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赫尔《期权、期货及其他衍生产品》(第7版)课后习题详解(股票期权的性质)

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9.2　课后习题详解

一、问答题

1. 列出影响期权价格的6个因素。

List the six factors affecting stock option prices.

答：影响股票期权价格的六个因素是：当前股票价格、执行价格、无风险利率、波动

率、期权期限和股息。具体可参见本章复习笔记。

2. 一个无股息股票的看涨期权的期限为4个月，执行价格为25美元，股票的当前价

格为28美元，无风险利率为每年8％，期权的下限为多少?

What is a lower bound for the price of a four-month call option on a non-

dividend-paying stock when the stock price is $28, the strike price is $25, and the

risk-free interest rate is 8% per annum?

答：根据无股息股票的看涨期权价格下限的公式：S

0－Ke

-rT。

其中，S

0=28，K

=25，r

=8%，T

=0.3333，则：

所以，该看涨期权的价格下限是3.66美元。

3. 一个无股息股票的看跌期权的期限为1个月，执行价格为15美元，当前股票价格

为12美元，无风险利率为每年6％时，期权的下限为多少?

What is a lower bound for the price of a one-month European put option on a

non-dividend-paying stock when the stock price is $12, the strike price is $15, and

the risk-free interest rate is 6% per annum?

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答：根据无股息股票的看跌期权价格下限的公式：Ke

-rT－S

0。

其中，S

0=12，K

=15，r

=6%，T

=0.08333，则：

所以，该看跌期权的价格下限是2.93美元。

4. 列举两个原因来说明为什么无股息股票的美式看涨期权不应被提前行使。第一个原

因应涉及货币时间价值；第二个原因在利率为0时也应成立。

Give two reasons why the early exercise of an American call option on a non-

dividend-paying stock is not optimal. The first reason should involve the time

value of money. The second reason should apply even if interest rates are zero.

答：原因如下：

（1）推迟执行期权可以推迟对执行价格的支付，这意味着期权持有者可以在更长的

时间内获取执行价格带来的利息。

（2）推迟执行期权还可以为防止到期日时股票价格跌至执行价格之下提供保险。

例如，假设期权持有者拥有数量为K

的现金且利率为零，提前执行意味着到期日时期

权持有者的头寸价值为S

T，而推迟执行期权意味着期权持有者的头寸在到期日的价值为

max(K，S

T)。

具体可参见本章复习笔记。

5. “提前行使美式看跌期权是在货币的时间价值与看跌期权的保险价值之间的权衡”，

解释这一观点。

“The early exercise of an American put is a tradeoff between the time value

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of money and the insurance value of a put." Explain this statement.

答：（1）当同时持有美式看跌期权和标的股票时，美式看跌期权提供了一份保险。

它保证股票可以以执行价格K

出售。即如果股票价格下跌到K

以下，期权买方有权以价格

K

将股票出售给期权卖方；如果股票价格上升到K

以上，期权买方可以选择不执行期权，

损失为期权费。

（2）但是，如果看跌期权被提前执行，这一保险就失效了。期权持有者可以立刻获

得执行价格，并可以赚取自执行期权之刻起到期权到期日为止之间的利息。

投资者需权衡货币的时间价值和期权的保险价值来做出是否提前执行期权的决策。

6. 解释为什么一个支付股息股票美式看涨期权的价值至少等于其内在价值。这对欧式

看涨期权也成立吗?解释你的答案。

Explain why an American call option is always worth at least as much as its

intrinsic value. Is the same true of a European call option? Explain your answer.

答：（1）原因如下：

①美式看涨期权可以在任何时刻被执行。如果它被执行了，持有者可以获得内在价值。

②美式看涨期权赋予了投资者选择的权利，投资者可以选择等待，而等待是有价值的。

由此可以知道美式看涨期权的价值必定不低于其内在价值。

（2）欧式看涨期权的价值可能会低于其内在价值。例如，一只股票将在期权有效期

内发放高额股息，由于股息的影响，股票价格将下跌。而欧式期权只能在股息发放后执行，

其价值就可能低于当前其内在价值。

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7. 一个无股息的股票的价格为19美元，这一股票上一个3个月期的欧式看涨期权的

执行价格为20美元，期权的价格为1美元，无风险利率为每年4％，这个股票上3个月

期限执行价格为20美元的看跌期权价格为多少?

