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必修一的抽象函数

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教学课题 必修一 抽象函数

教学目标 1、理解抽象函数并掌握抽象函数的一般解题策略；

2、通过对抽象函数的研究，进一步加深对函数概念和性质的理解。

重点难点 重点：理解并掌握抽象函数的一般解题策略.

难点：如何将抽象问题具体化，突破抽象性，抓住问题实质.

教学过程 抽象函数

一．复习引入 我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现。学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本节课主要讲解这类问题的解法。先回忆下什么是函数？ 二．新课讲解 抽象函数是相对于具体的函数而言，是没有给出函数解析式或对应法则，只是给出函数所满足的一些性质，抽象函数一般是指满足这些性质的一类函数。求解抽象函数问题，要有扎实的知识基础和较强的抽象思维和逻辑推理能力。随着高考“多考点想，少考点算”精神的突显，抽象函数问题在高考命题中呈现逐渐加强的趋势。 抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的其他性质，如单调性、奇偶性、周期性及函数变换与图像的对称之间的关系，或是求函数值、解析式等。抽象函数问题的解法，主要是“赋值法”、“变换法”和“特例法”。

一般形式

不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数。一般形式为y=f(x)，或许

还附有定义域、值域等，如： y=f(x), (x>0, y>0)。

常见函数的抽象函数形式

幂函数：f(xy)=f(x)f(y)

正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y)

对数函数：f(x)+f(y)=f(xy)

三角函数：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(x)=cosx

指数函数：f(x+y)=f(x)f(y)

周期为n的周期函数：f(x)=f(x+n)

其它表达形式

f(m+x)=f(n-x) 对称轴为(m+n)/2

f(m+x)+f(n-x)=1 关于（(m+n)/2,1/2)对称

f(x+m)=f(x) 周期为m

特殊函数 抽象函数

f (x)= x f (xy) =f (x) f (y)

f (x)= 0 f (x+y)= f (xy)

考点1：求函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值

范围，实际操作时要注意：

① 分母不能为0； ② 对数的真数必须为正；

③ 偶次根式中被开方数应为非负数； ④ 零指数幂中，底数不等于0；

⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；

⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；

⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，

而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏

写。

例1.函数2143fxxx的定义域为（ ）

A．22，， B．2,33，

C．22,33，， D．2，

例2、函数xxxxf0)1()(的定义域是（ ）

A.0|xx B. 0|xx C. 10|xxx且 D. 10|xxx且

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

例1．已知)2(xfy的定义域是][ba，，求函数)(xfy的定义域

例2.已知(21)yfx的定义域是（-2，0），求(21)yfx的定义域

例3、已知函数)1(xfy的定义域为[-2，3]，则12xfy的定义域是

考点5：求函数的值域 1． 求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

例1、322xxy

例2、2285yxx （1）]1,1[x （2）]4,1[x （3）]8,4[x

（2）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2212

2xxxy的值域

例3、1322

22

xxxxy 例4、11

2xxxy

（3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数

例5、xxy21

例6、13432)(xxxf

（4）分段函数分别求函数值域，

例7、53xxy

例8、函数2

22(03)()6(20)xxxfxxxx的值域是（ ）

A．R B．9, C．8,1 D．9,1

（5）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数32

43xyx的值域

例9、11

22

xxy

例10、设函数1

11y

x

的定义域为M，值域为N，那么 （ ）

()A{0},{0}MxxNyy ()B{0},{}MxxNyyR

()C{01,0}Mxxxx且或，{0011}Nyyyy或或

()D{1100}Mxxxx或或， {0}Nyy

（6）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

考点3：求函数解析式

方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数)]([xgf的解析式，则可用换元法或配凑法；

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(xf

题型1：用待定系数法求函数的解析式

例1.已知函数fx是一次函数,且49)]([xxff,求fx表达式.

例2.已知fx是一次函数且22315,2011,fffffx则（ ）

A．32x B．32x C．23x D．23x

例3.二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)解不等式f (x)＞2x＋5.

题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1． 已知二次函数)(xf满足564)12(2xxxf，求)(xf

例2.已知11,fxxfx则_____________。

例3．已知)11(xxf=22

11

xx

，则)(xf的解析式可取为

题型3：求抽象函数解析式

例1． 已知函数)(xf满足xxfxf3)1(2)(，求)(xf

例2、已知：1)(3)(2xxfxf，求fx表达式.

