九年级数学反比例函数三角函数二次函数北师大版知识精讲

初三数学反比例函数、三角函数、二次函数北师大版【同步教育信息】 一. 本周教学内容：反比例函数、三角函数、二次函数 二. 重点、难点：这三部分涉及的知识非常灵活，学生掌握起来特别困难。

在这里建议大家在复习中注意以下几点：1. 深入理解概念。

反比例函数和二次函数都有自己的一般形式。

它们都有较灵活的变形。

如反比例函数y kx=可写成y ＝kx －1的形式，二次函数除了一般形式y=ax 2+bx+c 外，还可有顶点式y ＝a(x －h)2＋k ，在具体的题目中，应用起来也很方便。

研究三角函数的前提是在直角三角形中，正弦、余弦、正切的概念必须记牢，才能在计算中灵活应用。

2. 注意数形结合，函数之所以被大部分同学认为较难，是函数可以从“数”和“形”两个方面进行研究，有的题目给出的“数”的形式，让你找到“形”的变化。

当然，有的题目反之，如果同学们不能使“数”和“形”两方面顺利地相互转化，自然驾驭不了知识。

在后面的讲解中，我将结合例题具体讲解。

【例题分析】例1. 小山上有一电视塔CD ，由地面一点A ，测得塔顶C 的仰角为30°，由A 向小山前进100米，到B 点，由塔顶C 测得B 的俯角为60°，已知CD=20米，求小山的高度DE 。

分析：解决本题的关键只要分清仰角和俯角的概念，仰角和俯角都是视线与水平线的夹角，视线在水平线上方的叫仰角，视线与水平线下方的叫俯角，然后用转化的数学思想，将解：︒=∠∴︒=∠12060ABC CBE ，︒=∠∴︒=∠3030ACB A ，又米即100==∴∠=∠AB BC ACBA ︒=∠∴︒=∠∆3060BCE CBE BEC Rt ，中，在 （米）501002121=⨯==∴BC BE 在中，，即Rt BCE CBE CE BE DE∆ tan tan ∠=+=︒=2050603 3500=+2∴DE 米)20350(-=∴DE答：米为小山的高度)20350(-DE例2. 已知，如图，二次函数y ＝ax 2－5x ＋c 的图象如下：（1）求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标。

（2y 随x 的增大而减小。

分析：由图象知二次函数的图象与x 轴的交点为（1，0），（4，0），继续可知对称轴为x =52解：由图象知二次函数图象和x 轴的交点为（1，0），（4，0） 将（1，0），（4，0）代入y ＝ax 2－5x ＋c 中 ⎩⎨⎧=+-=+-0201605c a c a 得解得a ＝1，c ＝4所以这个二次函数的解析式是y x x =-+25449)25(4425425545222--=+-+-=+-=x x x x x y ），它的图象顶点坐标为（4925的增大而减小随）时，的左侧（即称轴由图象可知在抛物线对x y x x 2525<=的增大而增大。

随时，x y x 25>例3. 阅读下面的文字后，解答问题。

有这样一道题目：“已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A （0，a ），B （1，－2），（ ），求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x ＝2”题目中的括号部分是一段被墨水污染了的无法辨认的文字。

（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式？若能，写出过程；若不能，说明理由。

（2）请你根据已有信息，在原题中的横线上填加一个适当的条件，把原题补完整。

分析：题目中给出的“求证的抛物线的对称轴是x ＝2，并不是真正要求的东西，而是在计算中起到非常重要作用的已知条件。

”解：（1）∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A （0，a ），B （1，－2） ∴=-=++⎧⎨⎩a ca b c 2222=-∴=abx 为直线二次函数图象的对称轴又解方程组得a c a b c b aa b c =++=--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪==-=⎧⎨⎪⎩⎪222141142--=∴x x y 的解析式能求出题目中二次函数（2）可供补充的内容有（可任选其中） <1>满足函数解析式的任意一点的坐标；1412=-==><c b a 或或<3>与y 轴的交点坐标（0，1） )032()032(4，，，轴的交点坐标与+-><x<5>最值是－3<6>顶点为（2，－3）12472=-><ac b例4. 在直角坐标系中直线xmy m x y =+=与双曲线21在第一象限交于A ，与x 轴交于点C ，AB 垂直x 轴，垂足为B ，且S ΔAOB ＝1。

