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知识讲解-单调性与最大(小)值-基础

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单调性与最大（小）值 【学习目标】 1.理解函数的单调性定义； 2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性． 【要点梳理】 要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间DA： 如果对于D内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1是增函数； 如果对于D内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数. 要点诠释： （1）属于定义域A内某个区间上；

（2）任意两个自变量12,xx且12xx；

（3）都有1212()()(()())fxfxfxfx或； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. 2．单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D上具有单调性，D称为函数f(x)的单调区间. 函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间； ④有的函数不具有单调性. (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 基本方法：观察图形或依据定义. 3．函数的最大（小）值

一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)对于任意的xI，都有()fxM（或()fxM）； (2) 存在0xI，使得0()fxM，那么，我们称M是函数的最大值（或最小值）. 要点诠释： ①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量0x，使0()fx等于最值；

②对于定义域内的任意元素x，都有0()()fxfx（或0()()fxfx），“任意”两字不可省； ③使函数()fx取得最值的自变量的值有时可能不止一个； ④函数()fx在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标. 4.证明函数单调性的步骤

(1)取值.设12xx，是()fx定义域内一个区间上的任意两个量，且12xx； (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论. 5.函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法；

(3)对于复合函数yfgx，若tgx在区间ab，上是单调函数，则yft在区间

()()gagb，或者()()gbga，上是单调函数；若tgx与yft单调性相同（同时为增或同时

为减），则yfgx为增函数；若tgx与yft单调性相反，则yfgx为减函数． 要点二、基本初等函数的单调性 1.正比例函数(0)ykxk

当k>0时，函数ykx在定义域R是增函数；当k<0时，函数ykx在定义域R是减函数. 2.一次函数(0)ykxbk 当k>0时，函数ykxb在定义域R是增函数；当k<0时，函数ykxb在定义域R是减函数. （2）反比例函数(0)kykx 当0k时，函数kyx在区间,0,0,上是减函数； 当0k时，函数kyx在区间,0,0,上是增函数. 4.二次函数2(0)yaxbxca 若a>0，在区间(]2ba，，函数是减函数；在区间[)2ba，+，函数是增函数； 若a<0，在区间(]2ba，，函数是增函数；在区间[)2ba，+，函数是减函数． 要点三、一些常见结论 (1)若()fx是增函数，则()fx为减函数；若()fx是减函数，则()fx为增函数；

(2)若()fx和()gx均为增（或减）函数，则在()fx和()gx的公共定义域上()()fxgx为增（或减)函数； (3)若()0fx且()fx为增函数，则函数()fx为增函数，1()fx为减函数； 若()0fx且()fx为

减函数，则函数()fx为减函数，1()fx为增函数. 【典型例题】 类型一、函数的单调性的证明 【高清课堂：函数的单调性 356705 例1】

例1.已知：函数1()fxxx

（1）讨论()fx的单调性. （2）试作出()fx的图象. 【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 【解析】 （1）设x1，x2是定义域上的任意实数，且x1

121212

11f(x)f(x)x(x)xx

1212

11(xx)()xx

211212

xx(xx)xx

1212

1212

12

1(xx)(1)xxxx1(xx)()xx



①当121xx时，x1-x2<0，11212xx10xx，故1212

12

xx(xx)()0xx，即f(x1)-f(x2)<0

∴x11f(x)xx在区间-,-1上是增函数.

②当-1

∵0故121212xx(xx)()0xx，即f(x1)-f(x2)>0 ∴x1f(x2) 1f(x)xx在区间-1,0上是减函数.

同理：函数1f(x)xx在区间0,1是减函数, 函数1f(x)xx在区间1,+是增函数. （2）函数1()fxxx的图象如下

【总结升华】 （1）证明函数单调性要求使用定义； （2）如何比较两个量的大小？(作差) （3）如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】（2014 福建南安期中）

已知函数()(0)1axfxax．

（Ⅰ）判断函数()fx在(1,1)上的单调性，并用单调性的定义加以证明；

（Ⅱ）若1a，求函数()fx在11,22上的值域． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）11,3 【解析】（Ⅰ）当0a时，任取1211xx， 121212()()11axaxfxfxxx2112

(),(1)(1)axxxx



因为110x，210x，21()0axx， 所以2112()0(1)(1)axxxx，得12()()fxfx，故函数()fx在(1,1)上是减函数； （Ⅱ）当1a时，由（1）得()1xfxx在(1,1)上是减函数, 从而函数()1xfxx在11,22上也是减函数， min()fx 1()12f,max()fx11()23f.

