最新的全国初中数学联赛决赛试卷B

2 0 13 年全国初中数学竞赛试题班级姓名成绩供稿人：李锦扬一、选择题〔共5小题,每题7分,共35分.每道小题均给出了代号为A, B, C, D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里 ,不填、多填或错填都得0 分〕1 .设非零实数a , b , c满足 a 2b 3c 0那么"b C聚的值为(). 2a 3b 4c 0, a2 b2 c2(A) 2 (B) 0 (C) 1 (D) 12.a , b, c是实常数,关于x的一元二次方程ax2 bx c 0有两个非零实根Xi, X2,那么以下关于X的一元二次方程中,以口,4X1 x2为两个实根的是().222 2 222 2(A) c x (b 2ac)x a 0 (B) c x (b 2ac)x a 0(C) c2x2(b22ac)x a20 (D) c2x2(b22ac)x a203.如图,在Rt^ABC中, O是斜边AB的中点,CDLAB垂足为D, DH OC垂足为E.假设AD DB CD的长度都是有理数,那么线段OD OE DE AC的长度中,不一定是有• • •理数的为〔〕.〔A〕 OD 〔B〕 OE(D) AC4.如图,△ ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F 在线段BC的延长线上,且BC 4CF , DCFE是平行四边形,那么图中阴影局部的面积为〔〕.〔A〕 3 〔B〕 4(C) 6 (D) 85.对于任意实数x, y, z,定义运算“ *〞为:3 3 - 2 2 33x y 3x y xy 45x y --------------- 3 -------------------- 3-------- ,x 1 y 1 60且xyz x y z,那么2021 2021 L 3 2 的值为().〔第3题〕〔第4题〕(C) DE6 .设a ® b 是a 2的小数局部,那么〔b 2〕3的值为.7 .如图,点D, E 分别是△ ABC 勺边AC AB 上的 松 日百点,直线Bg CE 交于点F,ACDF ABFE ABCF 〔弟7屉〕 的面积分别是3, 4, 5,那么四边形AEFD 勺面积是.8 .正整数 a, b, c 满足a b 2 2c 2 0 , 3a 2 8b c 0 ,那么abc 的最大值为.9 .实数a, b, c, d 满足：一元二次方程x 2 cx d 0 的两根为a, b, 一元二次方程x 2 ax b 0的两根为c, d,那么所有满足条件的数组〔a,b c d 〕为.10 .小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支 售4元,圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共 350支, 当天虽然笔没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是 2021元.那么他 至少卖出了支圆珠笔.三、解做题11 .如图,抛物线y ax 2 bx 3,顶点为E,该抛物线与x 轴交于 A, B 两点,与y 轴交于点C,且OB= OC= 3OA 直线1 一 "一一 〔第 11 题y - x 1与y 轴父于点D.3求/ DBC/ CBE12 .设△ ABC 的外心,垂心分别为O, H ,假设B, C, H, O 共圆,对于所有的△ ABC,求BAC 所有可 能的度数.13 . 设a, b, c 是素数,记 xbca, ycab, zabc, 当 z 2y,五百2 时,a, b, c 能否构成三角形的三边长？证实你的结论.14 .如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧,所得到的新数可被 7 整除,那么称 M 为m 的“魔术数〞〔例如,把 86放在415的左侧, 得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数〕.求正整 数n 的最小值,使得存在互不相同的正整数 a1, a 2,…,an,满足对任 意一个正整数 m 在即a"…,品中都至少有一个为 m 的魔术数.(A)607 967、填空题(B)1821 967(D)16389 9679672021全国数学联赛试题参考答案 一、选择题i .设非零实数a, b, c 满足a ,3c 0；那么a b b c c a 的值为(). 