The price of a non-dividend paying stock is $19 and the price of a three-

month European call option on the stock with a strike price of $20 is $1. The risk-

free rate is 4% per annum. What is the price of a three-month European put

option with a strike price of $20?

答：本题中，c

=1，T

=0.25，S

0=19，K

=20及r

=0.04，根据看跌-看涨平价关系式，

有：

可得：

所以，欧式看跌期权价格为1.80美元。

8. 解释为什么对于欧式期权看跌一看涨平价关系的讨论对于美式期权不适用。

Explain why the arguments leading to put-call parity for European options

cannot be used to give a similar result for American options.

答：原因如下：

（1）当期权不能提前执行，在时间T

，价值相同的两个资产组合在较早的时候的价值

也是相同的。这是看涨看跌期权平价关系建立的基础。欧式期权正是属于这种情况，如果

不符合平价关系，套利行为会使该关系重新成立。

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（2）当期权提前执行是可能的时候，该结论不成立。这是因为即使假定

P

＋S

>C

＋Ke

－rT，也不一定会出现套利机会。虽然投资者可以买入看涨期权，卖空看跌期

权，并且卖空股票，由于不能确定看跌是否会得到执行，投资者无法确定结果。套利行为

不能使期权价格回归平价关系。

9. 一个无股息股票的欧式看涨期权的期限为6个月，执行价格为75美元，股票当前

价格为80美元，无风险利率为每年10％时，期权价格的下限为多少?

What is a lower bound for the price of a six-month call option on a non-

dividend-paying stock when the stock price is $80, the strike price is $75, and the

risk-free interest rate is 10% per annum?

答：根据无股息股票的看涨期权价格下限的公式：S

0－Ke

-rT。

其中，S

0=80，K

=75，r

=10%，T

=0.5，则：

80-75e

-0.1×0.5=8.66(美元)

所以，该看涨期权的价格下限是8.66美元。

10. 一个无股息股票上欧式看跌期权的期限为2个月，执行价格为65美元，股票当

前价格为58美元，无风险利率为每年5％时，期权价格的下限为多少?

What is a lower bound for the price of a two-month European put option on a

non-dividend-paying stock when the stock price is $58, the strike price is $65, and

the risk-free interest rate is 5% per annum？

答：根据无股息股票的欧式看跌期权价格下限的公式：Ke

-rT－S

0。

其中，S

0=58，K

=65，r

=5%，T

=0.1667，则：

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赫尔《期权、期货及其他衍生产品》教材精讲(互 换)【圣才出品】