（1）求m （2分析：（1）应先根据的值。

，求出，m m S S AOB AOB ||211==∆∆ 的坐标；出的解析式确定，便可求）这样（C m x y 212+= xmy x m y =+=与）再由（213联立方程组，方程组的其中一解是A 点坐标，这样就可求出ΔABC 的面积。

解：（1）设点A （x ，y ）∵点A 在第一象限，∴OB ＝x ，AB ＝y 上在，点xm y y x A =∴)( m xy =∴ ∴=⋅===S OA OB xy m AOB ∆1212121 2=∴m1222+===x y xy m ，直线时，双曲线）当（1)01(=-∴OC C ，，⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==122112y x y x x y x y 解得由 点在第一象限，，，，A A OB AB ∴∴==()1212221=⨯⨯=∴∆AB BC S ABC例5. 2214O x x y -=线路线方程是点外抛出，网球的抛物今有网球从斜坡 点的水平距离。

是与是垂直高度，，其中斜坡方程是O x y x y 21=（1）网球落地时撞击斜坡的落点为A ，写出A 点的垂直高度，以及A 点与O 点的水平距离。

（2）在图象中，Ox 之间的夹角的正切。

解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x y x x y 2121412）由方程组（解得A 的坐标（7，3.5），即可求出A 点的垂直高度为3.5米，A 点与O 点的水平距离为7米。

)84(8)4(21214222，的坐标知，最高点）由（B x x x y +-=-= ）（即且αα=∠==BOx 248tan【模拟试题】1. 河对岸有铁塔AB ，在C 外测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14米到达D ，在D 测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高。

2. 如图某船以20海里/时的速度将一批货物由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货。

此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受影响。

（1）问：B 处是否会受到台风的影响？请说明理由。

（2）为避免受台风影响，该船应在多少小时内卸完货物？ （7.134.12≈≈，）3. 由长为24米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 米2，试求出该花圃的最大面积，并求出此时x 的长。

4. 某商店购进一批货物，进价每件60元，若按100元售出，一个月内能销售80件，为了增大利润决定调价，经试销发现在原价基础上每提高1元，销售量就减少1件，假定每月销售件数y （件）是单价x （元）的函数。

（1）试求出y 与x 的关系式。

（2）商品不积压且不考虑其它因素的条件下，价格定为多少元时，才能使每月获得最大利润P ？最大利润是多少？5. 一个抛物线形拱桥如图所示，桥下水面宽度是4米，拱高（水面到拱桥最高处的距离）是2米，当水面下降1米后，水面的宽度是多少？试题答案1. 解：设x AB =在ABD Rt ∆中，x DB = 在ABC Rt ∆中，BCx =︒30tan ︒=30tan xBCBC CD BDxx =+∴=+3314解得：()137+=x答：AB 高为()137+米。

2. 解：（1）过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D︒=∠30BAC ，在ABD Rt ∆中，200160162030sin <=⨯==︒BD BDAB BD∴B 处会受到影响（2）以点B 为圆心，200海里为半径画圆，交AC 于E 、F 由勾股定理得：3160120==AD DE ， 1203160-=-=DE AD AE 8.3401203160=-∴∴该船应在3.8小时内卸完货物。

3. 解：如图可知：24=++++CD BC DE CF AB x DE CF AB ===∴+==-BC CD BD x 243 ()x x x x S 2433242+-=-=∴()()()4834240344443224222=-⨯-⨯-⨯=-=-⨯-=-a b ac a b∴花圃最大面积是48米2，此时x 长4米。

4. 解：（1）x y -=180（2）()()10800240180602-+-=--=x x x x P36004412022=-=-ab ac a b ， 答：价格为120元时，获得最大利润为3600元。

5. 解：设抛物线解析式为()k h x a y +-=2如图可知：顶点坐标为（0，0），且B （2，-2）在抛物线的图象上2222⨯=-∴=∴a ax ya =-12∴抛物线的解析式221x y -= 设水面下降后的F 的坐标为（3-，x ）66213212-===-∴x x x ，62-=x 不合题意，舍去 62=∴EF答：水面宽为62米。