课后作业 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．下列四种说法正确的一个是 （ ） A．)(xf表示的是含有x的代数式 B．函数的值域也就是其定义中的数集B

C．函数是一种特殊的映射 D．映射是一种特殊的函数 2．已知f满足f(ab)=f(a)+ f(b)，且f(2)=p，qf)3(那么)72(f等于 （ ）

A．qp B．qp23 C．qp32 D．23qp

3．下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）

A．xxyy,1 B．1,112xyxxy

C ．33,xyxy D． 2)(|,|xyxy

4．已知函数23212xxxy的定义域为 （ ）

A．]1,( B．]2,(

C ．]1,21()21,( D． ]1,21()21,(

5．设



)0(,0)0(,)0(,1

)(

xxxx

xf，则)]}1([{fff （ ）

A．1 B．0 C． D．1

6．下列图中，画在同一坐标系中，函数bxaxy2与)0,0(babaxy函数的图象只可能

是 （ ）

7．设函数xxxf)11(，则)(xf的表达式为 （ ）

A．xx



11 B． 11



xx C．xx



11 D．12

xx

8．已知二次函数)0()(2aaxxxf，若0)(mf，则)1(mf的值为 （ ）

A．正数 B．负数 C．0 D．符号与a有关 9．已知在x克%a的盐水中，加入y克%b的盐水，浓度变为%c，将y表示成x的函数关系式

（ ）

A．xbcacy B．xcbacy C．xacbcy D．xaccby

10．已知)(xf的定义域为)2,1[，则|)(|xf的定义域为 （ ）

A．)2,1[ B．]1,1[ C．)2,2( D．)2,2[

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）. x y

A x y

B x y

C x y

D

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人教版高数必修一第6讲：函数的奇偶性(教师版)

人教版高数必修一第6讲：函数的奇偶性(教师版)

供学习参考 函数的奇偶性

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1、 理解函数的奇偶性及其图像特征；

2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；

一、函数奇偶性定义

1、图形描述：

函数fx的图像关于y轴对称fx为偶函数；

函数fx的图像关于原点轴对称fx为奇函数

定量描述

一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx，那么称fx为偶函数；如果都有--fxfx，那么称fx为奇函数；如果()()fxfx与--fxfx同时成立，那么函数fx既是奇函数又是偶函数；如果()()fxfx与--fxfx都不能成立，那么函数fx既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

如果函数fx是奇函数或偶函数，那么称函数()yfx具有奇偶性。

特别提醒：

1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，假设所给函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：〔1〕考察函数的定义域是否关于原点对称。假设不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；假设对称，那么进入第二步；〔2〕判断fxfx与fxfx这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。

二、函数具有奇偶性的几个结论

1、yfx是偶函数yfx的图像关于y轴对称；yfx是奇函数yfx的图像关于原点对称。

高中数学必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

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经典高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析

一、函数的概念与表示

1、映射：1对映射定义的理解;2判断一个对应是映射的方法;一对多不是映射,多对一是映射

集合A,B是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A→B的映射f:x,y→x2+y2,xy,求象5,2的原象.

3.已知集合A到集合B＝｛0,1,2,3｝的映射f:x→11x,则集合A中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.

2、函数;构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

1、下列各对函数中,相同的是

A、xxgxxflg2)(,lg)(2 B、)1lg()1lg()(,11lg)(xxxgxxxf

C、 vvvguuuf11)(,11)( D、fx=x,2)(xxf

2、}30|{},20|{yyNxxM给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有

A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个

二、函数的解析式与定义域

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法

待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;

例1 设)(xf是一次函数,且34)]([xxff,求)(xf

配凑法：已知复合函数[()]fgx的表达式,求()fx的解析式,[()]fgx的表达式容易配成()gx的运算形式时,常用配凑法;但要注意所求函数()fx的定义域不是原复合函数的定义域,而是()gx的值域;

例2 已知221)1(xxxxf )0(x ,求 ()fx的解析式

高一数学必修一所有公式归纳

高一数学必修一所有公式归纳

高一数学必修一所有公式归纳

高一数学必修一所有公式归纳是如下：

1、锐角三角函数公式：sinα=∠α的对边/斜边。

2、三倍角公式：sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)。

3、辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)。

4、降幂公式：sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2。

5、推导公式：tanα+cotα=2/sin2α。

数学必修一数学公式如下：

1、2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)。

2、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)。

3、cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a。

4、tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)。

5、-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB。

数学必修一公式归纳：

一、指数与指数幂的运算 1、根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈*.

当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).

当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。

注意：当是奇数时，当是偶数时。

2、分数指数幂。

正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.

3、实数指数幂的运算性质。

2020高一数学必修一：函数周期性及其图像变换(1对1讲义)

2020高一数学必修一：函数周期性及其图像变换(1对1讲义)

函数周期性及其图像变换 一、知识梳理 1. 周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

【例题精讲】

例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．

【归纳总结】

1. 周期性常用的结论：

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；

(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a.

2．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．

变式训练：设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f32＝________.

例2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．

(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；

(2)若f(x)＝x(0

例3、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝ ax＋1，－1≤x＜0，bx＋2x＋1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f12＝f32，则a＋3b的值为________．

题型二、函数的图像及变换

(一)、利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．