新课标人教A版名师对话数学文一轮复习作业9.5古典概型(含答案详析)

课堂达标(五十三) 古典概型[A基础巩固练]1．(2018·兰州模拟)将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝(m，n)，q＝(3,6)．则向量p与q共线的概率为( )A.13B.14C.16D.112[解析]由题意可得：基本事件(m，n)(m，n＝1,2，…，6)的个数＝6×6＝36.若p∥q，则6m－3n＝0，得到n＝2m.满足此条件的共有(1,2)，(2,4)，(3,6)三个基本事件．因此向量p与q共线的概率为P＝336＝1 12.[答案] D2．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13B.512C.12D.712[解析]设2名男生记为A1，A2,2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B112种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B24种情况，则发生的概率为P＝412＝13，故选A.[答案] A3．(2017·课标Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110B.15C.310D.25[解析]如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数总计有25种情况，满足条件的有10种所以所求概率为25＝5.[答案] D4．(2018·哈尔滨模拟)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12 B.58C.1116 D.34[解析] 已知f ′(x )＝3x 2＋a >0，所以f (x )在R 上递增，若f (x )在[1,2]上有零点，则需⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1＋a －b ≤0，f＝8＋2a －b ≥0，经验证有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11对满足条件，而总的情况有16种，故所求概率为1116.[答案] C5．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为W ，从W 中随机取点M (x ，y )．若x ∈Z ，y ∈Z ，则点M 位于第二象限的概率为( )A.16 B.13 C ．1－π12D ．1－π6[解析] 画出平面区域，列出平面区域内的整数点如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以所求概率P ＝16.[答案] A6．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么直线x a ＋y b ＝1的斜率k ≥－12的概率为( )A.13 B.12C.23D.14[解析] 记a ，b 的取值为数对(a ，b )，由题意知a ，b 的所有可能取值有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，(3,1)，(3,2)，…，(3,6)，(4,1)，(4,2)，…，(4,6)，(5,1)，(5,2)，…，(5,6)，(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种．由直线x a ＋yb＝1的斜率k＝－b a ≥－12，知b a ≤12，那么满足题意的a ，b 可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有9种，所以所求概率为936＝14.[答案] D7．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为______．[解析] 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2aa 2＋b2≤2，a 2≤b 2的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝712.[答案]7128．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为______．[解析] 因为(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i ，所以要使其为实数，须n 2－m 2，即m ＝n .由已知得，事件的总数为36，m ＝n ，有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，所以所求概率为P ＝636＝16.[答案] 169．(2018·宣武模拟)曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝__________.[解析] 试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，由m >n ，有(2,1)，(3,1)，…(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P (A )＝1536＝512.[答案]51210．(2018·太原模拟)某工厂对一批共50件的机器零件进行分类检测，其重量(克)统计如下：2件．(1)从该批零件中任选1件，若选出的零件重量在[95,100]内的概率为0.26，求m 的值． (2)从重量在[80,85)的5件零件中，任选2件，求其中恰有1件为甲型的概率． [解] (1)由题意可得n ＝0.26×50＝13， 则m ＝50－5－12－13＝20.(2)设“从重量在[80,85)的5件零件中，任选2件，其中恰有1件为甲型”为事件A ，记这5件零件分别为a ，b ，c ，d ，e ，其中甲型为a ，b .从这5件零件中任选2件，所有可能的情况为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种．其中恰有1件为甲型的情况有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共6种．所以P (A )＝610＝35.即从重量在[80,85)的5件零件中，任选2件，其中恰有1件为甲型的概率为35.[B 能力提升练]1．(2018·太原二模)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )，与向量b ＝(1,0)的夹角为α，则α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4的概率为( )A.518B.512C.12D.712[解析] 法一：依题意，向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，即n ＜m 的(m ，n )可根据n 的具体取值进行分类计数：第一类，当n ＝1时，m 有5个不同的取值；第二类，当n ＝2时，m 有4个不同的取值；第三类，当n ＝3时，m 有3个不同的取值；第四类，当n ＝4时，m 有2个不同的取值；第五类，当n ＝5时，m 有1个取值，因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4的(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为1536＝512.法二：依题意可得向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n ) 与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，即n ＜m 的向量a ＝(m ，n )有36－62＝15(个)，所以所求概率为1536＝512.[答案] B2．(2018·江南十校联考)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}．定义映射f ：M →N ，则从中任取一个映射满足自由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC 的概率为( )A.332 B.532C.316D.14[解析] ∵集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}， ∴映射f ：M →N 有43＝64种， ∵由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC ，∴f (1)＝f (3)≠f (2)，∵f (1)＝f (3)有4种选择，f (2)有3种选择， ∴从中任取一个映射满足由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC 的事件有4×3＝12种，∴所求概率为1264＝316.[答案] C3．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是____，他属于不超过2个小组的概率是____．[解析] “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”． 故他属于不超过2个小组的概率是P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.[答案] 35；13154．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为______．[解析] 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所以可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ， 则其对立事件N 表示“A 1和B 1全被选中”， 由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}， 所以P (N )＝212＝16， 由对立事件概率计算公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.[答案] 565．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{}1，2，3，4，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．[解析] (1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)，所以P (z ＝4)＝216＝18.(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0， 即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)． 所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.[C 尖子生专练](2018·郑州市第二次质量预测)最新高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：z ＝2y . (1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名教师被选出的概率．[解] (1) 由题意知x500＝0.3，∴x ＝150，所以y ＋z ＝60，因为z ＝2y ，所以y ＝20，z ＝40，则应抽取教师人数50500×20＝2，应抽取学生人数50500×40＝4. (2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a ，b,4名学生记为1,2,3,4，随机选出三人的不同选法有(a ，b,1)，(a ，b,2)，(a ，b,3)，(a ，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种，至少有一名教师的选法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)共16种，至少有一名教师被选出的概率P＝1620＝45.。

