尼尔基第一中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案 (2)

尼尔基第一中学2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N=（）A．{﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0} C．{0，1} D．{0，1，2}2．若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．∃x∈R，2x2+1＞0 C．∃x∈R，2x2+1＜0 D．∃x∈R，2x2+1≤03．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①4．已知等比数列{a}的公比q=2，则的值为（）nA．B．C．D．15．在△ABC中，D为AB的中点，设，则=（）A．B．C． D．6．已知函数f（x）=x2﹣6x+4lnx，则函数f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，1），（2，+∞） B．（﹣∞，0），（1，2）C．（0，1），（2，+∞）D．（1，2）7．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，则b=（）A．B．C．D．9．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则边BC的长为（）A．B．3 C．D．710．动点P（x，y）满足，点Q为（1，﹣1），O为原点，λ||=，则λ的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．11．过抛物线y=x 2的焦点F 作直线交抛物线于P ，Q ，若线段PF 与QF 的长度分别为m ，n ，则2m+n 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数y=f （x ）的定义域内任意的自变量x 都有f （﹣x ）=f （+x ），且对任意的x ∈（﹣，），都有f′（x ）+f （x ）tanx ＞0（其中f′（x ）是函数f （x ）的导函数），设a=f （），b=f （），c=f （0），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜c ＜bB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ＜c二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线经过双曲线x 2﹣y 2=1的一个焦点，则p= ． 14．曲线y=﹣x 3+3x 2在点（1，2）处的切线方程为 ．15．某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如表，则大约有 %的把握认为主修统计专业与性别有关系．参考公式：．16．已知函数，若a ，b 是从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则使函数f （x ）有极值点的概率为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.）17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=5，S 15=150． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记，{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．18．已知圆Q ：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0经过点（0，5），（1，﹣2），（1，6），且直线l ：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣6=0与圆Q 相交于C ，D （1）求圆Q 的方程．（2）若△QCD 的周长为18，求m 的值．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a•cosC +c•cosA=2b•cosA． （1）求角A 的大小；（2）求函数y=sinB+sin （C ﹣）的值域．20．某校学生依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练及考核，若每个学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，若每一次考试是否合格互不影响．（1）求学生甲体能考核与外语考核都合格的概率．（2）设学生甲不放弃每一次考核的机会，求学生甲恰好补考一次的概率．21．已知椭圆过点，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．22．已知函数，g（x）=xf（x）+（1﹣tx）e﹣x，t∈R（1）求函数f（x）的极大值；（2）若存在a，b，c∈[0，1]满足g（a）+g（b）＜g（c），求实数t的取值范围．尼尔基第一中学2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N=（）A．{﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0} C．{0，1} D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即M={x|﹣1＜x＜4}，∵N={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴M∩N={0，1，2}，故选：D．2．若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．∃x∈R，2x2+1＞0 C．∃x∈R，2x2+1＜0 D．∃x∈R，2x2+1≤0【考点】命题的否定；全称命题．【分析】根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题【解答】解：由题意∀x∈R，2x2+1＞0，的否定是∃x∈R，2x2+1≤0故选D3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【考点】演绎推理的基本方法．【分析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．