2018高考数学复习概率与统计12.4.2变量间的相关关系统计案例撬题理

第3节变量的相关性与统计案例【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.(2016·重庆一中模拟)对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位:分)进行统计得到散点图.下面关于这位同学的数学成绩的分析中,正确的共有( D )①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高②该同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分③该同学的数学成绩与考试次号具有线性相关性,且为正相关(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:根据散点图可知该同学的成绩与考试次数成正相关关系,所以①③均正确;第一次的成绩在90分以下,第九次的成绩在130分以上,所以②正确,故选D.2.(2016·吉林大学附中二模)2016年3月9日至15日,谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石,最终结果“阿尔法”以总比分4比1战胜李世石.许多人认为这场比赛是人类的胜利,也有许多人持反对意见,有网友为此进行了调查,在参加调查的2 548名男性中有1 560名持反对意见,2 452名女性中有1 200名持反对意见,在运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时,应采用的统计方法是( C )(A)茎叶图 (B)分层抽样(C)独立性检验(D)回归直线方程解析:这是独立性检验,因为这里有两个分类变量,一个是性别分为男女,一个是意见分为支持和反对,这样就构成一个2×2列联表,用独立性检验来验证“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系.3.(2016·湖南永州模拟)当今人口政策受到人们的广泛关注,下表是某大学人口预测课题组通过研究预测的15～64岁人口所占比例的结果:已知所占比例y关于年份代号t的回归直线方程为=-1.7t+m,则m等于( D )(A)67.8 (B)68 (C)68.5 (D)68.7解析:因==3,==63.6,故63.6=-1.7×3+m,即m=68.7,故选D.4.(2017·湖南师大附中摸底)某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响.部分统计数据如下表:附表:经计算K2=10,则下列选项正确的是( A )(A)有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响(B)有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响(C)有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响(D)有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响解析:因为7.879<K2<10.828,故有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响,故选A.5.在一段时间内,分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(件)之间的一组数据为若y关于x的回归直线方程为=-11.5x+28.1,则上表中的y0值为( C ) (A)7.4 (B)5.1 (C)5 (D)4解析:因==1.8,将其代入=-11.5x+28.1,可得=7.4,即=7.4,解之得y0=37-32=5,故选C.6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据,根据下表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35,则下列结论错误的是( C )(A)回归直线一定过点(4.5,3.5)(B)产品的生产能耗与产量正相关(C)t的取值是3.15(D)A产品每多生产1吨,则相应的生产能耗约增加0.7吨解析:由题意,==4.5,因为=0.7x+0.35,过样本点的中心(,),所以=0.7×4.5+0.35=3.5,所以t=4×3.5-2.5-4-4.5=3,故选C.7.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x+中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为万元.解析:由上表可得=,=42,所以=-=42-9.4×=9.1,所以当广告费用为6万元时,有=9.4×6+9.1=65.5.答案:65.58.某高校“统计初步”课程的老师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表:为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为.（K2=）解析:由题意知为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得K2=≈4.84,因为K2≥3.841,由临界值表可以得到P(K2≥3.841)=0.05,所以判定主修统计专业与性别有关系的这种判断出错的可能性最高为0.05=5%.答案:5%9.(2015·福建龙岩市高三5月质检)为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系,现随机抽取50名学生,得到2×2列联表:则有以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”.解析:K2的观测值k=≈8.333>7.879,故有99.5%以上的把握认为喜欢足球与性别有关.答案:99.5%10.为了了解观众对春晚节目的喜爱程度,随机调查了观看了该节目的140名观众,得到如下2×2的列联表:(单位:名)(1)从这60名男观众是否喜爱春晚节目采取分层抽样,抽取一个容量为6的样本,问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名?(2)根据以上列联表,问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱春晚节目有关;(精确到0.001)(3)从(1)中的6名男性观众中随机选取两名跟踪调查,求选到的两名观众都喜爱春晚节目的概率.附:临界值表参考公式:K2=,n=a+b+c+d.解:(1)抽样比为=,则样本中喜爱的观众有40×=4(名);不喜爱的观众有6-4=2(名).(2)由已知数据可求得,K2==≈1.167<5.024,所以不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱春晚节目有关.(3)设喜爱春晚节目的4名男性观众为a,b,c,d,不喜爱春晚节目的2名男性观众为1,2;则基本事件分别为(a,b),(a,c),(a,d),(a,1),(a,2),(b,c),(b,d),(b,1),(b,2),(c,d),(c,1),(c,2),(d,1),(d,2),(1,2)共15个.其中选到的两名观众都喜爱春晚节目的事件有6个,故其概率为P==0.4.11.某益智闯关节目对前期不同年龄段参赛选手的闯关情况进行统计,得到如下2×2列联表,已知从30～40岁年龄段中随机选取一人,其恰好闯关成功的概率为.