2019届高考数学(文科)江苏版：第2章 基本初等函数、导数的应用 4 第4讲分层演练直击高考含解析

1．下列四组函数中，表示同一函数的序号是________．①y ＝x －1与y ＝（x －1）2；②y ＝x －1与y ＝x －1x －1； ③y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2；④y ＝lg x －2与y ＝lg x 100； [解析] 对于①，对应法则不同；对于②③，定义域不同．[答案] ④ 2．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.[解析] 令t ＝1x ，所以x ＝1t ，所以f (t )＝1t 2＋5t. 所以f (x )＝5x ＋1x2(x ≠0)． [答案] 5x ＋1x 2(x ≠0) 3．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝________. [解析] 因为f (－2)＝2－2＝14， 所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝12. [答案] 124．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x； ③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．[解析] 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．[答案] ①③5．(2018·镇江模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0x 2，x ≤0， 若f (4)＝2f (a )，则实数a 的值为________．[解析] f (4)＝log 24＝2，因而2f (a )＝2，即f (a )＝1，当a >0时，f (a )＝log 2a ＝1，因而a ＝2，当a ≤0时，f (a )＝a 2＝1，因而a ＝－1.[答案] 2或－16．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是________(填序号)．[解析] 从球的形状可知，液体的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．[答案] ③7．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝________．[解析] 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.①将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.②①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3，即f (x )＝x ＋1.[答案] x ＋1。

分层演练■直击高考・|収练促字•强按腥能卜*基础达标1 •某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资 金130万元•在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是 __________ •(参考数据：lg 1.12疋0.05, lg 1.3疋0.11, lg 2~ 0.30)［解析］设经过x 年后该公司全年投入的研发资金开始超过212%)x >200,即 1.12违? x>^ = 研发资金开始超过 200万元的年份是2019年.［答案］20192 •在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表:则对x , y ①y = 2x ;② y = x 2 3 4— 1; ③y = 2x — 2;④ y = log 2x.［解析］根据x = 0.50, y =— 0.99,代入计算，可以排除 ①；根据x = 2.01, y = 0.98,代 入计算，可以排除②、③；将各数据代入函数 y = log 2x ,都能近似相等可知满足题意.［答案］④3•某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与 七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为2［解析］由题意可知，7月份的销售额为 500(1 + x%), 8月份的销售额为 500(1 + x%), 因为一月至十月份销售总额至少达 7 000万元，所以 3 860+ 500+ [500(1 + x%) + 500(1 + x%)2] X 2> 7 000,化简得 x 2 + 300x — 6 400> 0, 解得x >20(舍去x w — 320),故x 的最小值为20. [答案]204 •某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价 结算，若超过50套就可以以每套比出厂价低30元给予优惠，如果按出厂价购买应付a 元,200 万元，贝U 130(1 +lg 2 — lg 1.3 0.30- 0.11lg 1.12 & 0.05 3.8,所以该公司全年投入的但再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a元（价格为整数），则a的值为_________ ［解析］设按出厂价y元购买x套（x< 50）应付a元，则a = xy,又 a = （y- 30）（x + 11）,又x + 11> 50,即x> 39,所以39v x w 50,所以xy= (y- 30)(x+ 11),30 *所以11x=y—30,又x、y€ N 且39v x< 50,所以x= 44, y = 150,所以a= 44X 150= 6 600.［答案］6 6005.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y= e kt（其中k为常数, t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数），则k= __________ ，经过5小时，1个病毒能繁殖为________ 个.1［解析］当t= 0.5时，y= 2,所以2 =屈，所以k= 2ln 2 ,所以y= e2tln 2,所以当t = 5时，［答案］2ln 2 1 0246•某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：万元）为y1 = 4.1x—0.1x2,在B地的销售利润（单位：万元）为y2= 2x,其中x为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是___________________ 万元.［解析］设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车（16 —x）辆,所以可得到利润y= 4.1x—0.1x2+ 2(16 —x)=—0.1x2+ 2.1x+ 32=—0.1 x—号 + 0.1 32.