2016天津高考理科数学(答案及解析)

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合 A={X |X 2T X +3<0}, B={x|2x £>0},则 A A B=（）3D . （2,3） ）D . 2】】更换的易损專件對D 、E 两点.已知 |AB|=4 . 2, |DE|=2 5，则 C 的焦点到准线的距离为（） A . 2 B . 4 C. 6 D . 811、平面a 过正方体 ABCDS 1B 1C 1D 1的顶点 A , a//平面CB1D 1, a A 平面 ABCD=m, a A 平面 ABB 1A 1= n ,贝U m 、n 所 成角的正弦值为（） .3 ,2A . ~B . 2n n n n 5 n12、 已知函数f(x)=sin( 3X+$)(3>0, |创 勺,x= p 为f(x)的零点，x=4为y=f(x)图像的对称轴，且f(x)在聒品)单调， 则3的最大值为() A . 11 B. 9 C. 7D. 5二、 填空题：本大题共 4小题，每小题5分13、 _____________________________________________________________________ 设向量 a=(m,1), b=(1,2),且 |a+b|2=|a| 2+| b|2,贝V m= ______________________________________________________ .3A . （3~2） 2、 设（1+i ）x=1+yi ,33B . (£，2)C.(1,2)其中x , y 是实数，则|x+yi|=(B . ,'2C . ‘33、 已知等差数列{a n }前9项的和为27, a 10=8，贝U a 100=（） A .100 B . 994、 某公司的班车在 7:00, 8:00,是随机的，1A . 3 C . 98 D . 97 8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻10分钟的概率是（） 2 3 C. 3 D . 4 5、已知方程 则他等车时间不超过 1 B . 2 y 2—=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则n 的取值范围是（） B . （-1^3）C. （0,3） D . （0,迈）2m 2+n 3m 2-n A . (-1,3)6、 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径. 它的表面积是（） A . 17 nB . 18 nC. 20 n7、 函数y=2x 2-e |x|在［-,2］的图像大致为（28 n 口 r若该几何体的体积是"y ，则1.L■Z-n J7a)B . ab c <ba c C. alog b c<blog a cx=0, y=1, n=1,则输出 D . x , y 的值满足（）Iog a c<log b c D . 28 nA .8、 若 a>b>1, 0<c<1，则（ A . a c <b c9、 执行下左1图的程序图，如果输入的B. C.D .40 2014、(2x+&)5的展开式中，x3的系数是____________ (用数字填写答案).15、设等比数列满足｛a n｝满足a1+a3=10, a2+a4=5,贝U a1a2・・・an的最大值为_______ .16、某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元, 生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为______________________________ 元.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(必考题)17、(本题满分为12分)△ ABC的内角A, B, C的对边分别别为a, b, c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c(1) 求c；⑵若c= 7, △ ABC的面积为求△ ABC的周长.18、(本题满分为12分)如上左2图，在已A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD, /AFD=90 ,°且二面角D-KF-E 与二面角C-BE-F 都是60 °(1) 证明；平面ABEF丄平面EFDC;(2) 求二面角E-BC-K的余弦值.19、(本小题满分12 分)某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如上左3图柱状图．以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1) 求X的分布列；(2) 若要求P(X < n) >,0确定n的最小值；(3) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20、(本小题满分12分)设圆x2+y2+2x-5=0的圆心为A,直线I过点B(1,0)且与x轴不重合，I交圆A于C, D两点, 过B作AC的平行线交AD于点E.(1) 证明|EA|+|EB| 为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2) 设点E的轨迹为曲线C i,直线I交C i于M , N两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于PQ两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21、(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x -)e x+a(x-)2有两个零点.(1)求a 的取值范围；⑵设X1, x2是的两个零点，证明：X什x2<2.22、(本小题满分10分)［选修4-:几何证明选讲］如图，△ OAB 是等腰三角形，/ AOB=120°.以0为圆心，^OA 为半径作圆.(1)证明：直线AB 与O 0相切x=acost23、(本小题满分10分)［选修4 -:坐标系与参数方程］在直线坐标系xoy 中，曲线C i 的参数方程为y=1+as i nt (t 为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 Q ： p =4cos. 0 (1)说明C 1是哪种曲线，并将 G 的方程化为极坐标方程；⑵直线Q 的极坐标方程为 0 =a ，其中a o 满足tan=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在 C 3上，求a .24、(本小题满分10分)［选修4-5：不等式选讲］已知函数f(x)=|x+1| -2x 詡. (1) 在答题卡第(24)题图中画出y= f(x)的图像； (2) 求不等式|f(x)|>1的解集.B, GD 四点共圆，证明:AB// CD.