黑龙江省伊春市上甘岭区中学九年级数学导学案22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(1)

人教版九年级数学上册导学案 第二十二章二次函数 22.1.4二次函数y=ax 2+bx+c=0的图象和性质 【学习目标】1.掌握用待定系数法求二次函数的解析式；2.掌握实际问题中求二次函数解析式。

【课前预习】1．已知点(2,3)在抛物线y=ax ²+bx+c=0上，则下列四个点中，一定也在该抛物线上的是（ ） A ．(0,3)B ．(0,-3)C ．(3,2)D ．(-2,-3)2．开口向下的抛物线()22221y m x mx =-++的对称轴经过点(-1,3)，则m 的值为( ) A ．-1B ．1C ．-1或2D ．-23．已知抛物线过点()2,0A ，()1,0B -，与y 轴交于点C ，且2OC =．则这条抛物线的解析式为（ ）A ．22y x x =--B ．22y x x =-++ C ．22y x x =--或22y x x =-++ D ．22y x x =---或22y x x =++ 4．若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（ ）A ．y=4（x-2）2-3 B ．y=-2（x-2）2+3 C ．y=-2（x-2）2-3 D ．y= -225(x-2）2+3 5．在平面直角坐标系中，若点P 的橫坐标和纵坐标相等，则称点P 为完美点，已知二次函数294y ax bx =+-（a ，b 是常数，0a ≠）的图象上有且只有一个完美点33(,)22，且当0x m 时，函数23y ax bx =+-的最小值为3-，最大值为1，则m 的取值范围是（ ）A ．10m -B ．722mC ．24mD ．2m6．抛物线2y x bx c =++的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为()2y x 14=--，则b 、c 的值为 A ．b=2，c=﹣6B ．b=2，c=0C ．b=﹣6，c=8D ．b=﹣6，c=27．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点(),A m n ，()6,B m n +，则n 的值为（ ） A ．9B ．6C ．3D ．08．在平面直角坐标系中，先将抛物线y ＝2x 2﹣4x 关于y 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线，绕它的顶点旋转180°，那么经两次变换后所得的新抛物线的函数表达式为（ ）A ．y ＝﹣2x 2﹣4xB ．y ＝﹣2x 2+4xC ．y ＝﹣2x 2﹣4x ﹣4D ．y ＝﹣2x 2+4x +49．已知二次函数y=ax ²+bx+c=0（a ＞0）的图象经过点A （−1，2），B （2，5），顶点坐标为（m ，n ），则下列说法错误的是（ ） A ．c ＜3B ．m ≤12C ．n ≤2D ．b ＜110．已知坐标平面上有一直线L ，其方程式为y+2=0，且L 与二次函数y=3x 2+a 的图形相交于A ，B 两点：与二次函数y=﹣2x 2+b 的图形相交于C ，D 两点，其中a 、b 为整数．若AB=2，CD=4．则a+b 之值为何？（ ） A ．1B ．9C ．16D ．24【学习探究】 自主学习阅读课本，完成下列问题1．二次函数y ＝-3x 2-6x+5的图象的顶点坐标是 ；对称轴是 ； 当 x= 时，y 有最 值是 ； 2．二次函数y ＝ax 2的图象经过点（-1,2），则a = ；3．二次函数y ＝ax 2＋bx-3 的图象经过点（1, -2），（-1,-6），则二次函数的解析式为： 互学探究1．如果一个二次函数的图象经过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，试求出这个二次函数的解析式． ① 已知一次函数图象上的几个点可以求出它的解析式吗？利用了怎样的方法？小结：由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一个一次函数，即可以写出这个一次函数的解析式y =kx ＋b ．用待定系数法，由两点的坐标，列出关于k ，b 的二元一次方程组就可以求出k ，b 的值．② 类比确定一次函数解析式的方法，如果一个二次函数的图象经过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，你能求出这个二次函数的解析式吗？解：设所求二次函数的解析式为．由函数图象经过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，得关于a ，b ，c 的三元一次方程组解这个方程组，得a =2，b =－3，c =5． 所求二次函数是y =2x 2－3x ＋5．归纳 求二次函数的解析式y =ax 2＋bx ＋c ，需求出a ，b ，c 的值．由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a ，b ，c 的方程组，求出a ，b ，c 的值，就可以写出二次函数的解析式．【例题分析】例1 已知抛物线y =ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (1，0),B (3，0)，且过点C (0，－3)．2y ax bx c =++104427a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=－x上，并写出平移后抛物线的解析式．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，∴可设抛物线的解析式为y=a(x－1)(x－3)．把C(0，－3)代入解析式，得3a=－3．解得a=－1．∴抛物线的解析式为y=－(x－1)(x－3)，即y=－x2＋4x－3．∵y=－x2＋4x－3=－(x－2)2＋1，∴该抛物线的顶点坐标为(2，1)．（2）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=－x2．平移后抛物线的顶点是(0，0)，落在直线y=－x上．(答案不唯一)2、二次函数y=a x2+b x+c用配方法可化成：y=a(x+h)2+k，顶点是(-h，k)。

人教版数学九年级上册教案22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》一. 教材分析《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质》这一节是人教版数学九年级上册的教学内容。

本节课的主要内容是让学生了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。

通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数图象的特点，理解二次函数的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的定义和一般形式，对二次函数有了初步的认识。

但是，学生对二次函数的图象和性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。

同时，学生可能对一些概念和性质的理解还不够深入，需要通过教师的引导和学生的自主探索来加深理解。

三. 教学目标1.了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。

2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和掌握。

2.运用二次函数的性质解决实际问题的能力的培养。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题引导学生思考和探索。

