妙用构造法 巧解竞赛题

巧联想妙构造速解竞赛题
唐永明
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2004(000)009
【摘要】在数学竞赛中，学生若能根据所提供的材料进行巧妙的联想与构造，往往可使一些赛题迅速获解，其过程能充分展示学生的创造能力与智慧．这里以近年竞赛题为例归纳几种联想、构造的方法与技巧，供大家参考．
【总页数】3页(P46-48)
【作者】唐永明
【作者单位】四川省武胜中学,638400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.循常规,巧联想,妙解题——试论联想在高中数学解题中的应用 [J], 王娟
2.巧构造速解题——利用构造法证明不等式 [J], 汪世忠
3.构造ab±（a＋b）＋1=（a±1）（b±1）速解一类竞赛题 [J], 罗圣国
4.巧联想妙构造速解竞赛题 [J], 唐永明
5.循常规，巧联想，妙解题——例谈联想解题的四种常用方式 [J], 顾维军
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构建新数列巧解递推数列竞赛题递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。

本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。

其中，怎样构造新数列是答题关键。

1 求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。

例1、数列{}n a 中，11=a ，()n n n a a a 241411611+++=+。

求n a 。

（1981年第22届IMO 预选题）分析 本题的难点是已知递推关系式中的n a 241+较难处理，可构建新数列{}n b ，令n n a b 241+=，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。

解：构建新数列{}n b ，使0241>+=n n a b则 51=b ，n na b 2412+= ，即2412-=n n b a∴ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯+=-+n n n b b b 24141161241221化简得 ()()22132+=+n n b b∴ 321+=+n n b b ，即 ()32131-=-+n n b b数列 {}3-n b 是以2为首项，21为公比的等比数列。

n n n b --=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-2122123 即 322+=-n n b∴ 121122231232241---⨯+⨯+=-=n n n n n b a 2 证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。