由此可得，函数()fx在11,22上的值域为11,3． 类型二、求函数的单调区间 例2. 判断下列函数的单调区间；

(1)y=x2-3|x|+2； (2)2|1|(-2)yxx 【思路点拨】 对x进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。

【答案】（1）f(x)在3--2，上递减，在33[-,0][0,]22上递增，在上递减，在3+2，上递增.

（2）f(x)在-12+，上递减，在，上递增. 【解析】(1)由图象对称性，画出草图

∴f(x)在3--2，上递减，在33[-,0][0,]22上递增，在上递减，在3+2，上递增. (2)-23 (1)|1||-2|1 (12)2-3 (2)xxyxxxxx ∴图象为 ∴f(x)在-12+，上递减，在，上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间：

(1)y=|x+1|； (2)121yx； (3)21yx ；（4）y=|x2-2x-3|.

【答案】（1）函数的减区间为1,，函数的增区间为(-1，+∞)；（2）11,,,22在上为减函数；（3）2x1y单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；(4)单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）．

【解析】(1))1x(1x)1x(1xy画出函数图象，

∴函数的减区间为1,，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为u1y,1x2u,2121,，设，其中

u=2x-1为增函数，u1y在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则,21,21,1x21y在上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，2x1y单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)； 【高清课堂：函数的单调性 356705 例3】 （4）先画出y=x2-2x-3，然后把x轴下方的部分关于x轴对称上去，就得到了所求函数的图象，如下图

所以y=|x2-2x-3|的单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.■

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知识讲解_导数在函数性质中的应用——单调性

知识讲解_导数在函数性质中的应用——单调性

导数在函数性质中的应用——单调性编稿：张林娟审稿：孙永钊【学习目标】1. 知识与技能能用导数判断函数的单调性、求不超过三次的多项式函数的单调区间；掌握求函数单调区间的方法和步骤.2. 过程与方法通过利用导数研究函数的单调区间的过程，掌握利用导数研究函数性质的方法.总结求函数单调区间和极值的一般步骤，体会其中的算法思想，认识到导数在研究函数性质中的应用.3. 情感、态度与价值观通过用导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系，以及导数的应用价值.【要点梳理】要点一：函数的单调性与导数的关系我们知道，如果函数()f x在这一区间具有单调性.f x在某个区间是增函数或减函数，那么就说()已知函数2=-+的图象如图所示，f x x x()43由函数的单调性易知，当2f x是增函数.现在我们看看各个单f x是减函数；当2x<时，()x>时，()调区间内任意一点的切线情况：考虑到曲线()f x在改点的导数值，从图象可以看到：y f x=的在某点处切线的斜率就是函数()在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即'()240f x x =<时，()f x 为减函数.在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即'()240f x x =>时，()f x 为增函数.导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，则在这个区间上，（1）若()0f x '>，则()f x 在这个区间上为增函数；（2）若()0f x '<，则()f x 在这个区间上为减函数；（3）若恒有()0f x '=，则()f x 在这一区间上为常函数.反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）．要点诠释：①导函数的正负决定了原函数的增减；②在区间(a ,b )内，'()0f x >（或()0f x '<）是()f x 在区间(a ，b )内单调递增（或减）的充分不必要条件.注意：只有当在某区间上有有限个点使'()0f x =时，()0f x '≥（或()0f x '≤）≡()f x 在该区间内是单调递增（或减）.例如：32()'()30'(0)0,'()0(0)f x x f x x f f x x =⇒=≥=>≠，，而()f x 在R 上递增.③当在某区间内恒有()0f x '=，这个函数()y f x =在这个区间上才为常数函数.要点二：利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法：设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数；（2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数；（3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数.利用导数求函数()f x 单调区间的基本步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数'()f x ；（3）在函数()f x 的定义域内解不等式'()0f x >或'()0f x <；（4）确定()f x 的单调区间.或者：令'()0f x =，求出它在定义域内的一切实数根。