【解答】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选B}的公比q=2，则的值为（）4．已知等比数列{anA．B．C．D．1【考点】等比数列的性质．}的公比q=2，可得==，即可得出结论．【分析】利用等比数列{an【解答】解：∵等比数列{a}的公比q=2，n∴==，故选：A．5．在△ABC中，D为AB的中点，设，则=（）A．B．C． D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】D为AB的中点，这样根据向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算便可得出．【解答】解：如图，D为AB中点；∴；∴．故选：A．6．已知函数f（x）=x2﹣6x+4lnx，则函数f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，1），（2，+∞） B．（﹣∞，0），（1，2）C．（0，1），（2，+∞）D．（1，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先确定函数的定义域然后求导数f′（x），在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0，解得的区间就是单调增区间．【解答】解：∵f（x）=x2﹣6x+4lnx，x＞0，f′（x）=2x﹣6+=，令f′（x）＞0，解得：x＞2或0＜x＜1，故f（x）在（0，1），（2，+∞）递增，故选：C．7．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，则b=（）A．B．C．D．【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值．【解答】解：根据所给的三对数据，得到=3，=5，∴这组数据的样本中心点是（3，5）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴5=3b+，∴b=，故选B．9．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则边BC的长为（）A．B．3 C．D．7【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】根据三角形的面积公式求出AC的值，再由余弦定理求得AC的值．【解答】解：根据三角形的面积公式得：，把A=60°，AB=2代入得，AC=1，由余弦定理得，BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=4+1﹣=3，则BC=，故选：A．10．动点P（x，y）满足，点Q为（1，﹣1），O为原点，λ||=，则λ的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．【考点】简单线性规划．【分析】根据向量的数量积公式将条件进行化简，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：：∵λ||==，∴λ=||cos＜＞，作出不等式组对应的平面区域如图，则OQ，OA的夹角最小，由，解得，即A（3，1），则=（3，1），又，则cos＜＞===，∴λ的最大值是||cos＜＞=．故选：D．11．过抛物线y=x2的焦点F作直线交抛物线于P，Q，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则2m+n的最小值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设PQ的斜率k=0，因抛物线焦点坐标为（0，），把直线方程y=代入抛物线方程得m，n的值，可得+=4，利用“1”的代换，即可得到答案．【解答】解：抛物线y=4x2的焦点F为（0，），设PQ的斜率k=0，∴直线PQ的方程为y=，代入抛物线y=x2得：x=±，即m=n=，∴+=4，∴2m+n=（2m+n）（+）=（3++）≥故选：C．12．已知函数y=f（x）的定义域内任意的自变量x都有f（﹣x）=f（+x），且对任意的x∈（﹣，），都有f′（x）+f（x）tanx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），设a=f（），b=f（），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的对称轴，构造函数g（x），通过求导得到g（x）的单调性，从而判断出a，b，c的大小即可．【解答】解：∵f（﹣x）=f（+x），∴x=是函数的对称轴，令g（x）=，则g′（x）=，∵对任意的x∈（﹣，），都有f′（x）+f（x）tanx＞0，∴对任意的x∈（﹣，），都有cosxf′（x）+sinf（x）＞0，∴对任意的x∈（﹣，），都有g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣，）单调递增，∴g（x）在（，）单调递减，∴g（）＞g（0）=g（π）＞g（），∴f（）＞f（0）=f（π）＞f（），∴b＞c＞a，故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p= 2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，∴=，∴p=2，故答案为：2．14．曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y=3x﹣1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据曲线方程y=﹣x3+3x2，对f（x）进行求导，求出f′（x）在x=1处的值即为切线的斜率，曲线又过点（1，2）利用点斜式求出切线方程；【解答】解：∵曲线y=﹣x3+3x2，∴y′=﹣3x2+6x，∴切线方程的斜率为：k=y′|=﹣3+6=3，x=1又因为曲线y=﹣x3+3x2过点（1，2）∴切线方程为：y﹣2=3（x﹣1），即y=3x﹣1，故答案为：y=3x﹣1．15．某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如表，则大约有99.5 %的把握认为主修统计专业与性别有关系．参考公式：．【分析】根据表格数据，利用公式，结合临界值，即可求得结论．【解答】解：根据具体数据表得，K2的观测值k=≈8.3，因为8.3＞7.879，所以有1﹣0.5%=99.5%的把握认为主修统计专业与性别有关．