龙岩市一级达标学校联盟高中2011年高中毕业班联合考试数学试题(理)

2024-2025学年福建省龙岩市一级校联盟高一上学期11月期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={−1,1,2}，N={x|x2≤2x}，则M∩N= ( )A. {0,1}B. {1,2}C. {−1,0,1,2}D. {−1,0,2}2.命题“∃x<0，x+3>3x”的否定为( )A. ∀x<0，x+3≤3xB. ∀x<0，x+3>3xC. ∃x≥0，x+3>3xD. ∃x≥0，x+3≤3x3.若P:x<2，则P的一个充分不必要条件为( )A. x<3B. x<2C. −8<x<2D. −10<x≤24.函数y=2x2−2x2+2的图象大致为( )A. B.C. D.5.已知函数y=f(x)的定义域为[−1,2]，则函数y=f(x+1)x−1的定义域为( )A. [−2,1]B. [−2,1)C. [0,3]D. (1,3]6.已知f(x)={(a−3)x+4,x≤2,2ax,x>2是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )A. [2,3)B. (2,3)C. (0,3)D. (0,3]7.已知正数m，n满足3m⋅9n=9，则2m +3n的最小值为( )A. 26B. 4+23C. 8+43D. 8+238.已知y =f(x)是R 上的偶函数，对于任意的x ∈R ，都有f(x +4)=f(x)+f(2)成立，且f(1)=−3，当x 1，x 2∈[0,2]且x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立.现给出下列命题：①f(−11)=−3;②函数y =f(x)图象的一条对称轴为x =2;③函数y =f(x)在[−6,−5]上为严格增函数;④方程f(x)=0在[−9,9]上有4个根.其中正确的命题个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。

龙岩市一级校联盟2023—2024学年第二学期半期考联考高一数学试卷（考试时间：120分钟 总分：150分）命题学校：永定一中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()21i 1i z =+⋅−= A ．22i +B ．22i −C ．22i −+D ．22i −−2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b =，712A π=，6C π=，则c =A ．1B ．2CD3.若平面向量()1,2m =−与n 的夹角是180°，且n = ，则n =A ．1,12−B ．1,12−−C ．11,2−D ．11,2 −4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，1cos 2B =−，sin sin a B bC =，则该三角形的形状是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5.已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是 A ．若a α∥，b α∥，则a b ∥ B ．若a b ∥，a α∥，则b α∥C ．若a α⊂，b α⊂，且a β∥，b β∥，则αβ∥D ．α，β，γ三个平面最多可将空间分割成8个部分6.已知平面上四个点()1,2A −，()1,1B ，()2,1C ，()3,4D ，则向量AB 在向量CD上的投影向量为A ．13,1010 −−B ．13,1010 −C ．D ．21,55−7.如图所示，在三棱柱111ABC A B C −中，若点E ，F 分别满足23AE AB = ，23AF AC =，平面11EB C F将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为1V 和2V ，则12:V V =A ．19∶8B ．2∶1C ．17∶10D ．16∶118.已知△ABC 是锐角三角形，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若()()sin sin sin a b A B c B −+=且2b =，则△ABC 外接圆面积的取值范围是 A ．(),2ππB ．(),4ππC ．4,43ππD ．()2,4ππ二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在复数范围内（i 是虚数单位），下列选项正确的是 A ．关于x 的方程310x −=的解为1x = B ．复数()2024i 23iz =+的虚部是5C ．若复数z 满足234i z =+D ．已知a ，b R ∈，若i a −+是关于x 的方程220x bx ++=的一个根，则1a =，2b = 10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是 A ．cos 2cos 2A B A B >⇔< B ．sin 2sin 2A B A B >⇔>C ．若△ABC 是锐角三角形，sin cos A B >恒成立D ．若O 为△ABC 的外心，且7c =，3b =，则20AO BC ⋅=−11.如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，P 是线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是A ．三棱锥1A APD −的体积为定值B ．1A P ∥平面1ACDC ．1AP B P +的最小值为D ．