2a 3b 4c 0, a 2 b 2 c 2(A)1(B) 0 (C) 1(D) 122【答案】A【解答】由得a b c (2a 3b 4c) (a 2b 3c) 0 ,故21.2 .2 2ab bc ca1 b c) 0 . 于是 ab bc ca-(ab c ), 所以 - -- 2——2 一 .2a 2b 2c 222.a, b, c 是实常数,关于x 的一元二次方程ax 2 bx c 0 有两个非零实根X1,X2,那么以下关于X 的一元二次方程中,以口,3X 1x 2为两个实根的是().(A) c 2x 2 (b 2 2ac)x a 2 0 (B) c 2x 2 (b 2 2ac)x a 2 0 (C)c 2x 2 (b 2 2ac)xa 2(D) c 2x 2(b 2 2ac)xa 2【解答】由于ax 2 bx c 0是关于x 的一兀二次方程,x 〔 x 2—, x 〔x 2 c , 且 x 〔x 2 0 , 所 以 aa1(% x 2)2 2x 1x 2 b 2 2ac 1 1a 2~2 2~22) ~ ~2 ~2 )x 24x 2cx 1 x 2c(a 那么a 0.因c 0 , 且为 工 ~2x于是根据方程根与系数的关系,以』为两个实根的一元二次方程是 x 2 b —22acx — 0 即 c 2x 2 (b 2 2ac)x a 2 0 . c c3.如图,在RtA ABC^, O 是斜边AB 的中 点,CD! AB,垂足为D, Da OC 垂足为E.假设AD DB CD 的长度都是有理数,那么线段 OD OE DE AC 的长度中,不一定 是有理数的为(). • • •(A) OD (B) OE (C) DE(D) AC(第3题)【解答】因AD 所以,.与.氏OC=DB CD的长度都是有理数,AD BD是有理数.于是,OD2〔第3题做题〕=OA- AD是有理数.由RS DOEs2 RtA COD,知OE OD-, OC ,DE变坨都是有理数,而AC= /AD-AB不一定是OC有理数.4.如图,△ ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且面积为〔〕.〔A〕 3 BC 4CF , DCFE是平行四边形,那么图中阴影局部的(B) 4〔第4题〕〔C〕 6【答案】【解(D) 8C由于DCF里平行四边形,所以DE/ CF连接CE 由于DE/ CF,即DE/ BF,所以$△DEF S ADEC因此原来阴影局部的面积等于^ ACE勺面积.连接AF,由于EF/ CD 即EFF/ AC 所以S AACE=S A ACF.由于BC 4CF ,所以S A AB C=4S X ACF.故阴影局部的面积为6.5.x, y, z,〔第4题做题〕(A) z x6073 2 2 33x y 3x y xy 453x 1 y 1那么202120211821(B)——967602的值为().5463(C)——967(D)16389967 C设20212021 L2021 2021 L 4 43mm ,那么3 3 3m2 9 m 27 45于是2021 2021 L 3 2 3m23 933m 1 64 602 3 910322 93 609 ,32 45 5463967、填空题6 .设a 语,b 是a 2的小数局部,那么(b 2)3的值为. 【答案】【解答 (b 2)3 (39)3 7.如图, 91 由于1a2 a 2 3, 故ba 2 2&2, 因此9 .点D, E 分别是△ ABC 勺边AG AB 上的点,直线Bg CE 交于点F,△ CDF ABFE ABCF 的面积分别是3, 4, 5,那么四边形AEFD 勺面积是.［答案］理(第7题)13【解答】如图,连接AF,那么有:S AEF 4 S AEF S BFE BFS AFD S AFD 3 S AEF解得S AEF 警13 S AFDFDS AFD S CDFCF S AEFFEc96 SAFD —— •13s BCFS GDFS BCF SBEF5 3 '54,(第7题做题)所以,四边形AEFD 勺面积是8 .正整数 a, b, c3a 28b c 0,那么abc 的最大值为. 204* 13满足ab 2【答案】2021【解答】由a b 2 2c 2 b 假设 假设假设2 6a 21,那么 2,那么 3,那么66 .由a 为正整数及 8b 6a 2 c 0消去C, 并整理得 a <66,可得 1wa03.28 28 28(ii )假设b 5,那么 59,无正整数解； 40,无正整数解； 9,于是可解得b 11, c 61 ,从而可得abc 3c 13,从而可得abc 3 b 11 5 5 . 61 2021； 13 195.综上知abc 的最大值为2021. 9.