例2、设10=a ，12111---+=n n n a a a ()N n ∈，求证：22+>n n a π。

试论构造法在竞赛数学中的应用学习数学必须善于解题．美国数学家哈尔莫斯也曾说过“数学真正的组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏．”然而方法是解决问题的关键．构造法是数学中的一个常用的方法．古今中外的数学家们，如欧几里得、高斯、欧拉、拉格朗日、康托等，都曾运用过这一方法解决数学问题．在数学教育中，解题在于发现一条摆脱疑难、饶过障碍的途径，实现从已知到未知的转化．构造法的实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具备的典型特征，用已知条件中的元素作为“元件”，用已知的数学关系作为“支架”，构造出满足条件的数学对象，使原问题中隐晦不清的关系或性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，从而借助该数学对象解决数学问题；或者利用问题的特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架，从而使问题转化并得到解决[]()211P ．利用构造法解决数学问题的作用主要表现在两个方面：一、直接运用条件和结论之间的关系构造出熟悉的数学模式，成为沟通解题思路的一座“桥梁”（称为直接构造），此方法虽很简洁，但不易成功．二、有些问题需要通过构造出一个与原问题有关或等价的新问题（亦称辅助问题），并通过辅助问题帮助原问题得以解决（称为间接构造），这种巧妙构思正是构造法的技巧所在[]()182P ．构造思想的核心是“构造”，关键是恰当地构造出一种“构造物”． 根据所要解决问题的特征，构造物可以是函数、方程、图形、数列、实例、反例、对偶式、复数等数学模型，也可以是与一个原问题相关的命题．因此，构造法在解题中有着极为重要的作用，给人以“柳暗花明”之感，有利于培养学生的创造品质．以下就以构造不同的辅助元素为例，介绍构造法在竞赛数学中的具体应用．1 构造辅助函数在解(证)某些数学问题时，根据题目条件和结论的关系，构造一个适当的辅助函数，然后利用一元二次函数的判别式，函数的奇偶性、单调性、有界性等函数的一些性质，使各变量有机的组合起来，从而使解题思路清晰化．例1.1 已知,0,0,0>≤<c b a 且ac b 42-ac b 2-=．求ac b 42-的最小值． 分析 从已知条件和要求的式子特点出发，可以联想到ac b 42-是方程02=++c bx ax 的根的判别式，由此我们构造相应的函数．解 令c bx ax y ++=2，由0,0,0>≤<c b a ，知该函数的判别式042>-=∆ac b ． 所以，这个二次函数的图像是一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点)0,(),0,(21x B x A ． 因为021<=a c x x ，不妨设21x x <． 则210x x <<，对称轴02≤-=ab x ． 图像如图1所示．于是c aac b b a ac b b x =--=-+-=2424222 故aac b a ac b b c a b ac 242444222--≥--=≥-． 所以，442≥-ac b ．当1,0,1==-=c b a 时，上式等号成立．因此，ac b 42-的最小值为4． 2 构造辅助方程根据题设条件中的数量关系和结论的特征，构造出新的方程，创立新的问题情境，使问题中的隐藏关系明朗化，从而简捷迅速的使问题获解．例2.1 已知a b c R 、、∈，且a b c a b c ++=++=11222，，则a 的范围为______． 解 因为b c a +=-1，所以两边平方得b c bc a 22221++=-()，又因为b c a 2221+=-，则bc a a =-2，由此得到b c +与bc 都可用a 表示，故b 、c 是关于x 的一元二次方程0)1(22=-+--a a x a x 的两根．所以，0)(4)1(22≥---=∆a a a ，可得01232≤--a a ．解得 131≤≤-a ． 评注：当问题中出现两数之积与这两数之和时，是构造一元二次方程的明显信号，构造方程后再用方程特点可使问题巧妙解决．在解题时，有时需要对题目通过简单转化，敏锐地抓住数与式的关系，运用方程思想使问题迎刃而解．有时在解数学题时，需要同时构造函数和方程，即函数方程思想．函数方程思想就是将数学问题转化为方程或方程组问题．通过解方程（或方程组）或者运用方程的性质来分析、转化问题，使问题得以解决．函数与方程思想是密切相关的，例如，函数y f x =()，当y =0时，就转化为方程f x ()=0或看作方程y f x -=()0；而方程f x ()=0的 解是函数y f x =()的图象与x 轴交点的横坐标，从而使问题得以解决．例2.2 已知三次方程x x m 3610-+-=()恰有三个相异实根，求实数m 的取值范围． 分析 我们习惯上把x 当作自变量，构造函数)1(6)(3m x x x f -+-=，于是问题转化为： 方程f x ()=0的根，即函数y f x =()图象与x 轴交点横坐标，由题意函数y x x m =-+-361() 应与x 轴有三个不同产点，因三次曲线连续且光滑，故只需函数的极大值与极小值异号即可．解 令)1(6)(3m x x x f -+-=，则63)( 2'-=x x f ．令0)( '=x f ，得2±=x 为使)(x f y =与x 轴交于不同的三个点，只须()()022<-f f ·，即241241+<<-m ．评注：本题体现了方程函数互相转化的思想．为得到方程的根，用函数图象特点，特别用导数法求得极值点时，用极值的方法，使图象穿x 轴三次，使问题解决．利用函数图象交点个数及交点位置，使方程满足其根的某些限制条件，是最常见的方程与函数统一思想，有时借助图象的特点，更能直观而又准确地看到方程根的情况．3 构造辅助图形华罗庚先生对数形结合曾经有过精辟的论述：“数形本是两依依，数缺形时少直观，形少数时难人微，数形相助双翼飞．”如果问题中的数量关系有明显的几何意义或以某种方式与几何图形建立联系，通过作图构造图形，直观的反映出来，使问题变得形象而直观、简捷、明快、富有创造色彩．例3.1 设z y x ,,为正数，求证xz z y y x -+++2222≥yz z y 322++，并确定式中等号成立的条件．分析 式中有三个根号，若采用常规方法（平方去根号的方法）处理，须两次平方，会使表达式变得非常复杂．但若注意到其形如“三角形两边之和大于第三边”，把每一个根号对应于一条线段，就会萌发利用勾股定理和余弦定理把这三条线段构造出来组成三角形的想法．证 如图2，οο60,90,,,=∠=∠===AOC AOB z OC y OB x OA ，则有yz z y BC xz z x AC y x BA 3,,222222++=-+=+=， 于是由BC AC BA ≥+，即证得原不等式成立．