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高考总复习 数列

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第七章 数 列 7、1 数列 1、数列的概念： 按一定次序排列的一列数叫做数列。 如： 2,4,6,8,10

222222,4,6,8,10， 1,1,1,1,1,1 11111,,,,2345。 2,2,2,2,2, 数列中的每一个数，叫做这个数列的项，并且依次叫做数列的第1项、第2项、第3项、、第n项、

2、数列的表示： 数列一般可以写成12,,,,naaa，简记为na，其中na是数列的第n项。

3、数列的分类： 有限数列、无穷数列。

4、数列的单调性： 递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。 5、通项公式： 如果数列na的第n项na与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，那么这个公式就叫做数列的通项公式，可以记为()nafn。 数列实际上是一类特殊的函数，它的定义域是正整数集N或它的有限 子集1,2,3,4,,n，通项公式即为解析式，数列的项就是自变量依次 取1,2,3,4,,,n时得到的一列函数值。

6、数列的图像表示： 是一群孤立的点。

7、数列的递推公式： 数列也可以由初始项及项与项的关系给出，称为数列的递推公式。 如：

1122nnaaa；

1122nnaaa； 111111nnaaa。 12211nnnaaaaa。 8、数列的前n项和： 数列na的前n项之和，常用nS表示。即12nnSaaa。

nS与通项na的基本关系是： 11(1)(2)nnnSnaSSn 。

例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项： （1）1,7,13,19,； （2） 9,99,999,9999, （3）7,77,777,7777,； （4）0.4,0.44,0.444,0.4444； （5）246810,,,,,...315356399； （6）5,0,5,0,5,0,5,0,； （7）1,0,1,0,1,0,1,0,； （8）,,,,,,pqpqpq； （9）2,6,12,20 （10）1,3,7,15,31,63, 解：（1）165nnannN； （2）101nnanN （3）71019nnanN；

（4）411910nnanN；

（5）)12)(12(2nnnannN； （6）5sin2nnanN； （7）Nnann2)1(11 ； （8）*(1)()22nnpqpqanN （9）1nannnN （10）21nnanN

例2、数列na中，11a，且2123naaaan，则35aa 。 解：当2n时，2123naaaan； 当3n时，212311naaaan；

两式相除21nnan3n，（简单阶商法） ∴394a，52516a，∴356116aa。 例3、已知数列na的通项公式222913nann，求数列na的最大项。

解：7108a。 例4、已知9899nnanNn，则在数列na中, 最大项为第_ __ _项，最小项为第______项。

解：由9998199nan知：10a最大，9a最小。

例5、已知数列na的通项公式10111nnannN，试问数列na有没有最大 项？若有，求最大项和最大项的项数；若无，说明理由。 解：1110101092111111111nnnnnnaann 当9n时, 10nnaa，即：1nnaa，9871aaaa； 当9n时, 10nnaa，即：1nnaa，101112aaa； 当9n时, 10nnaa，即：1nnaa，910aa； 故........11109321aaaaaa 所以，数列na有最大项, 为第910、项。

例6、已知数列na的前n项和2132nSnn。 （1）求数列na的通项公式； （2）求数列na的前n项和nT。

解：（1）3213322nnann。 （2）22132163251117nnnnTnnn。 7、2 等差数列 1、等差数列的定义： 考察下面的数列： 1,3,5,7,9, 2,5,8,11,14, 一般地，一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

2、等差数列的通项公式：1(1)naand。 注意: 1） 等差数列的通项公式是关于n的一次函数 2） 如果通项公式是关于n的一次函数，则该数列成等差数列。 3）0d时，递增数列；0d时，递减数列；0d时，常数列。

3、等差中项： 若abc、、成等差数列，则b称为a与c的等差中项，且2acb； abc、、 成等差数列的充要条件是2bac。 4、等差数列的证明方法： （1）用定义：只需证1nnaa常数； （2）用中项性质：只需证122nnnaaa。

5、等差数列的图像： 一条直线上均匀分布的一群孤立的点。

例1、在1与7之间顺次插入3个数，使这五个数成等差数列，求此数列的通项公式。 例2、在等差数列na中，已知24612aaa，2484aa，求10a。 解：12或72。 例3、（1）已知数列na中，其前n项和322nnSn，问这个数列成等差数列吗？ （2）已知数列na中，其前n项和22nSnn，求证这个数列是等差数列。 6、等差数列前n项和： 1()2nnnaaS； 11(1)2nSnannd

