2019年四川省广元市高考数学一诊试卷(文科)

2019 届四川省凉山州高三上学期一诊考试数学 ( 文) 试题 Word 版含答案④命题“ x R ， x ln x 0”的否认是“ x 0R， x 0ln x 00 ”．此中正确结论的个数是（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个11. 公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无穷增添时，多边形面积可无穷迫近圆的面积，并创办了“割圆术” ．利用“割圆术”刘徽获得了圆周率精准到小数点后边两位的近似值 3.14 ，这就是有名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为（ ）（参照数据：3 1.732，，）sin15 0.2588 sin7.5 0.1305A ．12B ．24C ．36D ．4812. 若直线 ax y 0（ a 0 ）与函数 f ( x)2cos 2 x 1图象交2 xlnx2于不一样的两点 A ， B ，且点 C(6,0)，若点 D (m, n) 知足DA DB CD，则 m n （）A ．1B ．2C ．3D ． a第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 在棱长为 1 的正方体 ABCD A' B'C ' D '中，异面直线 A' D 与 AB '所成角的大小是．x 2,14. 若x，y知足不等式x y 6, 则z x y 的取值范围x 2 y0,是．15.设数列 a n是首项为1公比为2的等比数列前n项和S n，若 log 4 (S k 1) 4 ，则k．16. 已知函数f (x)2x1，则 f ( 1 ) f ( 2) ⋯ f ( 2016)．2x1201720172017三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.（1）等差数列a n的各项均为正数，a13，前 n 项和为S n，S10120 ，求 a n；（2）已知函数 f (x) 2 3 sin x cos x2cos 2x 1 ，x，求 f ( x)的值63域．18.化为推出一款 6 寸大屏手机，现对 500 名该手机使用者（200 名女性， 300 名男性）进行检查，敌手机进行打分，打分的频数散布表以下：女性用户：分值[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)区间频数2040805010男性用户：分值[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)区间频数4575906030（ 1）假如评分不低于 70 分，就表示该用户敌手机“认同”，不然就表示“不认同” ，达成以下 2 2 列联表，并回答能否有 95% 的掌握以为性别敌手机的“认同”相关：女性男性共计用户用户“认同”手机“ 不 认可”手机共计附：P(K 2k)0. 0.k05013. 6.84 631 5K 2n(a d b c)2(a b)(c d )(a c)(b d)（2）依据评分的不一样，运用分层抽样从男性用户中抽取20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中随意抽取 2 名用户，求 2 名用户中评分小于 90 分的概率．19.如图，已知四边形 ABCD 和 BCGE 均为直角梯形， AD / / BC ，，平面ABCD平面CE / /BG且BCD BCE2BCGE ， BC CD CE2AD 2BG 2．（1）求证：AG / /平面BDE；（2）求三棱锥G BDE的体积．20. 设椭圆E ：x2y21(a b 0) 的离心率为1，上一点P到右E焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆E的方程；（2）过点(0, 2)且倾斜角我60的直线交椭圆E于A，B两点，求 AOB 的面积．21.设 k R ，函数f (x) ln x kx．（1）若k 2，求曲线y f ( x)在P(1, 2)处的切线方程；（2）若f ( x)无零点，务实数k的取值范围．请考生在 22、23 题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分 .22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1的参数方程为x 3t2 （ t 为参y 4t1数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴（两坐标系取区间的长度单位）的极坐标系中，曲线 C 2 ： 2sin ．（ 1）求曲线 C 1的一般方程与曲线 C 2的直角坐标方程；（ 2） M ， N 分别是曲线 C 1 和曲线 C 2 上的动点，求 | MN | 最小值．23. 选修 4-5: 不等式选讲 已知函数 f ( x) | x 1| | x | a ．（1）若不等式 f ( x) 0 的解集为空集， 务实数（2）若方程 f ( x) x 有三个不一样的解， 务实数a 的取值范围； a 的取值范围．2019 届四川省凉山州高三上学期一诊考试数学（文）试题答案一、选择题题12345678910 11 12号答BCDABAACBDBC案二、填空题13.14.2,215.816.20163三、解答题17.解：（1）由题意得设数列a n的公差为d，此时S1010(a1a10 ) 10(a1a19d)，22120解得 d 2 ，∵x，进而 0 2 x，633∴ 2 x30 时，f ( x)min0； 2x32 时，f ( x)max2，故函数 f ( x) 的值域为0,2 ．18.解：（1）女性用户和男性用户的频次散布表分别以下左、右图：由图可得女性用户的颠簸小，男性用户的颠簸大．