三角函数的最值-高中数学知识点讲解

三角函数的最值-高中数学知识点讲解

三角函数的最值1．三角函数的最值【三角函数的最值】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【例题解析】3例 1：sin2x﹣sin x cos x+2cos2x＝2+2cos（2x +2휋4）．解：sin2x﹣sin x cos x+2cos2x =1―푐표푠2푥2―푠푖푛2푥1+푐표푠2푥2+ 2•2=32+12（cos2x﹣sin2x）=32+2cos（2x +2휋4）．3故答案为：2+2cos（2x +2휋4）．这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例 2：函数y＝sin2x﹣sin x+3 的最大值是．解：令 sin x＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3 的图象开口向上，对称轴是t =1 2∴当t =12时函数有最小值，而函数的最大值为t＝﹣1 时或t＝1 时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1 时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1 时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1 时y 的值即 sin x＝﹣1 时，函数的最大值为 5．这个题就是典型的换元，把 sin x 看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．1/ 2【考点点评】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．2/ 2。

3.3函数的单调性

3.3函数的单调性

函数的单调性函数的单调性： 一、定义：①()f x 在区间I 上是增函数（递增）：121212221112()(,,()())I D x x I x x x x f x f f x f x x <<⎧⎪⎨⎪⇒⎩>⊆∈⇒>、、任意或中文理解：函数值随着自变量的增大而增大（因变量大小与自变量大小一致）。

图像理解：从左到右，由下至上。

②()f x 在区间I 上是减函数（递减）：121121212212()(),,()()I D x x I x x f x x f x f x x f x ><<⎧⎪⎨⎪⇒⎩∈>⊆⇒任、、意或中文理解：函数值随着自变量的增大而减小（因变量大小与自变量大小相反）。

图像理解：从左到右，由上至下。

二、知识要点：1、单调区间I 与定义域D 的关系：I D ⊆练1：根据下列函数的图像，分别写出其定义域D 与单调区间增区间I ，单调减区间I 直线型 指、对数型：x y a =与log a y x =(0)y k x b k =+> (0)y k x b k =+< (0)y kx b k =+=二次曲线 幂函数：1:()0:1,0aa y xy x a Q a y x ==⎧=∈⎨==≠⎩2()(0)y a x b c a =-+> 2()(0)y a x b c a =-+< =2y x 3y x = 52y x =D D IIIID D IIIIy=x(1,0)a>1y=log a xy=a x oyx(0,1)0<a<1y=x(1,0)y=log a xy=a x(0,1)oyxboxy y xobb oxyx=boxy c cyx o x=b(0)y a x b c a =-+>(0)y a x b c a =-+<x=bx=bc oxyy xo c=12y x 25y x = 13y x =-=1y x 2y x -= 12y x -=三角函数反三角函数双曲线型函数 函数的对称变换 分段函数 小结：1、单调性是局部性质，是对D 内的某一个子集区间而言。

函数的单调性

函数的单调性

专题七 函数的单调性【学习目标】：理解函数单调性的概念，能正确地判定和讨论函数的单调性，会求函数的单调区间。

【教学过程】：一、新课引入：1．回顾初中学习的三种函数图像，一次函数，二次函数，反比例函数2.画出函数y=2x+1 2y x = xx f 1)(=的图像 （1）观察：从左到右，图像分别是上升还是下降，答：可以看出y=2x+1的图像从左到右，函数的图像是上升的趋势2y x =的图像时先下降在上升xx f 1)(=的图像在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧也是下降的趋势。

（2）对于y=2x+1从左到右，x 在增大，函数图像上升，取特殊点如x=1,x=2,则可以看出f(1)<f(2)上升趋势也就是y 随x 的增大而增大，思考：下降趋势当x 增大时，y 的值如何变化？对于2y x =而言，观察（1）x ∈[)+∞,0;（2）x ∈(]0,∞-;（3）x ∈（-∞，+∞）当x 的值增大时，y 值的变化情况。

(3)当在某个区间上，y 随x 的增大而增大时，也就是说当x 1<x 2, 有f(x 1)<f(x 2)从而引入概念二、概念讲解：1．增函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时， 都有 ，则称函数)(x f y =在 是单调增函数，I 为图象示例：2．减函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时，都有 ，则称函数)(x f y =在 是单调减函数，I 为图象示例：3．单调性：函数)(x f y =在 上是 ，则称)(x f y =在 具有单调性4. 单调区间：三、典例欣赏：例1．证明：（1）函数3x 5)x (f +=在),(+∞-∞上是增函数．（2）函数x x f 1)(=在),0(+∞上是减函数．变题：（1）判断函数x x x f 1)(+=在（０，１）的单调性。

（2）若函数1)(-=x ax x f 在区间（∞-，1）上是增函数，试求a 的取值范围。