⑵点C, D 在O 0上，且A ,理科数学参考答案一、选择题：1、D2、B3、C4、B5、A6、A7、D 8、C二、填空题：13、—14、1015、6416、2160009、C 10、B 11、A 12、B三、解答题:17、解：⑴由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC 即2cosCsin(A+B)=sinC 故2sinCcosC=sinC可得cosC弓，所以C=3.2 3(2)由已知,*absinC=323•又C=n,所以ab=6.由已知及余弦定理得，a2+b2 ^2abcosC=7,故a2+b2=13，从而(a+b)2=25.所以△ ABC的周长为5+ ■'7.18、解：⑴由已知可得AF丄DF, AF丄FE所以AF丄平面EFDC 又F 平面ABEF故平面ABEF丄平面EFDC⑵过D作DG丄EF,垂足为G,由⑴知DG丄平面ABEF.以G为坐标原点，向量GF的方向为x轴正方向，|GF|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G -cy z.由(1)知/DFE为二面角D-AF-E 的平面角，故/DFE=60 ,则|DF|=2 , |DG|=3 ,可得A(1,4,0), B(43,4,0), E(43,0,0),D(0,0，V3).由已知，AB// EF,所以AB// 平面EFDC 又平面ABCDH 平面EFDC=DA 故AB// CD, CD// EF. 由BE// AF,可得BE丄平面EFDC所以/ CEF为二面角CHBE-F的平面角，/ CEF=60 .从而可得C(H2,0^3).所以向量EC=(1,0,⑶,EB=(0,4,0), AC=(43,T, ：3), AB=(T,0,0).设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量，则n三二，即x+ - 3z=0,所以可取n EB=04y=0设m是平面ABCD的法向量，则m AB=0，同理可取m=(0,Q3,4).则故二面角E-BC-K的余弦值为-[9.9、解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8, 9, 10, 11的概率分别为0.2, 0.4, 0.2, 0.2，从而：P(X=16)=0.2 X 0.2=0.04 P(X=17)=2 X 0.2 X 0.4=0.16 P(X=18)=2 X 0.2 X 0.2+0.4 X Q.4=0.24 P(X=19)=2 X 0.2 X 0.2+2 X 0.4 X；.2=X=40)=2 X 0.2 X 0.4+0.2 X；0.2=0E2X=21)=2 X 0.2 X 0.2=0.08X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04⑵由(1)知P(X < 18)=0.44 P(X w 19)=0.68 故n 的最小值为19.(3) 记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元). 当n=19 时，EY=19< 200X 0.68+(19 X 200+500) X 0.2+(19 X 200+2X 500) X 0.08+(19 X 200+3X 500) X.0.04=4040当n=20 时，EY=2(X 200X 0.88+(20 X 200+500) X 0.08+(20 X 200+2X 500) X 0.04=4080 可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选n=19 .20、解：(1)：|AD|=|AC| , EB// AC,故/ EBD=/ ACD=Z ADC, /• |EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD| 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16，从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4 .2 2由题设得A(-1,0), B(1,0), |AB|=2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：X4+y3=1(y工°)n=(3,0, —3).cos <n,m>=—⑵当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y=k(x - 1)(k £M(x i ,y i ), N(X 2,y 2). 出尸丁1)® c c c c 8k 2 4k 2-2 由x 2 y 2 d … —+—=i4 3四边形 MPNQ 的面积 S=2|MN||PQ|=121+4k 1+3.可得当I 与x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为［12,8 .3).当I 与x 轴垂直时，其方程为 x=1, |MN|=3 , |PQ|=8，四边形 MPNQ 的面积为12 . 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为［12,8 3).21、解：(1)f(x)=(x -1)e x +2a(x-1)=(x -)(e x +2a).① 设a=0,则f(x)=(x 2)e x , f(x)只有一个零点.② 设a>0,则当x € (-a )时，f(x)<0 ;当x € (1,+s )时，f(x)>0 .所以f(x)在(-^ )上单调递减，在(1,+〜上单调递 增. a a 3又 f(1)= -e , f(2)=a ，取 b 满足 b<0 且 b<lng ,则 f(b)>q(b ~2)+a(b -)2=a(b 2—b)>0,故 f(x)存在两个零点. ③ 设 a<0,由 f(x)=O 得 x=1 或 x=ln( -2a).若a >-，则ln( - 2a)§1故当x € (1,+〜时，f(x)>0，因此f(x)在(1,+〜上单调递增.又当 xwi 时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点.若 a<-|，贝U ln( -2a)>1，故当 x € (1,ln( -2a))时，f(x)<0;当 x € (ln( -2a),+ 〜时，f(x)>0 .因此 f(x)在(1,ln( -2a))单调递 减，在(ln(£a),+a )单调递增.又当x wi 时，f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为(0,+^).