当1A ，C ，1D ，P 四点共面时，四面体111B PA C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数i z x y =+（x ，y R ∈），则复平面内满足1i z m −+=的点Z 的集合围成的图形面积为16π，则实数m = .13.“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计）14.在四面体ABCD 中，AC BC CD ===4AB AD BD ===AB ⊂平面α，E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点，现将四面体以AB 为轴旋转，则线段EF 在平面α上投影长度的取值范围是 .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数1i z a =+（a R ∈，i 为虚数单位）. （1）若()12i z −⋅为纯虚数，求实数a 的值； （2）若1izω=+，且复数ω在复平面内所对应的点位于第四象限，求a 的取值范围. 16.（15分）已知向量()3,4a = ，(),3bx =−.（1）当()()a b a b +⊥− 且0a >时，求a b − ；（2）当()3,7c = ，()a b c +∥ 时，求向量a 与b的夹角的余弦值.17.（15分）如图，梯形ABCD 是圆台12O O 的轴截面，E ，F 分别在底面圆1O ，2O 的圆周上，EF 为圆台的母线，160DO E ∠=°，已知4CD =，8AB =，G ，H 分别为2O B ，BF 的中点.（1）证明：平面CGH ∥平面12O O FE .（2）若三棱锥C -GBH ，求圆台12O O 的侧面积. 18.（17分）如图1，在平面四边形P ABC 中，PA AB ⊥，CD AB ∥，2224CD AB PD AD ====.E 是线段PC 上靠近P 端的三等分点，F 是线段CD 的中点，DE PF M = .将△PDC 沿CD 折成四棱锥P -ABCD ，连接P A ，PB ，BD ，如图2.图1图2（1）在图2中，证明：PA ∥平面. （2）在图1中，求PMMF的值. 19.（17分）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.（1）求出所有可能的三角形的面积.（2）如图，在平面凸四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD =，4DA =.①当A ∠大小变化时，求四边形ABCD 面积的最大值，并求出面积最大时BD 的值.②当1cos2A=时，△ABD所在平面内是否存在点P，使得PA PB PD++达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由.龙岩市一级校联盟2023—2024学年第二学期半期考联考高一数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项ABABDAAD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.题号 9 10 11 选项BCACDABD8.【详解】因为22a b bc −=，所以22a b bc =+.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+−， 所以2222cos b bc b c bc A +=+−，即2b c bcosA =−， 由正弦定理得sin sin 2sin cos B C B A =−，因为()C A B π=−+，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 则sin sin cos cos sin B A B A B =−，即()sin sin B A B =−. 因为△ABC 是锐角三角形，所以02A π<<，02B π<<，所以22A B ππ−<−<.又sin y x =在,22ππ−B A B =−，则2A B =. 因为△ABC 是锐角三角形，所以02B π<<，022A B π<<，032C B ππ<=−<，所以64B ππ<<，由正弦定理得22sin sin b RB B ==，所以222sin sin 46R ππ<<2R <<， 所以外接圆面积()2,4S ππ∈.11.【详解】对于A ，11A APD P AA DV V −−==定值. 对于B ，由1A P ⊂平面11A C B ，平面11A C B ∥平面1ACD ，可得结论正确.对于C ，展开两线段所在的平面，得矩形11ABC D 及等腰直角三角形11B BC ，由余弦定理可计算1AP B P +的最小值为线段1AB .对于D 当1A ，C ，1D ，P 四点共面时，点P 在点B 处，四面体111B PA C 的外接球即正方体的外接球，故外=，所以该球的体积为343R π=. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.4 13.163π14.14.【详解】如图，取AC 的中点G ，AB 的中点Q ，连接EG ，FG ，CQ ，DO ，∵E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，∴GF AB ∥，GE CD ∥，∵AC BC CD ===AB AD ==4BD =，∴122GF AB ==，12GE CD ==，则CQ AB ⊥，DQ AB ⊥，且CQ DQ Q = ，CQ ，DQ ⊂平面CDQ ，∴AB ⊥平面CDQ ，又CD ⊂平面CDQ ，∴AB CD ⊥，∴GE GF ⊥，在Rt △EGF 中，222222CD EF GE GF =+=+ ，当四面体绕AB 旋转时，∵GF AB ∥，AB ⊂平面α，GF ⊄平面α，∴GF ∥平面α，GE 与GF 的垂直性保持不变，且2GF =，长度不变. 