高中数学人教版选修2-1课堂练习：3-2-3 求空间角、空间距离问题 含解析

03课堂效果落实
1. 设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，

n〉＝2π3，则l与α所成的角为( )

A. 2π3 B. π3
C. π6 D. 5π6
解析：直线l与平面α所成的角θ＝2π3－π2＝π6.
答案：C
2．若两异面直线l1与l2的方向向量分别为a＝(0,4，－3)，b＝(1,2,0)，则
直线l1与l2的夹角的余弦值为( )

A.32 B.8525

C.4315 D.33
解析：设l1，l2的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝
0×1＋4×2＋－3×0
5×5

＝8525.
答案：B
3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦
值是( )
A.24 B.23
C.63 D.33
解析：易知AC1⊥平面A1BD，设AC1与平面A1BD的交点为G，∠GBC1的
余弦值为所求，在Rt△ABC1中，∠GBC1＝∠C1AB，

∴cos∠C1AB＝13＝33.
答案：D
4．平面α的法向量n1＝(1,0，－1)，平面β的法向量n2＝(0，－1,1)，则
平面α与β所成二面角的大小为________．
解析：设二面角的大小为θ，

则cos〈n1，n2〉＝1×0＋0×－1＋－1×12·2＝－12，

所以cosθ＝12或－12.
∴θ＝π3或2π3.
答案：π3或2π3
5．已知四棱锥G－ABCD中，四边形ABCD为边长是4的正方形，E，F
分别为AB，AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2.
(1)求EF与GD所成角的余弦值；
(2)求B点到平面EFG的距离．
解：
建立如图所示的空间直角坐标系，则F(2,0,0)，E(4,2,0)，G(0,4,2)，B(4,4,0)，

(1)由此得FE→＝(2,2,0)，DG→＝(0,4,2)，
则cos〈FE→，DG→〉＝2×0＋2×4＋0×222×25＝105，

故EF与GD所成角的余弦值为105.
(2)由FE→＝(2,2,0)，FG→＝(－2,4,2)，设B点在面EFG内的投影为H(x，y，
z)，得BH→＝(x－4，y－4，z)．

由题意得 FE→·BH→＝0，FG→·BH→＝0，

即 2x－4＋2y－4＝0，－2x－4＋4y－4＋2z＝0，
整理得 x＋y＝8，－x＋2y＋z＝4，①