（2）2 2列联表以以下图：女性男性共计用户用户“认同”140 180320手机“不认60 120180可”手机共计200 3005002500(140 120 180 60)2 5.208 3.841 ，因此有95%的掌握以为性别和200 300 320 180敌手机的“认同”相关．（3）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，此中评分小于 90 分的人数为 4，记为 A ，B ，C ，D ，评分不小于90 分的人数为 2，记为a，b，从6人中任取 2人，基本领件空间为AB, AC, AD, Aa, Ab, BC, BD , Ba, Bb, CD, Ca, Cb, Da, Db, ab ，切合条件的共有9 个元素，此中把“两名用户评分都小于90 分”记作M，则 MAB, AC, AD, BC,BD,CD 共有6个元素．全部两名用户评分都小于90 分的概率为3．519.（1）证明：∵平面ABCD平面BCEG，平面ABCD平面∴EC 平面 ABCD ，以 C 为原点， CD 为x轴， CB 为 y 轴， CE 为z轴，成立空间直角坐标系，则 B(0,2,0)， D (2,0,0)， E(0,0,2) ， A(2,1,0) ， G (0,2,1) ，设平面 BDE 的法向量为m ( x, y, z)，EB (0, 2, 2) ， ED (2,0, 2) ，∴ m EB 2 y 2z0,取 x1，得n(1,1,1)，m ED2x 2z0,∵AG ( 2,1,1) ，∴ AG n 0 ，∴ AG n ，∵AG 平面 BDE，∴ AG//平面 BDE．（2）V G DBE V D BEG1S BEG h ，3∵CD BC ，面 ABCD 面 BVEG ，而面 ABCD 面 BCEG BC ，∴ CD 平面 BCEG ，∴ h CD 2 ，∴V G BDE11 1 2 22．32320. 解：（1）由题意得c 1，且 a c 1 ，∴ a 2 ， c 1 ，a 2故 b2a2c2 3 ，∴椭圆的方程为x2y2 1．43（2）过点P(0, 2)的直线l的方程为：y3x 2 ，代入椭圆方程立，x2y2 1，可得 15 x216 3x 40 ，鉴别式0 恒成43设 A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 x1x216153，x1 x2154，∴|AB|1k 2 | x1x2 | 2 ( x1 x2 ) 24x1 x2415 177，由点 O 到直线 AB 的距离d2 1 ，1k 2∴SABC | AB| 2 177．2d1521. 解：（1）区间(0, )上，f '(x) 1 k1kxx x，当 k 2 时，f '(1) 1 21，则切线方程为 y(2)( x 1) ，即 x y 1 0 ．（2）①若a0 时，则f'( x)0 ， f ( x) 是区间 (0,) 上的增函数，∵ f (1)k0 ， f (e k )k ke a k(1e k ) 0 ，∴ f (1) f (e k )0 ，函数 f ( x) 在区间 (0,) 有独一零点；②若 k0 ，f ( x) ln x有独一零点 x 1 ；③若k0，令f '( x)0，得x1，k在区间 (0,1 ) 上，f'(x) 0 ，函数 f (x) 是增函数；k在区间 (1,) 上，f '( x) 0，函数 f (x) 是减函数；k故在区间 (0,) 上， f (x) 的极大值为11ln k 1，f ( ) ln1k k因为 f (x) 无零点，须使1，解得 k1，f ( k )ln k 1 0e故所务实数 k 的取值范围是 (1 ,) ．ex 3t2,∴ x2 y 1，整理得4 x 8 3 y 3 ，22. 解：（1）C1：x 2y 1,343 4∴C1的一般方程为 4x 3 y 11 0，曲线 C2：2sin ，22sin ，x2y2 2 y 0，整理得 x2y2 2 y 1 1 ，∴ C2直角坐标方程： x2( y 1)21．（2）如图，圆心O(0,1)到直线 C1的距离为d ，d|3 11|8，55∴ | MN |min d r53．23. 解：（1）若a 0，f ( x)1, x1,| x1| | x | 2x1,1 x 0,1, x0,∴当x 时，不等式即10，解得x；1当1x 0时，不等式2x10，解得 x1，综合可得1x0 ；22当 x0时，不等式即10 恒成立，故不等式的解集为x 0．综上，不等式的解集为[ 1 , ) ．2（2）设u(x) | x 1| | x |，则函数u( x)的图象和y由题意可知，把函数 y u( x) 的图象向下平移（不包含 1 个单位）与y x的图象一直有 3x的图象如图，1个单位之内个交点，进而1 a0 ．。

2019年四川省达州市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝{x|x（x﹣1）≤0}，A＝{1}，则∁U A＝（）A．[0，1]B．（0，1）C．[0，1）D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）2．（5分）复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“m≥2”是“x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）运行如图所示的程序框图，输出的x是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣55．（5分）在等差数列{a n}中，a n≠0（n∈N*）．角α顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点（a2，a1+a3），则＝（）A．5B．4C．3D．26．（5分）b是区间上的随机数，直线y＝﹣x+b与圆x2+y2＝1有公共点的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）如图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（）A．4πB．2πC．D．π8．