当CD 与平面α垂直时，GE 在平面上的投影长最短为0，此时EF 在平面α上的投影11E F 2=，当CD 与平面α平行时，GE 在平面上的投影长最长为2CDGE ==，此时EF 在平面α上的投影11E F ，线段EF 在平面α上的投影长的取值范围是 .四、解答题：本题共5小题，共77分.15.（本题满分13分） 解：（1）()()()()()12i 12i 1i 122i z a a a −=−+=++−.因为()12i z −⋅为纯虚数，所以120a +=，20a −≠， 所以12a =−. （2）由()()11i 1i1i 1i2a a z a ω++−+===++，复数ω所对应的点位于第四象限， 得1010a a +>−<，解得11a −<<.故实数a 的取值范围是()1,1−. 16.（本题满分15分） 解：（1）向量()3,4a =，(),3b x =− ，则()3,1a b x +=+，()3,7a b x −=− .由()()a b a b +⊥− ，可得()()0a b a b +⋅−=，即()()33170x x +−+×=，解得4x =或4x =−. 又0x >，所以4x =，则()4,3b =−，则()1,7a b −=−，所以a b =−=.（2）由()3,7c =，(),3b x =− ，得()3,4b c x +=+ .由()a b c +∥，可得()34430x ×−×+=，解得0x =， 所以5a =，3b = ，()304312a b ⋅=×+×−=− ， 124cos ,535a b a b a b ⋅−<>===−×.所以向量a 与b 的夹角的余弦值为45−.17.（本题满分15分） （1）证明：∵在梯形ABCD 中，4CD =，8AB =， ∴1212O C O B ∥. 又G 为2O B 的中点，∴2212O G O B =， ∴1212O C O G ∥.故四边形12O O GC 为平行四边形，∴12OG O O ∥.又OG ⊂/平面12O O FE ，12O O ⊂平面12O O FE ， ∴CG ∥平面12O O FE .∵G ，H 分别是2O B ，BF 的中点， ∴2GH O F ∥.又GH ⊂/平面12O O FE ，2O F ⊂平面12O O FE ， ∴GH ∥平面12O O FE .又CG GH G = ，CG ⊂平面CGH ，GH ⊂平面CGH ， ∴平面CGH ∥平面12O O FE .（2）解：设12O O h =由（1）可知12OG O O ∥，则CG 为三棱锥C -GBH 的高h . 故13G GB BH C H V S h ∆−=⋅⋅，由160DO E ∠=°，可得260AO F ∠=°， ∴2120BO F ∠=°. 又∵212GH O F ∥，2122BG O B ==，∴11sin1202222GBH S BG HG ∆=⋅⋅⋅°=××=.故1133C GBH GBH V S h h −∆=⋅⋅==， ∴5h =.在Rt △CGB 中，BC =故圆台的侧面积()()122242S r R l ππππ=+=+=. 18.（本题满分17分）（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OE （图略）. ∵CD AB ∥， ∴AOB OOD ∆∆∽，又2CD AB =，所以2OC OA =， 又∵E 是线段PC 上靠近P 端的三等分点， ∴2CE PE =.故OC CEOA PE =， ∴OE PA ∥，∵PA ⊂/平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴PA ∥平面BDE .（2）解：由DE PF M = ，可知D ，E ，M 三点共线，P ，F ，M 三点共线.由P ，F ，M 三点共线，可设PM PF λ=（01λ<<）， ∴1PF PM λ=.∵F 是CD 的中点，∴1122PF PD PC =+ ，∵E 是线段PC 上靠近P 端的三等分点， ∴3PC PE =，故11322PM PD PE λ=+，即322PM PD PE λλ=+ .由D ，E ，M 三点共线，可得3122λλ+=，解得12λ=.故1PMMF= 19.（本题满分17分） 解：（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有可能符合情况的三角形的三边长为12+，3，4和2，31+，4，当三角形三边为12+，3，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值2223341cos 2339θ+−==××，sin θ=，1332S ∆=××=. 当三角形三边为2，31+，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值2224427cos 2448θ+−==××，sin θ=1442S ∆=××=.（2）①连接BD ，由余弦定理知222217cos 28AB AD BD BD A AB AD +−−==⋅，222cos 2CB CD BD C CB CD+−==⋅21312BD −，∴2178cos BD A =−，21312cos BD C =−，∴178cos 1312cos A C −=−，∴2cos 3cos 1A C −=. 又1114sin 23sin 2sin 3sin 22ABCD ABD BCD S S S A C A C ∆∆=+=×××+×××=+， ∴()2222sin 3sin 4sin 9sin 12sin sin A C A C A C +=++.又∵2cos 3cos 1A C −=，∴()22cos 3cos 1A C −=.∴224cos 9cos 12cos cos 1A C A C +−=.