为了确定z y x ,,满足何种条件时点A 在BC 上，作BO CD ⊥交BO 延长线于D ，易知z OD z CD 23,2==，点A 在BC 延长线上，当且仅当BD BO CD OA =，即z y y z x 2321+=，这样求得当且仅当z y yz x 32+=时，原不等式成立． 评注：用几何观点去研究代数式子的几何意义是解题的关键．构造几何模型，实现数与形的转化，变抽象为直观，从而达到事半功倍的效果．4 构造数列在处理和自然数有关的数学问题时，通过对条件与结论的充分剖析，构造出一个与求解（证）有关的辅助数列（常用数学归纳法），从而使问题迎刃而解．例4.1 对一切非零自然数n ，求证：()⎪⎭⎫ ⎝⎛++41111…3132311+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n ． 证明 构造数列{}n a ，使其通项为()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=411111313n a n …⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2311n ，则()1424211131331=>=+⋅+=a ． ()()()()()()()()()()()()()()[]()()1431331313431311331331343132343132343131323333333222232321=+++++>++++++++=+++=+++=++++=+n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a n n所以 ()++∈>N n a a n n 1，所以，对一切自然数n ，都有11>≥a a n ，即 ()12311411111313>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n Λ， 所以()313231141111+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n Λ． 评注：构造辅助数列是解决与自然数n 相关命题常用方法之一．5 构造实例构造实例就是构造一个符合条件和结论的例子，对于具有某些性质的数学对象重要作出判断，或者证明具有某种特定属性的数学命题，把符合条件的数学对象直接构造出来，从而获得问题的求解（证）[]()3013P ．例5.1 证明一个奇数c 为合数的充要条件是存在自然数13-≤c a ，使()c a 8122+-为平方数． 分析 通过演算，在逆境中找到一个使结论成立的充分条件，是构造存在实例的常用方法．就本例而言，假设存在自然数13-≤c a 满足题目要求，即假设()()2212812+=+-t c a ，化简得()()12+-+=a t a t c ，由题设c 为奇合数，可令()12,2,12-≥≥-=k m k m k c ，m 为奇数，于是有()()()1122+-+=-a t a t k m ．使这个式子成立的充要条件是⎩⎨⎧-=+-=+1212k a t m a t ⇔=a m 1+-k 即此实例存在．证 充分性为一般性命题，证明略．下证必要性．必要性是存在性命题，用构造法．设c 为奇合数，则c 可分解为两个大于1的奇数之积，将较小的记为12-k ，较大的记为m ，即()12,2,12-≥≥-=k m k m k c ．令1+-=k m a ，则13112112-≤--≤+--=c k c k k c a ，且 ()()()m k k m c a 12812281222-++-=+-()[]()m k k m 1281222-+--= =()[]2122-+k m ， 证毕．评注：一些存在实例往往具有简单、和谐、对称、奇异等数学美的特征，追求数学美，是发现存在实例的重要手段．6 构造反例构造反例，就是举一个例子说明命题“若A 则B ”为假，其中要求条件A 为真，结论B 为假[]()3334P ．在数理推理中，命题有真有假，对于真命题可以通过逻辑推理来验证其正确性，对于假命题，可以选择适当的方法来验证其错误性，直接构造一个反例，来说明此命题成立．例6.1 若y x ,均为无理数，则y x 一定是无理数吗？分析 人们往往以为y x ,均为无理数，则y x 一定是无理数．其实不然，这一直觉判断是错误的，无科学根据．我们可以试着构造一个反例：设2==y x ，从而得出结论． 解 设2==y x 这里y x ,均为无理数， 22=y x ，有两种可能：1）是有理数，2）是无理数. 如果y x 为有理数，那么22本身就是一个反例；如果yx 为无理数，则222222==⎪⎭⎫ ⎝⎛是有理数，那么可设22=x ，2=y ，它们都是无理数，因此y x 不一定是无理数．7 构造对偶式数学美的思想无处不在，对称美在数学解题中具有重要作用．根据代数式的特点，构造与其相关联的具有某种对称关系的一对对偶式，进行适当的和、差、积等运算，从而达到解题目的．对学生进行美观教育，培养学生创新思维，提高学生学习数学兴趣．例7.1 已知α、β是方程012=--x x 的两根．则βα34+的值是__________． 分析 βα34+不是方程两根的对称式，显然无法用韦达定理直接代入．可构造βα34+的对称式αβ34+，并计算两式的和与差，再通过解方程组求值．解 因为αββα3344+++=()[]()()βααβαββα++--+322222=10 ()()αββα3344+-+()()()[]{}322--++-=αββαβαβα0= 所以5201034=+=+βα． 由上各例可以看出，从构造法入手解题步骤如下：1） 观察、分析题目的条件与结论，有时需对条件或结论作适当的改变．2） 联想熟悉的、与已知条件或结论有关联的数学模型．3） 构造出新的数学模型．4） 用构造出的新数学模型，加以分析，使原问题得以解决．应用构造法解题应该注意以下几点：1) 构造的模型结构形式应尽可能的简单，使问题由繁化简．2) 尽可能是熟悉的模型，通过此模型，使问题由难化易．3) 构造的模型尽可能的直观，通过构造使问题变得直观明了．关于构造法的应用还有许多，需针对不同问题灵活地采用其相应的构造法，可谓百花争艳，妙趣横生，本文不再一一列举．运用构造法解题，从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可以开拓思维空间，激发学生思维的火花，培养学生分析问题、解决问题的能力，同时可以培养学生的灵感和想象力，增强学生的自信心，促进学生自主学习的意识、能力．整个构造过程也是体验数学、享受数学的过程．在解数学题时，我们需要注意的是，构造法常与反证法、归纳法、极端原理等配合使用，使这些方法更具有活力．但也要指出，构造法不是万能的．许多问题不易用构造法．要做到具体问题具体分析[]()3023P ．。