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1 / 11 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 第7章 互 换 第一部分 本章要点 1．利率互换及其定价 2．货币互换及其定价 第二部分 重难点导学 7.1 互换合约的机制 互换是指两家公司之间达成的在将来互换现金流的合约，在合约中，双方约定现金流的互换时间及现金流数量的计算方法。 例7-1：假定现在时间为2012年3月1日，某公司签署了一个一年期的远期合约，在合约中这家公司同意在一年后以每盎司1200美元的价格购买100盎司的黄金，一年后，公司收到黄金后可以马上在现市市场将黄金变卖。这个在2013年3月1日生效的远期合约可以被认为是一个互换合约，在此合约中，公司同意在一年后也就是在2012年3月1日以现金120000美元换取数量为100S美元的现金流，S为一年后黄金的市场价格。 例7-2：考虑一个在2012年3月5日开始3年的利率互换合约。假定微软同意向英特尔支付年息5%、本金1亿美元所产生的利息；英特尔向微软支付6个月期及由同样本金所产生的浮动利息。微软为定息支付方（fixed-rate payer），英特尔为浮息支付方（floating-rate payer）。假定合约约定双方每6个月互换现金流。这里的5%固定利率为每半年复利一次。这一互换如图7-1所示。 2 / 11 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 图7-1 微软及英特尔之间的利率互换交易 第1次利息互换发生在2012年9月5日，2012年3月5日确定的6个月期的LIBOR为4.2%。 微软将向英特尔支付固定利息：250万美元=1亿×5%/2； 英特尔将向微软支付浮动利息： 210万美元=0.5×0.042×1亿。 第2次利息互换发生在2013年3月5日，2012年9月5日确定的6个月期的LIBOR为4.8%。 微软将向英特尔支付固定利息：250万美元=1亿×5%/2； 英特尔将向微软支付浮动利息：240万美元=0.5×0.048×1亿。 实际支付： 在2012年9月5日微软向英特尔支付40万美元（250-210）； 在2013年3月5日微软向英特尔支付10万美元（250-240）。 表7-1 微软支付本金1亿美元的固定利率并收入浮动利率的3年期利率互换的现金流（单位：100万美元） 表7-2 表7-1中的互换在最后交换本金时的现金流 （单位：100万美元） 3 / 11 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 7.1.3 利率互换可以改变负债的性质 例7-3：假定微软以L+0.1%借入1亿美元，英特尔以5.2%借入1亿美元，当两公司进入互换合约后： 微软与英特尔的可能互换如图7-2所示。 图7-2 微软及英特尔采用利率互换来改变负债的性态 微软的现金流：-（L+0.1%）-5%+L=-5.1%（浮息→固息） 英特尔的现金流：-5.2%-L+5%=-（L+0.2%）（固息→浮息） 7.1.4 利率互换可以改变资产的性质 例7-4：假定微软拥有一个3年期债券，债券每年提供的券息收入为4.7%，英特尔来有收益为L-0.2%的资产。 微软与英特尔的可能互换如图7-3所示。 图7-3 微软及英特尔采用利率互换来改变资产的性质 微软的现金流：4.7%-5%+L=L-0.3%（固息→浮息） 英特尔的现金流：L-0.2%+5%-L=4.8%（浮息→固息） 4 / 11 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 7.1.5 金融媒介的作用 例7-5：假定如图7-4所示的互换合约成立，则金融机构可以获得本金为1亿美元、年率为0.03%（3个基点）的盈利（一年盈利大约为3万美元）。 盈利：（-4.985%+L）+（5.015%-L）=0.03% 图7-4 金融机构介入时图7-2所对应的利率互换 7.2 比较优势的观点 某些公司在固定利率市场具有比较优势，而另一些公司在浮动利率市场具有比较优势。当需要时，公司会进入自身有比较优势的市场。因此，本想借入（出）固定利率贷款的公司可能会借入（出）浮动利率贷款，而本想借入（出）浮动利率贷款的公司可能会借入（出）固定利率贷款。 例7-6：假定两家公司，AAACorp及BBBCorp均想借入100万美元，期限为5年。表7-3给出了相应的贷款利率，假定BBBCorp想借入固定利率贷款，AAAcorp想借入基于6个月期LIBOR的浮动利率贷款。 5 / 11 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 表7-3 给比较优势观点提供基础的借入资金的利率 分析： A的所有贷款利率均低于B，A绝对优势；A与B的利率报价中，固定利率之间的差价大于浮动利率之间的差价。B在浮动利率市场具有比较优势，A在固定利率市场具有比较优势。 策略： A以每年4%借入固定利率，B以LIBOR+6%借入浮动利率。然后它们进入利率互换交易，最终结果是A公司融资利率为浮动利率，而B公司的融资利率为固定利率。 实际效果： 互换节约（L-0.1%+5.2%）-（L+0.6%+4%）=0.5% 收益平分 A实际支付的利率：L-0.1%-0.25%=L-0.35% B实际支付的利率：5.2%-0.25%=4.95% 图7-5 A及B之间的利率互换交易 6 / 11 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 7.3 利率互换的定价 7.3.1 由债券价格来计算互换的价格 在利率互换中，假设本金进行交换，这一假设并不影响互换的价值。则互换合约多头的价值满足： Vswap——互换的价值； Bfl——浮动利率债券的价值； Bfix——固定利率债券的价值。 其中Bfl= 例7-7：假定某金融机构同意在互换合约中支付6个月期的LIBOR并同时收入年率8%（每半年复利一次）的固定利率，互换的本金为1亿美元。互换合约还有1.25年的剩余期限对应于期限为3个月、9个月及15个月的LIBOR（连续复利）分别为10%、10.5%及11%。首一个付款日所对应的LIBOR为10.2%（每半年复利一次），表7-4是以债券形式对互换定价的总结。 表7-4 利用债券价格来定价

