江苏省南京市第三中学2013-2014学年九年级10月阶段检测试卷（数学）温馨提示：亲爱的同学，本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页（第1至12题），第Ⅱ卷3至8页（第13至27题），总共120分，考试时间120分钟.请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！祝你考出好成绩。
第Ⅰ卷（选择题 共12分）注意事项：1、 答第Ⅰ卷前，考生务必将班级、姓名、学号填在试卷的密封线内2、 将第Ⅰ卷上每小题所选答案涂写在答题卡上相应的位置。
一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分．每题的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．） 1是同类二次根式的是( ▲) ABCD2．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 ( ▲ ) A . a x 2+ bx+c ＝0 B.（x +2）(x -3)=()21-x C. x 2＋1＝0 D.11=+x x3．如图，小明在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是．．．（ ▲ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．等腰梯形4．下面4个算式中，正确的是( ▲ )A ．27 ÷ 3 =3B ．=6 5C = -6D ．×5．若关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是( ▲ )A ． k >－1 B. k >1 C ． k ≠0D. k >－1且k ≠0 6．如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、An 分别是正方形的B AC D（第3题图）中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ▲ ）A ． 14 cm 2B ． n 4 cm 2C ．n －14 cm 2D ．（14）n cm 2第Ⅱ卷（非选择题 共108分）注意事项：1.第Ⅱ卷共5页，用钢笔或圆珠笔直接在试卷中作答.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚二、填空题（本大题共10题，每题2分，共20分．把答案填在题中的横线上．）7．如果2－x 是二次根式，则x 的取值范围是___▲ ___ . 8．方程x x 22=的解为 ▲ .9．若一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个等腰三角形的顶角应该为______________． 10. 某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台。
2013-2014学年度第一学期期末质量检测九年级数学试题一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．1．方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ） A ．0x =B ．3x =C ．3x =或1x =-D ．3x =或0x =2．如图，崂山某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ）米A ．5cos αB ．5cos αC ．5sin αD ．5sin α3．下列命题中，不正确的是（ ） A ．对角线相等的平行四边形是矩形；B ．有一个角为60︒的等腰三角形为等边三角形；C ．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半；D ．正方形的两条对角线相等且互相垂直平分．4．用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -=5．已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：则方程20ax bx c ++=的正根介于（ ） A ．3与4之间B ．2与3之间C ．1与2之间D ．0与1之间6．如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，则两个指针同时落在偶数上的概率是（ ）5米BAαA ．525B ．625C ．1025D ．19257．已知点1(1)A y ，，2()B y ，()32C y -，在函数21122y x =-的图像上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A ．3y ＞1y ＞2yB ．1y ＞2y ＞3yC ．1y ＞3y ＞2yD ．3y ＞2y ＞1y8．已知反比例函数ky x=的图象如下左图所示，则二次函数222y kx x k =-+的图象大致为（ ）二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是 ．10．身高1.8米的小明在太阳光下的影长为1.2米，同一时刻，比小明矮0.3米的小亮的影长为 米．11．某市民政部门今年元宵节期间举行了“即开式社会福利彩票”销售活动，设置彩票3000万张（每张彩票2元）．在这些彩票中，设置了如下奖项：如果花2元钱购买1张彩票，那么能得到8万元以上（包括8万元）大奖的概率是 ． 12．2x =是一元二次方程230x x k -+=的一个根，那么方程的另一个根是 ，k 的值是 ．13．如图所示是某种货号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的表面积为 2cm ．DCBA14．