第一篇圆锥曲线
专题08圆锥曲线中的最值问题
一、几何法求距离最值问题。选择特殊点位置，构成三角形与否的不等式。
例1：已知椭圆22
12516
x y +=内有两点(1,3),(3,0)A B ,P 是椭圆上的一点，则||||PA PB +的最大值为__________.
例2：已知F 是双曲线22
1412
x y -=的左焦点，(1,4)A ,P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为________.
【解析】类似上题，找另外一个焦点11,24F PF PF a -==，所以1
4PF PF =+因此14PA PF PA PF +=++，当1,,P A F 三点共线时14PA PF ++最小为149
AF +=
例3：已知(,)P x y x 的最大值是________.
1
x ⇔题目转化为点(,)P x y 到点(3,2)A 的距离减去到点(1,0)M 的距离加1
因此当,,A M P 三点共线时取得最大值，最大值为||1AM +，剩余步骤省略。
例4：椭圆22
11615
x y +=，12,F F 是椭圆的左右焦点，P 是椭圆上一动点，求12||||PF PF ⋅的最大值和最小值。
二、切线法求距离的最值问题
例5：求抛物线2
y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值为_________.
【解析】当直线4380x y +-=平移到与抛物线相切时，这两天直线之间的距离就是抛物线上的点到
4380x y +-=的最小距离，
此时求切线的方法可用导数求切点，也可用直线和圆锥曲线的位置关系求出最短距离为43
。例6：直线22y x =-与抛物线22x y =-交于,A B 两点，抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求三角
形ABP 面积的最大值。
【解析】如图，点,A B 为定点，P 为动点且在两点之间运动，求ABP ∆的面积，如果将AB 看做底边时，高最大，则面积最大，当高最大时即点P 到直线AB 的距离最大，此时的点P 应该处于直线22y x =-与抛物线相切的点。
设切线为2y x b
=+联立2224202y x b x x b x y
=+⎧⇒++=⎨=-⎩令02
b ∆==，则则直线22y x =+与22y x =-之间的距离即为高的最大值，因此可以求出面积的最大值。
例7：点P 在抛物线2y x =上，点Q 在圆221
()(4)12
x y ++-=，则||PQ 的最小值为_________.
【解析】设圆心为O ，||||||||1PQ OP OQ OP =-=-，所以OP 最小时，||PQ 最小。
所以只有当圆平移下来和抛物线相切时，此时的点即为P 点，也就是说圆和抛物线应该有相同的切线即可（说法不严谨），所以当P 处的切线与OP 垂直时距离最短。
设(P t
4112t =---解得1t =，(1,1)
P 所以||PQ 的最小值为3512
-三、一般类最值问题的解法（以面积为例），采用代数法，参数法
例8：如图，,,,P Q M N 四点都在椭圆2
2
12y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知,PF FQ 共线，,MF FN 共线，且0PF MF ⋅= ，求四边形PMQN
的面积的最小值和最大值。
①当0k ≠时，MN 对手斜率为1k -
，同上可得22
1())||12()k MN k
+-=+-故222214(2)1||||2252PMQN k k S PQ MN k k ++==++令221u k k =+，得4(2)1()2(15252u S u u u +==-++因为2212u k k =+≥，且()S u 是以u 为自变量的增函数，则()(2)S u S ≥，16(2)9S =，此时1k =±，又()2S u <，所以1629S ≤<②当0k =时，MN
为椭圆长轴，||MN =
，||PQ =，1||||22PMQN S PQ MN ==综合①②知，四边形PMQN 的面积的最大值为2，最小值为169
方法二：参数法
设直线PQ 的参数方程为cos 1sin x t y t αα
=⎧⎨=+⎩代入22220x y +-=得22(1cos )2sin 10
t t αα++⋅-=设,P Q 对应的参数为12,t t ，则1212222cos 1,1cos 1cos t t t t ααα--+=
=++
所以12222
||||1cos PQ t t α=-==
+
因为PQ MN ⊥，所以α将换成2πα+得222||1sin MN α=+所以2222144||||912(1cos )(1sin )(sin )42PMQN S PQ MN ααα===++--因为20sin 1α≤≤，所以1629
S ≤≤四．推荐用三角函数解决圆锥曲线中三角形面积问题
另类求三角形面积公式：在ABC ∆中，若1122(,),(,)AB x y AC x y == ，则三角形面积公式为
12211||2
S x y x y =-，如果圆锥曲线与过原点的直线交于两点（对称），则求面积时常用这个公式，但是设的时候最好设为含有角的形式，然后用三角函数有界性来求最值，公式的证明结合向量数量积和解三角形中面积公式很容易求证，此处不再给出证明过程。
例9：已知点(1,2)A ，椭圆方程为2214
x y +=，过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求三角形ABC 面积的最大值。
【解析】设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )B C θθθθ--，因此1(2cos 1,sin 2AB θθ=-- 1(2cos 1,sin )2AC θθ=---- ，所以111|(2cos 1)(sin (sin )(2cos 1)|222
ABC S θθθθ∆=-⋅----⋅-
-sin()|4
πθ=-
总结：圆锥曲线中的最值或范围问题并无特定解法，无非是见招拆招，所谓见招拆招即根据题目中给出的条件选择最优方法即可，但是在高考中最常用的最值方法是函数法，导数法，不等式法，以上给出的方法仅供参考，另外高考中的大题最值问题考察的并非是各种技巧，而是耐心和细心，只有耐心和细心方能把一个简单但复杂的问题解出来。