赫尔《期权、期货及其他衍生产品》教材精讲（维纳过程和伊藤引理）【圣才出品】

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第13章维纳过程和伊藤引理13.1 本章重难点

·伊藤引理的运⽤

·资产价格⽅程的推导

13.2 重难点导学

⼀、马尔科夫性质

马尔科夫过程是⼀种特殊类型的随机过程。这个过程所具有的马尔可夫性是指要知道未来状态的概率分布只要知道当前状态即可，知道现在之前状态的历史并不增加任何关于未来状态的概率分布的信息。

通常假设股票价格遵循马尔科夫过程。对股价将来的预测是不确定的，必须以概率分布的⽅式表达。马尔科夫性质隐含了在将来任⼀特定时刻股价的概率分布仅仅取决于股票当前的价格。股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性相⼀致，也就是说，股票现在的价格已经包含了所有未来状态的概率分布的信息，研究股票价格的历史并不⽐当前价格增加任何新的信息。

⼆、连续时间随机变量

（1）维纳过程

维纳过程是马尔科夫过程中变化的期望值为0，⽅差率（即单位时间内发⽣的增量的⽅差）为1.0的特殊形式。这种过程曾在物理学中描述某个粒⼦受到⼤量⼩分⼦碰撞的运动，

有时被称为布朗运动。采⽤严格符号，变量z服从以下两个性质时称为服从维纳过程：性质1：变化量△z与⼩时间区间△t之间满⾜

（13-1）具有如此性质的原因是独⽴随机变量的和对于⽅差具有可加性，从⽽对标准差⽆可加性，因此，⼀段时间的增量的⽅差与时间间隔长度成正⽐，⽽增量的标准差则与时间间隔长度的平⽅根成正⽐。具有如此性质的原因是独⽴随机变量的和对于⽅差具有可加性，从⽽对标准差⽆可加性，因此，⼀段时间的增量的⽅差与时间间隔长度成正⽐，⽽增量的标准差则与时间间隔长度的平⽅根成正⽐。