（5分）f（x）是R上周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+4）．则f（﹣3）+f（98）＝（）A．2﹣log25B．2C．2+log25D．49．（5分）抛物线M：x2＝4ay（a＞0）和双曲线N：（b＞0）没有公共点，则双曲线N的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．10．（5分）函数y＝log2（x+1）与函数y＝﹣2x3+3x2在区间[0，1]上的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）扇形OAB的半径为1，圆心角为90°，P是上的动点，的最小值是（）A．0B．﹣1C．D．12．（5分）若是（0，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．[1，e2]B．[e，e2]C．[e，+∞）D．[e2，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）计算：cos570°＝．14．（5分）在等比数列{a n}中，a2+a3＝2，a5+a6＝16，数列{a n}的公比为．15．（5分）若x，y满足：，则x+3y的最大值是．16．（5分）记[x]为不超过x的最大整数，如[0.8]＝0，[3]＝3，当0≤x＜π时，函数f（x）＝sin（[x]π+x）的最大值是[结果可用三角函数式子（如sin1）表示]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且cos2A+cos B cos C+1＝sin B sin C．（1）求角A；（2）若a＝，c＝2，求b．18．（12分）S n是数列{a n}的前n项和，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}是等比数列，b n＞0（n∈N*），，，求数列{b n}的前n 和T n．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°．（1）求证：PC⊥AB；（2）E为PC的中点，F是线段PB上的点，已知三棱锥P﹣ABC的体积为V，三棱锥F ﹣ABE的体积为，求证：EF∥平面ABC．20．（12分）对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量T（单位：吨）的频率分布直方图，如图一．（1）根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量；（2）已知该居民月用水量T与月平均气温t（单位：°C）的关系可用回归直线模拟．2017年当地月平均气温t统计图如图二，把2017年该居民月用水量高于和低于的月份作为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，求这2个月中该居民恰有1个月用水量超过的概率．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+a．（1）当a＝1时，判断函数y＝f（x）零点个数；（2）当x≥1时，不等式xf（x）≤a（x﹣1）恒成立，求正实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是为参数），直线l的参数方程是为参数，0≤β＜π）．l与C相交于A、B．以直角坐标系xOy的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程和极坐标方程；（2）若，求β．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）＝|2x+2|+|x﹣3|．（1）解不等式：f（x）≥7；（2）记函数f（x）的最小值为a，已知m＞0，n＞0，且2m+n＝a，求证：．2019年四川省达州市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：全集U＝{x|x（x﹣1）≤0}＝[0，1]，A＝{1}，则∁U A＝[0，1）故选：C．2．【解答】解：复平面内表示复数＝＝1﹣i，对应点为：（1，﹣1）在第四象限．故选：D．3．【解答】解：x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立⇔△≤0⇔m≥1，∵m≥2⇒m≥1，m≥1推不出m≥2，∴“m≥2”是“x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立”的充分不必要条件．故选：A．4．【解答】解：模拟运行如图所示的程序框图知，该程序运行后输出的x＝﹣3＝﹣2．故选：A．5．【解答】解：角α顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点（a2，a1+a3），可得tanα＝＝＝2，则＝＝＝4．故选：B．6．【解答】解：b是区间上的随机数．即﹣2，区间长度为4，由直线y＝﹣x+b与圆x2+y2＝1有公共点可得，，∴﹣，区间长度为2，直线y＝﹣x+b与圆x2+y2＝1有公共点的概率P＝＝，故选：C．7．【解答】解：应用可知几何体的直观图如图：是圆柱的一半，可得几何体的体积为：＝2π．故选：B．8．【解答】解：依题意f（﹣x）＝f（x）且f（x+2）＝f（x），∴f（﹣3）＝f（﹣3+2×2）＝f（1）＝log2（1+4）＝log2 5，f（98）＝f（49×2+0）＝f（0）＝log2（0+4）＝2，故f（﹣3）+f（98）＝2+log2 5故选：C．9．【解答】解：将x2＝4ay（a＞0）代入到，整理可得ay2﹣4b2y+ab2＝0，∵抛物线M：x2＝4ay（a＞0）和双曲线N：（b＞0）没有公共点，∴△＝（4b2）2﹣4a2b2＜0，∴4b2＜a2，∴4（c2﹣a2）＜a2，即4c2＜5a2，∴＜，∴e＝＜，∵e＞1，∴1＜e＜，故选：D．10．