(1)完成2×2列联表;(2)有多大把握认为是否闯关成功与年龄有关?附:临界值表供参考K2=解:(1)(2)K2==≈7.14>6.635,所以有99%的把握认为是否闯关成功与年龄有关.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016·江西萍乡二模)为研究某灌溉渠道水的流速y(m/s)和水深x(m)之间的关系,现抽测了100次,统计出其流速的平均值为1.92,水深的频率直方图如图,已知流速对水深的线性回归方程为=x+0.012,若水深的平均值用每组数据的中值(同一组数据用该区间中点值作代表)来估计,则估计约为( D )(A)0.3 (B)0.6 (C)0.9 (D)1.2解析:水深平均值为1.5×0.3+1.6×0.5+1.7×0.2=1.59,将(1.59,1.92)代入回归直线方程,求得=1.2.故选D.13.根据如下样本数据:得到了回归方程=x+,则( C )(A)>0,>0 (B)<0,>0(C)>0,<0 (D)<0,<0解析:因为总体趋势是y随着x的增大而减小,所以<0,又=5.5,=0.25,所以=-=0.25-5.5>0,选C.,报考学生有500人,其中男生300人,女生200人,为了研究学生的成绩是否与性别有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们测试的分数,然后按性别分为男、女两组,再将两组学生的分数分成4组:70,90),90,110),110,130),130,150]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图可以估计女生测试成绩的平均值为103.5分,请你估计男生测试成绩的平均值,由此推断男、女生测试成绩的平均水平的高低;(2)若规定分数不低于110分的学生为“优秀生”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“优秀生与性别有关”?参考公式:K2=参考数据:解:(1)由频率分布直方图可以估计男生测试成绩的平均值为=80×0.015 0×20+100×0.022 5×20+120×0.010 0×20+140×0.002 5×20=100(分),因为103.5>100,所以由此可以推断女生测试成绩的平均水平略高于男生.(2)由题意及频率分布直方图可知,在抽取的100名学生中,男生有100×=60(人),测试成绩优秀的男生有60×(0.010 0+0.002 5)×20=15(人);女生有100×=40(人),测试成绩优秀的女生有40×(0.016 25+0.002 50)×20=15(人).据此可得2×2列联表如下:所以K2====1≈1.79,因为1.79<2.706,P(K2≥2.706)=0.100,所以没有90%的把握认为“优秀生与性别有关”.好题天天练x(单位:年)和所支出的维修费用y(单位:万元)有如下的统计资料:由上表可得回归直线方程=x+0.08,若规定当维修费用y>12时该设备必须报废,据此模型预报该设备使用年限的最大值为( C )(A)7 (B)8 (C)9 (D)10解题关键:理解回归直线过样本点中心求的值.解析:由已知表格得=(2+3+4+5+6)=4,=(2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5,由于回归直线恒过样本点的中心(,),所以有5=4+0.08,解得=1.23,所以线性回归方程=1.23x+0.08,由y>12得1.23x+0.08>12解得x>9.69,由于x∈N*,所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9.故选C.2.某工厂对新研发的一种产品进行试销,得到如下数据表:已知销量y与单价x具有线性回归关系,该工厂每件产品的成本为5.5元,请你利用所求的线性回归关系预测:要使得利润最大,单价应该定为元.附:线性回归方程=x+中斜率和截距最小二乘估计计算公式:=,=-解题关键:理解回归直线方程意义及利用其解决实际问题.解析:由已知得==8.5,==80,代入斜率估计公式可得=-20,将(,)代入得=-=250,所以回归直线方程为=-20x+250,利润z=(x-5.5)=(x-5.5)(-20x+250)=-20(x-5.5)(x-12.5),对称轴为x=9,所以单价应该定为9元.答案:9。

RJA
第56讲 PART 10 变量间的相关关系、统计案 教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题 例
考试说明
教学参考
考情分析
考点 变量间的相关关系
考查方向 判断变量间的相关关系、 判断相关性强弱、散点图
考例 2015· 全国卷Ⅰ19、 2015· 全国卷Ⅱ3
热度 ★★☆
回归方程的求教师备用例题
知识梳理
相关关系 相关关系
正相关
负相关
线性相关关系
回归直线
课前双基巩固
知识梳理
正相关 负相关 越强 几乎不存在线性相关关系 0.75
课前双基巩固
对点演练
题组一 常识题
课前双基巩固
对点演练
课前双基巩固
对点演练
题组二 常错题
◆ 索引：易混淆相关关系与函数关系；误认为样本数据必在回归直线上；利 用回归方程分析问题时，易误认为所得的数据是准确值．
2012· 新课标全国卷3、 全国卷Ⅰ19、 ★★☆ 求回归方程、回归分析 2015· 2016· 全国卷Ⅲ 18 柱形图、独立性检验 2015· 全国卷Ⅱ3 ★★☆
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课前双基巩固
课堂考点探究
课堂考点探究
课堂考点探究
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探究点三 独立性检验
课堂考点探究
课堂考点探究
课堂考点探究
课堂考点探究
课堂考点探究
课堂考点探究
课堂考点探究
教师备用例题
[备选理由] 例1考查了散点图与相关关系、回归方程之间的关系，是对听课正文中例 2的有效补充． 例2考查独立性检验，是对听课正文中例3的补充．

第十一章 统计与概率 11.3 变量间的相关关系、统计案例 理1．两个变量的线性相关 (1)正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．回归方程 (1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^是待定参数．⎩⎨⎧b ^＝∑n i ＝1x i －x y i－y∑ni ＝1 x i－x2＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x ，y )称为样本点的中心． (3)相关系数当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．4．独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表构造一个随机变量K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．(3)独立性检验利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( × ) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( √ ) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( √ )(4)某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x (℃)之间的关系，得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．