故()()22241cos 91cos 12sin sin ABCD S A C A C =−+−+ ()22134cos 9cos 12sin sin A C A C =−++13112cos cos 12sin sin A C A C =−−+()1212cos 24A C =−+≤，当且仅当A C π+=时，224ABCD S =，ABCD S 取得最大值，此时A C π+=，2cos 3cos 1A C −=，∴2cos 3cos 1A A +=，1cos 5A =，1cos 5C =−，2771312cos 5BD C =−=，BD =. ②把△APD 绕A 逆时针旋转60°，如图，则1P P →，1D D →，连接1BD .1APP ∆为等边三角形，则1AP PP =，11PD PD =，14AD AD ==，1133D AB D AD DAB ππ∠=∠+∠=+23π=， ∴1111PA PB PD PP PB PD BD ++=++≥（当且仅当1D ，1P ，P ，B 共线时取得最小值）， 此刻22211122cos1164213BD AB AD AB AD π=+−=++=，.。

2014年福建省龙岩市一级达标学校联盟高中毕业班联合考试数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．1．复数(32)z m mi =-+（m R ∈，为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合2{(2)20}A x x a x a =-++=，2{540}B x x x =-+=集合AB 中所有元素之和为7，则实数a 的取值集合为A ．{0}B ．{02}，C ．{12,4}，D ．{012,4}，， 3．已知命题:,ln 2p x R x x ∃∈>+，命题2:,log 0q x R x ∀∈≥A. 命题q p ∨是假命题B. 命题q p ∧是真命题C. 命题)(q p ⌝∧是真命题D. 命题)(q p ⌝∨是假命题4．阅读程序框图，若输入4,6m n ==，则输出,a i 分别是 A ．12,3a i == B ．12,4a i == C ．8,3a i ==D ．8,4a i ==5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的A ．2B. 92C. 32D. 36．数列{}n a 满足13a =-，111n n n a a a ++=--，其前n 项积为n T ， 则2014T =（第4题图） 正视图 侧视图xA ．32B ．16-C ．23 D ．6-7．有四个函数分别是：①()21f x x =+；②()x f x e =；③()ln f x x =； ④()sin f x x = ．对于满足：对定义域内的任意x ，都有(2)()2(1)f x f x f x ++≥+的函数()f x 有（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=＞＞的左、右焦点分别为12,F F ，点(1,2)M 为双曲线C 右支上一点，且2F 在以线段1MF 为直径的圆的圆周上，则双曲线C 的离心率为A ．12+B ．122-C ．223+D ．226+ 9．已知非零向量,a b 的夹角为θ，3a b +=，1a b -=，则θ的取值范围是 A ．03πθ≤≤ B ．32ππθ≤<C ．62ππθ≤<D ．203πθ<<10. 如图二次函数2(0)y ax c a =++<的图像过点(,4)C t ， 且与x 轴相交于,A B 两点，若AC BC ⊥，则a 的取值为A ．1-B ．14-C ．12- D ．4-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．定积分11(1)x dx --⎰的值为 .12．已知7270127()x m a a x a x a x -=++++的展开式中3x 的系数是35，则1237a a a a ++++= .13．若不等式组303002x y kx y x -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则实数k 的值是 .14．代数式+++11111（“ ”表示无限重复）是一个固定的值，可以令原式t =，由t t =+11解得t =用类似的方法可得 +++222= .15．已知不等式(12)(ln ln )0mn m n -⋅-≥对任意正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）已知α为锐角，且tan 1α=-．若(4,1)m x = ，2(cos (),tan 2)8n παα=+，函数()f x m n =⋅.（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）若数列{}n a 的首项11a =， 1()n n a f a +=，求数列{}n a 的前n 项和n S .（第10题图）17．（本小题满分13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.规定 PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标.某市环保局从过去一年的市区PM2．5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶). 10个数据中有y x ,两个数据模糊，无法确认，但知道这10个数据的中位数为45.（Ⅰ）求x 的值； （Ⅱ）从这10个数据中抽取3天的数据，求至少有 1天空气质量超标的概率；（Ⅲ）把频率当成概率来估计该市的空气质量情况， 记ξ表示该市空气质量未来3天达到一级的天数，求ξ的分布列及数学期望.18．