Ⅱ）以OA为x轴，以OA1为y轴，以OC为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AC=A1的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：取AB中点O，连CO，OA1，A1B，∵AB=AA1，∠BAA1=60°，∴△A1AB为正三角形，∴A1O⊥AB，∵CA=CB，∴CO⊥AB，∵CO∩A1O=O，∴AB⊥平面COA1，∵A1C⊂平面COA1，∴AB⊥A1C．（Ⅱ）解：∵AB=CB=2，AB=AA1，CA=CB，∠BAA1=60°，∴CO=A1O==，∵A1C=，∴=，∴OC⊥A1O，∵OC∩AB=O，∴A1O⊥平面ABC，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，O（0，0，0），A（1，0，0），，C（0，0，），设平面AA1C的法向量为，则，，∴，∴=（，1，1），平面向量ACB的法向量=（0，1，0），cos＜＞==．∴二面角B﹣AC=A1的余弦值为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．18．（14分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且2S n=a n+2n2（n∈N*）．（1）求a n，S n；（2）若a k，a2k﹣2，a2k+1（k∈N）是等比数列{b n}的前三项，设T n=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n，求T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件求出a1=2，a2=4，从而得到公差d=a2﹣a1=2，由此能求出a n，S n．（2）由a k，a2k﹣2，a2k+1（k∈N）是等比数列{b n}的前三项，求出k=4，从而得到a nb n=，由此利用错位相减法能求出T n．解答：解：（1）∵{a n}为等差数列，且2S n=a n+2n2（n∈N*），设公差为d，当n=1时，2S1=2a1=a1+2，解得a1=2，当n=2时，2（2+a2）=a2+2×4，解得a2=4，∴d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n，=n（n+1）．（2）∵a k，a2k﹣2，a2k+1（k∈N）是等比数列{b n}的前三项，∴，∴4（2k﹣2）2=2k•2（2k+1），整理，得2k2﹣9k+4=0，解得k=4或k=（舍），∴a4，a6，a9成等比数列，且q==．∴=8（）n﹣1，∴a n b n=2n•8（）n﹣1=，∵T n=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n，∴[1×+2×+3×+…+n•]，①=[1×+2×+3×+…+n•]，②①﹣②，得﹣=[+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1]=×[﹣n•（）n+1]=﹣32﹣16（n﹣2）•，∴T n=．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为，动点M（2，t）（t＞0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以O M（O为坐标原点）为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作O M的垂线与以O M为直径的圆交于点N，证明线段O N的长为定值，并求出这个定值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）把点代入椭圆方程可得，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）以OM为直径的圆的圆心为，半径，可得圆的标准方程；由于以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离d，利用弦长公式可得弦长=2即可得出．（3）方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K．直线OM的方程为，直线FN的方程为，联立解得K坐标，可得|OK|，|OM|，利用|ON|2=|OK|•|OM|即可证明．方法二：设N（x0，y0），则，，，．利用，，可证为定值．解答：（1）解：由题意得，①∵椭圆经过点，∴②又a2=b2+c2③由①②③解得a2=2，b2=c2=1．∴椭圆的方程为．（2）解：以OM为直径的圆的圆心为，半径，故圆的方程为．∵以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2，∴圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离．∴，即2|2t+2|=5t，故4t+4=5t，或4t+4=﹣5t，解得t=4，或．又t＞0，故t=4．所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．（3）证明：方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K．直线OM的方程为，直线FN的方程为．由，解得，故．∴；．又．∴．∴线段ON的长为定值．方法二：设N（x0，y0），则，，，．∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0．∴2x0+ty0=2．又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0．∴．∴为定值．