不动点指数理论下非线性Neumann型边值问题正解的存在性(英文)

Ｏｃｔ．２０１１　ＣＨＩＮＥＳＥ　ＪｏＵＲＮＡＬ　ｏＦ　ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖ０１．２８　Ｎｏ．５　

Ａｒｔｉｃｌｅ　ＩＤ：１００５－－３０８５（２０１１）０５－－０５８９－－０９　

Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　Ｎｅｕｍａｎｎ　Ｔｙｐｅ　ｖｉａ　Ｆｉｘｅｄ－ｐｏｉｎｔ　Ｉｎｄｅｘ　Ｔｈｅｏｒｙ术　

ＺＨＯＵ　Ｗｅｎ－ｘｕｅ　，一．ＰＥＮＧ　Ｊｉ—ｇｅｎ。　（１一Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｌａｎｚｈｏｕ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ　７３００７０；　２一Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉ’ａｎ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙｊ　Ｘｉ’ａｎ　７１００４９）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ　ｔｈｅ　ｍｅａｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｇｒｅｅｎ’Ｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｃａｎ　ｂｅ　ｒｅｄｕｃｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｒｅｃｅｎｔｌｙ，ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ＳＵＣＣＥＳＳ．　ｆｕｌｌｙ　ｔｏ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｓ　ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｎｅｕｍａｎｎ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ａｐｐｌｙｉｎｇ　ｇｒｏｗｔｈ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｔｅｒｍｓ，ｗｅ　ｏｂｔａｉｎ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｎｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｉｎｄｅｘ　ｔｈｅｏｒｙ　ｉｎ　ｃｏｎｅｓ．　

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｎｅｕｍａｎｎ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｃｏｎｅ；ｆｉｘｅｄ－ｐｏｉｎｔ　ｉｎｄｅｘ　ｔｈｅｏｒｙ　

Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ：ＡＭＳ（２０００１　３４Ｂ１５；３４Ｂ２７　ｃＬＣ　ｎｕｍｂｅｒ：Ｏ１７５．８　Ｄｏｃｕｍｅｎｔ　ｃｏｄｅ：Ａ　

１　ＩＩＩｔｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｓ　ｍａｉｎｌｙ　ｃｏｎｃｅｒｎｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ　Ｎｅｕｍａｎｎ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　

＋Ｍｕ＝ｆ（ｔ，　），ｔ∈（０，１），　（０）＝ｕｐ（１）＝０　（１）　

（２）　ｗｈｅｒｅ　Ｍ＞０，ｆ∈　（［０，１】×［０，＋。。），［０，＋。。））．　Ｉｎ　ｔｈｅ　ｌａｓｔ　ｔｗｏ　ｄｅｃａｄｅｓ，ｔｈｅｒｅ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｍｕｃｈ　ａｔｔｅｎｔｉｏｎ　ｆｏｃｕｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｏｓｉｔｉ　ｃｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｄｉｖｅｒｓｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［１－４］，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ　ｔｈｅｒｅｉｎ．Ｔｈｅ　

ｐｒｏｂｌｅｍ（１）一（２）ａｒｉｓｅｓ　ｉｎ　ｍａｎｙ　ｄｉｆｅｒｅｎｔ　ａｒｅａｓ　ｏｆ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　ｐｈｙｓｉｃｓ，ａｎｄ　ｏｎｌｙ　ｉｔｓ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｉｓ　ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ　ｉｎ　ｐｒａｃｔｉｃｅ．Ｒｅｃｅｎｔｌｙ，Ｎｅｕｍａｎｎ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｈａｖｅ　ｄｅｓｅｒｖｅｄ　ｔｈｅ　ａｔｔｅｎｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍａｎｙ　ｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓ［　—　引．Ｉｎ　ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ．Ｊｉａｎｇ　ｅｔ　ａｌ［７１　ｏｂｔａｉｎｅｄ　

ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｃｒｉｔｅｒｉａ　ｆｏｒ　ｏｎｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ（１）．（２）ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ　ｔｈａｔ　ｆ　ｉｓ　ｅｉｔｈｅｒ　ｓｕｐｅｒｌｉｎｅａｒ　ｏｒ　ｓｕｂｌｉｎｅａｒ．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｉｎｄｅｘ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｃｏｎｅ　ｍａｐ，Ｌｉａｎｇ［８］ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　Ｎｅｕｍａｎｎ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ一　”（　）＋ａ（ｔ）ｕ（ｔ）＝ｆ（ｔ，　（　）），ｔ∈Ｉ，　（０）＝　，（１）＝０．Ｌｉ［。】ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ｔｈｅ　

Ｒｅｃｅｉｖｅｄ：２８　Ｄｅｃ　２００９．　Ｂｉｏｇｒａｐｈｙ：Ｚｈｏｕ　Ｗｅｎｘｕｅ（Ｂｏｒｎ　ｉｎ　１９７６），Ｍａｌｅ，Ｐｈ．Ｄ．　Ａｃｃｅｐｔｅｄ：１５　Ｊｕｎｅ　２０１０．　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｆｉｅｌｄ：ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ．　

Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｉｔｅｍ：Ｔｈｅ　Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ（１０９０１０７５）；ｔｈｅ　Ｋｅｙ　Ｐｒｏｊｅｃｔ　ｏｆ　

Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｍｉｎｉｓｔｒｙ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ（２１０２２６）．　５９０　ＣＨＩＮＥＳＥ　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖ０Ｌ．２８　

ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｎｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　