故答案为：99.5%．16．已知函数，若a ，b 是从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则使函数f （x ）有极值点的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】求出导数，由导数数值为0得到使函数f （x ）有极值点的充要条件是a 2≥5b ，由此利用列举法能求出使函数f （x ）有极值点的概率．【解答】解：∵函数，∴f′（x ）=x 2+2ax+5b ，由f′（x ）=x 2+2ax+5b=0有解，得△=4a 2﹣20b ≥0， ∴使函数f （x ）有极值点的充要条件是a 2≥5b ， ∵a ，b 是从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数， ∴基本事件总数为4×3=12， 满足a 2≥5b 的有：（4，1），（4，2），（4，3），（3，1），共4种，∴使函数f （x ）有极值点的概率为p=．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.）17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=5，S 15=150． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记，{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，利用等差数列的通项公式即可得出；（2）易知：，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则a 2=a 1+2d=5，S 15=15a 1+15×7d=150， 解得a 1=3，d=1，∴a n =n+2．（2）易知：，∴T n =b 1+b 2+…+b n =21+22+…+2n ==2n+1﹣2．18．已知圆Q ：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0经过点（0，5），（1，﹣2），（1，6），且直线l ：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣6=0与圆Q 相交于C ，D （1）求圆Q 的方程．（2）若△QCD 的周长为18，求m 的值． 【考点】圆的一般方程． 【分析】（1）把（0，5），（1，﹣2），（1，6）代入圆Q ：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由此能求出圆方程．（2）圆x2+y2﹣8x﹣4y﹣5=0的圆心Q（4，2），半径r=5，从而弦CD的长度8，进而圆心（4，2）到直线l 的距离为4，由此利用点到直线的距离公式能求出m的值．【解答】解：（1）解：∵圆Q：x2+y2+Dx+Ey+F=0经过点（0，5），（1，﹣2），（1，6），∴由题意得：，∴则圆方程为x2+y2﹣8x﹣4y﹣5=0．（2）∵圆x2+y2﹣8x﹣4y﹣5=0的圆心Q（4，2），半径r==5，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣6=0与圆Q相交于C，D，△QCD的周长为18，弦CD的长度为：18﹣2r=18﹣10=8，∴圆心（4，2）到直线l的距离为=4，∴，解得．…19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a•cosC+c•cosA=2b•cosA．（1）求角A的大小；（2）求函数y=sinB+sin（C﹣）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据正弦定理把题设等式中的边换成相应角的正弦，化简整理可求得cosA，进而求得A．（2）利用辅助角公式化简函数，即可求函数y=sinB+sin（C﹣）的值域．【解答】解：（1）根据正弦定理∵2b•cosA=c•cosA+a•cosC．∴2sinB•cosA=sinC•cosA+sinA•cosC，∵sinB≠0∴cosA=，又∵0°＜A＜180°，∴A=；（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴y∈（1，2]．20．某校学生依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练及考核，若每个学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，若每一次考试是否合格互不影响．（1）求学生甲体能考核与外语考核都合格的概率．（2）设学生甲不放弃每一次考核的机会，求学生甲恰好补考一次的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；分布列对于刻画随机现象的重要性．【分析】（1）分别求出两个项目都不补考能通过概率、两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率和两个项目都要补考才能通过的概率，由此能求出学生甲体能考核与外语考核都合格的概率．（2）恰好补考一次记为ξ=1，由相互独立事件乘法概率计算公式能求出学生甲恰好补考一次的概率．【解答】解：（1）①两个项目都不补考能通过概率：②两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率：③两个项目都要补考才能通过的概率：，∴学生甲体能考核与外语考核都合格的概率：（2）恰好补考一次记为ξ=1，则学生甲恰好补考一次的概率：．21．已知椭圆过点，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意得：， =1，由此能求出椭圆C的方程．（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1），设直线方程为y=kx+m，二者联立，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用韦达定理、向量垂直、直线与圆相切，结合已知能求出存在圆心在原点的圆满足题意．【解答】解：（1）∵椭圆过点，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形，∴由题意得：， =1，解得a=，b=1，∴椭圆C 的方程为．