点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆的相交问题、向量垂直与数量积之间的关系、弦长公式、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（Ⅰ）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数f（x）的极值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）先把f（x0）＜g（x0）成立转化为h（x0）＜0，即函数在[1，e]上的最小值小于零；再结合（Ⅱ）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），（1分）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，，（2分）x （0，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）极小（3分）所以f（x）在x=1处取得极小值1．（4分）（Ⅱ），（6分）①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；（7分）②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h'（x）＞0，所以，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增．（8分）（III）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数在[1，e]上的最大值小于零．（9分）由（Ⅱ）可知①即1+a≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）的最小值为h（e），由可得，因为，所以；（10分）②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；（11分）③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a），因为0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2此时，h（1+a）＜0不成立．（12分）综上讨论可得所求a的范围是：或a＜﹣2．（13分）点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．。

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C．
D．
【知识点】函数图像的识别
难度：0.65 组卷：7697 题型：单选题 更新：2020/2/21
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9.设 A． C．
满足
，且对任意
，有
B．
D．
【知识点】与二次函数相关的复合函数问题
，则
与
不可比较
难度：0.65 组卷：263 题型：单选题 更新：2019/3/21
难度：0.65 组卷：403 题型：解答题 更新：2019/3/21
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19 . 已知定义在R上的函数
条件： 相邻两条对称轴相距 ；
；
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的单调递减区间及其对称轴；
(3)求函数
在区间
上的值域．
的最大值和最小值分别为m、n，且函数 ．
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 由正弦函数的对称性求单调性 利用正弦函数的对称性求参数
的图象向右平移m个单位长度
可得
B．
C．
【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程
的图象，则正实数m的最小值为 D．
难度：0.65 组卷：382 题型：单选题 更新：2019/3/21
12 . 在 上定义运算： A．
，若 B．
使得
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
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揭阳一中2017-2018学年第一学期期末考试卷高一数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集}8,6,5,3,1,0{=U ，集合}2{},8,5,1{==B A ，则集合=⋃B A C U )(（ ） A ．}6,3,2,0{ B ．}6,3,0{ C ．}8,5,1,2{ D ．}0,5,1,2{2.与函数11-=x y 的定义域相同的函数是（ ） A ．1-=x y B ．12-=x y C ．11-=x y D ．)1ln(-=x y 3.直线013=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．30 B ．120 C ．135 D ．1504.直线06)5(:1=-++y a x l 与直线07)3(:2=++-y x a l 互相垂直，则a 等于（ ） A ．31-B ．1- C. 1 D ．21 5.设23.03.03.03.0,2,3log ,2log ====d c b a ，则这四个数的大小关系是（ ） A ．d c b a <<< B ．c d a b <<< C. d c a b <<< D ．b a c d <<<6.