运用构造法巧解化学题
《构造法巧解化学题》
化学是一门学科，涉及许多复杂的概念，理解起来困难重重。

对于学习化学的高中学生来说，要想理解和掌握其中的概念既困难又耗时，更别提做出正确的计算了。

在复杂的题目前，有许多学生会束手无策，而这时有效的构造法巧解化学题就变得重要起来。

构造法是化学中一种有效的分析化学问题的方法，旨在找出题目中提出的问题，从而解决问题。

下面以钠离子与氯离子反应为例，详说构造法巧解化学题的方法：首先动笔进行文字描绘，分析出题目中的提示，如钠离子和氯离子的化学公式、倍数、水的数量等；其次，根据提示来探究背后的化学原理，确定反应的步骤；最后，通过计算来得出正确的解答。

构造法很有效，只要学生能遵循原理步骤，就能解答出正确的答案。

此外，在理解基础概念上，构造法也有助于加深学生对所学知识的理解，特别是涉及反应过程和原理时，实际上也是一种思考过程，有助于建立起学生对所学知识的连贯性理解，从而提高学习效率，事半功倍。

总之，学生在复杂的化学问题前，构造法是一种有效的巧解方法。

它能帮助学生理解基础知识，进而解决复杂的化学题，而无需枯燥乏味繁琐的计算步骤。

只有把握方法及原理，学会运用构造法，学生才能把握化学并掌握，受益终生。