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二次根式
知识点一：二次
根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义：形如
的式子叫二次根
式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，
才有意义．
【典型例题】
【例1】下列各式1）
22211
,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)21
53
x a a a --+---+，
其中是二次根式的是_________（填序
号）．
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、
a B 、10-C 、1a +D 、
2
1a
+
2、在a 、2a b 、1x +、2
1x +、3中是
二次根式的个数有______个 【例2】若式子
1
3
x -有意义，则x 的取值范围是． 举一反三：
1、使代数式4
3--x x 有意义的x 的取值范围是
（）
A 、x>3
B 、x ≥3
C 、x>4
D 、x
≥3且x ≠4
2、使代数式2
21x x -+-有意义的x 的取值范围是
3、如果代数式mn
m 1+
-有意义，那么，直
角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=
解题思路：a （a ≥0），50
,50x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =，
y=2009，则x+y=2014
举一反三：1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值
3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。
已知a 是5整数部分，b 是5的小数部分，求1
2
a b +
+的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则
=-b a 3。
若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求
y x 1
2+
的值.
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1.非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2.()()a a a 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负
数或非负代数式写成完全平方的形式：
a a a =≥()()20
3.a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩
||()
()注意：（1）字母不一定是
正数．
（2）能开得
尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3
4.
（1（2（3
-a 则y x -的值为（）
A ．3
B ．–3
C ．1
D ．–
1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.
4、若
1
a b -+互为相反数，则
()
2005
_____________
a b -=。
)
0()(2≥=a a a 的运用）
【例5】化简：2
1a -+的结果为（）
A 、4—2a
B 、0
C 、2a —4
D 、4 举一反三：
1在实数范围内分解因式:2
3x -=；42
44m m -+=
21
则<)
0)0
3a ，则
B.12a -
C.2a －3＜0，则化简
的
1(B)1(C)2a －7(D)75、2
得（）
（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）
44x -
6、当a ＜l 且a ≠0时，化简a a a a -+-2
212＝．
7、已知0a <，化简求值：
【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │+2()a b +的结果等于（）
A ．－2b
B ．2b
C ．－2a
D ．2a
举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：21(2)______a a -+-=．
【例8】化简21816x x x ---+的结果是2x -5，则x 的取值范围是（ ）
（A ）x 为任意实数（B ）1≤x ≤4（C ）x ≥1（D ）x ≤1
举一反三：若代数式22(2)(4)a a -+-的值是常数2，则a 的取值范围是（ ） Ａ．4a ≥ Ｂ．2a ≤
Ｃ．24a ≤≤ Ｄ．2a =或4a = 【例9】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（）
A.a=0
B.a=1
C.a=0或a=1
D.a ≤1 举一反三：
1、如果2693a a a +-+=成立，那么实数a 的取值范围是（）
2、若03)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（）
（A ）3>x （B ）32
a
a a +-
的结果是 （A ）
2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a
1、把二次根式a a
-1
化简，正确的结果是（） A.-a B.--a C.-a
D.a
2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，
x x
b
＝；a a --11)1(＝。
知识点三：最简二次根式和同类二次
根式
【知识要点】
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开
得尽方的数或因式．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】
【例11】在根式1)222;2);3);4)275
x
a b x xy abc +-，最简二次根式是（）
A ．1)2)
B ．3)4)
C ．1)3)
D ．1)4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。 举一反三：
1、)b a (17,54,b 40,2
12,30,a 45222+中的最简二次根式是。
2、下列根式中，不是．．
最简二次根式的是（） A ．7
B ．3
C ．
1
2
D 2
3、下列根式不是最简二次根式的是( )
21a + 21x +
2b
0.1y 4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
o
b
a