把抛物线23(1)2y x =-+-向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为 ．15．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，PBC △是等边三角形，则PBD△的面积为 ．16．如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点1O ，以AB 、1AO 为两邻边作平行四边形11ABC O ；平行四边形11ABC O 的对角线交于点2O ，同样以AB 、2AO 为邻边作平行四边形22ABC O ，……，依次类推，则平行四边形n n ABC O 的面积为 ．三、作图题（本题满分6分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．17．如图，有分别过A 、B 两个加油站的公路1l 、2l 相交于点O ，现准备在AOB ∠内建一个油库，要求油库的位置点P 满足到A 、B 两个加油站的距离相等，而且P 到两条公路1l 、2l 的距离也相等．PDCBA……O 2O 1C 2C 1DCB A（1）请在图中找出点P 的位置．（2）若6OP =，点P 到公路2l 的距离为3，求AOB ∠的度数． 四、解答题（本大题满分66分） 18．（本题满分8分）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字3、4、5，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜；和为偶数，则小亮胜．（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为8的概率； （2）你认为这个游戏对双方公平吗？说说你的理由． 19．（本题满分8分）如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB △的面积； （3）求不等式0mkx b x+-<的解集（请直接写出答案）． 20．（本题满分8分）如图，某渔船在A 处观测到灯塔M 在它的北偏东48︒方向上，这艘渔船以每小时28海里的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处观测到灯塔M 在它的北偏东37︒方l 2向上．求B 处与灯塔M 的距离是多少海里？（参考数据：3sin375︒≈，4cos375︒≈，3tan374︒≈，7sin 4810︒≈，7cos4811︒≈，11tan 4810︒≈） 21．（本题满分8分）如图，矩形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB ，CD 的延长线分别交于E ，F ．（1）求证BOE DOF △△≌；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A 、E 、C 、F 为顶点的四边形是菱形？并说明你的理由．22．（本题满分10分）我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：（1）把上表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）求每天的销售利润w （元）与销售单价x 之间的函数关系式；（利润＝销售总价-成本总价）（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最低不能低于30元/件且最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是37°48°北东MBAOFEDC B A多少？23．（本题满分12分）探究（1）在图1中，已知线段AB ，CD ，它们的中点分别为E 、F ．①若(10)A --，，(30)B ，，则E 点的坐标为 ；②若(22)C -，，(21)D --，，则F 点坐标为 ；（2）在图2中，已知线段AB 的端点坐标为(22)A ，，(64)B ，，直接写出图中AB 中点D 的坐标为 ．●归纳 无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为()A a b ，，()B c d ，，AB 中点为()D x y ，时，x = ，y = ．（不必证明）●运用 在图3中，一次函数2y x =-与反比例函数3y x=的图象交点为A 、B ． ①求出交点A 、B 的坐标；②若以A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P 的坐标．24．（本题满分12分）如图，在Rt AOB △中，90A ∠=︒，6AB =，OB =AOB ∠的平分线OC 交AB 于C ，过点O 作与OB 垂直的直线OF ．动点P 从点C 出发沿CO 方向以每秒1个单位长度的速度向终点O 运动，同时动点Q 从点O 出发沿OF 方向以相同的速度运动，设点P的运动时间图3图1为t 秒，当点P 到达点O 时，P 、Q 同时停止运动．（1）求OC = ，BC = ； （2）设OPQ △的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）是否存在某个时刻t ，使OPQ △的面积为AOB △的面积的116？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）PQ 与OA 交于点E ，当t 为何值时，OPE △为等腰三角形？求出所有满足条件的t 的值．备用图CAFQ OOBPQEFPCBA。