第五节
[考纲传真]
古典概型
1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机
事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．
1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 互斥 的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的和． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ． (2)每个基本事件出现的可能性 相等 ．
5 (1)C (2) 6
[(1)设正方形的四个顶点分别是 A，B，C，D，中心为 O，从这 5
个点中，任取两个点的事件分别为 AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO， DO，共有 10 种，其中只有顶点到中心 O 的距离小于正方形的边长，分别是 AO， BO，CO，DO，共有 4 种． 4 3 所以所求事件的概率 P＝1－10＝5.
(2)(2015· 江苏高考)袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红 球，2 只黄球．从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为______．
5 (1)B (2) 6 1 个红球共有 10 ＝21.
[(1)从袋中任取 2 个球共有 C2 其中恰好 1 个白球， 15＝105 种取法， 50 种取法， 所以所取的球恰好 1 个白球 1 个红球的概率为105
3．如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相 1 等，那么每一个基本事件的概率都是n；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么 m n 事件 A 的概率 P(A)＝_____. 4．古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 P(A)＝_______________________.

解析 1 所以P＝3.
甲站在中间的情况有两种，而基本事件总共有6种，
答案
C
2．甲、乙两人随意入住两个房间，甲、乙两人同住一个房 间的概率是( 1 1 A.4 B.3 1 2 C.2 D.3 )
解析
甲、乙两人随意入住房间共有4个基本事件，甲、乙
2 1 同住一个房间包含两个基本事件，故所求概率为P＝4＝2.
(2013· 山东卷)某小组共有A，B，C，D，E五位同
学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所 示： A 身高 B C 1.75 18.5 D E
1.69 1.73
1.79 1.82 23.3 20.9
体重指标 19.2 25.1
(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人 身高都在1.78以下的概率； (Ⅱ)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率． 【思维启迪】 利用列举法求概率．
2 2
【规律方法】
(1)①本题易把(2,4)和(4,2)，(1,2)和(2,1)看成
同一个基本事件，造成计算错误．②当所求事件情况较复杂时， 一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事 件求解． (2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通 常考虑用对立事件的概率公式P(A)＝1－P( A )求解．
答案 C
3．(理)某农科院在3×3的九块试验田中选出六块种植某品种 水稻进行试验，则每行每列都有两块试验田种植水稻的概率为 ( ) 1 A.56 1 C.14 1 B.7 3 D.14
解析
据题意可先从第一行中的3块实验田中选2块种植某品
2 3
种水稻，共有C

课前自助餐
B．2 个 D．4 个
授人以渔 自助餐
课时作业
新课标版 ·高三数学（文）
答案 A 解析 ①、③、④不是古典概型，②是古典概型．
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
新课标版 ·高三数学（文）
2．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 ( 1 A. 2 2 C. 3 1 B. 3 D．1 )
2 答案 5
解析 从 6 个数中任取 2 个数的可能情况有(1,2)，(1,3)， (1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,5)，(4,6)，(5,6)，共 15 种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)， 2 (2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共 6 种，所以求的概率是 . 5
课前自助餐
授人以渔
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课时作业
新课标版 ·高三数学（文）
1．下列概率模型中，是古典概型的有(
)
①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到 1 的概率； ②从 1－10 中任意取出一个整数，求取到 1 的概率； ③向一个正方形 ABCD 内投掷一点 P，求 P 恰好与 A 点重 合的概率； ④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率 A．1 个 C．3 个
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授人以渔
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课时作业
新课标版 ·高三数学（文）
思考题 1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别有数 字 1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表 示结果，其中 x 表示第 1 颗正四面体玩具底面出现的点数，y 表 示第 2 颗正四面体玩具底面出现的点数．试写出： (1)试验的基本事件； (2)事件“出现点数之和大于 3”； (3)事件“出现点数相等”．