因为x€ ［0 , 16］且x€ N ,所以当x= 10或11时，总利润取得最大值43万元.［答案］437. 2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在 1.25 %，则年我国人口首次将超过20 亿.（lg 2 〜0.301 0, lg 3~ 0.477 1 , lg 7 〜0.845 1）［解析］由已知条件：14（1 + 1.25%）x-2 014>20,10lg 7 1 —lg 7x—2 014> = P8.7,lg 81 4lg 3 —3lg 2 —110 ln 2 y= e 10=210= 1 024.212X一4lg 80则 x>2 042.7,即 x = 2 043. ［答案］2 0438. （2018镇江模拟）抽气机每次抽出容器内空气的 60%,要使容器内剩下的空气少于原 来的0.1%，则至少要抽 ________ 次（参考数据：lg 2 = 0.301 0, lg 3 = 0.477 1）［解析］抽n 次后容器剩下的空气为（40%）n , 由题意知，（40%）n <0.1%,即 0.4n <0.001 , 所以 nig 0.4< — 3,所以n 的最小值为8. ［答案］89. 某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为 60° （如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积 为9 .3平方米，且高度不低于.3米.记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长（梯形的上底线段 BC 与两腰长的和）为y 米•要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5米,则其腰长x 的范围为 __________ .A［解析］根据题意知，9 3= "（AD + BC ）h ,其中 x Y3AD = BC + 2 •= BC + x , h =~2x ,1 -3 18 x所以 9.3= 2(2BC + xp^x ,得 BC = — — ?,因为［3 , 4］? ［2 , 6）,所以腰长x 的范围是［3, 4］. [答案][3 , 4]10. （2018连云港模拟）如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶 2中，开始时 桶1中有a 升水，t min 后剩余的水符合指数衰减曲线 y 1= ae—nt,那么桶2中的 水就是y 2=a — ae nt 假设过5 min 后，桶1和桶2的水量相等，则再过 m min所以n>」1 — 2lg2 1 — 2X 0.301 0"7.54,由 y = BC + 2x = 18 +x ¥ w 10.5得 3w x W 4.得 2<x<6.后桶1中的水只有8升，贝U m= .［解析］由题意，得ae -5n = a — ae-5n ? e -n = 2 5 .再经过m min 后，桶1中的水只有|升, 5+m3| c则有 ae -n （5+ m ）= a ,即 e-n （5 + m ）= 2-3,亦即 |=寸,所以唇=3，解得 m = 10.［答案］1011 •某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 y （万元）与年产2量x （吨）之间的函数关系式可以近似地表示为 y =令—48x + 8 000,已知此生产线年产量最大5 为210吨.（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； ⑵若每吨产品平均出厂价为 40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？［解］⑴每吨平均成本为x （万元）•当且仅当x =色000,即x = 200时取等号.5 x所以年产量为200吨时，每吨平均成本最低为 32万元. ⑵设年获得总利润为 R(x)万元，2r , x则 R(x)= 40x - y = 40x - + 48x - 8 0005 2=-x+ 88x - 8 00051 2=-gx — 220) + 1 680(0 < x < 210). 因为R(x)在［0, 210］上是增函数， 所以x = 210时，R(x)有最大值为1 2 一 R(210) = - 5(210 - 220) + 1 680= 1 660(万元).所以年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.12. （2018山西孝义模考）为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活， 在景区提供自行车 出租•该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6元，则自行车可以全部租出；若超过 6元，则每超出 并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y （元）表示出租自行车的 日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）•（1）求函数y = f （x ）的解析式及其定义域；y= 5+ x 58 000 x —48》2 x 8 000 5 x —48= 32,⑵试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：⑴当X W 6 时，y= 50x—115.令50x—115>0，解得x>2.3.因为x€ N*，所以3< x W 6, x€N*.当x>6 时，y= [50 —3(x—6)]x—115.令[50 —3(x—6)]x—115>0,有3x2—68x+ 115<0.又x € N*，所以6<x< 20(x € N*),50x—115 (3W x< 6，x€N*)，故y = /J 2 *—3x2+ 68x—115 (6<x W 20，x® ).⑵对于y= 50x—115(3 W x< 6, x€J )，显然当x= 6 时，y max= 185.2对于y= —3x2+ 68x—115=—3 x —34+ 811(6<x< 20, x€N*),当x = 11 时，y max= 270.又因为270>185,所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多.能力提升1. （2018南京学情调研）某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n= ax+ 5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.（1）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式;（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比•若新建的标段数是原有标段数的20%,且k> 3.