2013-2014学年南京市建邺区九年级数学一模试卷及答案2013-2014学年南京市建邺区九年级数学一模试卷注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答卷纸上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答卷纸上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答卷纸及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答卷纸上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答卷纸上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答卷纸上）1．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（▲）．A．1 B．0 C．－1 D．－32．16的值等于（▲）．A ．4B ．－4C ．±4D ．43．计算(ab 2)3的结果是（▲）．A ．ab 5B ．ab 6C ．a 3b 5D ．a 3b 64．若反比例函数y=2x的图像经过点A （1，m ），则m 的值是（▲）．A ． 2B ．2C ．－12D ．125．从正面观察下图所示的两个物体，看到的是（▲）．6．四个小朋友站成一排，老师按图中所示的规则数数，数到2014时对应的小朋友可得一朵红花．那么，得红花的小朋友是（▲）．A ．小沈B ．小叶C ．小李D ．小王（第6题）小沈 小叶 小李 小王为（3，1）、（1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA＇，则点A＇的坐标为▲ ．16．如图，⊙C过原点并与坐标轴分别交于A、D两点．已知∠OBA =30°，点D的坐标为（0，23），则点C的坐标为（▲ ，▲ ）．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）计算：(a2a－b＋b2b－a)÷a＋bab．18．（本题6分）解不等式组⎩⎨⎧2x ＋5≤3(x ＋2) ，x －12＜x 3，并写出不等式组的整数解．19．（本题7分）已知：如图，AD 、BF 相交于点O ，点E 、C 在BF 上，BE =FC ，AC =DE ，AB =DF ． 求证：OA =OD ，OB =OF ．（第19题）AB FECDO20．（本题7分）某校为了组织一项球类对抗赛，在本校随机调查了若干名学生，对他们每人最喜欢的一根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）若全校有1 500名学生，请你估计该校最喜欢篮球运动的学生人数；图②（第20题）图①某校学生最喜欢的球类运动项目扇形统计图其他乒乓球 32%足球 20%篮球26%羽毛球 16%0某校学生最喜欢的球类运动项目条形统计图学生人数5101520（3）根据调查结果，请你为学校即将组织的一项球类对抗赛提出一条合理化建议．21．（本题8分）如图，为了测量停留在空中的气球的角为27°，此时观测气球，测得仰角为 1.6 m ． ≈0.89，tan27°≈0.51）22. （本题8分）（1）甲、乙、丙三只不透明的口袋中都装有1个白球、1个红球，它们除颜色外都相同，搅匀后分别从三只口袋中任意摸出1个球，求从三只口袋摸出的都是红球的概率．（2）甲、乙、丙、丁四位同学分别站在正方形场地的四个顶点A 、B 、C 、D 处，每个人都以相同的速度沿着正方形的边同时出发随机走向相邻的顶点处，那么甲、乙、丙、丁四位同学互不相遇的概A (第21题)率是 ▲ ．① 1 2 ② 1 4 ③ 1 8 ④ 11623．（本题8分）某物流公司有20条输入传送带，20条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图a ，每条输出传送带每小时出库的货物流量如图b ，而该日仓库中原有货物8吨，在0时至4时，仓库中货物存量变化情况如图c ．（1）根据图像，在0时至2时工作的输入传送带和输出传送带的条数分别为（▲）；A ．8条和8条B ．14条和12条C ．12条和14条 D ．10条和8条 （2）如图c ，求当2≤x ≤4时，y 与x 的函数关系式； （3）若4时后恰好只有4条输入传送带和4条输出传送带在工作，请在图c(第23题)图b 图c 图a 时)24．（本题9分） 已知，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，点E 在BCB ，以DE M ． （1）判断AF 与DF（2．．．．．．．．上的高AH ；（3）若EF ＝4，DF ＝3，求DH 的长．（第24题）E C D B25．（本题9分）已知二次函数y=x2＋bx＋c的图像与x 轴交于A、B两点，AB=4，其中点A的坐标为（1，0）．（1）求二次函数的关系式及顶点坐标；（2）请设计一种平移方法，使（1）中的二次函数图像的顶点在一次函数y=x的图像上，并直接写出平移后相应的二次函数的关系式．26．（本题10分）如图，在△ABC中，AB=AC=42，BC=8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC 方向以每秒1个单位的速度向点C运动，以点P为圆心，以PB为半径作⊙P，设点P运动的时间为t 秒．（1）当⊙P与直线AC相切时，求t的值；（2）当⊙P与⊙A相切时，求t的值；（3）延长BA交⊙A于点D，连接AP交⊙A于点E，连接DE当△ABP与△FBD(第26题)27．（本题10分）已知△ABC 中，∠C 是其最小的内角，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC 的关于点B 的伴侣分割线．例如：如图1，在Rt △ABC 中，∠C =20°，过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，且∠DBC =20°，显然直线BD 是△ABC 的关于点B 的伴侣分割线．（1）如图2，在△ABC 中，∠C =20°，∠ABC =110°．请在图中画出△ABC 的关于点B 的伴侣分割线，并标注角度；（2）在△ABC 中，设∠B 的度数为y ，最小内角∠C的度数为x ．