【解答】解：由y＝﹣2x3+3x2得：y′＝﹣6x2+6x，得：y″＝﹣12x+6，当0＜x时，y″＞0，即函数图象在此区间越来越陡峭，当＜x＜1时，y″＜0，即函数图象在此区间越来越平缓，故选：A．11．【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；设点P（x，y），则；∴＝（x，y），＝（1，0），＝（0，1），∴＝x﹣y；由图形可知，当x＝0，y＝1时，上式取得最小值是﹣1．故选：B．12．【解答】解：当x＞a时，f（x）＝x﹣xlnx的导数为f′（x）＝1﹣1﹣lnx＝﹣lnx，由题意可得﹣lnx≤0在x＞a恒成立，可得a≥1，①由0＜x≤a时，f（x）＝x+﹣4a的导数为f′（x）＝1﹣，由f′（x）≤0，解得﹣3a≤x≤a在0＜x≤a恒成立，即有a＞0，②由f（x）为（0，+∞）上的减函数，可得a+﹣4a≥a﹣alna，即为lna≥2，可得a≥e2，③由①②③可得a的范围是a≥e2，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：cos570°＝cos（720°﹣150°）＝cos150°＝﹣cos30°＝．故答案为：．14．【解答】解：等比数列{a n}中，a2+a3＝2，a5+a6＝16，则：，解得：q＝2．故答案为：2．15．【解答】解：画出x，y满足：的平面区域，如图：由，解得A（1，1）而z＝x+3y可化为y＝﹣x+，由图象得直线过A（1，1）时z最大，z的最大值是：4，故答案为：4．16．【解答】解：当0≤x＜1时，f（x）＝sin（[x]π+x）＝sin x，且f（x）∈[0，sin1）；当1≤x＜2时，f（x）＝sin（[x]π+x）＝sin（π+x）＝﹣sin x，由sin1＜sin2，可得f（x）∈[﹣1，﹣sin1]；当2≤x＜3时，f（x）＝sin（[x]π+x）＝sin（2π+x）＝sin x，由sin1＜sin2，可得f（x）∈（sin3，sin2]；当3≤x＜π时，f（x）＝sin（[x]π+x）＝sin（3π+x）＝﹣sin x，可得f（x）∈[﹣sin3，0）；则f（x）的最大值为sin2．故答案为：sin2．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（1）由题意得：cos2A+cos B cos C+1＝sin B sin C，整理后：cos2A+1＝sin B sin C﹣cos B cos C＝﹣cos（B+C）＝cos A＝2cos A2﹣1+1，化简结果后得．∵A∈（0，π），∴．（2）由余弦定理得：，由于若a＝，c＝2，整理得：b2﹣2b﹣3＝0，解得：b＝3或b＝﹣1，又∵b＞0，∴b＝3．18．【解答】解：（1）S n是数列{a n}的前n项和，（n∈N*）①，当n≥2时，②，①﹣②得：所以：a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣1由于：a1＝1（符合通项），故：a n＝2n﹣1．（2）由于：a n＝2n﹣1，所以：设公比为q的数列{b n}是等比数列，由于b n＞0（n∈N*），所以：q＞0．＝，＝，则：，解得：q＝．所以：，．19．【解答】证明：（1）∵P A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴P A⊥AB，∵∠BAC＝90°，即BA⊥AC，AC和P A是平面P AC内两相交直线，∴AB⊥平面P AC，∵PC⊂平面P AC，∴AB⊥PC；（2）设点C到平面P AB的距离为d，点A到直线PB的距离为h，∵E为PC的中点，∴点E到平面P AB的距离为．又△P AB的面积，△F AB的面积．∴，，∵三棱锥F﹣ABE的体积为，∴，∴FB＝，∴EF∥BC，∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC．20．【解答】解：（1）由图一知，该居民月平均用水量为＝（0.0375×2+0.05×6+0.075×10+0.05×14+0.0375×18）×4＝10；（2）由回归直线方程知，对应的月平均气温为t＝（10﹣2）÷0.4＝20（°C），根据图二可得，该居民2017年5月和10月的用水量刚好为，且该居民2017年有4个月每月用水量超过，有6个月每月用水量低于；因此用分层抽样的方法得到的样本中，有2个月（记为A、B）每月用水量超过，有3个月（记为c、d、e）每月用水量低于；从这5个月中随机抽取2个月，基本事件是AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种不同的取法；其中恰有1个月用水量超过的6种，故所求的概率为P＝＝，即所抽取的这2个月中恰有1个月用水量超过的概率为．21．【解答】解：（1）∵a＝1，f（x）＝lnx﹣ax+a，∴f（x）＝lnx﹣x+1，且x＞0，∴f′（x）＝＝，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减，又f′（1）＝0，∴f（x）极大＝f（1）＝0，即f（x）max＝0．∴函数y＝f（x）零点数为1．（2）∵f（x）＝lnx﹣ax+a，∴当x≥1时，不等式xf（x）≤a（x﹣1）恒成立等价于：当x≥1时，a（x2﹣1）﹣xlnx≥0恒成立，设g（x）＝a（x2﹣1）﹣xlnx（x≥1），则g′（x）＝2ax﹣lnx﹣1，令h（x）＝2ax﹣lnx﹣1，x≥1，则h′（x）＝，当a时，≤1，∴h′（x）≥0，∴g′（x）递增，即g′（x）≥g′（1）＝2a﹣1≥0，故g（x）递增，∴g（x）≥g（1）＝0，∴当x≥1时，a（x2﹣1）﹣xlnx≥0恒成立，当0＜a＜时，＞1，若1＜x＜，则h′（x）＜0，g′（x）递减，g′（x）＜g′（1）＝2a﹣1＜0，∴g（x）递减，即g（x）＜g（1）＝0，这与当x≥1时，a（x2﹣1）﹣xlnx≥0恒成立矛盾．综上，实数a的取值范围是[）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【解答】解：（1）曲线C的参数方程是为参数），转换为直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝4．