(2)不妨设X 1<x 2，由(1)知x € ( - a )1 x 2 € (1,+a ), 2 -x ? € (-呵)，f(x)在(- a )上单调递减，所以 x 什X 2<2等价于f(x 1)>f(2 %)，即 f(2 伙2)<0.由于 f(2 -2)=-ee 2-2+a(x 2-)2，而 f(x 2)=(x 2 72)e x2+a(x 2 -1)2=0，所以 f(2 -2)=-2e 2-2-X 2 ^e^.设 g(x)= ^xe 2- -x-2)e x ,则 g'(x)=(x -)(e 2^.所以当 x>1 时，g'(x)<0,而 g(1)=0,故当 x>1 时，g(x)<0.从而 g(X 2)=f (2 -Q )<0,故 x 1+x 2<2.22、解：(1)设E 是AB 的中点，连结 OE , 因为 OA=OB, / AOB=120，所以 OE 丄 AB , / AOE=60 .1在Rt A AOE 中，OE^AO,即O 到直线AB 的距离等于圆 O 的半径，所以直线⑵因为OA=2OD,所以O 不是A , B , C , D 四点所在圆的圆心，设 O'是A , B , C, D 四点所在圆的圆心，作直线 OO'.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又 O'在线段AB 的垂直平分线上，所以 OO'丄AB .同理可证，OO'丄CD.所以AB // CD.x=acosto o o00 o23、解：⑴ y =1+asint (t 为参数)，二 x 2+(y-1)2=a 2® • C 1 为以(0,1)为圆心，a 为半径的圆，方程为 x 2+y 2 42y+1 -a 2=0. ••• x 2+y 2 + p 2, y= p sin , • p 2- 2 p sin 9a 2=10-P 为 G 的极坐标方程.⑵C 2： p =4cos,(两边同乘 p 得 p =4 p cos, 0•- p =x 2+y 2, p cos 0 亍x • x 2+y 2=4x ，即(x~2)2+y 2=4②C 3：化为普通方程为 y=2x .由题意：G 和C 2的公共方程所在直线即为Q,8k 2 4k 2 -2 __ 12(k 2+1) 得(4k 2+3)x 2 -8k 2x+4k 2 -2=0. /• x 什血*2+3，X i x 2= 4R 2+3 • |MN|= 1+k 2|x1 -<2|= 4^^+^ • 过点B(1,0)且与I 垂直的直线 m : y= -k (x -1), A 到m 的距离为，所以|PQ|=2 % j AB 与O O 相切. 2-；+1.故EBx>5或 x<3, /• x < -. 1 13-1<x<2, |3x -2|>1，解得 x>1 或 x<3.••• -1<x<3或 1<x<2.3 3当 x 亏 |4 -x|>1，解得 x>5 或 x<3, •x<3或 x>5.1 综上，x<3或 1<x<3 或 x>5.1•|f(x)|>1，解集为(-«3)0(1,3)u (5,+m ).①-② 得：4x42y+1 -a 2=0,即为 C 3. /• 1 -a 2=0, /• a=1. 24、解：⑴如图： 3⑵f(x)= 3x -2( -1<x<2)又•- |f(x)|>134 —x 多 x < -,|x —|>13。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件，互斥，那么•如果事件，相互独立，那么..•圆柱的体积公式.•圆锥的体积公式. 其中表示圆柱的底面面积， 其中表示圆锥的底面面积，表示圆柱的高.表示圆锥的高.A B A B ()()()P A B P A P B =+()()()P AB P A P B =V Sh =13V Sh =S S h h一 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合，，则【D 】 （A ） （B ） （C ）（D ） （2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为【B 】 （A ）（B ）（C ）（D ）（3）在中，若，，， 则【A 】（A ）（B ）（C ）（D ）（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为【B 】（A ） （B ） （C ）（D ）}{4,3,2,1=A }{A x x y y B ∈-==,23=B A }{1}{4}{3,1}{4,1x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-++-.0923,0632,02y x y x y x y x z 52+=4-61017ABC ∆13=AB 3=BC120=∠C =AC 1234S 2468≥ ≥ ≤（5）设是首项为正数的等比数列，公比为则 “”是“对任意的正整数，”的【C 】（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为【D 】（A ） （B ） （C ）（D ） （7）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为【B 】}{n a q 0＜q n 0212＜n n a a +-14222=-b y x ）＞（0b A B C D ABCD b 2143422=-y x 134422=-y x 144222=-y x 112422=-y x ABC ∆1D E AB BC DE F EF DE 2=⋅（A ）（B ） （C ）（D ）（8）已知函数（，且）在R 上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是【C 】（A ） （B ）（C ）{}（D ）{} 第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.（9）已知，R ，是虚数单位，若，则的值为 2 . （10）的展开式中的系数为 -56 .（用数字作答）（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱 锥的三视图如图所示（单位：），则该四棱锥的体积 为 2 .85-8141811⎪⎩⎪⎨⎧+++-+=0,1)1(log 0,3)34()(2x x x a x a x x f a ＜0＞a 1≠a x x x f -=2)(a ]32,0(]43,32[ ]32,31[43)32,31[43a ∈b i a b =-+)i 1)(i 1(ba82)1(xx -7x m 3m ≥（12）如图，是圆的直径，弦与相交于点，，，则线段的长为 .（13）已知是定义在R 上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是 .