下列四个命题，其中l n m ,,为直线，βα,为平面①βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m ；②设l 是平面α内任意一条直线，且βαβ////⇒l ；③若n m n m //,,//⇒⊂⊂βαβα； ④若βαβα//,//m m ⇒⊂.其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C. ②④ D ．①②④7.一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1等腰梯形（如图），则平面图形的实际面积为（ ）A ．22+B ．224+ C. 221+D ．248+ 8.若函数)(x f 的定义域为R ，且对任意R y x ∈,，恒有)()()(y f x f y x f +=+，则)(x f 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数 C.增函数 D ．减函数9.已知x x x f 3)1(2+=+，则)2,1[∈x 时，函数)(x f y =的最小值与最大值分别是（ ） A ．10,4 B ．4,0 C. 4,49-D ．10,1 10.如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱长21=AA ，则异面直线11B A 与1BD 的夹角大小等于（ ）A ．30 B ．45 C.60 D ．9011.已知函数)3(log )(221a ax x x f +-=在区间),2[+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)4,(-∞B ．]4,4(- C. ),2[)4,(+∞⋃--∞ D ．)2,4[-12.若b a 、分别是方程410,4lg =+=+xx x x 的解，⎪⎩⎪⎨⎧><++=0,20,2)(x x x ba x f 则关于x 的方程12)(-=x x f 的解得个数是（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知幂函数)(x f y =的图象经过点)2,8(，则)27(f 的值为 ．14.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图是周长为4，一个内角为60的棱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为 ．15.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)3)(1()3()31()(x x f x x f x，则=)5(log 3f ．16.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角C BD A --，有如下四个结论： ①BD AC ⊥； ②ACD ∆是等边三角形；③AB 与CD 所成的角为90；④二面角D BC A --的平面角正切值是2. 其中正确结论是 ．（写出所有正确结论的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知直线l 经过点)2,0(-，其倾斜角的大小是60. （1）求直线l 的一般方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积.18. 已知集合}1log |{},2733|{2>=≤≤=x x B x A x. （1）分别求A B C B A R ⋃⋂)(,；（2）已知集合}1|{a x x C <<=，若A C ⊆，求实数a 的取值集合.19. 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 20. 如图在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，边长为O ,1是正方形的中心，⊥PO 底面E PO ABCD ,3,=是PC 的中点.求证：（1）//PA 平面BDE ； （2）平面⊥PAC 平面BDE ； （3）求三棱锥PBC A -的体积.21. 已知定义域为R 的函数ab x f x x ++-=+122)(是奇函数.（1）求b a ,的值；（2）判断函数)(x f 的单调性，并用定义证明；（3）若对于任意]3,21[∈x 都有0)12()(2>-+x f kx f 成立，求实数k 的取值范围.22. 设函数),()(*R c b N n c bx x x f n n ∈∈++=、.（1）当1,1,2-===c b n 时，求函数)(x f n 在区间)1,21(内的零点； （2）设1,1,2-==≥c b n ，证明：)(x f n 在区间)1,21(内存在唯一的零点； （3）设2=n ，若对任意]1,1[,21-∈x x ，有4|)()(|2211≤-x f x f ，求b 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADDBB 6-10:CAABC 11、12：BB二、填空题13. 3 14.π 15.45116.①②④ 三、解答题17.解：（1）因为直线l 的倾斜角为60，故其斜率为360tan =， 又直线l 经过点)2,0(-，所以其方程为x y 3)2(=--， 即023=--y x .（2）由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是232-、， 所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积33223221=⨯⨯=S . 18.解：（1）}2|{}1log |{},31|{}2733|{2>=>=≤≤=≤≤=x x x x B x x x A x}32|{≤<=⋂x x B A .