整理得：x2+y2﹣2x﹣3＝0，转换为极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ﹣3＝0．（2）直线l的参数方程是为参数，0≤β＜π）．转换为极坐标方程为：θ＝β，极径为：ρ1和ρ2，故：，转换为：ρ2﹣2ρcosβ﹣3＝0，所以：ρ1+ρ2＝2cosβ，ρ1•ρ2＝﹣3，所以：|AB|＝，则：4cos2β+12＝13，解得：，由于：0≤β＜π所以：．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【解答】解：（1）∵f（x）＝|2x+2|+|x﹣3|，∴f（x）＝，①当x＜﹣1时，不等式f（x）≥7即为﹣3x+1≥7，解得，x≤﹣2，②当﹣1≤x≤3时，不等式f（x）≥7即为x+5≥7，解得2≤x≤3，③当x＞3时，不等式f（x）≥7即为3x﹣1≥7，解得x＞3综上所述，不等式f（x）≥7的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）（2）证明：由（1）可知，a＝4，∴2m+n＝4，即＝1，∴+＝（2m+n）（+）＝（4++）≥（4+2）＝2，即+≥2．。

2019 年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）副标题题号 一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 A={-1 ， 0，1， 2} ， B={ x|x 2=x} ，则 A ∩B=（）A. {0}B. {1}C. {0 ，1}D. {0 ，1， 2}2.（ 2）1+i ） =（A. 2iB. -2iC. 2D. -23.下列命题中的假命题是（）A. ?x ∈R ，lg x=0B. ? x ∈R ， tanx=1C. ? x ∈R ， x 2＞ 0D. ? x ∈R ， 3x ＞ 04.αtan α=-sin α=）是第四象限角，，则 （A. B.C.D.5. 在区间 (0， 4)内任取一实数 x ，则的概率是（）A. B.C. D.6. 已知函数 f （ x ） =2sin （ ωx+ ）（ ω＞ 0）的最小正周期为 π，则下列选项正确的是（）A. 函数 f （ x ）的图象关于点（， 0）对称B. 函数 f （ x ）的图象关于点（ - ， 0）对称C. 函数 f （x ）的图象关于直线x= 对称f xx=-对称D. 函数 （ ）的图象关于直线7. 已知函数 f （ x ）是定义在 R 上的偶函数，且满足f （ x+4）＝ f （ x ），当 x ∈[﹣2， 0]时， f （ x ）＝ ﹣2x ，则 f （1） +f （ 4）等于（）A.B. 1C.D.8. 22M ， N 关于直线 x-y+1=0 对称，点 M ，N 是圆 x +y +kx+2y-4=0 上的不同两点，且点则该圆的半径等于（ ）A. 2B.C. 3D. 19. 已知函数 f （ x ） =lgx ，则函数 g （x ） =|f （ 1-x ） |的图象大致是（）A. B.C. D.10.将边长为 2 的正△ABC 沿高 AD 折成直二面角 B-AD -C，则三棱锥 B-ACD 的外接球的表面积是（）A. B. C. D.ABC中，角A B C a b c a b c B=30 °11. 在△、、的对边分别为、、，如果、、成等差数列，，△ABC 的面积为，则 b 等于（）A. B. C. D.12.设双曲线 C： -=1（ a＞ 0， b＞ 0）的左焦点为 F ，直线 4x-3y+20=0 过点 F 且在第二象限与 C 的交点为 P，O 为原点，若 |OP|=|OF |，则 C 的离心率为（）A. 5B.C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13.x-9-1（ a＞0 且 a≠1）恒过定点 A（m， n），则 m+n=______．已知函数 y=4a14.某校高三年级共有30 个班，学校心理咨询室为了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为 1 到30，现用系统抽样的方法抽取 6 个班进行调查，若抽到的编号之和为 87，则抽到的最小编号为________15.若变量 x， y 满足约束条件，则 z=2 y-x 的最大值是 ______．16.已知函数 f（ x） =|log3x|，实数 m， n 满足 0＜ m＜ n，且 f（ m）=f（ n），若 f（ x）在 [m2， n]的最大值为 2，则 =______．三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17.在数列 { a n} 中， a1=1 ， a n+1=3a n．（1）求 { a n} 的通项公式；（2）数列 { b n} 是等差数列， S n为 { b n} 前 n 项和，若 b1=a1 +a2+a3，b3=a3，求 S n．18. 为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜好体育运动不喜好体育运动合计男生______5______女生10____________合计____________50已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10 的样本，则抽到喜好体育运动的人数为 6．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错概率不超过 0.01 的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由．（参考公式： K2=（ n=a+b+c+d）独立性检验临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k0 2.706 3.841 5.024 6.63519.