（14）设抛物线（为参数，）的焦点，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为.三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）AB CD AB E 22==AE BE ED BD =CE 3)(x f )0,(-∞a )2()2(1--f f a ＞a 13(,)22⎩⎨⎧==pty pt x 2,22t 0＞p F l A l B )0,27(p C AF BC E AF CF 2=ACE ∆23p已知函数. （Ⅰ）求的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性. 解： 解：的定义域为..所以, 的最小正周期 解：令函数的单调递增区间是由,得 设，易知. 所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减.（16）（本小题满分13分）某小组共人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为，，的人数分3)3cos()2sin(tan 4)(---=ππx x x x f )(x f )(x f ]4,4[ππ-()I ()f x ,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 22x x x x x x ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭)()=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π=-()f x 2.2T ππ==()II 2,3z x π=-2sin y z =2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦222232k x k πππππ-+≤-≤+5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x ,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，10123别为，，.现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会.（Ⅰ）设为事件“选出的人参加义工活动次数之和为”，求事件发生的概率；（Ⅱ）设为选出的人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望. 解：由已知，有所以，事件发生的概率为. 随机变量的所有可能取值为， ， . 所以，随机变量分布列为334102A 24A X 2X ()I ()1123442101,3C C C P A C +==A 13()∏X 0,1,2.()2223342100C C C P X C ++==415=()111133342107115C C C C P X C +===()11342104215C C P X C ===X随机变量的数学期望. （17）（本小题满分13分）如图，正方形的中心为，四边形为 矩形，平面平面，点为的中点，.（Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）设为线段上的点，且， 求直线和平面所成角的正弦值.解：依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.X ()4740121151515E X =⨯+⨯+⨯=ABCD O OBEF ⊥OBEF ABCD G AB 2==BE AB EG ADF C EF O --H AF HF AH 32=BHCEF OF ABCD ⊥平面O ,,AD BA OF x y z (0,0,0)O ()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，（I ）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.（II ）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角. ()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-()1,,n x y z =ADF 110n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2020x x y z =⎧⎨-+=⎩1z =()10,2,1n =()0,1,2EG =-10EG n ⋅=EG ADF ⊄平面//EG ADF 平面()1,1,0OA =-OEF ()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-()2,,n x y z =CEF 220n EF n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩1x =()21,1,1n =-222cos ,OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅23sin ,OA n <>=O EF C --（III ）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.（18）（本小题满分13分）已知是各项均为正数的等差数列，公差为.对任意的，是和的等比中项.（Ⅰ）设，，求证：数列是等差数列；（Ⅱ）设，，，求证. 解：（I ）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（II ）证明：所以. （19）（本小题满分14分）设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知， 其中为原点，为椭圆的离心率.23AH HF =25AH AF =()1,1,2AF =-2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭222cos ,21BH nBH n BH n ⋅<>==-⋅BH CEF 21}{n a d *∈N n n b n a 1+n a 221n n n b b c -=+*∈N n }{n c d a =1∑=-=nk kkn b T 212)1(*∈N n 21211d T nk k＜∑=21n n n b a a +=22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=()212122n n n n c c d a a d +++-=-={}n c ()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+()()()22224222212n n n a a d a a a d d n n +=+++=⋅=+()222211111111111112121212nn n k k k kT d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑13222=+y a x )3(＞a F A FAeOA OF 311=+O e（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点.