问：P能否大于20说明理由.[解](1)依题意得y= mkn = mk(ax+ 5), x €N .⑵法一：依题意x= 0.2a.mx x 0.2a ____ a所以P= y = k( ax+ 5) = k ( 0.2a2+ 5) = k( a2+ 25)1元，租不出的自行车就增加3辆•为了便于结算，每辆自行车的日租金 x （元）只取整数,0.2a ak (0.2a 2+ 5) k (a 2+ 25)0 2 假设 P >20,得 ka - 20a + 25k v 0.因为 k >3,所以△= 100(4 — k 2)v 0,不等式 ka 2— 20a + 25k v 0 无解. 即P 不可能大于20.t12•已知某物体的温度 6(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：0= m 2 + 2 百》0，且m>0).(1) 如果m = 2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2) 若物体的温度总不低于 2摄氏度，求m 的取值范围. ［解］⑴若 m = 2,则 6= 2 2t + 21 —1= 2 2t +1 , 1 5 1 5当 6= 5 时，2t + 孑=^,令 2t = x > 1 ,则 x + -=-,2 1即2x — 5x + 2= 0,解得x = 2或x =臥舍去),此时t = 1.所以经过1分钟，物体的温度 为5摄氏度.⑵物体的温度总不低于 2摄氏度，即2恒成立，亦口2七+ |t >2恒成立，亦即m 》2* — 2^恒成立. 1 2令21 = y ,贝y 0<y w 1,所以 m > 2(y — y ), 1 1由于y — y 2 w 4,所以m 》］"1、因此，当物体的温度总不低于 2摄氏度时，m 的取值范围是 2丿：3•某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体 方法：每户每月用水量不超过 4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分 每吨4w3 (a 2+ 25)1即P 不可能大于200. 法二：依题意x = 0.2a. 所以p =m y x=x k (ax + 5)(25、 3a + 73X1 1 =—v — 25 30 20.Xa元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元.。

1．(2018·河北省定州中学月考改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是________． [解析] 由已知得f ′(x )＝e x ＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝e －1－3<0，f (1)＝e ＋3>0，所以f (x )的零点个数是1.[答案] 12．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为________．[解析] 据题意令f (x )＝e f (2)＝e 2－4＝7.39－4>0，故函数在区间(1，2)内存在零点，即方程在相应区间内有根．[答案] (1，2)3．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果我们选取初始区间[1.4，1.5]，则要达到精度要求至少需要计算的次数是________．[解析] 设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n<0.001，即2n >100，由26＝64，27＝128知n ＝7.[答案] 74．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________．[解析] 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0.[答案] 05．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 （x ≥0），f （x ＋1）（x ＜0），若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为________．[解析] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1（x ≥0），f （x ＋1）（x ＜0）的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根， 即有a ＜1.[答案] (－∞，1)6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．[解析] 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ，因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.[答案] (0，1]7．(2018·南通联考)f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2 016x ＋ log 2 016x ，则函数f (x )的零点个数是________．[解析] 结合函数的图象，可知函数y ＝2 016x 和函数y ＝－log 2 016x 的图象在第一象限有一个交点，所以函数f (x )有一个正的零点，根据奇函数图象的对称性，有一个负的零点，还有零，所以函数有三个零点．[答案] 38．已知f (x )＝|x |＋|x －1|，若g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________.[解析] 作出f (x )的图象，如图，g (x )＝f (x )－a ＝0，即f (x )＝a ，当a ＝1时，g (x )有无数个零点；当a >1时，g (x )有2个零点，所以a 的最小值为1.[答案] 19．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x ＞1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．[解析] 函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x 有2个零点．[答案] 210．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五))已知f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数，又函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |（0<x ≤e ），|－x 2＋e x ＋1|（e<x ≤4）.若f (x )＝a 在[－e ，4]上有6个零点，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由题意画出函数f (x )在[－e ，4]上的图象，如图所示．