}3|{}31|{}2|{)(≤=≤≤⋃≤=⋃x x x x x x A B C R（2）当1≤a 时，=C ∅，此时A C ⊆. 当1>a 时，A C ⊆，则31≤<a . 综上所述，a 的取值范围是]3,(-∞.19.解：（1）当每辆车月租金为3600元时，未出租的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x 元)0(>x ，则公司月收益为50503000)150)(503000100()(⨯-----=x x x x f .整理得：307050)4050(5012100016250)(22+--=-+-=x x x x f ∴当4050=x 时，)(x f 最大，最大值为304050)4050(=f 元 答：当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大值为304050元. 20.证明：（1）连接O BD AC OE AC =⋂,、，在PAC ∆中，E 为PC 中点，O 为AC 中点. EO PA //∴ 又⊂EO 平面⊄PA BDE ,平面BDE ，//PA ∴平面BDE .（2）⊥PO 底面⊂BD ABCD ,平面ABCDBD PO ⊥∴又 底面ABCD 是正方形，AC BD ⊥∴， 又PO AC ,是平面PAC 内的两条相交直线，⊥∴BD 平面PAC 0又⊂BD 平面∴,BDE 平面⊥PAC 平面BDE .（3）6331213131=⨯⨯⨯=⨯==∆--PO S V V ABC ABC P PBC A.21.解：（1）因为)(x f 是奇函数，所以0)0(=f ，即021=++-a b，解得1=b . a x f x x++-=+1212)(，又由aa f f ++--=++---=1121412),1()1(，解得2=a经检验，2,2==b a 满足题意.（2）证明：由（1）可得：21121212)(1++=++-=+x x x a x f . 任意022,1221>>∴<x x x x ，则0)12)(12(22121121)()(21122121>++-=+-+=-x x x x x x x f x f ，)(),()(21x f x f x f ∴>∴在R 上是减函数.（3） 含税)(x f 是奇函数.0)12()(2>-+∴x f kx f 成立，即)21()12()(2x f x f kx f -=-->成立，)(x f 是R 上是减函数，x kx 212-<∴∴对于任意]3,21[∈x 都有x kx 212-<成立，即221x xk -<设)1(2)1(21)(,21)(222x x x x x g x x x g -=-=∴-=，令]2,31[,1∈=t x t ， 则有1)1()()(],2,31[,1)1(2)(min min 22-===∴∈--=-=h t h x g t t t t t h1-<∴k ，即k 的取值范围为)1,(--∞.22.解：（1）1)(22-+=x x x f ，令0)(2=x f ，得251±-=x ， 所以)(2x f 在区间)1,21(内的零点是251+-=x （2）证明：,0111)1(,0121)21()21(,1)(>-+=<-+=∴-+=n nn nn f f x x x f )(,0)1()21(x f f f n n n <⋅∴在)1,21(内存在零点.任取)1,21(21∈x x 、，且21x x <，则0)()()()(212121<-+-=-x x x x x f x f nn n n所以)(x f n 在)1,21(内单调递增，所以)(x f n 在)1,21(内存在唯一零点.（3）当2=n 时，c bx x x f ++=22)(，若对任意]1,1[,21-∈x x ，有4|)()(|2212≤-x f x f ，等价于)(2x f 在]1,1[-上的最大值与最小值之差4≤M ， 据此分类讨论如下：①当1|2|>b，即2||>b 时，4||2|)1()1(|22>=--=b f f M ，与题设矛盾. ②当021<-≤-b ，即20≤<b 时，4)12()2()1(222≤+=--=b b f f M 恒成立.③当120<-≤b ，即02≤≤-b 时，4)12()2()1(222≤-=---=b b f f M 恒成立.综上可知，22≤≤-b .。

2023-2024学年广东省汕头市潮阳区高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．tan （﹣300°）＝（ ） A ．√3B ．1C ．√33D ．−√332．已知集合A ＝{x |2x ﹣1＜0}，B ＝{x |0≤x ≤1}，那么A ∩B 等于（ ） A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0＜x ＜12}D ．{x |0≤x ＜12}3．下列函数是偶函数的是（ ） A ．y ＝cos （x ﹣1） B ．y ＝|2x ﹣1| C ．y ＝（x ﹣1）2D ．y ＝log 2（x 2﹣1）4．若x ＞0，则x +4x−2的最小值为（ ）A ．﹣2B ．0C ．2D ．35．下列命题正确的是（ ） A ．y ＝cos x 在(−π2，π2)是减函数B ．正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数C ．y ＝|sin x |是偶函数也是周期函数D ．已知y ＝k sin x +1，x ∈R ，则y 的最小值为﹣k +16．人工放射性核素碘﹣131可发射β射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为a 的碘﹣131经过x 天后剩留的质量为y ，则y 关于x 的函数解析式是（ ）A ．y =a(12)x 8，x ∈N *B ．y =a(12)8x ，x ∈N *C ．y =a(0.58)x，x ∈N * D ．y =a(0.5)x4，x ∈N *7．