若，且≤，求直线的斜率的取值范 围.（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为. （2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.解得，或，由题意得，从而.由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.A lB B x l l M y H HF BF ⊥MOA ∠MAO ∠l (,0)F c 113||||||c OF OA FA +=113()cc a a a c +=-2223a c c -=2223a c b -==21c =24a =22143x y +=l k 0≠k l )2(-=x k y ),(B B y x B ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x y 0121616)34(2222=-+-+k x k x k 2=x 346822+-=k k x 346822+-=k k x B 34122+-=k k y B )0,1(F ),0(H y H ),1(H y FH -=)3412,3449(222++-=k kk k BF HF BF ⊥0=⋅HF BF 034123449222=+++-k ky k k Hk k y H 12492-=MH kk x k y 124912-+-=设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或. 所以，直线的斜率的取值范围为. （20）（本小题满分14分）设函数，R ，其中，R .（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．．．（Ⅰ）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得，或. 当变化时，，的变化情况如下表：),(M M y x M ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y y )1(1292022++=k k x M MAO ∆||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠2222)2(M M M M y x y x +≤+-1≥M x 1)1(1292022≥++k k 46-≤k 46≥k l ),46[]46,(+∞--∞ b ax x x f ---=3)1()(∈x a ∈b )(x f )(x f 0x )()(01x f x f =01x x ≠3201=+x x 0＞a )()(x f x g =)(x g ]2,0[41b ax x x f ---=3)1()(a x x f --=2)1(3)('0≤a 0)1(3)('2≥--=a x x f )(x f ),(+∞-∞0>a 0)('=x f 331ax +=331a x -=x )('x f )(x f. （Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即， 进而. 又 ，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以；（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此333),331(+∞+a)(x f 0>a 10≠x 0)1(3)('200=--=a x x f 3)1(20a x =-b ax a b ax x x f ---=---=332)1()(003003000008(32)(22)(32)(1)233af x x a x b x ax a b -=----=-+--)(33200x f b ax a =---=0023x x ≠-)()(01x f x f =01x x ≠0123x x -=3201=+x x )(x g ]2,0[M },max{y x y x ,3≥a 33120331aa +≤<≤-)(x f ]2,0[)(x f ]2,0[)]0(),2([f f |}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----==|})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=，所以. （2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，所以在区间上的取值范围为，因此 . （3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， ，， 所以在区间上的取值范围为，因此. 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.⎩⎨⎧<++--≥+++-=0),(10),(1b a b a a b a b a a 2||1≥++-=b a a M 343<≤a 3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-)331()3321()0(a f a f f +=-≥)331()3321()2(a f a f f -=+≤)(x f ]2,0[)]331(),331([af a f -+|}392||,392max {||})331(||,)331(max {|b a a ab a a a a f a f M -----=-+=|})(392||,)(392max{|b a a a b a a a +-+--=414334392||392=⨯⨯⨯≥++=b a a a 430<<a 23313310<+<-<a a )331()3321()0(a f a f f +=-<)331()3321()2(af a f f -=+>)(x f ]2,0[)]2(),0([f f |}21||,1max{||})2(||,)0(max{|b a b f f M ----==|})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=41||1>++-=b a a 0>a )(x g ]2,0[41。