强调推导方法： 12112112112112()()()()()nnnnnnnnnnnnSaaaaSaaaaSaaaaaaaanaa倒序相加法

例4、已知na为等差数列，前10项的和10100S，前100项的和10010S，求前110项的和110S。

解：设na的首项为1a，公差为d，利用11(1)2nSnannd，得： 11

1101091002110010099102adad

 解得：110991001150ad





∴110111101101091102Sad。 例5、等差数列na的首项为23，公差为4，设其前n项和为nS，求nS的最大值。 解：678S。 例6、等差数列na中，10a，且1525SS，求n，使nS最小。 解：20n。 例7、已知数列na的前n项和216121nSnn，试求此数列前m（2m）个奇数项之和。

解：23241mTmm。 例8、在等差数列na中，mnSS mn， 求证：0mnS。 例9、已知两个等差数列na和nb，前n项和分别为nS和nT，且5131nnSnTn，求1515ab。 7、等差数列的性质： （1）()nmaanmd； （2）2,,,mmkmkaaa成等差数列； （3）若*,,,mnpqN，且qpnm，则qpnmaaaa （4）等差数列共3n项，前n项和为A，中n项和为B，后n项和为C，则,,ABC也成等差数列。

例10、（1）在等差数列na中，145824aaaa，则8S ； （2）在等差数列na中，17132aaa，则13S ； （3）在等差数列na中，918S，240nS，430na，则n ； （4）已知共有n项的等差数列，前4项和为21，最后4项和为67，所有项和为286，则 n ； （5）在等差数列na中，前10项和为100，前20项和为400，则前30项和 为 。 解：（1）48；（2）263； （3）15； （4）26；（5）900。 例11、等差数列na中，100a，110a且1110aa，nS为其前n项和，则 （ ） A）1210,,,SSS都小于0，1112,,SS都大于0 B）1219,,,SSS都小于0，2021,,SS都大于0 C）125,,,SSS都小于0，67,,SS都大于0 D）1220,,,SSS都小于0，2122,,SS都大于0

解：由题意知1190100adad，可得0d，10a，又111010aaa，∴10110aa； 由等差数列的性质知：1201011aaaa， ∴20120100Saa 答案：B

例12、在等差数列na中，公差为1，且12398137aaaa，则24698aaaa

_________。

解：93

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新课标2023版高考数学一轮总复习第7章数列第1节数列的概念与简单表示法课件

新课标2023版高考数学一轮总复习第7章数列第1节数列的概念与简单表示法课件


所以 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1＝n＋n 1·n－n 1·nn－ －21·…·23＝n＋2 1．
2，n＝1， 所以 an＝2nn－1，n≥2.
已知 Sn 求 an 的步骤 (1)利用 a1＝S1 求出 a1． (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)求出当 n≥2 时 an 的表达式． (3)检验 n＝1 时的值是否符合 n≥2 时的表达式，再写出通项公 式 an．
式 an＝59(10n－1)．
1．错误地表示符号规律致误：项正负相间的数列可以用(－1)n， (－1)n＋1 表示符号，要分清是先负后正还是先正后负．
2．未对项变形致误：若已知的项的形式不统一，则不便求通项 公式，因此可以先将项通过变形统一形式后再观察求通项公式，如题 (3)．
3．求通项公式时要注意联想：对于如题(4)这样的数列，可以通 过联想 10,100,1 000，10 000→9,99,999,9 999→1,11,111,1 111 进而得 到通项公式．
考点2 由Sn与an的关系求通项——综合性
(1)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－10n，则此数列的通项 公式为 an＝________．
(2)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为 an ＝________．
3，n＝1， (1)2n－11 (2)2n－1，n≥2.
解：(1)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的乘 积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式 an＝(－ 1)n·nn1＋1．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇数 的乘积，故所求数列的一个通项公式 an＝2n－12n2n＋1．
高考数学专题复习题：数列的递推公式