实数a, b, c, d 满足：一元二次方程x 2cx d 0的两根为a,b, 一元二次方程x 2 ax b 0的两根为c, d,那么所有满足条件的数组 (a, b c d)为.【答案】(1 2,1, 2), (t, 0 t, 0) (t 为任意实数)a b c, 【解答】由韦达定理得abd c d a,cd b.由上式,可知b a c d .假设bd0,那么 ad1,cPl,进而 b d a c 2 . b d假设 b d 0 ,那么 c a ,有(a, b c d) (t, 0 t, 0) (t 为任意实数). 经检验,数组(1, 2,1, 2)与(t, 0 t, 0)( t 为任意实数)满足条件.10 .小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售 4元,圆珠 笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共 350支,当天虽然笔没 有全部卖完,但是他的销售收入恰好是 2021元.那么他至少卖出了支 圆珠笔.【答案】207【解答】设x, y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数,那么4x 7y 2021, x y 350,所以 x - (503 2y) 口, 4 4于是上^是整数.又2021 4(x y) 3y 4 350 3y , 4 所以y 204 ,故y 的最小值为207,此时x 141 . 三、解做题 11 .如图,抛物线y ax 2 bx 3,顶点为E,该抛物线与x 轴交于 A, B 两点,与y 轴交于点C,且O 氏OO 30A 直线 『1 _ (第11题) y - x 1与y 轴交于点D.3求/ DBC/ CBE【解答】将x 0分别代入y1x 1 , y ax 2 bx 33知,D (0, 1), q0, 3),所以 B(3 , 0) , A ( 1 , 0).直线 y 1x 1 过点 B. 3将点C (0 , 3)的坐标代入y a(x 1)(x 3),得a 1 .―(第11题做题)............ 5分抛物线y x 2 2x 3的顶点为E (1 , 4).于是由勾股 定理得BC= 3", CP 灰,BE= 26.由于BC+CE= B& 所以,△ BCE 为直角三角形, BCE 90 .............. 10分因止匕 tan CBE=CE =1,又 tan / DBOOD -,贝fj/ DBG= CBE .CB 3OB 3'............. 15分所以, DBC CBE DBC DBO OBC 45 .............. 20分12.设^ ABC 的外心,垂心分别为 O, H ,假设B, C, H, O 共圆,对 于所有的^ ABC,求BAC 所有可能的度数.【解答】分三种情况讨论.〔i〕假设^ ABC为锐角三角形.由于BHC 180 A BOC 2 A,所以由BHC BOC,可得180 A2A,于是 A 60 ............. 5分〔第12题做题〔ii〕〕〔第12题做题〔i〕〕〔ii 〕假设△ ABC 为钝角三角形.当 A 90时,因为BHC 180 A, BOC 2 180 A ,所以由BHC BOC 180 ,可得 3 180 A 180 ,于是 A 120 .............. 10分当 A 90时,不妨假设 B 90 ,由于BHC A, BOC 2 A,所以由BHC BOC 180 ,可得3 A 180 ,于是 A 60 .............. 15分〔iii 〕假设^ ABC为直角三角形.当A 90时,由于.为边BC的中点,B, C, H, O不可能共圆,所以A不可能等于90 ;当A 90时,不妨假设 B 90 ,此时点B与H重合,于是总有8, C, H, O 共圆,因此 A 可以是满足0 A 90的所有角.综上可得,A 所有可能取到的度数为所有锐角及 120 ............. 20分13 .设a, b, c 是素数,记 x bca, y cab, z abc,当 z 2 y, .X J 2时,a, b, c 能否构成三角形的三边长？证实你的 结论.【解答】不能.依题意,得 a 1( y z), b - (x z), c 1(x y) 2 2 2 由于 y z 2 所以 a -(y z) 1(z 2 z) zz- 2 22又由于z 为整数,a 为素数,所以z 2或3,当 z 2时,y z 2 4, x (百 2)2 16 .进而, c 是素数矛盾；当z 3时,a b c 0,所以a, b , c 不能构成三角形的三边长.20分14 .