又f (x )＝a 在[－e ，4]上有6个零点，数形结合可知，实数a 的取值范围为(0，1)． [答案] (0，1)11．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. [证明] 令g (x )＝f (x )－x ，因为g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18，所以g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上连续， 所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. 12．关于x 的一元二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m 的取值范围．[解] 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0，2]， ①若f (x )＝0在区间[0，2]上有且仅有一解， 因为f (0)＝1>0， 则应有f (2)<0，又因为f (2)＝22＋(m －1)×2＋1， 所以m <－32.②若f (x )＝0在区间[0，2]上有一个或两个解，则⎩⎨⎧Δ≥0，0<－m －12<2，f （2）≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）2－4≥0，－3<m <1，4＋（m －1）×2＋1≥0.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.所以－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围为(－∞，－1]．1．已知函数f (x )＝x1－|x |(x ∈(－1，1))，有下列结论：①∀x ∈(－1，1)，等式f (－x )＋f (x )＝0恒成立；②∀m ∈[0，＋∞)，方程|f (x )|＝m 有两个不等实数根；③∀x 1，x 2∈(－1，1)，若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；④存在无数个实数k ，使得函数g (x )＝f (x )－kx 在(－1，1)上有三个零点，则其中正确结论的序号为________．解析：因为f (－x )＝－f (x )，函数f (x )是奇函数，故①正确；当m ＝0时，|f (x )|＝0只有一个解，故②错误；作出函数f (x )在(－1，1)上的图象，可知f (x )在(－1，1)上是增函数，故③正确；由图象可知y ＝f (x )，y ＝kx 在(－1，1)上有三个不同的交点时，k 有无数个取值，故④正确．答案：①③④2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≤0，log 12x ，x >0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是________．解析：若a ＝0，当x ≤0时，f (x )＝0，故f (f (x ))＝f (0)＝0有无数解，不符合题意，故a ≠0.显然当x ≤0时，a ·2x ≠0，故f (x )＝0的根为1，从而f (f (x ))＝0有唯一根，即为f (x )＝1有唯一根，而x >0时，f (x )＝1有唯一根12，故a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根．当a ·2x ＝1在(－∞，0]上有根时，可得a ＝12x ≥1，故由a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根可知a <0或0<a <1.答案：(－∞，0)∪(0，1)3．(2018·镇江市高三调研考试)已知函数y ＝2x ＋12x ＋1与函数y ＝x ＋1x 的图象共有k (k ∈N *)个公共点：A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，…，A k (x k ，y k )，则∑i ＝1k(x i ＋y i )＝________．解析：函数y ＝f (x )＝2x ＋12x ＋1满足f (x )＋f (－x )＝2，则函数f (x )的图象关于点(0，1)对称，且f (x )在R 上单调递增，所以f (x )∈(0，2)．又函数y ＝x ＋1x的图象也关于点(0，1)对称，且在(0，＋∞)和(－∞，0)上单调递减，画出两函数的大致图象如图所示，所以两个函数的图象共有2个公共点，A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，且这两个交点关于点(0，1)对称，则∑i ＝12(x i ＋y i )＝x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝2.答案：24．(2018·苏州市高三调研测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x ≤0，e x －5，x ＞0.若关于x 的方程|f (x )|－ax－5＝0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为________．解析：关于x 的方程|f (x )|－ax －5＝0恰有三个不同的实数根，即函数y ＝|f (x )|与y ＝ax ＋5的图象有三个不同的交点．作出函数图象如图所示，①若a ＞0，当y ＝ax ＋5与y ＝4－x 2(x ＜0)相切时，即x 2＋ax ＋1＝0，由Δ＝a 2－4＝0，a ＞0，得a ＝2，符合题意；当y ＝ax ＋5经过(－2，0)时，a ＝52也符合题意．②若a ＜0，当y ＝ax ＋5与y ＝5－e x (x ＞0)相切时，设切点为(x 0，5－e x 0)，x 0＞0，则切线方程为y －(5－e x 0)＝－e x 0(x －x 0)，代入点(0，5)得x 0＝1，此时a ＝－e ，符合题意；当y ＝ax ＋5经过(ln 5，0)时，a ＝－5ln 5也符合题意．③当a ＝0时，两图象有两个交点，不合题意．综上，满足条件的所有实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－e ，－5ln 5，2，52.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－e ，－5ln 5，2，525．m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. (1)有且仅有一个零点； (2)有两个零点且均比－1大．解：(1)若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点，等价于Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0， 即m 2－3m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－1.