高考数学专题复习题：数列的递推公式

高考数学专题复习题：数列的递推公式一、单项选择题（共8小题）1.已知数列｛a n ｝满足a n =4a n -1+3（n ≥2，n ∈N *），且a 1=0，则此数列的第5项是（ ） A.15B.255C.16D.632. 已知数列a n =-n 2+4n +2，则该数列中最大项的序号是（ ） A .2B .3C .4D .53.已知数列｛a n ｝满足a n =1a n−1+1（n ≥2，n ∈N *），如果a 4=53，那么a 1等于（ ） A.1B.32C.2D.854.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（ ）A.a n +1=a n +n ，n ∈N *B.a n =a n -1+n ，n ∈N *，n ≥2C.a n +1=a n +(n +1)，n ∈N ，n ≥2D.a n =a n -1+(n −1)，n ∈N *，n ≥25.已知数列｛a n ｝满足a 1=2，a n +1-a n +1=0（n ∈N *），则此数列的通项公式a n 等于（ ） A.n 2+1 B.n +1C.1-nD.3-n6.设a n =1n+1+1n+2+1n+3+…+12n （n ∈N *），那么a n +1-a n 等于（ ）A.12n+1B.12n+2C.12n+1+12n+2D.12n+1-12n+27.在数列｛a n ｝中，a 1=12，a n +1=1-1a n，则a 2 024等于（ ） A.12B.-1C.2D.38.某书中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足a n +2=a n +1+a n （n ≥1），那么1+a 2+a 4+a 6+…+a 2022等于（ ） A.a 2021B.a 2022C.a 2023D.a 2024二、填空题（共4小题）9.在数列｛a n ｝中，a n +1=a n +2-a n ，a 1=2，a 2=5，则a 5=________. 10.已知数列｛a n ｝中，a 1a 2…a n =n 2（n ∈N *），则a 9=________. 11.已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =12n −15，其最大项为________，最小项为________.12.在一个数列中，如果对任意n ∈N *，都有a n a n +1a n +2=k （k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列｛a n ｝是等积数列，且a 1=1，a 2=2，公积为8，则a 1+a 2+a 3+…+a 12=________.三、解答题（共4小题）13.已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =2n 2-n +2. （1）求数列｛a n ｝的通项公式.（2）若b n =a n +100n -2n ，求数列｛b n ｝的最大项是该数列的第几项. 14.在数列｛a n ｝中，a 1=2，且a n +1=a n +ln (1+1n )，求数列｛a n ｝的通项公式.15.已知数列｛a n ｝中，a 1=12，a n =n−1n+1a n -1（n ≥2），求数列｛a n ｝的通项公式.16.已知数列｛a n ｝满足：a 1=m （m 为正整数），a n +1={a n2,a n 为偶数,3a n +1,a n 为奇数.若a 4=4，求m 所有可能的取值.。

数列的综合应用【十二大题型】(举一反三)(新高考专用)(原卷版)—2025年新高考数学一轮复习

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数列的综合应用【十二大题型】【题型1 等差、等比数列的交汇问题】................................................................................................................3【题型2 数列中的数学文化问题】........................................................................................................................4【题型3 数列的实际应用问题】............................................................................................................................5【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】....................................................................................................7【题型5 数列中的不等式证明问题】....................................................................................................................8【题型6 子数列问题】............................................................................................................................................9【题型7 数列与函数的交汇问题】......................................................................................................................11【题型8 数列与导数的交汇问题】......................................................................................................................12【题型9 数列与概率统计的交汇问题】..............................................................................................................13【题型10 数列与平面几何的交汇问题】............................................................................................................14【题型11 数列中的结构不良题】........................................................................................................................16【题型12 数列的新定义、新情景问题】............................................................................................................17

高考数学总复习 第5章 第3讲 等比数列及其前n项和课件 理 新人教A版

高考数学总复习 第5章 第3讲 等比数列及其前n项和课件 理 新人教A版

第二十六页，共49页。
[变式探究(tànjiū)] 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求 证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
证明：∵Sn＝2an＋1， ∴Sn＋1＝2an＋1＋1， ∴ an ＋ 1 ＝ Sn ＋ 1 － Sn ＝ (2an ＋ 1 ＋ 1) － (2an ＋ 1) ＝ 2an ＋ 1 － 2an. ∴an＋1＝2an， 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0，
－an－1)，不为定值，故不符合题意；对于 f(x)＝ |x|，f(an)＝
|an|，则
|an| ＝ |an－1|
aan－n 1＝ |q|为定值，
第二十四页，共49页。
符合题意；对于 f(x)＝ln|x|，f(an)＝ln|an|，由等比数列定 义得， ln|an| 并不为定值，故不符合题意；故①③正确．
(2)在等比数列{an}中，a2013＝8a2010，则 q＝________. (3)已知等比数列的公比是 2，且前 4 项的和为 1，那么 前 8 项之和为________．
第十页，共49页。
2. 等比数列的主要性质 (1){an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0)． (2){an}{bn}均为等比数列⇒{an·bn}、{abnn}是等比数列． (3){an}为等比数列，则aamn ＝________. (4)若 m、n、p、q∈N*且 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq. 特别地，a1an＝a2an－1
填一填：(1)2 2n－1－12 (2)2
第十四页，共49页。
(3)17 提示：将 q＝2，S4＝1，n＝4 代入 Sn＝a111－－qqn， 得 1＝a111－－224，解之得 a1＝115， ∴S8＝11511－－228＝17.