… （2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x 2+y 2=r 2（0＜r ＜1）当直线P ，Q 的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m ，由，得：（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0，令P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则有：，…∵⊥，∴．∴，∴3m 2=2k 2+2．…∵直线PQ 与圆相切，∴，∴存在圆当直线PQ 的斜率不存在时，也适合．综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意．…22．已知函数，g （x ）=xf （x ）+（1﹣tx ）e ﹣x ，t ∈R（1）求函数f （x ）的极大值；（2）若存在a ，b ，c ∈[0，1]满足g （a ）+g （b ）＜g （c ），求实数t 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f （x ）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值；（2）求出g （x ）的导数，通过讨论t 的范围，确定函数的单调区间，从而求出t 的具体范围．【解答】解：（1），当x ≥0时，f′（x ）≤0，所以f （x ）在区间[0，+∞）上为减函数，当x ＜0时，f′（x ）＞0，所以f （x ）在区间（﹣∞，0]上为增函数，所以f （x ）极大值=f （0）=1…（2）因为，所以…设g（x）在[0，1]上的最大值为M，最小值为N，则2N＜M，①当t≥1时，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上单调递减，由2N＜M，所以2g（1）＜g（0），即，得…②当t≤0时，g′（x）≥0，g（x）在[0，1]上单调递增，所以2g（0）＜g（1）即，得t＜3﹣2e…③当0＜t＜1时，在x∈[0，t），g'（x）＜0，g（x）在[0，t]上单调递减，在x∈（t，1]，g'（x）＞0，g（x）在[t，1]上单调递增，所以2g（t）＜g（0），且2g（t）＜g（1）}，即，且，由（Ⅰ）知在t∈（0，1）上单调递减，故，而，所以无解，综上所述，．…。

内蒙古呼伦贝尔市尼尔基第一中学2016-2017学年高三上学期第三次月考 数学理本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I 卷（选择题），第II 卷（非选择题），满分150 分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知i 为虚数单位，若复数()()()211a a i a R -+-∈是纯虚数，则实数a 的值为A ．1±B ．1-C ．0D ．12．函数()cos f x x x =的一条对称轴方程是 A ．6x π=B ．3x π=C. 3x π=-D ．2x π=3. 已知倾斜角为α的直线l 与直线220x y -+=平行，则tan 2α的值为 A ．45 B ．43C ．34 D ．234. 双曲线22221x y a b-=的左右准线12,l l 将线段12F F 三等分，12,F F 分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的渐近线方程为A.0x =B.0y =C.0x =D. 0y = 5. 若圆C 的圆心为抛物线24y x =的焦点，且与直线3420x y ++=相切，则圆C 的方程A.2264(1)25x y -+=B.2264(1)25x y +-= C.22(1)1x y -+= D.22(1)1x y +-=6. 如图，已知点F 是抛物线24x y =的焦点，直线l 为准线，点A 是抛物线上一点．以F 点为圆心，AF 为半径作圆M 交抛物线的准线l 于点B ．若,,A B F 三点共线，则AC =A.163 B.16 C.83D. 8 7. 已知函数()()06sin >⎪⎭⎫⎝⎛-=ωπωx x f 在⎪⎭⎫⎝⎛34,0π上单调递增，则ω的最大值为 A ．21B ．43C ．1D ．23 8. 函数()2910122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为 A.169 B.121 C.25 D. 169. 已知圆22(2)(2)1x y -+-=的圆心为M ，由直线0x y a ++=上任意一点P 引圆的一条切线，切点为A ，若1PM PA ⋅>恒成立，则实数a 的取值范围为A ．()(),62,-∞--+∞ B. (][),62,-∞--+∞ C. ()6,2-- D. []6,2--10. 已知,A B 为椭圆22143x y +=的左右顶点，F 为椭圆的右焦点，P 为椭圆上异于,A B 的任意一点，直线,AP BP 分别交椭圆的右准线于,M N 点，则MFN ∆面积的最小值为 A ．8B ．9C ．11D ．12第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上）（一）必做题（11~13题）11. 若向量,a b的夹角为120︒且3a = ，1b = ，则2a b -= ________．12. 若正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()221n n n a S a n N +⋅=+∈，则通项n a =_____．13. 已知()211ln 22f x x x e =-（e 为自然对数的底），()()0a g x x a x=->．若对任意212,2,2x x e ⎡⎤∈⎣⎦都有()()12g x f x ≥，则实数a 的取值范围为_________．（二）选做题（14~16题，请从中选做两题，若三题都做，只计前两题分数）14.如图，割线PBC 经过圆心O ，1OB PB ==，又PED 交圆O 于,E D ，且DE =，则OPD ∆的面积为________． 15.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线1C ：()cos sin 10ρθθ-+=与曲线2:C 2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）相交于点,M N ，则MN =________．16.已知函数()21f x x =-，若()215f x a a ≥-对于任意[]4,1x ∈--恒成立，则实数a 的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知()0n b n N +>∈，且()112335321,,5a b a b a S T b ==+==+．