性质2：对于任何两个不同时间间隔△t，变化量△z相互之间独⽴。由性质1得出，△z 本⾝服从正态分布，并且：

性质2意味着变量z服从马尔科夫过程。

注：第8版教材对图13-1的解释有误，事实上，当Δt越来越⼩时，考虑的时间间隔

Δt

，⽽是因为每⼀个划分的时间区间的长度Δt越短，则所给同样长时间段的长度作为Δt的倍数越⼤，从⽽在同样长的时间内包含的“锯齿”数越多。

赫尔《期权、期货及其他衍生产品》教材精讲(利 率)【圣才出品】

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第4章 利 率

第一部分 本章要点

1．利率的度量与分析利率的基本方式。

2．远期利率、远期利率协议以及利率期限结构的不同理论。

3．利用久期与曲率来确定债券价格对利率的敏感度。

第二部分 重难点导学

4.1 利率的种类

4.1.1 国债利率

国债收益率是投资者投资国库券或国债时所挣得的收益率。国库券和国债是政府借入以

自身货币为计量单位的资金而发行的金融产品。通常认为一个政府不会对其自身发行的以自

身货币为计量的债务违约。因此国债利率为无风险利率，即买入短期和中长期国债的投资者

可以确信国债的本金和利息将会像政府所承诺的那样得到偿还。

4.1.2 LIBOR

LIBOR是伦敦同业银行拆出利率（London Interbank Offered Rate）的缩写，它是一

个参照利率，每天由英国银行家协会（BBA）提供，指此银行给其他大银行提供企业资金时

所收取的利率。

LIBID伦敦同业银行拆入利率（London Interbank Bid Rate LIBID）。银行同意其他银

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行以LIBID利率将资金存入自己的银行。在任意给定时刻，银行给出的关于LIBID与LIBOR