(2)设两零点分别为x 1，x 2，且x 1>－1，x 2>－1，x 1≠x 2. 则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4，故只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4（3m ＋4）>0，（x 1＋1）＋（x 2＋1）>0，（x 1＋1）（x 2＋1）>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4>0，－2m ＋2>0，3m ＋4＋（－2m ）＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <－1或m >4，m <1，m >－5. 故m 的取值范围是{m |－5<m <－1}． 6．设函数f (x )＝|x |x ＋2－ax 2，a ∈R . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的零点；(2)当a >0时，求证：函数f (x )在(0，＋∞)内有且仅有一个零点； (3)若函数f (x )有四个不同的零点，求a 的取值范围．解：(1)当x ≥0时，由f (x )＝0，得xx ＋2－2x 2＝0，即x (2x 2＋4x －1)＝0，解得x ＝0或x＝－2±62(舍负值)；当x <0时，由f (x )＝0，得－xx ＋2－2x 2＝0，即x (2x 2＋4x ＋1)＝0(x ≠－2)，解得x ＝－2±22.综上所述，函数f (x )的零点为0，－2＋62，－2＋22，－2－22.(2)证明：当a >0且x >0时，由f (x )＝0，得xx ＋2－ax 2＝0，即ax 2＋2ax －1＝0.记g (x )＝ax 2＋2ax －1，则函数g (x )的图象是开口向上的抛物线． 又g (0)＝－1<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内有且仅有一个零点， 即函数f (x )在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点． (3)易知0是函数f (x )的零点．对于x >0，由(2)知，当a >0时，函数f (x )在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点； 当a ≤0时，g (x )＝ax 2＋2ax －1<0恒成立，因此函数f (x )在区间(0，＋∞)内无零点． 于是，要使函数f (x )有四个不同的零点，函数f (x )在区间(－∞，0)内就要有两个不同的零点．当x <0时，由f (x )＝0，得－xx ＋2－ax 2＝0，即ax 2＋2ax ＋1＝0(x ≠－2)．①因为a ＝0不符合题意，所以①式可化为x 2＋2x ＋1a ＝0(x ≠－2)，即x 2＋2x ＝－1a .作出函数h (x )＝x 2＋2x (x <0)的图象便知－1<－1a <0，得a >1，综上所述，a 的取值范围是(1，＋∞)．。

1．函数y ＝1－lg （x ＋2）的定义域为________．[解析] 由题意可知，1－lg(x ＋2)≥0，整理得lg(x ＋2)≤lg 10，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤10，x ＋2>0，解得－2<x ≤8，故函数y ＝1－lg （x ＋2）的定义域为(－2，8]．[答案] (－2，8]2．lg 2＋lg 5＋20＋()5132×35＝________．解析：lg 2＋lg 5＋20＋()5132×35＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1323．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log 2x ，x >0，那么f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫18的值为________． [解析] f ⎝⎛⎭⎫18＝log 218＝－3， f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫18＝f (－3)＝3－3＝127. [答案]1274．(2018·江西省高安二调改编)若0<x <y <1，则下列正确的序号是________． ①log x 3<log y 3；②3y <3x ；③log 4x <log 4y ； ④⎝⎛⎭⎫14x<⎝⎛⎭⎫14y.[解析] 根据函数的性质，可知log x 3>log y 3，3y>3x，log 4x <log 4y ，⎝⎛⎭⎫14x>⎝⎛⎭⎫14y，故③正确．[答案] ③5．对任意的非零实数a ，b ，若a ⊗b ＝⎩⎨⎧b －1a ，a <b ，a ＋1b ，a ≥b ，则lg 10 000⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝________．[解析] 因为lg 10 000＝lg 104＝4，⎝⎛⎭⎫12－2＝4，所以lg 10 000⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝4＋14＝54.[答案] 546．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为________．[解析] 当a >1时，a 2＋1>2×a ×1＝2a ＝a ＋a >a －1>0，因此有log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a －1)，即有m >p >n .[答案] m >p >n7．(2018·常州模拟)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________．解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．答案：[1，2)8．函数f (x )＝lg(4x －2x ＋1＋11)的最小值是________．[解析] 令2x ＝t ，t ＞0，则4x －2x ＋1＋11＝t 2－2t ＋11≥10，所以lg(4x －2x ＋1＋11)≥1，即所求最小值为1.[答案] 19．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．[解析] 作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图， 令|log a x |＝1. 得x ＝a 或x ＝1a，又1－a －⎝⎛⎭⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0，故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.[答案] 2310．