已知p ：m ＞n ＞0，q ：n+1m+1＞nm，则p 是q 的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数f(x)={x +1，x ＞0f(f(x +1))，x ≤0，则f （﹣2）＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y （m 2）与时间t （月）的关系为y ＝a t ，则以下叙述正确的有（ ）A ．浮萍蔓延的面积逐月翻一番B ．第5个月时，浮萍面积会超过30m 2C ．第7个月的浮萍面积超过第6个月和第8个月的平均值D ．浮萍每月增加的面积都相等 10．若m ≥1，则（ ） A ．1﹣m ≤0 B ．m 3≥1 C ．m 2≤mD ．(23)m ＞(13)m11．下列求解结果正确的是（ ） A ．√246×√33×√32=3B ．2（lg 2）2+lg 5lg 20+lg 2lg 50+lg 25＝6C ．不等式（x ﹣1）√x +2≥0的解集为[1，+∞）D ．若sinαcosα−1=−12则1+cosαsinα=1212．已知函数y ＝f （x ）的图象关于P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是y ＝f （x +a ）﹣b 是奇函数，函数y ＝f （x ）的图象关于x ＝a 成轴对称图形的充要条件是y ＝f （x +a ）是偶函数．则下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）＝x 3﹣3x 2的图象关于点（1，﹣2）成中心对称图形B ．f （x ）＝x 4﹣4x 3+6x 2﹣4x 的图象关于x ＝1成轴对称图形C ．f(x)=2x+1x−1的图象关于点（1，﹣2）成中心对称图形D ．f(x)=x−2x 2−4x+5的图象关于点（﹣2，0）成中心对称图形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知命题p ：“∃x ∈R ，e x ﹣x ﹣1≤0”，命题p 的否定为 ．14．已知函数f （x ）＝2x 的值域是[2，4]，记φ(x)=f(x)+log 2(x −32)的定义域为： ．15．记A ＝1×2×3×…×2024，那么1log 2A+1log 3A+1log 4A+⋯+1log 2024A= ．16．已知函数f(x)=e x −1e x +1，若对任意的正数a 、b ，满足f （a ）+f （2b ﹣2）＝0，则2a +1b的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，第17题满分70分，其它5个小题满分均为12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点P （x ，y ）． （1）若y =2√55，求tan α及7sinα+2cosαsinα−4cosα的值； （2）若sinα1−cosα=12，求点P 的坐标．18．（12分）已知函数f(x)=√x ，g(x)=f(log 12(9−x 2))．（1）判断函数f （x ）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明； （2）求不等式g （x ）≤1的解集．19．（12分）潮汕人喜欢喝功夫茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，那么t 分钟后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式θ（t ）＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得．现有刚泡好茶水温度是100℃，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃． （1）求k 的值；（2）经验表明，当室温为15℃时，该种茶刚泡好的茶水温度95℃，自然冷却至60℃时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1；参考值：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1）20．（12分）已知函数f （x ）＝log 3（9x +1）﹣ax 是偶函数． （1）求实数a 的值；（2）当x ≥0时，函数g （x ）＝3x +3f（x ）﹣t 有零点，求实数t 的取值范围．21．（12分）已知二次函数f （x ）满足∀x ∈R ，f （x ﹣2）＝f （﹣x ）恒成立；且f （0）＝4，f （﹣1）＝3． （1）求f （x ）的解析式；（2）对任意λ∈R ，总存在μ∈[﹣4，4]，使得不等式|f （μ）﹣μ2+λ|≥k 成立，求实数k 的取值范围． 22．（12分）定义：函数f （x ）若存在正常数T ，使得f （x +T ）＝f （x ）+M ，M 为常数，对任意x ∈R 恒成；则称函数f （x ）为“T 代M 阶函数”．（1）判断下列函数是否为“2代M 阶函数”？并说明理由． ①f 1（x ）＝sin πx ，②f 2（x ）＝2x ．（2）设函数F（x）＝f（x）+g（x）为“4代M阶函数”，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数．若f（2）＝1，求f（2026）的值．2023-2024学年广东省汕头市潮阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．tan（﹣300°）＝（）A．√3B．1C．√33D．−√33解：tan（﹣300°）＝tan（﹣360°+60°）＝tan60°=√3．故选：A．2．已知集合A＝{x|2x﹣1＜0}，B＝{x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x＜12}D．