如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中， A1A⊥平面 ABC，△ABC为正三角形， D 是 BC 边的中点， AA1=AB=1 ．（1）求证：平面 ADB 1⊥平面 BB1C1C；（2）求点 B 到平面 ADB1的距离．20.在直角坐标系中，设椭圆 C： + =1（ a＞ b＞ 0）的左、右两个焦点分别为 F1，F2．过右焦点 F 2且与 x 轴垂直的直线l 与椭圆 C 相交，其中一个交点为M（， 1）．（ 2）设椭圆 C 的一个顶点为 B（0，-b），直线 BF2交椭圆 C 于另一点 N，求△F 1BN 的面积．21.已知函数．求曲线在点处的切线方程；当时，求的单调区间．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θl的为参数），直线参数方程为，（ t 为参数）．（ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（ 2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（1， 2），求 l 的斜率．23.设函数 f（ x） =5-|x+a|-|x-2| ．（1）当 a=1 时，求不等式 f （x）≥0的解集；答案和解析1.【答案】 C【解析】解：∵集合 A={-1 ，0，1，2} ，B={x|x 2=x}={0 ，1} ，∴A ∩ B={0，1} ．故选：C ．求出集合 A ，B ，由此能求出 A ∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】 A【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基 础题 .直接展开两数和的平方求解.【解答】解：．故选 A ．3.【答案】 C【解析】【分析】本题考查存在性命 题和任意性命 题的真假判断，考查函数的性 质和应用，考查判断能力和推理能力，属于基 础题．由 x=1 计算可判断 A 是真命题；由x=时，计算可判断 B 是真命题；由完全平方数非负可判断 C 是假命题；由指数函数的值域可判断 D 是真命题.【解答】解：A. 当 x=1 时，lgx=0，A 是真命题，故A 错误；B. 当 x= 时，tanx=1，B 是真命题，故 B 错误；C.?x ∈R ，x 2≥0，C 是假命题，故C 正确；D. 由指数函数的 值域可得，3x＞0 恒成立，D 是真命题，故 D 错误 ．故选 C ．4.【答案】 B【解析】【分析】本题考查正弦函数的求法，是基 础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数的性质的合理运用 .由 cos α= ，先求出 cos α，由此能求出 sin α.【解答】α，解：∵ 是第四象限角，∴cos α== = ，∴sin α=-=- =- ．故选 B ．5.【答案】 D【解析】【分析】本题主要考查几何概型的概率的 计算，根据不等式的性 质求出不等式的等价条件是解决本 题的关键．比较基础 .求出不等式的等价条件， 结合几何概型的概率公式 进行求解即可 .【解答】解：由2x＜2 得 x ＜1，则在区间（0，4）上任取一数 x ，则 2x＜ 2 的概率.故选 D.6.【答案】 B【解析】【分析】根据函数 f （x ）=2sin （ωx+ ）（ω＞0）的周期为 π，求解 ω可得解析式，对各选择考查一下即可．解析式是解决本 题的关键．属于中档题．【解答】解：函数f （x ）=2sin （ωx+ ）（ω＞0）的周期为 π，即T=，∴ω =2．则 f （x ）=2sin （2x+ ），由 对 称 轴 方程：2x+ =，（k Z ）∈得：x= ，（k ∈Z ）经考查 C ，D 选项不对．由对称中心的横坐 标：2x+ =k π，（k ∈Z ） 得：x=，（k ∈Z ）当 k=0 时，可得图象的对称中心坐 标为（- ，0）．故选 B ．7.【答案】 C【解析】【分析】根据 f （x+4）=f （x ）可得出f （x ）的周期为 4，从而得出 f （4）=f （0），再根据f （x ）是偶函数，并且 x ∈[-2，0]时，f （x ）=-2x即可求出 f （1），f （0）的值，从而得出 f （1）+f （4）的值．考查偶函数的定 义，周期函数的定义，已知函数求值的方法．【解答】解：∵f （x+4）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为 4；又 f （x ）是R 上的偶函数，且 x ∈[-2，0]时，f （x ）=-2x；∴，f （4）=f （0）=-20=-1；∴．故选 C ．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的一般方程的应用，考查计算能力，圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即可求出 k，然后求出半径．【解答】圆 x2 2圆心坐标为（），解：+y +kx+2y-4=0 的因为点 M，N在圆x 2 2上，且点，关于直线：对称，+y +kx+2y-4=0M N l x-y+1=0所以直线 l：x-y+1=0 经过圆心，所以，k=4．所以圆的方程为：x 2+y2+4x+2y-4=0，圆的半径为：=3．故选C．9.【答案】A【解析】解：函数y=lg （1-x）的定义域为 x＜ 1；恒过（0，0）单调递减；函数 g（x）=|f（1-x）|的图象通过 y=lg （1-x）的图象把 x 轴下部分翻折到 x 的上面，故选：A．根据 f （x）=lgx 的图象，求解 y=lg （-x）通过翻折，平移可得 g（x）的图象．本题考查了函数图象变换，是基础题．10.【答案】D【解析】解：依题意可得，将三棱锥 B-ACD 补形成以 DA 、DA 、DC 为邻边的长方体，它们的外接球是同一个球，设球的半径为 R，则 2R===，∴R=，所以球的表面积为2=5π，4πR故选：D．补形法：将三棱锥的外接球 转化为以 DA ，DB ，DC 为邻边的长方体的外接球．本题考查了球的体 积和表面积．属中档题．11.