(2018·瑞安四校联考改编)函数f (x )＝log 12|x －1|，则f ⎝⎛⎭⎫－12，f (0)，f (3)的大小关系为________． [解析] f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 1232，因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0，所以－1<f ⎝⎛⎭⎫－12<0；f (0)＝log 121＝0；f (3)＝log 122＝－1，所以f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)． [答案] f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) 11．设函数y ＝f (x )且lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )． (1)求f (x )的解析式及定义域； (2)求f (x )的值域； (3)讨论f (x )的单调性． [解] (1)lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，所以lg y ＝3x ·(3－x )，且⎩⎨⎧3x >0，3－x >0，⇒0<x <3.所以f (x )＝103x (3－x )，x ∈(0，3)． (2)因为f (x )＝103x (3－x )，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝⎛⎭⎫x －322＋274，则f (x )＝10u ，当x ＝32∈(0，3)时，u max ＝274， 所以u ∈⎝⎛⎦⎤0，274.所以f (x )∈(1，10274]． (3)当0<x ≤32时，u ＝－3⎝⎛⎭⎫x －322＋274是增函数， 而y ＝10u 为增函数，所以在⎝⎛⎦⎤0，32上，f (x )是增函数，在⎣⎡⎭⎫32，3上，f (x )是减函数． 12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.[解] (1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12（－x ），x ＜0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为 f (|x 2－1|)＞f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5)．1．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________．[解析] 令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，y ＝log 12t 为减函数，所以有log 12t ≤log 128＝－3.[答案] (－∞，－3]2．(2018·无锡质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧41－x，x ≤1，1－log 14x ，x >1，则满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值集合为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，41－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 14x ≤2，解得12≤x ≤1或1<x ≤4，即实数x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤4.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤43．当x ∈[n ，n ＋1)，(n ∈N )时，f (x )＝n －2，则方程f (x )＝log 2x 根的个数是________． [解析] 当n ＝0时，x ∈[0，1)，f (x )＝－2；当n ＝1时，x ∈[1，2)，f (x )＝－1； 当n ＝2时，x ∈[2，3)，f (x )＝0； 当n ＝3时，x ∈[3，4)，f (x )＝1； 当n ＝4时，x ∈[4，5)，f (x )＝2； 当n ＝5时，x ∈[5，6)，f (x )＝3. [答案] 24．已知函数f (x )＝log 2x －2log 2(x ＋c )，其中c >0，若对任意x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1，则c 的取值范围是________．[解析] 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧c >0，x （x ＋c ）2≤2在x ∈(0，＋∞)上恒成立，即2x 2＋(4c －1)x ＋2c 2≥0(c >0)在x ∈(0，＋∞)上恒成立． 若－4c －14≤0，即c ≥14，则2c 2>0，所以c ≥14.若c <14，则Δ＝(4c －1)2－16c 2≤0⇒c ≥18，所以18≤c <14，综上可得c ≥18.[答案] c ≥185．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中x >0，a >0. (1)求函数f (x )的定义域；(2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围． 解：(1)由x ＋ax －2>0，得x 2－2x ＋a x >0.因为x >0，所以x 2－2x ＋a >0. 当a >1时，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)； 当0<a <1时，定义域为(0，1－1－a )∪(1＋1－a ，＋∞)．(2)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立，即a >－x 2＋3x 对x ∈[2，＋∞)恒成立，记h (x )＝－x 2＋3x ，x ∈[2，＋∞)，则只需a >h (x )max .而h (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，故a >2. 6．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． [解] (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]． 故函数h (x )的值域为[0，2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )得 (3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0，2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0，2]时，k <（3－4t ）（3－t ）t 恒成立，即k <4t ＋9t －15恒成立，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3，即k ∈(－∞，－3)．。