试探索y 与x 之间满足怎样的关系时，△ABC 存在关于点B 的伴侣分割线．(第27题)图1图2 AB CDCA B建邺区2014年九年级学情分析卷数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每小题2分，共计12分）二、填空题（每小题2分，共计20分）7．32 8．10108⨯ 9．)3)(3(-+a a 10．1≠x11．112．150)5(=-x x 13．140 14．π4 15．（2，－2） 16．)3,1(-三、解答题（本大题共11小题，共计88分） 17．（本题6分） 解：原式=abba b a b b a a +÷---)(22=ba abb a b a +⨯--)(22 ······························· 3分 ba ab b a b a b a +⨯--+=)())((ab= ········································ 6分18．（本题6分）解：解不等式①，得x ≥－1． ················ 2分解不等式②，得x ＜3． ··················· 4分 所以，不等式组的解集是－1≤x ＜3． 5分 整数解为—1，0，1，2． ················· 6分19．（本题7分） 证明：连接AF ，BD ，∵BE =CF ，∴BC =FE ．又∵AC =DE ，AB =DF ，∴△ABC ≌△DFE 3分∴∠ABF =∠DFB ．∴AB ∥DF ． 又∵AB =DF ，∴四边形ABDF 为平行四边形． ········ 6分 ∴ OA =OD ， OB =OF ． ··················· 7分 20．（本题7分）（1）50，图略； ·································· 3分 （2）390； ········································· 5分 （3）答案不唯一，例如：建议学校组织乒乓球和篮球比赛 ·················································· 7分 21．（本题8分）解：依题意得，BD=CD ，设CD =x ，则AD =x +50， 1分在Rt △ADC 中，︒=27tan AD CD ，∴51.050≈+x x．4分 解得0.52≈x ． ··································· 6分∴高度约为6.536.10.52=+（m ）．··············· 7分 答：气球离地面的高度约为53.6m ． ········· 8分 22.（本题8分）（1）树状图或枚举法正确； ··················· 3分 共有8种等可能结果 ·························· 4分 ∴从三只口袋摸出的都是红球的概率是81． 6分 （2）③ ·············································· 8分 23． （本题8分）（1）B ． ·········································· 2分 （2）由图象可知：当2≤x ≤4时，y 是x 的一次函数，设bkx y +=，将（2，12）、（4，32）代入得：⎩⎨⎧=+=+324122b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==810b k ∴当2≤x ≤4时，810-=x y ······················ 6分 （3）画图正确 ··································· 8分 24． （本题9分） 解：（1）DF AF =． 理由如下：∵AD 平分BAC ∠，∴∠BAD =∠又∵∠B =∠CAE ，∴∠BAD +∠B =∠CAD +∠CAE ． 即∠ADE =∠DAE ，∴DE AE =．…………………………………… 2分 ∵DE 是直径，∴EF ⊥AD ，B∴DF AF =．………………………………………………… 3分（2）画图正确…………………………………… 5分 （3）由勾股定理得5==DE AE∵∠ADH =∠EDF ，∠AHD =∠DFE=90°， ∴△ADH ∽△EDF ． ∴DEADDF DH =．∴6.3=DH ．……………………………………………………9分25．（本题9分）解：（1）∵A （1，0），AB =4，∴B （5，0）或（-3，0）． 将A （1，0），B （5，0）或A （1，0），（－3，0）代入cbx xy ++=2得⎩⎨⎧=-=56c b 或⎩⎨⎧-==32c b ， ∴二次函数的关系式为562+-=x x y 或322-+=x x y ．………………… 3分顶点坐标分别为（3，－4）、（－1，－4） …………………………………… 5分(2)每一个结果正确各1分，平移方式正确各1分． ················································· 9分 26．（本题10分）解：(1)过点P 作PK ⊥AC∵⊙P 与直线AC 相切，∴BP =BB由AB =AC =，BC =8得△ABC 是等腰直角三角形， 可得∠C=45°, ∴△PKC 是等腰直角三角形． ∴PC =2PK =2t ，∴t +2t=8． 解得t=828- ···································· 3分（2）过点A 作AM ⊥BC,垂足为点M ，则222PM AM AP +=，AM=421=BC ， PM= t －若⊙P 与⊙A 外切，则=+2)2(t 解得37=t ．………………………5分 若⊙P 与⊙A 内切，则=-2)2(t 22)4(4-+t ，解得7=t ． 综上所述，当37=t 或7=t 时，⊙P 与⊙A 相切．……………………… ······················· 7分 （3）当△ABP ∽△FBD 时，∠D 又∠D =∠AED =∠FEP ， ∴∠D =∠AED =∠FEP =∠∴∠BFD =2∠D ．