{x|0≤x＜12}解：∵集合A＝{x|2x﹣1＜0}＝{x|x＜12}，B＝{x|0≤x≤1}，∴A∩B＝{0≤x＜12}．故选：D．3．下列函数是偶函数的是（）A．y＝cos（x﹣1）B．y＝|2x﹣1|C．y＝（x﹣1）2D．y＝log2（x2﹣1）解：y＝cos（x﹣1）为非奇非偶函数，不符合题意；y＝|2x﹣1|为非奇非偶函数，不符合题意；y＝（x﹣1）2为非奇非偶函数，不符合题意；对于函数y＝log2（x2﹣1），定义域为{x|x＞1或x＜﹣1}，又f（﹣x）＝log2[（﹣x）2﹣1]＝log2（x2﹣1）＝f（x），所以f（x）为偶函数，符合题意．故选：D．4．若x＞0，则x+4x−2的最小值为（）A．﹣2B．0C．2D．3解：若x＞0，则x+4x−2≥2√x⋅4x−2＝2，当且仅当x=4x，即x＝2时取等号．故选：C．5．下列命题正确的是（）A．y＝cos x在(−π2，π2)是减函数B ．正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数C ．y ＝|sin x |是偶函数也是周期函数D ．已知y ＝k sin x +1，x ∈R ，则y 的最小值为﹣k +1 解：对A ：y ＝cos x 在(−π2，π2)上不单调，故错误；对B ：正切函数y ＝tan x 在(−π2+kπ，π2+kπ)(k ∈Z)上单调递增，故错误；对C ：y ＝|sin x |是偶函数，且最小正周期为π，故正确；对D ：y ＝k sin x +1（k ∈R ），故当k ＞0时，y min ＝﹣k +1，故错误． 故选：C ．6．人工放射性核素碘﹣131可发射β射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为a 的碘﹣131经过x 天后剩留的质量为y ，则y 关于x 的函数解析式是（ ）A ．y =a(12)x 8，x ∈N *B ．y =a(12)8x ，x ∈N *C ．y =a(0.58)x ，x ∈N *D ．y =a(0.5)x 4，x ∈N *解：由题意，经过一个半衰期（8天）后，剩留的质量y =a ×12，经过两个半衰期（16天）后，剩留的质量y =a ×(12)2，经过三个半衰期（24天）后，剩留的质量y =a ×(12)3，……经过x 天后，剩留的质量y =a ×(12)x 8，x ∈N *．故选：A ．7．已知p ：m ＞n ＞0，q ：n+1m+1＞nm，则p 是q 的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：若m ＞n ＞0，则m +1＞0，m ﹣n ＞0， 可得n+1m+1−n m=m−n m(m+1)＞0，即n+1m+1＞n m，可知由p 可以推出q ，则p 是q 的充分条件；例如m =1，n =−12，可知n+1m+1=14，n m =−12，满足n+1m+1＞n m，但不满足m ＞n ＞0，可知p 不是q 的必要条件； 综上所述：p 是q 的充分不必要条件． 故选：B ．8．已知函数f(x)={x +1，x ＞0f(f(x +1))，x ≤0，则f （﹣2）＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解：函数f(x)={x +1，x ＞0f(f(x +1))，x ≤0，则f （﹣2）＝f （f （﹣1）），f （﹣1）＝f （f （0）），f （0）＝f （f （1））＝f （2）＝2+1＝3， f （﹣1）＝f （3）＝3+1＝4， f （﹣2）＝f （4）＝4+1＝5． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y （m 2）与时间t （月）的关系为y ＝a t ，则以下叙述正确的有（ ）A ．浮萍蔓延的面积逐月翻一番B ．第5个月时，浮萍面积会超过30m 2C ．第7个月的浮萍面积超过第6个月和第8个月的平均值D ．浮萍每月增加的面积都相等解：由函数y ＝a t 的图象知，t ＝1时，y ＝a ＝2，所以y ＝2t ； 浮萍蔓延的面积逐月翻一番，选项A 正确；t ＝5时，y ＝25＝32，即第5个月时，浮萍面积会超过30m 2，选项B 正确；第7个月的浮萍面积是27＝128，第6个月和第8个月的平均值是12（26+28）＝160，128＜160，选项C 错误；第1个月到第2个月增加的是2m 2，第2个月到第3个月增加的是4m 2， 所以每月增加的面积不相等，选项D 错误． 故选：AB ．10．若m ≥1，则（ ） A ．1﹣m ≤0 B ．m 3≥1 C ．m 2≤m D ．(23)m ＞(13)m解：m ≥1，则1﹣m ≤0，m 3≥1，故AB 正确； m 2≥m ，故C 错误；y ＝x m 在（0，+∞）上单调递增，故(23)m ＞(13)m ，故D 正确．故选：ABD ．11．下列求解结果正确的是（ ） A ．√246×√33×√32=3B ．2（lg 2）2+lg 5lg 20+lg 2lg 50+lg 25＝6C ．不等式（x ﹣1）√x +2≥0的解集为[1，+∞）D ．若sinαcosα−1=−12则1+cosαsinα=12解：对于A ，√246×√33×(32)12=2416×313×2−12×312=（23×16×2−12）×（316×313×312）=212−12×316+13+12=1×3＝3，选项A 正确；对于B ，2（lg 2）2+lg 5lg 20+lg 2lg 50+lg 25＝2（lg 2）2+（1﹣lg 2）（1+lg 2）+lg 2（2﹣lg 2）+（2﹣2lg 2）＝3，选项B 错误；对于C ，不等式（x ﹣1）√x +2≥0的解集为{﹣2}∪[1，+∞），选项C 错误；对于D ，若sinαcosα−1=−12，则sinα1−cosα=12，即2sin α2cos α22sin 2α2=cos α2sin α2=12，所以1+cosαsinα=2cos 2α22sin α2cosα2=cosα2sinα2=12，选项D 正确． 