（本小题满分13分）如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD ∆是以A BCD ∆为正三角形，且4BD =，AC 与BD 交于点O （如图甲）.现沿BD ，使得折起后∠(0)AOC θθπ=<<（如图乙）. （Ⅰ）证明：不论θ在(0,)π内为何值，均有AC BD ⊥（Ⅱ）当三棱锥A BCD -求二面角B AD C --的余弦值.19．（本小题满分13分）已知椭圆:E 1422=+y x 的短轴端点分别为,A B 交于D C ,两点，其中点)21,(m M 满足0≠m ，且3±≠m . （Ⅰ）若BM AM ⊥，求m 的值； （Ⅱ）证明：CD 所在直线与y 轴交点的位置与m 20．（本小题满分14分）已知t R ∈,设函数323(1)()312t f x x x tx +=-++. （Ⅰ）若()f x 在(0,2)上无极值，求的值；（Ⅱ）若存在0(0,2)x ∈，使得0()f x 是()f x 在[]0,2上的最值，求的取值范围；（Ⅲ）当1t =时，若2()552x f x xe x x m ≤-+-+（e 为自然对数的底数）对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按照所做的前两题计分. （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵5320A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若存在一矩阵1312P -⎛⎫= ⎪-⎝⎭使得1A PBP -=.试求（Ⅰ）矩阵B ； （Ⅱ）3B ．2 3 4 6 7 8 82 1 4x 4y 92 48 PM 2.5日均值（微克/立方米）（第17题图） 甲 乙AC （第18题图）（第19题图）（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xoy 内，点(,)P x y 在曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上运动.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为cos()04πρθ+=.（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线C 相交于A B 、两点，点M 在曲线C 上移动，求ABM ∆面积的最大值.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式()011>≥-+-a a ax ax . （Ⅰ）当1=a 时，求此不等式的解集；（Ⅱ）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并指出了一种或者几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分50分. 1-5 DDCAD 6-10 ABAAB二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分20分11．-1 12．1或127 13．-1或0 14．2 15．34m ≤≤三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查二倍角公式、降幂公式、向量的数量积、递推数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想，函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）(4,1)m x = ,2(cos (),tan 2)8n παα=+, ()f x m n =⋅2()4cos ()tan 28f x x παα∴=++()2(1cos(2))tan 24f x x παα∴=+++ ………………………………4分由1)12(1)12(2tan 1tan 22tan 22=---=-=ααa α 是锐角， 42πα=∴cos(2)04πα∴+= 12)(+=∴x x f . ………………………7分 （Ⅱ）)(,111n n a f a a ==+ ，121+=∴+n n a a ， ………………………9分)1(211+=+∴+n n a a , 2111=+++n n a a , {}1+∴n a 是首项为11+12a ==，公比2=q 的等比数列,12-=∴n n a …11分 n n S n n n --=---=+2212)12(21. …………………………………13分17．本小题主要考查茎叶图、样本中位数、古典概型，独立重复试验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）由题意可知4524440=++x 解得6=x . ……………………3分（Ⅱ）没有一天空气质量超标的概率为37310724C C =至少有一天空气质量超标的概率为71712424-=. …………………7分 （Ⅲ）3,2,1,0=ξ ………………………8分12527)53()0(3===ξP 12554)53)(52()1(213===C P ξ 12536)53()52()2(223===C P ξ 1258)52()3(3===ξP ξ∴的分布列为Pξ∴数学期望 2754368601231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………13分18．