【答案】 A【解析】【分析】2222由余弦定理得出 b =a +c -2accosB=（a+c ）-2ac-2accosB ，由已知 ac=6，a+c=2b代入后消去 a ，c ，解关于 b 的方程即可．本题考查了三角形正弦形式下的面 积公式、余弦定理的应用．【解答】22 2（2 ① ， 解：由余弦定理得 b）=a +c -2accosB= a+c -2ac-2accosB又 S △ABC = acsinB= ac= ，∴ac=6，②∵a 、b 、c 成等差数列，∴a+c=2b ，③ ，将②③ 代入 ① 得 b 2=4b 2-12-6 ，化简整理得 b 2=4+2 ，解得 b=1+ ．故选 A ．12.【答案】 A【解析】【分析】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．由题设知△PFN 是以 FN 为斜边的直角三角形， c=5，在Rt △PFN 中，tan，FN=10．可得2a=2，a=1，由此能求出双曲 线的离心率．【解答】解：如图，设双曲线 C ： -=1（a ＞0，b ＞ 0）的右焦点为 N ．∵|OP|=|OF|=|ON|=c ，则△PFN 是以 FN 为斜边的直角三角形，∵直线 4x-3y+20=0 过点 F ，∴c=5，在 Rt △PFN 中，tan，FN=10．∴PN=8，PF=6，则 2a=2，a=1，故选 A ．13.【答案】 12【解析】【分析】本题主要考查指数函数的 图象经过定点问题，属于基础题 .令幂指数等于零，求得 x 、y 的值，可得函数的图象经过定点的坐 标，从而得出结论 .【解答】解：对于函数 y=4a x-9-1（a ＞ 0 且 a ≠1），令 x-9=0，求得 x=9，y=3，可得函数 y=4a x-9-1（a ＞ 0 且 a ≠1）恒过定点 A （9，3），∴m+n=12.故答案为 12．14.【答案】 2【解析】【分析】本题考查了系统抽样方法的应用问题，熟练掌握系统抽样的特征是解 题的关键．求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小 编号 x ，根据编号的和为 87 列出方程，即可求出 x ． 【解答】解：该系统抽样的抽取间隔为=5；设抽到的最小 编号 x ，则 x+（5+x）+（10+x）+（15+x）+（20+x）+（25+x）=87，所以 x=2．故答案为 2．15.【答案】11【解析】【分析】本题主要考查了线性规划的应用问题，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．画出不等式组对应的平面区域，由目标函数找出最优解，求得 z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分所示；由 z=2y-x，得y= x+ z，平移直线 y= x+ z，由图象可知：当直线 y= x+ z 经过点 C 时，直线 y= x+ z 的截距最大，此时 z 最大．由，解得 C（3，7），此时 z 的最大值为 z=2×7-3=11．故答案为 11．16.【答案】9【解析】【分析】由题意 f（x）=|log3x|，正实数 m，n 满足 m＜n，且f （m）=f（n），即-log 3m=log3n，2，n] 范围最大值的可能性进行讨论．可求m，n 的值．可得 mn=1．对 [m本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度不大，考虑最值的讨论思想．属于中档题．【解答】解：∵f（x ）=|log3x|，正实数 m，n 满足 m＜n，且f（m）=f（n），∴-log3m=log3n，∴mn=1．∵f（x ）在区间[m2，n]上的最大值为 2，函数 f （x）在[m2，1）上是减函数，在（1，n]上是增函数，∴-log3m 2=2，或log3n=2．若 -log3m 2=2是最大值，得m=，则n=3，此时log3n=1，满足题意条件．那么：同理：若log3n=2是最大值则m=时2满题意条，得n=9，，此-log3m=4，不足件．综合可得 m=，n=3，故，故答案为 9．17.【答案】解：（1）因为数列{ a n}中，a1=1，a n+1=3a n．所以数列 { a n} 是首项为1，公比为 3 的等比数列，所以．（2）由（ 1）得： b1=a1+a2 +a3=1+3+9=13 ，解得 b3=9，则 b3-b1=2d=-4， d=-2 ，所以2=-n +14n．【解析】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（1）推导出数列 {a n} 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，由此能求出 {a n} 的通项公式．（2）由b1=a1+a2+a3=1+3+9=13，得b3=9，从而 d=-2，由此能求出 S n．18.【答案】解：（1）喜好体育运动的人数为:，列联表补充如下：喜好体育运动 不喜好体育运动 合计男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 302050（ 2）∵K 2 =≈ 8.333＞ 6.635，∴可以在犯错概率不超过 0.01 的前提下认为喜好体育运动与性别有关.【解析】本题考查分层抽样的统计原理，独立性检验的运用，考查学生分析解决 问题的能力，是基础题．（1）根据分层抽样比计算出全班喜 欢体育运动的人数和不喜 欢体育运动的人数，可将列联表补充完整；（2）根据公式计算 K 2，对照临界值表作结论 ．19.【答案】 解：（ 1）证明： ∵ABC-A 1B 1 C 1 中，A1A ⊥平面ABC ，∴BB 1⊥平面 ABC ，又 BB 1 ? 平面 BB 1C 1C ， ∴平面 BB 1C 1C ⊥平面 ABC ，∵△ABC 为正三角形， D 为 BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，又平面 BB 1C 1C ∩平面 ABC=BC ， ∴AD ⊥平面 BB 1C 1 C ， 又 AD? 