故选：AD ．12．已知函数y ＝f （x ）的图象关于P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是y ＝f （x +a ）﹣b 是奇函数，函数y ＝f （x ）的图象关于x ＝a 成轴对称图形的充要条件是y ＝f （x +a ）是偶函数．则下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）＝x 3﹣3x 2的图象关于点（1，﹣2）成中心对称图形B ．f （x ）＝x 4﹣4x 3+6x 2﹣4x 的图象关于x ＝1成轴对称图形C ．f(x)=2x+1x−1的图象关于点（1，﹣2）成中心对称图形D ．f(x)=x−2x 2−4x+5的图象关于点（﹣2，0）成中心对称图形解：A ：f （x ）＝x 3﹣3x 2，所以f （x +1）+2＝（1+x ）3﹣3（1+x ）2+2＝x 3﹣3x 为奇函数，即f （x ）的图象关于（1，﹣2）对称，A 正确；B ：f （x ）＝x 4﹣4x 3+6x 2﹣4x ＝（x ﹣1）4﹣1，f （x +1）＝（1+x ﹣1）4﹣1＝x 4﹣1为偶函数，B 正确；C ：由反比例函数的性质及函数图象的平移可知，f （x ）=2x+1x−1=2+3x−1的图象关于（1，2）对称，C 错误； D ：f （x ）=x−2x 2−4x+5，f （x ﹣2）=x−4(x−4)2+1=x−4x 2+8x+17不是奇函数，D 错误． 故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知命题p ：“∃x ∈R ，e x ﹣x ﹣1≤0”，命题p 的否定为 ∀x ∈R ，e x ﹣x ﹣1＞0 ．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题p ：“∃x ∈R ，e x ﹣x ﹣1≤0”的否定是：∀x ∈R ，e x ﹣x ﹣1＞0．故答案为：∀x ∈R ，e x ﹣x ﹣1＞0．14．已知函数f （x ）＝2x 的值域是[2，4]，记φ(x)=f(x)+log 2(x −32)的定义域为： (32，2] ．解：因为函数f （x ）＝2x 的值域是[2，4]，所以2≤2x ≤4，即1≤x ≤2， 在φ(x)=f(x)+log 2(x −32)中，{1≤x ≤2x −32＞0，解得，32＜x ≤2． 故答案为：(32，2]．15．记A ＝1×2×3×…×2024，那么1log 2A+1log 3A+1log 4A+⋯+1log 2024A= 1 ．解：因为A ＝1×2×3×…×2024， 那么1log 2A+1log 3A+1log 4A+⋯+1log 2024A=log A 2+log A 3+…+log A 2024＝log A （2×3×…×2024）＝1． 故答案为：1．16．已知函数f(x)=e x −1e x +1，若对任意的正数a 、b ，满足f （a ）+f （2b ﹣2）＝0，则2a +1b的最小值为 4 ．解：因为f(x)=e x −1e x +1=1−21+e x在（0，+∞）单调递增， 又f （﹣x ）=e −x −1e −x +1=1−e x1+e x=−f （x ），所以f （x ）为奇函数，若对任意的正数a、b，满足f（a）+f（2b﹣2）＝0，则f（a）＝﹣f（2b﹣2）＝f（2﹣2b），所以a＝2﹣2b，即a+2b＝2，所以2a+1b=a+2ba+a+2b2b=2+2ba+a2b≥2+2√2ba⋅a2b=4，当且仅当a＝2b，即b=12，a＝1时取等号．故答案为：4．四、解答题：本题共6小题，第17题满分70分，其它5个小题满分均为12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点P（x，y）．（1）若y=2√55，求tanα及7sinα+2cosαsinα−4cosα的值；（2）若sinα1−cosα=12，求点P的坐标．解：（1）由题意，当y=2√55时，x=−√1−(2√55)2=−√55，则tanα=yx=−2，所以7sinα+2cosαsinα−4cosα=7tanα+2tanα−4=7×(−2)+2−2−4=2；（2）依题意，sinα＞0，cosα＜0，因为sinα1−cosα=12，所以cosα＝1﹣2sinα，于是sin2α+（1﹣2sinα）2＝1，解得sinα=45，cosα=−√1−sin2α=−35，即x=−35，y=45，所以点P的坐标为(−35，45)．18．（12分）已知函数f(x)=√x，g(x)=f(log12(9−x2))．（1）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）求不等式g（x）≤1的解集．解：（1）函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，证明如下：设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则x1﹣x2＜0，√x1+√x2＞0，则f(x1)−f(x2)=√x1−√x2=√x1−√x2)(√x1+√x2)x+x=12x+x0，所以f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．（2）由g(x)=f(log12(9−x2))=√log12(9−x2)，因为g（x）≤1，即√log12(9−x2)≤1；可得0≤log12(9−x2)≤1；所以12≤9−x2≤1且9﹣x2＞0，解得−√342≤x≤−2√2或2√2≤x≤√342，因此不等式的解集为[−√342，−2√2]∪[2√2，√342]．19．