（　）乱　）　＋ｑ（ｚ）＝ｆ（ｘ，ｕ），＿ｚ∈（０，１），ａｕ（０）一　（０）　（０）＝０，ｃｕ（１）＋ｄｐ（１）ｕ＇（１）：０　Ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ａｉｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｉｘｅｄ—ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｏｎ　Ｂａｎａｃｈ　ｓｐａｃｅｓ　ｗｉｔｈ　ｃｏｎｅｓ，　ｕｎｄｅｒ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｗｅａｋｅｒ　ｔｈａｎ　ｔｈｏｓｅ　ｉｎ『７１，Ｓｕｎ［１Ｏ，ｌ　ｌ　Ｊ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｃｒｉｔｅｒｉａ　ｆｏｒ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　

ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ（１）一（２）．　Ｈｏｗｅｖｅｒ，ａｌｌ　ｔｈｅ　ａｂｏｖｅ　ｗｏｒｋｓ　ａｂｏｕｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｗｅｒｅ　ｄｏｎｅ　ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ　ｔｈａｔ　ｆ　ｉｓ　ｅｉｔｈｅｒ　ｓｕｐｅｒｌｉｎｅａｒ　ｏｒ　ｓｕｂｌｉｎｅａｒ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｏｔｈｅｒ　ｈａｎｄ，ｔｏ　ｍｙ　ｂｅｓｔ　ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ，ｔｈｅｒｅ　ａｒｅ　ｖｅｒｙ　ｆｅｗ　ｗｏｒｋ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｔｈｅ　ｎｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ（１）一（２）．Ｍｏｔｉｖａｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ａｂｏｖｅ　ｍｅｎｔｉｏｎｅｄ　ｗｏｒｋ［７，１０，１１］，ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ａｉｍ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｓ　ｔｏ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｎｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　

ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ（１）一（２）ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｎｅｗ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｖｉａ　ｕｔｉｌｉｚｉｎｇ　ｔｈｅ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｉｎｄｅｘ　ｔｈｅｏｒｙ　ｉｎ　ｃｏｎｅｓ．Ｏｕｒ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｓｅｅｎ　ａｓ　ａ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｉｎ　ｆ７，１　０，１　１］．　Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｓ　ｏｒｇａｎｉｚｅｄ　ａｓ　ｆｏｌｌｏｗｓ．Ｉｎ　ｓｅｃｔｉｏｎ　２，ｗｅ　ｐｒｏｖｉｄｅ　８ｏｌｎｅ　ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｉｅｓ　ａｎｄ　ｖａｒｉｏｕｓ　ｌｅｍｎｍｓ　ｗｈｉｃｈ　ｗｉｌｌ　ｂｅ　ｕｓｅｄ　ｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ｉｎ　ｓｅｃｔｉｏｎ　３，ｗｅ　ｇｉｖｅ　ｍａｉｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ（１）一（２）ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．　

２　Ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｉｅｓ　ａｎｄ　ｌｅｍｍａｓ　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　Ｅ　ｉｓ　ａ　ｒｅａｌ　Ｂａｎａｃｈ　ｓｐａｃｅ，Ｉ＝［０，１】，０　ｓｔａｎｄｓ　ｆｏｒ　ｚｅｒｏ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｉｎ　Ｅ．Ｂｙ　ｃ（ｉ，Ｒ）ｗｅ　ｄｅｎｏｔｅ　ｔｈｅ　Ｂａｎａｃｈ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ａｌｌ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｆｒｏｍ　Ｉ　ｉｎｔｏ　Ｒ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｎｏｒｍ　ｌｌｏ。：＝ｍａｘ｛Ｉｙ（ｔ）ｌ：ｔ∈　），ｗｈｅｒｅ　Ｒ＝（一。。，＋。Ｏ）．　Ｗｅ　ｂｅｇｉｎ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ：　Ｌｅｍｍａ　１［。】　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　Ｍ＞０，ａｎｄ　Ｍ≠ｎ　（ｎ＝１，２，３，．－．），ｔｈｅｎ　ｆｏｒ　ａｎｙ　∈　

Ｃ　，Ｅ｛，ｔｈｅ　ａｂｓｔｒａｃｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　

？』　（　）＋Ｍｕ（ｔ）＝　（　），ｔ∈Ｉ，　（０）＝０，ｕ，（１）　ｈａｓ　ａ　ｕｎｉｑｕｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ．　Ｗｅ　ｓｅｔ　Ｐ＝｛ｕ∈Ｃ［０，１】：ｕ（ｔ）　０，ｔ∈　）ｂｅ　ａ　ｃｏｎｅ　ｉｎ　Ｃ［Ｏ，１］．Ｗｅ　ｄｅｎｏｔｅ　Ｂ　＝｛ｕ∈　Ｃ［０，１］：　Ｉ＜　厂）（ｒ＞０）ｂｙ　ｔｈｅ　ｏｐｅｎ　ｂａｌｌ　ｏｆ　ｒａｄｉｕｓ　ｒ．Ｔｈｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ｓａｉｄ　ｔｏ　ｂｅ　ａ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ（１）一（２）ｉｆ　∈Ｃ［０，１］ｎ　Ｃ　（０，１）ｓａｔｉｓｆｉｅｓ（１）一（２）ａｎｄ　ｕ（ｔ）＞０　ｆｏｒ　ｔ∈（０，１）．　Ｔｏ　ｏｂｔａｉｎ　ａ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ（１）一（２），ｗｅ　ｒｅｑｕｉｒｅ　ａ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｗｈｏｓｅ　ｋｅｒｎｅｌ　Ｇ（ｔ，ｓ）ｉｓ　ｔｈｅ　Ｇｒｅｅｎ’ｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ札　（　）＋Ｍｕ（ｔ）＝０，ｔ∈Ｉ，　（０）＝０，　，（１）＝０．　Ｉｔ　ｉｓ　ｋｎｏｗｎ　ｔｂａｌｔ