( × )(5)事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2的观测值越大．( √ )(6)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．( × )1．(2015·湖北)已知变量x 和y 满足关系y ^＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 答案 C解析 因为y ^＝－0.1x ＋1，－0.1<0，所以x 与y 负相关．又y 与z 正相关，故可设z ^＝b ^y＋a ^(b ^>0)，所以z ^＝－0.1b ^x ＋b ^＋a ^，－0.1b ^<0，所以x 与z 负相关．故选C. 2．(教材改编)下面是2×2列联表：则表中a ，b 的值分别为( )A ．94,72B ．52,50C ．52,74D ．74,52 答案 C解析 ∵a ＋21＝73，∴a ＝52.又a ＋22＝b ，∴b ＝74.3．(2016·河南八市质检)为了研究某大型超市当天销售额与开业天数的关系，随机抽取了5天，其当天销售额与开业天数的数据如下表所示：根据上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.67x ＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为( ) A ．67 B ．68 C ．68.3 D ．71 答案 B解析 设表中模糊看不清的数据为m ，因为x ＝10＋20＋30＋40＋505＝30，又样本中心点(x ，y )在回归直线y ^＝0.67x ＋54.9上， 所以y ＝m ＋3075＝0.67×30＋54.9，得m ＝68，故选B.4．(2017·湖南三校联考)某产品在某零售摊位的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如下表所示：由上表可得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^＝－4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为( )A ．51个B ．50个C ．49个D ．48个 答案 C解析 由题意知x ＝17.5，y ＝39，代入线性回归方程得a ^＝109,109－15×4＝49，故选C.5．(2016·玉溪一中月考)利用独立性检验来判断两个分类变量X 和Y 是否有关系，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．为了调查用电脑时间与视力下降是否有关系，现从某地网民中抽取100位居民进行调查．经过计算得K 2≈3.855，那么就有________%的把握认为用电脑时间与视力下降有关系.答案 95解析 根据表格发现3.855>3.841,3.841对应的是0.05，所以根据独立性检验原理可知有95% 的把握认为用电脑时间与视力下降有关系.题型一 相关关系的判断例1 (1)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④(2)x 和y 的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．①x ，y 是负相关关系；②在该相关关系中，若用y ＝c 1 拟合时的相关系数的平方为r 21，用y ^＝b ^x ＋a ^拟合时的相关系数的平方为r 22，则r 21>r 22； ③x 、y 之间不能建立线性回归方程． 答案 (1)D (2)①②解析 (1)由线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^知当b ^>0时，y 与x 正相关，当b ^<0时，y 与x 负相关，∴①④一定错误．(2)①显然正确；由散点图知，用y ＝c 1拟合的效果比用y ^＝b ^x ＋a ^拟合的效果要好，故②正确；x ，y 之间能建立线性回归方程，只不过预报精度不高，故③不正确． 思维升华 判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r >0时，正相关；r <0时，负相关．(3)线性回归方程中：b ^>0时，正相关；b ^<0时，负相关．(1)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( ) A ．－1 B ．0 C.12D ．1(2)变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( ) A ．r 2＜r 1＜0 B ．0＜r 2＜r 1 C ．r 2＜0＜r 1 D ．r 2＝r 1答案 (1)D (2)C解析 (1)所有点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1，故选D.(2)对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1＞0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2＜0，故选C.2e c x题型二 线性回归分析例2 (2016·全国丙卷)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码17分别对应年份2008－2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17，∑i ＝17y i －y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t2∑i ＝1n y i －y2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t2，a ^＝y －b ^t .解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17y i －y2＝0.55.∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，所以r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17t i －ty i －y∑i ＝17t i －t2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨． 思维升华 线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求线性回归方程①利用公式，求出回归系数b ^，a ^.②待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数． (2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．(3)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b ^.(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．(2015·课标全国Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1nu i －uv i －v∑i ＝1nu i －u2，α^＝v －β^u .