（12分）潮汕人喜欢喝功夫茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，那么t分钟后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式θ（t）＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得．现有刚泡好茶水温度是100℃，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃．（1）求k的值；（2）经验表明，当室温为15℃时，该种茶刚泡好的茶水温度95℃，自然冷却至60℃时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1；参考值：ln2≈0.7，ln3≈1.1）解：（1）由公式θ（t）＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，且θ（5）＝50，θ0＝25，θ1＝100，得25+（100﹣25）e﹣5k＝50，化简得，e−5k=13，所以−5k=ln13，即：k=ln35≈1.15=0.22；（2）由（1）得，θ(t)=15+80⋅e−ln35t，令θ（t）＝60，即15+80e−ln35t=60，得e−ln35t=916，所以−ln35t=ln916；解得t=5ln916−ln3=5×(ln9−ln16)−ln3=5×(4ln2−2ln3)ln3≈5×（4×0.71.1−2）≈2.7．所以刚泡好的茶水大约需要放置2.7分钟才能达到最佳饮用口感．20．（12分）已知函数f（x）＝log3（9x+1）﹣ax是偶函数．（1）求实数a的值；（2）当x≥0时，函数g（x）＝3x+3f（x）﹣t有零点，求实数t的取值范围．解：（1）因为f(x)=log3(9x+1)−ax是R上的偶函数，所以f（1）＝f（﹣1），即log 3(91+1)−a =log 3(9−1+1)+a ，所以2a ＝log 310﹣log 3109=2， 解得a ＝1，经检验：当a ＝1时，满足题意；（2）由（1）可知，f(x)=log 3(9x +1)−x ，g （x ）＝3x +3f（x ）﹣t ， 因为x ≥0时，g （x ）＝3x +3f（x ）﹣t 存在零点，即关于x 的方程t =2×3x +13x 有解， 令φ(x)=2×3x +13x ，因为x ≥0，令μ＝3x ∈[1，+∞）， 则φ(x)=2μ+1μ由函数图象可知φ（x ）在[1，+∞）单调递增， 所以φ（x ）∈[3，+∞），所以实数a 的取值范围是[3，+∞）．21．（12分）已知二次函数f （x ）满足∀x ∈R ，f （x ﹣2）＝f （﹣x ）恒成立；且f （0）＝4，f （﹣1）＝3．（1）求f （x ）的解析式；（2）对任意λ∈R ，总存在μ∈[﹣4，4]，使得不等式|f （μ）﹣μ2+λ|≥k 成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）设f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），因为f （0）＝4，所以c ＝4．因为f （﹣1）＝3，所以a ﹣b +4＝3，即b ＝a +1．因为f （x ﹣2）＝f （﹣x ），所以b ＝2a ，由{b =a +1，b =2a，得a ＝1，b ＝2，所以f （x ）＝x 2+2x +4； （2）由题意得对任意λ∈R ，总存在μ∈[﹣4，4]，使得不等式|2μ+4+λ|≥k 成立，若k ≤0，显然成立．若k ＞0，|2μ+4+λ|≥k ，即2μ+4+λ≥k 或2μ+4+λ≤﹣k ，可得λ≥k ﹣2μ﹣4或λ≤﹣k ﹣2μ﹣4，因为存在μ∈[﹣4，4]，使得不等式|f （μ）﹣μ2+λ|≥k 成立，只需要λ≥k ﹣12或λ≤﹣k +4，而λ∈R ，所以k ﹣12≤﹣k +4，解得0＜k ≤8，综上可得k ≤8，不等式成立．22．（12分）定义：函数f （x ）若存在正常数T ，使得f （x +T ）＝f （x ）+M ，M 为常数，对任意x ∈R 恒成；则称函数f （x ）为“T 代M 阶函数”．（1）判断下列函数是否为“2代M 阶函数”？并说明理由．①f 1（x ）＝sin πx ，②f 2（x ）＝2x ．（2）设函数F（x）＝f（x）+g（x）为“4代M阶函数”，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数．若f（2）＝1，求f（2026）的值．解：（1）函数f（x）若存在正常数T，使得f（x+T）＝f（x）+M，M为常数，对任意x∈R恒成；则称函数f（x）为“T代M阶函数”，①f1（x）＝sinπx是2代M阶函数，理由如下：因为f1（x+2）＝sin[π（x+2）]＝sinπx＝f1（x），此时T＝2，M＝0，所以f1（x）为2代0阶函数；②f2(x)=2x不是2代M阶函数．理由如下：因为f2(x+2)=(2)x+2=4×2x≠f2(x)+M，所以f2（x）不是2代M阶函数；（2）由已知存在常数M满足F（x+4）＝F（x）+M，即f（x+4）+g（x+4）＝f（x）+g（x）+M，令x＝a，则f（a+4）+g（a+4）＝f（a）+g（a）+M①，令x+4＝﹣a，则f（﹣a）+g（﹣a）＝f（﹣a﹣4）+g（﹣a﹣4）+M②，因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，所以f（﹣a）＝﹣f（a），g（﹣a）＝g（a），f（﹣a﹣4）＝﹣f（a+4），g（﹣a﹣4）＝g（a+4），①+②，整理得f（a+4）＝f（a）+M，令a＝﹣2，则f（2）＝f（﹣2）+M，又因为f（﹣2）＝﹣f（2），且f（2）＝1，可得M＝2，所以f（x+4）＝f（x）+2，所以f（2026）＝f（2022）+2＝f（2018）+2×2＝⋯＝f（2）+506×2＝1013．。