本小题主要考查直线与直线、平面与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）由ABC ADC ≅可知AC 既是等腰ABD ∆也是等边BCD ∆的角平分线，也是高，所以AO ⊥BD ，CO ⊥BD …………………………2分由于在平面图形中，AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，折起后这种关系不变，且AO CO O ⋂= 所以折起后BD ⊥平面AOC ， ……………………………4分 又AC ⊂平面AOC ，故BD ⊥AC ，即不论(0,)θπ在内为何值，均有AC BD ⊥. …………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD ⊥平面AOC ，又BD ⊂平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BCD过点A 作AE ⊥OC 于点E ，因为平面AOC ⋂平面BCD OC =， 所以AE ⊥平面BCD ，即AE 是三棱锥A BCD -的高，在Rt AOE ∆中，sin 2sin AE AOθθ==，1442BCD S ∆=⨯⨯故三棱锥A BCD -的体积为12sin 3V θθ=⨯=， 当三棱锥A BCD -sin 1θ=，此时点E 与点O 重合.…9分 解法一：由上面证明易得CO ⊥平面ABD ，过O 点作OF ⊥AD 于点F ，连接CF ， 因为AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥OC ，又OF ⋂OC =O ， 所以AD ⊥平面OFC ，所以AD ⊥CF ，则∠OFC 就是二面角B AD C --的平面角. ………11分 在Rt OFC ∆中，OF，OC=，所以CF所以cos OF OFC CF ===∠ 所以二面角B AD C --. …………………………13分 解法二：根据上面的证明过程可知OC 、OD 、OA 两两垂直，则分别以OC 、OD 、OA 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0），D （0，2，0），A （0，0，2），(23,2,0),(0,2,2)CD AD =-=-， 设平面ACD 的法向量为(,,)mx y z =则0203,(3,3,3)22003x m CD y y m y z m AD z ⎧=⎧⎧=⎪-+=⎪⎪⇒⇒==⎨⎨⎨-=⎪=⎪⎩⎪⎩=⎩取又平面ABD 的一个法向量(1,0,0)n =，所以7cos ,7||||m n m n m n <>==显然所求角是锐二面角， 所以二面角B AD C --. ………13分 19．本小题主要考查椭圆标准方程与性质、直线与圆锥曲线位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等．满分13分． 解：（Ⅰ） )1,0(),1,0(-B A ，)21,(m M ∴13(,),BM (,)22AM m m =-=. ………2分又BM AM ⊥∴0=⋅即432=m ，解得23±=m . ……5分（Ⅱ）直线AM 的斜率为m k 211-=，直线BM 斜率为m k 232=.∴直线AM 的方程为121+-=x m y ，直线BM 的方程为123-=x my .…6分 （第18题图）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+,121.1422x m y y x 得04)1(22=-+mx x m ，14,0221+==∴m m x x .)11,14(222+-+∴m m m m C ……………………………………8分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+1231422x m y y x 得012)9(22=-+mx x m ， 912,0221+==∴m m x x )99,912(222+-+∴m m m m D ……………………10分据已知，3,02≠≠m m .∴直线CD 的斜率m m m m m m m m m m m m m m k 43)3(4)3)(3(9121499112222222222+-=---+=+-++--+-=∴直线CD 的方程为)14(43112222+-+-=+--m mx m m m m y . ………12分 令0=x ，得,2=y ∴CD 与y 轴交点的位置与m 无关. …………13分20．本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等．满分14分． 解：（Ⅰ）2()33(1)33(1)()f x x t x t x x t '=-++=--，又()f x 在(0,2)无极值1t ∴= …………………………………………3分（Ⅱ）①当0t ≤时，()f x 在(0,1)单调递减，在(1,2)单调递增，()f x ∴在[]0,2的最小值为13(1)22f t =+ ②当01t <<时，()f x 在(0,)t 单调递增，在(,1)t 单调递减，在(1,2)单调递增，(1)(0)f f ∴≤或()(2)f t f ≥由()(2)f t f ≥得：3234t t -+≥在01t <<时无解(1)(0)01f f t ≤⎧∴⎨<<⎩ 103t ∴<≤ ③当1t =时，不合题意；④当12t <<时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)t 单调递减，在(,2)t 单调递增， (1)(2)12f f t ≥⎧∴⎨<<⎩或()(0)12f t f t ≤⎧⎨<<⎩ 即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩或3213112212t t t ⎧-++≤⎪⎨⎪<<⎩ 523t ∴≤<或3t ≤（舍去）⑤当2t ≥时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，max 