如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧,所得到的新数可被 7 整除,那么称 M 为m 的“魔术数〞(例如,把 86放在415的左侧, 得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数).求正整数n 的最小值,使得存在互不相同的正整数 为,a 2,…,a n,满足对任 意一个正整数 m 在即a"…,品中都至少有一个为 m 的魔术数.【解答】假设nW 6,取m 1, 2,…,7,根据抽屉原理知, 必有a b a 2,…,a n中的一个正整数 M 是i, j(1W i V j W 7)的公共的 魔术数,即 7|( 10M i ), 7|( 10M j ).那么有 7|( j i ),但 0Vj i06,矛盾.故 n>7............. 10分又当a2,…,第为1, 2,…,7时,对任意一个正整数 m 设 其为k 位数(k 为正整数).那么10k i m (i 1, 2,…,7)被7除的余数 两两不同.假设不然,存在正整数i, j(1&iVjW7),满足7|[( 10k j m) (10k i m)],即 7110k (j i),从而 7|(j i),矛盾.故必存在一个正整数i (iWi07),使得7|( i0k i m),即i 为m 的 魔术数. 所以,n 的最小值为7.a 3..............10分 b 9, c 10,与 b ,.............15分............ 20分。

2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）暨2021全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）如图所示，I 是ABC 的内心，点,P Q 分别为I 在边,AB AC 上的投影．直线PQ 与ABC 的外接圆相交于点,X Y （P 在,X Q 之间）．已知,,,B I P X 四点共圆，证明：,,,C I Q Y 四点共圆．证明：记ABC 的外接圆为 ．因为90API AQI ，故,,,A P I Q 四点共圆．因此190902BPQ BPI IPQ IAQ BAC BIC ． 又由,,,B I P X 四点共圆可知BPX BIX ，故180BIX BIC BPX BPQ ，因此,,C I X 三点共线． ……………10分由,,,B I P X 共圆可知90BXI BPI ，故BX IX ，即BX CX ．因此90BAC BXC ．于是四边形APIQ 是正方形，PQ 垂直平分线段AI ． ……………20分 设Y 是 AC 的中点，则由内心熟知的结论可知Y A Y I ，因此Y 是AI 的中垂线PQ 与圆 的交点．又直线PQ 与圆 相交于,X Y 两点，且Y 显然不同于X ，故Y 与Y 重合．因此Y 是 AC 的中点． ……………30分于是,,B I Y 三点共线．因此90IYC BYC BAC IQC ，进而,,,C I Q Y 四点共圆． ……………40分二．（本题满分40分）求最大的正整数n ，使得存在8个整数1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y ，满足：0,1,,||14||14i j i j n x x i j y y i j ． 解：设n 符合要求，则整数12341234,,,,,,,x x x x y y y y 满足：0,1,,n 都属于集合X Y ，其中 ||14,||14i j i j X x x i j Y y y i j ．注意到0X Y ，不妨设0X ，则1234,,,x x x x 中必有两个数相等，不妨设12x x ．于是 {0}||24i j X x x i j ，所以134X ． 又24C 6Y ，故110n X Y X Y ，得9n ．……………20分 另一方面，令1234(,,,)(0,0,7,8)x x x x ，1234(,,,)(0,4,6,9)y y y y ，则{0,1,7,8},{2,3,4,5,6,9}X Y ，即0,1,,9 都属于集合X Y ．综上，n 的最大值为9． ……………40分三．（本题满分50分）已知,,,[0,a b c d ，满足：33332a b c d ，的最小值． 解：当0a 33a ． 当0a 3a 也成立． ……………30分 所以 33332a b c d ， ……………40分 当1,0a b c d 时上述不等式等号成立．的最小值为2． ……………50分四．（本题满分50分）设a 为正整数．