（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）求和：3+1212231n n n b b b T T T T T T ++++⋅⋅⋅ ．18. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）已知动圆过定点()20A ，，且在y 轴上截得的弦长4MN =． （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程；（Ⅱ）若过点()1,0的直线l 交圆心C 的轨迹于点,A B ，且5AB =，求直线AB 的方程．19. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分） 已知函数()1=ln 1f x x x+-． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设m R ∈，对任意的()1,1a ∈-，总存在[]01,x e ∈，使得不等式()00ma f x -<成立，求实数m 的取值范围．20. （本题共12分，第Ⅰ问5分，第Ⅱ问7分） 已知在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．（Ⅰ）若cos 2cos cos 03B C A π⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，求角C ； （Ⅱ）若C 为ABC ∆的最大内角，且22252cos 22C CA CB c ⋅+= ，求ABC ∆的周长L 的取值范围．21. （本题共12分，第Ⅰ问4分，第Ⅱ问8分）()2222:10y x C a b a b+=>>过点()2,1M ，O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 交椭圆C 于不同的两点A 、B ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）设直线,MB MA 与x 轴分别交于点P Q ，，证明：MPQ ∆为等腰三角形．22. （本题共12分，第（Ⅰ）问3分, 第（Ⅱ）问4分, 第（Ⅲ）问5分） 设M 是含有n 个正整数的集合，如果M 中没有一个元素是M 中另外两个不同元素之和，则称集合M 是n 级好集合．（Ⅰ）判断集合{}1,3,5,7,9是否是5级好集合，并说明理由；（Ⅱ）给定正整数a ，设集合{},1,2,,M a a a a k =+++ 是好集合，其中k 为正整数，试求k 的最大值，并说明理由；（Ⅲ）对于任意n 级好集合M ，求集合M 中最大元素的最小值（用n 表示）．内蒙古呼伦贝尔市尼尔基第一中学2016-2017学年高三上学期第三次月考 数学理参考答案第易证2234PA PB b kk a ⋅=-=-，故可设():2PA y k x =+，()3:24PB y x k=--则36,2M N y k y k==-119924M N S FD y y k k ⎛⎫⇒=⋅⋅-=⋅+≥ ⎪ ⎪⎝⎭.二、填空题(]0,3 247 16. []1,2-三、解答题17. （I ）设公差为d ，公比为()0q q >，则有2222d qd q q⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 42d q =⎧⇒⎨=⎩ 从而有143,2n n n a n b -=-=. （II ）由12n n b -=得21n n T =-且+1111111n n n n n n n n n b T T T T T T T T ++++-==-⋅⋅， 则原式122311*********nn n T TT T T T T T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11121n +=--.18. （Ⅰ）设圆心(),C x y ，点C 到y 轴的距离为d ，则d x =由2222MN CA d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即()22224x y x -+=+化简得24y x =，即为所求轨迹方程. （Ⅱ）焦点(1,0)F ,设1122(,),(,)A x y B x y .若AB x ⊥轴，则245AB p ==<，所以直线AB 的斜率k 存在. 设直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠ 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=212224k x x k ++=⇒AB =21222425k x x p k +++=+= 2k ∴=±所以直线AB 的方程为2(1)y x =-或2(1)y x =--.19.（Ⅰ）()22111,0x f x x x x x-'=-=>. 令()0f x '>，得1x >，因此函数()f x 的单调递增区间是()1,+∞.[ 令()0f x '<，得01x <<，因此函数()f x 的单调递减区间是()0,1（Ⅱ）依题意，()max ma f x < ，由（Ⅰ）知，()f x 在[]1,x e ∈上是增函数，()()max 11ln 1f x f e e e e∴==+-=.∴1ma e <，即10ma e-<对于任意的()1,1a ∈-恒成立.110,1(1)0.m e m e ⎧⨯-≤⎪⎪∴⎨⎪⨯--≤⎪⎩解得11m e e -≤≤.所以，m 的取值范围是11[,]e e-.20.（Ⅰ）cos cos cos sin 0B A C C A +⋅⋅=cos cos sin sin cos cos sin 0A C A C A C C A ⇒-⋅+⋅+⋅⋅=2sin 0tan 3C C C C π⇒=⇒==； （Ⅱ）222225252cos 2cos 2222C C CA CB c ab c ⋅+=⇒+=221cos 25252cos 222C ab c ab ab C c +⇒⋅+=⇒+⋅+=()2222222525222a b c ab c a b c +-⇒++=⇒++=令5cos ,5sin x a b y c θθ=+===，由0a b c +>>得0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则5cos 5sin 4L a b c x y πθθθ⎛⎫=++=+=+=+ ⎪⎝⎭，,442πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭从而(L ∈.21. 