解 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型． (2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ^＝∑i ＝18w i －wy i －y∑i ＝18w i －w2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． 题型三 独立性检验例3 (2016·福建厦门三中模拟)某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革的关系，随机抽取了100名员工进行调查，其中支持企业改革的调查者中，工作积极的有46人，工作一般的有35人，而不太赞成企业改革的调查者中，工作积极的有4人，工作一般的有15人．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)对于人力资源部的研究项目，根据以上数据是否可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关系？参考公式：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d(其中n＝a＋b＋c＋d)(2)提出假设：企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性无关．根据(1)中的数据，可以求得K2＝－250×50×19×81≈7.862>6.635，所以有99%的把握认为抽样员工对待企业改革的态度与工作积极性有关，从而认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关．思维升华(1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法①通过计算K2的大小判断：K2越大，两变量有关联的可能性越大．②通过计算|ad－bc|的大小判断：|ad－bc|越大，两变量有关联的可能性越大．(2)独立性检验的一般步骤①根据样本数据制成2×2列联表．②根据公式K2＝n ad－bc2a ＋b a＋c b＋d c＋d计算K2的观测值k.③比较k与临界值的大小关系，作统计推断．(2017·衡阳联考)2016年9月20日是第28个全国爱牙日，为了迎接此节日，某地区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，对该地区小学六年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，并汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名．(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该地区学生常吃零食与患龋齿有关系？ (2)4名卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到收集数据组，工作人员乙分到处理数据组的概率． 附：K 2＝n ad －bc 2a＋bc ＋d a ＋cb ＋d解 (1)由题意可得2×2列联表如下：根据2×2列联表中数据，得K 2的观测值为k ＝－2160×640×200×600≈16.667>10.828.∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该地区学生常吃零食与患龋齿有关系． (2)设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表.由表可知，分组的情况共有6种，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据的有2种，故工作人员甲分到收集数据组，工作人员乙分到处理数据组的概率为P ＝26＝13.24．求线性回归方程的方法技巧典例 (12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y ＝b x ＋a ；(2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2016年的粮食需求量．思想方法指导 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观测值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程． 规范解答解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下表.对处理的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，[4分]b ^＝－－＋－－＋2×19＋4×29－5×0×3.2－2＋－2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5， a ^＝y －b ^x ＝3.2.[6分]由上述计算结果，知所求线性回归方程为y ^－257＝6.5(x －2010)＋3.2，即y ^＝6.5(x －2010)＋260.2.[8分](2)利用所求得的线性回归方程，可预测2016年的粮食需求量大约为6.5×(2016－2010)＋ 260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．[12分]1．(2016·衡水质检)具有线性相关关系的变量x ，y 满足一组数据如下表所示．若y 与x 的线性回归方程为y ^＝3x －32，则m 的值是( )A.4B.92 C ．5 D ．6答案 A解析 由已知得x ＝32，y ＝m4＋2，又因为点(x ，y )在直线y ^＝3x －32上，所以m 4＋2＝3×32－32，得m ＝4.2．(2017·武汉质检)根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( )A.a ^>0，b ^>0B.a ^>0，b ^<0C.a ^<0，b ^>0 D.a ^<0，b ^<0答案 B解析 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率b ^<0，当x ＝0时，y ^＝a ^>0.故a ^>0，b ^<0.3．(2017·泰安月考)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表：附：参考公式及数据： (1)统计量：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d(n ＝a ＋b ＋c ＋d )．(2)独立性检验的临界值表：则下列说法正确的是( )A ．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B ．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C ．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D ．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关 答案 C 解析 因为K 2＝－220×20×21×19≈4.912，3．841<K 2<6.635，所以有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关． 