数列{}n a 满足：1a a ，2120n na a ，1,2,n ． (1) 证明：存在一个非立方数的正整数a ，使得数列{}n a 中有一项为立方数．(2) 证明：数列{}n a 中至多有一项为立方数．解：(1) 注意到2314202166 ，故取14a ，则232206a a 为立方数，从而14a 满足条件． ……………10分(2) 不妨设{}n a 中存在立方数，k a 是所出现的第一个立方数．因为对任意整数m ，有0,1,2,3,4(mod 9)m ，由此知30,1(mod 9)m ，所以0,1(mod 9)k a ． ……………30分于是 21202,3(mod 9)k k a a ，221206,2(mod 9)k k a a ，232202,6(mod 9)k k a a ，以此类推知2,6(mod 9),4,5,k i a i ．于是k a 后面的项模9不为0,1 ，故都不是立方数．因此，数列{}n a 中至多有一项为立方数． ……………50分。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，是质数的是（）A. 4B. 6C. 7D. 82. 求下列算式的值：（7 + 5）× 3 - 4 ÷ 2 = （）A. 14B. 20C. 24D. 263. 下列分数中，约分后分子与分母互质的是（）A. $\frac{8}{12}$B. $\frac{9}{15}$C. $\frac{10}{18}$D.$\frac{11}{22}$4. 某班级有男生15人，女生20人，全班人数是男女生人数之和的（）A. $\frac{1}{4}$B. $\frac{3}{5}$C. $\frac{2}{3}$D. $\frac{5}{4}$5. 在下列选项中，属于锐角三角形的是（）A. 30°，60°，90°B. 45°，45°，90°C. 30°，45°，90°D. 60°，60°，120°6. 一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，它的周长是（）A. 20厘米B. 24厘米C. 28厘米D. 32厘米7. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 长方形C. 等腰三角形D. 圆8. 在下列数中，能被3整除的是（）A. 678B. 679C. 680D. 6819. 某数的5倍比它的3倍多10，这个数是（）A. 5B. 10C. 15D. 2010. 下列方程中，x=5是它的解的是（）A. 2x + 3 = 11B. 3x - 4 = 11C. 4x + 5 = 11D. 5x - 6 = 11二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的3倍减去6等于12，这个数是______。

12. 下列分数中，约分后分子与分母互质的是______。

13. 一个长方形的长是18厘米，宽是9厘米，它的周长是______厘米。

2020年全国初中数学联赛决赛试题（江西卷）详细解题答案〔2008年4月１９日 上午９：00—１１：３０〕－、选择题〔每题7分，共42分〕1 、解：由1114123+=，而1111,236++=故删去11810与后，可使剩下的数之和为1.应选C212+=====12.应选A . 3、解：555=5×545=5×18125，因125被8除余l ，因此18125被8除余l ，故知555被8除余5，而在125、375、625、875四数中，只有125被8除余5，应选A4 、解：由〔1〕、〔3〕得2x y x =-，63x z x =-,故x ≠0，代人〔2〕解得2710x =，因此277y =， z =-54.检验知此组解满足原方程组.因此10X ＋7y ＋Z ＝0．应选D5、解：图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线；这种线段有18条，对应着18个边长为1的菱形；原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的菱形；共得21个菱形. 选C6、解：设28abcd =3()xy ，那么据末位数字特点得y ＝2，进而确定xy ：因360＝216000， 370＝343000，因此60＜xy ＜70，故只有，xy =62，而262＝238328，那么ab ＝38，cd ＝32，ab ＋cd =70. 应选D二．填空题〔每题7分，共28分〕7、解：据条件式9........1xy +=（）令z ，那么〔1〕式化为：z xy ++9，即有9-z ＝xy81-18z ＋2z ＝2222(1)(4)2x y x y xy ++++……(2),又由2z =2(=2222(4)(1)2x y y x xy++++代入〔2〕得，81-18z=4,因此7718z =. 