解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为:22221(0)y x a b a b+=>>. 由题意得:222222284121c a b c a a b a b ⎧==+⎪⎧=⇒⎨⎨=⎩+=⎪⎩ ∴ 椭圆方程为221y x +=． （Ⅱ）由直线l OM ,可设1:2l y x m =+ 代入椭圆C 得: 222240x mx m ++-=设1122(,),(,)A x y B x y ,则122,x x m +=-21224x x m =- 设直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，则11112y k x -=- 22212y k x -=-下面只需证明：120k k +=，事实上：12121211112222x m x m k k x x +-+-+=+--12111()22m x x =++--121212412()4x x m x x x x +-=+⋅-++ 1m =+2240242(2)4m m m --⋅=---+ 故直线MA 、MB 与x 轴围成一个等腰三角形． 22.（Ⅰ）该集合是5级好集合。

高一数学期末考试试题及答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分）1. 已知函数f(x) = 2x + 3，下列说法正确的是：A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数C. f(x)是单调递增函数D. f(x)是单调递减函数答案：C2. 计算下列极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \)A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B为：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}答案：B4. 若直线l的方程为y = 2x + 1，则该直线的斜率k为：A. 1B. 2C. -2D. -1答案：B5. 计算下列定积分：\(\int_{0}^{1} x^2 dx = \)A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A6. 已知复数z = 3 + 4i，其共轭复数为：A. 3 - 4iB. 3 + 4iC. -3 + 4iD. -3 - 4i答案：A7. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3C. 3x^2 + 3D. x^3 - 3答案：A8. 已知向量a = (2, -1)，b = (1, 3)，则向量a·b为：A. 5B. -1C. 1D. -5答案：B二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）9. 已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则该数列的第5项a5为________。

答案：48610. 计算二项式展开式(1 + x)^5的第3项为________。

答案：C_5^2 * x^2 = 10x^211. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a = 2，b = 1，则该双曲线的渐近线方程为________。

秘密★启用前内蒙古呼伦贝尔市尼尔基第一中学2016-2017学年高二上学期期末考试试卷 数学（理）满分150分。

考试时间120分钟。

一、选择题：（本大题 12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。

1.椭圆22143x y +=的焦距为（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ）A.2πB.3πC.4πD.π3.已知圆22:440C x y ax y ++++=的圆心C 在直线20x y +=上，则实数a 的值为（ ）A.1B.1-C.2D.2-4.已知实数,x y 满足2000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A.4B.3C.0D.25.下列命题是真命题的是（ ）A.x R ∀∈，都有210x -≥ B.平面直角坐标系中任意直线都有斜率 C.a R ∃∈，使得21a> D.过空间一点存在直线与平面平行6.人民代表人民选，现从甲地区6名候选人选出3名人大代表、乙地区5名候选人选出2名人大代表，则不同的选法有（ ） A.80种 B.100种 C.150种D.200种7.已知平面α及平面α同一侧外的不共线三点,,A B C ，则“,,A B C 三点到平面α的距离都相等”是“平面//ABC 平面α”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.如图，点O 为ABC ∆所在平面外一点，且,,OA OB OC 两两互相垂 直，1OA OC ==，点E 为棱AC 的中点，若三棱锥O ABC -的体OA 与BE 所成角的余弦值为（ ）12 D.149.（原创）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别是棱111,A D CC 的中点，在平面11BB C C 内存在点G 使得1//AG EF ，则直线AD 到平面EFG 的距离为（ ）A.55C.2410.（原创）已知点M 是双曲线22:1C x y -=上异于顶点的一点，O 是坐标原点，F 是双曲线C 的右焦点，且过F 作直线l 使得//l OM ，l 交双曲线C 于不同两点,A B ，则2=OM AB（ ） A.34 B.23 C.13 D.1211.（原创）如图，⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是一个三行两列的数表，现从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任选六个不同的数字填在该数表的6个方格子中，每个方格子中只填一个数字，且在这三行中只．有．第三行的两个数字之和为6，则不同的排列方法有（ ）种 A.2880 B.2156 C.3040 D.354412.（原创）已知抛物线2:4(0)y px p Γ=>，AB 为过抛物线Γ焦点的弦，AB 的中垂线交抛物线Γ于点,C D 。