2.采用案例分析的教学方法，通过具体的例子来讲解和展示二次函数的性质。

3.采用小组合作的学习方式，让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例，用于讲解和展示二次函数的性质。

2.准备教学课件和板书，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“二次函数的图象和性质有哪些？”引导学生思考和探索。

2.呈现（10分钟）通过教学课件和板书，呈现二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。

同时，通过具体的例子来讲解和展示这些性质。

3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析一些具体的二次函数图象，来识别和判断其性质。

新人教版九年级数学上册22.1.4 二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象导学案【学习目标】1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式；2.会用待定系数法求二次函数的解析式。

【学习过程】 一、知识链接：已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式. 解： 二、自主学习1.一次函数b kx y +=经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。

分析：要求出函数解析式，需求出b k ,的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于b k ,的二元一次方程组即可。

解：2. 已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。

分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答： ；所设解析式中有 个待定系数，它们分别是 ，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。

解：三、知识梳理用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式()k h x a y +-=2和一般式2y ax bx c =++。

1．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为 ；2．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为 。

四、跟踪练习：1．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式．2.已知二次函数m x x y ++=2的图象过点（1，2），则m 的值为________________． 3.一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。

4. 已知双曲线xk y =与抛物线2y ax bx c =++交于A(2,3)、B(m ,2)、c(－3, n )三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积,5.如图，直线33+=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过A,B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0），（1）求该抛物线的解析式；⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.xy-1-2-3-4123-1-2-3-41234O xy C B A O五、学生质疑问题。

第6课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质一、基本目标【知识与技能】1．能通过配方把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式．2．能正确求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴和顶点坐标．3．掌握利用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)解决函数增减性问题的方法；会利用对称性画出二次函数的图象．【过程与方法】经历由y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与性质的探究过程，渗透类比法、配方法和数形结合的思想方法．【情感态度与价值观】通过解决实际问题，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．二、重难点目标【教学重点】掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与性质．【教学难点】用配方法确定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标和对称轴．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P37～P39的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的顶点坐标是__(h ，k )__，对称轴是__x ＝h __，当a __>0__时，开口向上，此时二次函数有最 __小__ 值，当x __＞h __ 时，y 随x 的增大而增大，当x __<h __时，y 随x 的增大而减小；当a __<0__时，开口向下，此时二次函数有最 __大__ 值，当x __<h __时，y 随x 的增大而增大，当x __＞h __时，y 随x 的增大而减小．2．一般地，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以通过配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，即y ＝__a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a __.因此，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线__x ＝－b 2a __，顶点坐标是__⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a __. 3．从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看出：如果a >0，当x <－b 2a，y 随x 的增大而__减小__，当x >－b 2a ，y 随x 的增大而__增大__；如果a <0，当x <－b 2a，y 随x 的增大而__增大__，当x >－b 2a，y 随x 的增大而__减小__. 4．已知二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式为__y ＝－(x －2)2＋9__，对称轴是直线__x ＝2__，顶点是__(2,9)__.环节2 合作探究，解决问题【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】求二次函数y ＝2x 2－x －1的开口方向、对称轴及顶点坐标．【互动探索】(引发学生思考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象与性质是什么？【解答】∵y ＝2x 2－x －1＝2⎝⎛⎭⎫x －142－98，∴二次函数y ＝2x 2－x －1的开口向上，对称轴是直线x ＝14，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫14，－98. 【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以通过配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，即y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，其对称轴是x ＝－b 2a ，顶点是⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a . 【活动2】 巩固练习(学生独学)1．抛物线y ＝－x 2＋4x －7的开口方向__向下__，对称轴是直线__x ＝2__ ，顶点坐标是__(2，－3)__.当x ＝__2__时，函数y 有最__大__值，其值为__－3__.2．已知二次函数y ＝ax 2＋2x ＋c (a ≠0)有最大值，且ac ＝4，则二次函数的顶点在第__四__象限．3．已知二次函数y ＝－12x 2－2x ＋6. (1)求函数图象的顶点坐标和对称轴；(2)自变量x 在什么范围内时，函数值y ＞0？y 随x 的增大而减小？解：(1)∵y ＝－12x 2－2x ＋6＝－12(x 2＋4x )＋6＝－12[(x ＋2)2－4]＋6＝－12(x ＋2)2＋8，∴顶点坐标为(－2,8)，对称轴为直线x ＝－2.(2)令y ＝0得到－12x 2－2x ＋6＝0，解得x ＝－6或2，∴观察图象可知，－6＜x ＜2时，y ＞0，当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小．【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？【互动探索】(引发学生思考)求解实际问题中的最值问题的关键是建立函数模型，此题中的函数解析式应该怎么建立？【解答】设该直角三角形的一条直角边为x ，面积是S ，则另一直角边为8－x .根据题意，得S ＝12x (8－x )(0＜x ＜8)， 配方，得S ＝－12(x －4)2＋8. ∴当x ＝4时，即两条直角边各为4时，此时三角形的面积最大，最大面积是8.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决实际问题的关键是建立数学模型，建立数学模型的关键是找出题中的等量关系．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质：(1)开口方向：当a >0时，向上；当a <0时，向下；(2)对称轴：直线x ＝－b 2a； (3)顶点坐标：⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a ； (4)增减性：如果a >0，当x <－b 2a ，y 随x 的增大而减小，当x >－b 2a，y 随x 的增大而增大；如果a <0，当x <－b 2a ，y 随x 的增大而增大，当x >－b 2a，y 随x 的增大而减小．请完成本课时对应练习！。