4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为y ^ ＝b ^ x ＋a ^，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′答案 C解析 b ′＝2，a ′＝－2，由公式b ^＝∑i ＝16x i －xy i －y∑i ＝16x i －x2，求得b ^＝57，a ^ ＝y －b ^ x ＝136－57×72＝－13，∴b ^ <b ′，a ^>a ′.5．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：附：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是( )A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 答案 C解析 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，选项A 、B 错误． 根据列联表中的数据， 得到K 2＝－255×50×30×75≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”．6．(2016·合肥二模)某市居民2010～2014年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出y (单位：万元)的统计资料如下表所示：根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是______，家庭年平均收入与年平均支出有________相关关系．(填“正”或“负”) 答案 13 正解析 中位数是13.由相关性知识，根据统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正相关关系． 7．以下四个命题，其中正确的序号是________．①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程y ^＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 答案 ②③解析 ①是系统抽样；对于④，随机变量K 2的观测值k 越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小．8．(2016·长春模拟)在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)现已知其线性回归方程为y ＝0.36x ＋a ，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为______(四舍五入到整数)． 答案 73解析 x ＝60＋65＋70＋75＋805＝70，y ＝62＋64＋66＋68＋705＝66，所以66＝0.36×70＋a ^，a ^＝40.8，即线性回归方程为y ^＝0.36x ＋40.8.当x ＝90时，y ^＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.9．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表： 甲厂：乙厂：(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？附解 (1)甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，从而估计甲厂生产的零件的优质品率为360500×100%＝72%；乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，从而估计乙厂生产的零件的优质品率为320500×100%＝64%.(2)完成的2×2列联表如下：由表中数据计算得K 2的观测值k ＝－2500×500×680×320≈7.353>6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”． 10．某百货公司1～6月份的销售量x 与利润y 的统计数据如下表：(1)根据2～5月份的数据，画出散点图，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)若由线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问所得线性回归方程是否理想？ 解 (1)根据表中2～5月份的数据作出散点图，如图所示：计算得x ＝11，y ＝24，∑5i ＝2x i y i ＝11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1 092，∑5i ＝2x 2i ＝112＋132＋122＋82＝498， 则b ^＝∑5i ＝2x i y i －4x y∑5i ＝2x 2i －4x2＝1 092－4×11×24498－4×112＝187， a ^＝y －b ^x ＝24－187×11＝－307.故y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(2)当x ＝10时，y ^＝187×10－307＝1507， 此时|1507－22|<2；当x ＝6时，y ^＝187×6－307＝787，此时|787－12|<2.故所得的线性回归方程是理想的．。

(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;
箱产量<50 kg 旧养殖法 新养殖法 箱产量≥50 kg
(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附:
,
n( ad bc ) 2 K= . ( a b)(c d )(a c )(b d )
1 16 ( xi x ) 2 i 16 1
i 1
=
1 16 2 2 ( xi 16 x? ) ≈ 0.212, 16 i 1
16 i 1
(i 8.5) 2
16
≈18.439, (x 其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16. x i- )(i-8.5)=-2.78, (1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程 的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地 变大或变小); (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在( -3s, +3s)之外的零件 x x ,就认为这条生产线在这一天的 生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
高考文数
(课标专用)
§11.4
变量间的相关关系与统计案例
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
1.(2017课标全国Ⅰ,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min 从 该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16 个零件的尺寸:
3.(2015课标Ⅰ,19,12分,0.14)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量