13()(1)22f x f t ∴==+ 综上：15,,33t ⎛⎤⎡⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭时，存在0(0,2)x ∈，使得0()f x 是()f x 在[]0,2上的最值. …………………………………………………8分 （Ⅲ）当1t =时，若2()552xf x xe x x m ≤-+-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立即322331552x x x x xe x x m -++≤-+-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立32221x m xe x x x ∴≤--++，即2(22)1x m x e x x ≤--++对任意[)0,x ∈+∞恒成立 令2()22xg x e x x =--+，[)0,x ∈+∞()22x g x e x '=--,若000()220x g x e x '=--=，即0022x e x =+则002x <<022min 000000()()222222x g x g x e x x x x x ∴==--+=+--+2040x =-> ()0xg x ∴≥，()11xg x ∴+≥，1m ∴≤. ……………………14分21．（1）本小题主要考查矩阵的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分７分． （Ⅰ）设矩阵,a b B c d ⎛⎫=⎪⎝⎭则由 1A PBP -=得AP PB =即531313,201212a b c d --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得32392226a cb d ac bd -+=-⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩ 解得2,0,0,3a b c d ====，即20.03B ⎛⎫=⎪⎝⎭………………4分 （Ⅱ）由（1）知2202040,030309B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以324020800903027B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……………………7分 （2）本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分７分． 解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为：22(1)1x y -+=直线的直角坐标方程：y x =. ……………………3分（Ⅱ）圆心（1，0）到直线的距离d =， 则圆上的点到直线的最大距离为d r +||AB ==所以ABM ∆面积的最大值为11)2ABM S ∆=+=.……7分（3）本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．满分７分．解：（Ⅰ）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或,∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞． ……………… 3分（Ⅱ）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． …………… 7分。

5 5 3 3
◆答案：
5 , 4 4
5 5 3 3 3
★解析： 不等式 cos sin 7(sin cos ) 等价于 sin 又 f ( x) x
3
1 5 x 是 (,) 上的增函数，所以 sin cos ， 7 5 (k Z)． 故 2k 2k 4 4
3(a1 a 2 a 3 a 4 ) (1) 3 5 8 15 ，故 a1 a 2 a 3 a 4 5 ，
于是集合 A 的四个元素分别为 5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3， 因此，集合 A {3, 0, 2, 6} ．
2011A 2、函数 f ( x )
0
3
★解析： 设四面体 ABCD 的外接球球心为 O ， 则 O 在过△ ABD 的外心 N 且垂直于平面 ABD 的垂线 上．由题设知， ABD 是正三角形，则点 N 为 ABD 的中心．设 P, M 分别为 AB, CD 的中点，则
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ACB 90 0 ，则点 C 的坐标为
◆答案： (1,2) 或 (9,6) ． ★解析： 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), C (t ,2t ) ， 由
2
x 2 y 1 0, 2 得 y 8y 4 0 ， 则 y1 y 2 8 ， 2 y 4 x ,
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于是 0 a 1 1 b 2 ．
10 1． b2 10 10 ] | lg[6(b 2) ]． 从而 f (10a 6b 21) | lg[6(b 2) b2 b2 10 ] 4 lg 2 ， 又 f (10a 6b 21) 4 lg 2 ，所以 lg[6(b 2) b2 10 1 16 ．解得 b 或 b 1 （舍去） 故 6(b 2) ． 3 b2 1 2 把 b 代入 ( a 1)(b 2) 1 解得 a ． 3 5 2 1 所以 a ， b ． 5 3