8、解：l ＋2＋…＋61＝1891，2018—1891＝117，由于形如ab 的页码被当成ba 后，加得的和数将相差9a b -，因为,a b 只能在1，2，…，9中取值，a b -≤8，得9a b -≤72，由于117＝72＋45＝63＋54，设弄错的两位数是ab 和cd ，假设9a b -=72，9c d -=45，只有ab ＝19，而cd 能够取l6，27，38，49；这时ab +cd 的最大值是68；假设9a b -=63，9c d -=54，那么ab 能够取18，29，而cd 能够取17，28，39，ab +cd 的最大值也是68．9、解：如右图，连OA ，OB ，OC ，线段 OA 将阴影的上方部分剖分成两个弓形，将这两个弓形分不按顺时针及反时针绕点O 旋转0120后，阴影部分便合并成△OBC ，它的面积等于△A BC 310、解：653)=3(8215)+，令 815+a ，815-b ，得 a ＋b ＝16，ab=4，a,b 是方程21640x x -+=的两个根，故得2a ＝16a －4，2b ＝16b －4；3a ＝162a －4a ，32164b b b =-；因此3a +3b ＝16〔2a +2b 〕-4〔a+b 〕＝16〔16〔a+b 〕一8〕－4〔a+b 〕=252〔a+b 〕-128=3904.∵0＜b ＜1，∴0＜3b ＜1，∴3a 的最大整数值不超过3903.三.解答题〔共70分〕11、解：当a ＝0时，方程的有理根为75x =； ……5分 以下考虑a ≠0的情形，现在原方程为一元二次方程，由判不式2(5)4(7)0,a a a +-+≥即32a ＋18a －25≤091569156a ---+≤≤整数 a 只能在其中的非零整数1，－1，－2，－3，－4，－5，－6，－7中取值，…… 10 分 由方程得25523(3)a a x +±-+=……〔1〕 当a ＝1，由〔1〕得x ＝2和4；当a=－1时，方程无有理根；当a ＝－2，由〔1〕得x ＝1和－52；当a=－3时，方程无有理根； ……15分 当a ＝－4，由〔1〕得x ＝－1和34；当a=－5时，方程无有理根； 当a ＝－6，由〔1〕得x ＝12和－13；当a ＝－7时，由〔1〕得x ＝37和17-；…… 20分A P 12、证明：EF 截△PMN ，那么.. 1..........(1)NK MF PE KM FP EN=……5分 BC 截 △PAE ，那么.. 1...........(2)EB AC PN BA CP NE =，即有2,PN CP NE AC = 因此2..............(3)PE CP AC EN AC+=, ……10分AD 截△PCF ，那么..1,FD CA PM DC AP MF=即22,............(4)PM AP PF AP AC MF AC MF AC-=∴=……15分 因AP ＝AC ＋CP ，得2CP ＋ AC ＝2AP －AC ，由(3),(4)得，,........20PE FP EN MF=分 — 即.1,MF PE FP EN =因此由(1)得 NK ＝KM ，即K 是线段 AM 的中点 ……25分 13、解：将这120人分不编号为12120,,....,P P P ，并视为数轴上的120个点，用k A 表示这120人之中未答对第k 题的人所成的组,k A 为该组人数, k=l ，2，3，4，5，那么1A =24,234537,46,54,85,A A A A ==== ……5分将以上五个组分不给予五种颜色，假如某人未做对第k 题，那么将表示该人点染第k 色，k=l ，2，3，4，5，咨询题转化为，求出至少染有三色的点最多有几个？由于1A +2345A A A A +++＝246，故至少染有三色的点不多于2463=82个，……10分 右上图是满足条件的一个最正确染法，即点1285,,....,P P P 这85 个点染第五色；点1237,,....,P P P 这37个点染第二色；点383983,,....,P P P 这46个点染第四色；点1224,,....,P P P 这24 个点染第一色；点252678,,....,P P P 这54个点染第三色；因此染有三色的点最多有78个. …20分因此染色数不多于两种的点至少有42个，即获奖人数至少有42个人〔他们每人至多答错两题，而至少答对三题，例如7980120,,...,P P P 这 42 个人) …… 25分陈永华录入 cryzcyh@ 85 46 5437 24。