平面 ADB 1，∴平面 ADB 1⊥平面 BB 1C 1C ；（ 2）由（ 1）可得 △ADB 1 为直角三角形，又 AD= ， B 1D= ，∴== ，又 S △ADB == ，设点 B 到平面 ADB 1 的距离为 d ， 则 =，∴，∴点 B 到平面 ADB 1 的距离 d= = = ．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 .（1）推导出 BB1⊥平面 ABC ，从而平面 BB 1C1C⊥平面 ABC ，推导出 AD ⊥BC，从而 AD ⊥平面 BB 1C1C，由此能证明平面 ADB 1⊥平面 BB 1C1C；2 设B到平面ADB1 的距离为 d=，能求出点B到平面（）点，由ADB 1的距离 .20.【答案】解：（1）由椭圆定义可知|MF 1|+|MF 2|=2a．由题意 |MF 2|=1，|MF1|=2a-1．又由Rt△MF 1F 2可知， a＞ 0，∴a=2，又a222．∴-b =2，得 b =2 ．∴椭圆 C 的方程为（2）直线 BF2的方程为．由得点 N 的纵坐标为．又，∴．【解析】本题考查求椭圆的方程，及椭圆中焦点三角形的面积线椭圆位置关，是直与系中一类相对来说比较简单点的题．1）由已知易得 c 值与线段MF2的长度，在直角三角形 MF1F2中勾股定理求（出 a 即可写出椭圆 C 的标准方程．（2）此题可转化为求以线段为底边的两个三角形的和问题，一个三角形的高为 b，另一个为 |y n|．故只须求 y n即可．x21.【答案】【解答】解：（1）f′（x）=e -ax-，所以 f′（ 0） = ， f（0） =0，因此曲线y=f （x）在点（ 0， f（ 0））处的切线方程x-2y=0（2）∵f′（ x）=e x-x- ，令 g（ x）=f′（ x），则 g′（ x） =e x-1，当 x∈（ -∞， 0）时， g′（ x）＜ 0， f′（ x）单调递减，当 x∈（ 0，+∞）时， g′（ x）＞ 0， f ′（ x）单调递增．所以 f′（ x）≥f′（ 0） = ＞ 0，所以 f（ x）在（ -∞，+∞）单调递增．【解析】【分析】1（）利用导数的几何意义求切线的斜率，从而可得方程；（2）利用导数和函数单调性的关系即可求出．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数的几何意义求切线方程，属于基础题．22.【答案】解：（1）曲线C的参数方程为θ（为参数），转换为直角坐标方程为：．直线 l 的参数方程为（ t 为参数）．转换为直角坐标方程为：xsin α-ycosα+2cosα-sin α=0．（ 2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1222+（8cos α +4sin）αt-8=0 ，整理得：（ 4cos α+sinα） t则：，由于（ 1， 2）为中点坐标，①当直线的斜率不存时，x=1．无解故舍去．②当直线的斜率存在时，（由于t1和 t2为 A、 B 对应的参数）所以利用中点坐标公式，则： 8cosα+4sin α=0，解得： tan α=-2，即：直线l 的斜率为 -2．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用．23.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=5-|x+1|-|x-2|=．当 x≤-1 时， f（ x） =2x+4≥0，解得 -2≤x≤-1，当 -1＜ x＜ 2 时， f （x） =2≥0恒成立，即 -1＜ x＜ 2，当 x≥2时， f（x） =-2 x+6≥0，解得 2≤x≤3，综上所述不等式 f（ x）≥0的解集为 [-2， 3]，（ 2）∵f（ x）≤1，∴5-|x+a|-|x-2| ≤1，∴|x+a|+|x-2| ≥4，∴|x+a|+|x-2|=|x+a|+|2-x| ≥|x+a+2-x|=|a+2|，∴|a+2| ≥4，解得 a≤-6 或 a≥2，故 a 的取值范围（ -∞， -6]∪[2，+∞）．【解析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，（2）由题意可得 |x+a|+|x-2| ≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题。

A．165 cm
B．175 cm
C．185 cm
sin x x 5．函数 f(x)= cos x x2 在[—π，π]的图像大致为
D．190cm
A．
B．
C．
D．
6．某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样 方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是
2．已知集合
B

2,
3,
6,
7 ，则
B

ðU
A

1, 6
A．
1, 7
B．
6, 7
C．
1, 6, 7
D．
3．已知 a log2 0.2, b 20.2 , c 0.20.3 ，则
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D． b c a
又 f (0) 0, f (π) 0 ，所以，当 x [0, π] 时， f (x)… 0 .
又当 a„ 0, x [0, π] 时，ax≤0，故 f (x)… ax .
因此，a的取值范围是 (, 0] .
21．解：（1）因为 M 过点 A, B ，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线 x+y=0 上，且 A, B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 y x 上，故可设 M (a, a) .
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
D．815 号学生
7．tan255°=
A．－2－ 3
B．－2+ 3
C．2－ 3