的报价之间会有一个小的溢差（LIBOR略高于LIBID）。这些利率取决于银行的交易行为，

并且不断变动以保证资金供需之间的平衡。

4.1.3 再回购利率

在这一合约中，持有证券的投资者同意将证券出售给合约的另一方，并在将来以稍高价

格将证券买回。合约中的另一方给该投资者提供了资金贷款。证券卖出与买回的差价即为贷

款利息，相应的利率被称为再回购利率（repo rate）。如果将再回购合约精心地设计，交易

中会包含很小的信用风险。如果借款人不遵守合约，那么资金的借出方可以保留证券。如果

赫尔《期权、期货及其他衍生产品》教材精讲(利率期货)【圣才出品】

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1 / 7 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 第6章 利率期货 第一部分 本章要点 1．美国债期货合约 2．欧洲美元期货合约。 第二部分 重难点导学 6.1 天数计算和报价惯例 6.1.1 天数计算 天数计算的惯例一般被表达为X/Y。 X——两个日期之间的天数 Y——参考期限内的总天数 在美国有3种流行的天数计量惯例： ·实际天数／实际天数（actual/actual）； ·30/360； ·实际天数/360。 美国长期国债采用“实际天数／实际天数（期限内）”，美国企业债券和市政债券中采用“30/360”，美国的货币市场产品采用“实际天数/360”，澳大利亚、加拿大以及新西兰的货币市场惯例为“实际天数/365”，除英镑外所有货币的LIBOR利率均为“实际天数 2 / 7 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 /360”，英镑的LIBOR利率为“实际天数/365”，欧元债券通常采用“实际天数／实际天数”惯例。 例6-1：两种天数计量惯例的比较 假定一个债券的本金为100美元，息票支付日期为3月1日和9月1日，息票率为8%，想要计算3月1日与7月3日之间的利息。 采用“实际天数／实际天数（期限内）”的惯例计息为： 采用“30/360”的惯例计息为： 事例6-1 天数计算有时可能会使人迷惑 在2013年2月28日与3月1日之间，你可以选择一个美国国债或一个美国企业债券，两债券的息票率均为10%。两者之间你应选择哪一个呢？ 乍听起来，两者应该没有太大的区别。但事实上你应选择企业债券。在“30/360”天数计算约定下，2013年2月28日与2013年3月1日之间总共有3天。在政府债券的“实际天数／实际天数（期限内）”的天数计算约定下，两个日期之间只有1天。拥有企业债券你所得利息约是拥有政府债券所得利息的3倍。 6.1.2 美元短期债券的报价 货币市场的产品报价有时采用贴现率（discount rate）方式，该贴现率对应于所得利息作为最终面值的百分比而不是最初所付出价格的百分比。 例6-2：如果一个91天的美国短期国债的报价为8，这意味着，每360天所得利息为面值的8%，假定面值为100美元。则： 3 / 7 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 91天内的利息为2.0222美元（=100×0.08×91/360）。 91天的真正的收益率为2.0222/（100-2.0222）=2.064%。 推广：美国的短期国债的现金价格与报价的关系式为： 式中，P——报价； Y——现金价格； n——短期债券以日历天数所计量的剩余天数。 6.1.3 美国长期国债 美国长期国债报价方式：以美元和美元的1/32为单位报出的。所报价格是相对于面值100美元的债券。因此，95-05的价格意味着100000美元面值的债券的价格为90156.25美元，该报价被交易员称为纯净价（clean price）。 现金价即带息价格（dirty price），满足： 现金价格=报价（即纯净价）+从上一个付息日以来的累计利息 例6-3：假设现在时间是2010年3月5日，所考虑的债券具有息票率11%，到期月为2018年7月10日，报价为95-16，即95.50美元。 分析：因为政府债券的券息每半年支付一次（最后一个券息支付日期为债券的到期日）。最近一次付息日2010年1月10日，下一个付息日2010年7月10日； 在2010年1月10日～2010年3月5日，共54天； 在2010年1月10日～2010年7月10日，共181天。 2010年3月5日的累计利息是： 在7月10日所支付的利息累计到2010年3月5日时的数量： 4 / 7 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 则2018年7月10日到期的100美元面值债券现金价格为95.5+1.64=97.14美元。 6.2 美国国债期货 6.2.1 报价 长期国债和中期国债期货合约均是以美元和美元的1/32为单位报出的，这与长期和中期国债在即期市场的报价方式类似。以表6-1中为例。 表6-1 交易所给出的2010年5月26日的利率期货报价 6.2.2 转换因子 当交割某一特定债券时，一个名为转换因子（conversion factor）的参数定义了短头寸方的债券交割价格。债券的报价等于转换因子与最新期货报价的乘积。 现金价格=最新的期货报价×转换因子+应计利息 例6-4：每一个合约对应于交割100000美元面值的债券。假定最新的交割价格为 5 / 7 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 90-O0，交割债券的转换因子为1.38，并且在交割时面值为100美元的债券的应计利息为3美元。 期货短头寸方交割债券时，对于每一面值为100美元的债券，收到的现金为（由期货长头寸方支付） （1.38×90.00）+3=127.20美元 期货短头寸方应交割的债券面值为100000美元，因此收到现金为127200美元。 6.2.3 最便宜交割债券 在交割月份的任意时刻，有许多债券可以用于长期国债期货合约的交割，这些可交割债券有各式各样的息票率与期限。短头寸方从这些债券中可以选出最便宜交割债券（cheapest-to-deliver bond）用于交割。因为： 空头收到的现金量=（最新的期货报价*转换因子）+应计利息 多头买入债券费用=债券报价+应计利息 所以最便宜交割债券是使得： 债券报价-（期货的最新报价×转换因子）最小的债券。 例6-5：期货短头寸方决定交割，可以从以下表中选出最便宜交割债券。假定最近一次的期货报价为93-O8，即93.25美元。交割每种债券的成本如下： 债券1：99.50-（93.25×1.0382）=2.69美元 债券2：143.50-（93.25×1.5188）=1.87美元 债券3：119.75-（93.25×1.2615）=2.12美元 因此，最便宜交割债券为债券2。 6 / 7 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 6.2.4 确定期货价格 例6-6：假定对于某一国债期货已知最便宜交割债券的息票利率为12%，转换因子为1.6。假定期货交割日期为270天以后。券息的支付为每半年一次。由图6-1所示，上一次券息支付为60天以前，下一次券息支付为122天后，再下一次券息支付为305天以后。利率期限结构为水平，利率为年率10%（连续复利）。 图6-1 例6-6中的时间表 假定债券的当前报价为115美元。债券现金价为 在122天（0.3342年）后，债券持有者将收到6美元的利息，该利息的贴现值为6e-0.1×0.3342=5.803 期货合约270（0.7397年）天后到期时的现金价格为 （116.978-5.803）e0.1×0.7397=119.711 在债券交割时，会产生l48天的应计利息。期货的报价为 查表转换因子1.6，最终的期货报价应为 6.3 欧洲美元期货