∵︒=∠+∠+∠180BFD B D ，∴∠D =45°，∴∠BAP =90°． ∴AP与AC重合，∴8=t ．.……………………………… ············ 10分27．（本题10分）解：（1）画图正确，角度标注正确 ··········· 2分 （2）设BD 为△ABC 的伴侣分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形，易知∠C 和∠DBC 必为底角，∴ ∠DBC =∠C =x ． 当∠A =90°时，△ABC 存在伴侣分割线，此时xy -90=， 当∠ABD =90°时，△ABC 存在伴侣分割线，此时xy +=90， 当∠ADB =90°时，△ABC 存在伴侣分割线，此时xy x >=且,45；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形，当∠DBC =90°时，若BD =AD ，则△ABC 存在伴侣分割线，此时90180-=--y y x ，∴x y 21135-=， 当∠BDC =90°时，若BD =AD ，则△ABC 存在伴侣分割线，此时∠A =45°，∴x y -135=．数学 第21页 共6页 综上所述，当x y -90=或x y +=90或x y x >=且,45或x y 21135-=或x y -135=时△ABC 存在伴侣分割线．。
南京市2013－2014学年度第一学期高二期末调研数学卷（理科） 2014.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上 1．命题“∀x ∈N ，x 2≠x ”的否定是 ▲ ．2．在平面直角坐标系xOy 中，焦点为F (5，0)的抛物线的标准方程是 ▲ ． 3．已知a ，b ∈R ，a ＋b i ＝(1＋2i)(1－i) (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ▲ ． 4．记函数f (x )＝x ＋1x的导函数为f '(x )，则 f '(1)的值为 ▲ ．5．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －y ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为 ▲ ．6．记命题p 为“若α＝β，则cos α＝cos β”，则在命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．如图，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3， ∠BAA 1＝60︒，E 为棱C 1D 1的中点，则→AB ⋅→AE ＝ ▲ ．9．已知函数f (x )＝e x －ax 在区间(0，1)上有极值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．10．“a ＝1”是“函数f (x )＝x ＋a cos x 在区间(0，π2)上为增函数”的 ▲ 条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）． 11．已知圆柱的体积为16π cm 3，则当底面半径r ＝ ▲ cm 时，圆柱的表面积最小．CDA 1B 1C 1D 1E（第8题图）12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x －y －1＝0，x －y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B ，C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ▲ ． 13．定义在R 上的函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点O ，且它的导函数y ＝f (x )的图像是如图所示的一条直线，则y ＝f (x )的图像一定不经过第 ▲ 象限． 14．已知A 是曲线C 1：y ＝ax －2(a ＞0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝5的一个公共点．若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分8分）已知m ∈R ，设p ：复数z 1＝(m －1)＋(m ＋3)i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，q ：复数z 2＝1＋(m －2)i 的模不超过10．（1）当p 为真命题时，求m 的取值范围；（2）若命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围．16．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－2x －3与坐标轴的交点都在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线x ＋y ＋a ＝0与圆C 交于A ，B 两点，且AB ＝2，求实数a 的值．17．（本题满分10分）在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝a ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点.（第13题图）（1）若AC 1⊥D 1F ，求a 的值；（2）若a ＝2，求二面角E －FD 1－D 的余弦值.18．（本题满分10分）已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，今年新增的年销量．．．．．．(单位：万件)与(2－x )2成正比，比例系数为4． （1）写出今年商户甲的收益y (单位：万元)与今年的实际销售单价x 间的函数关系式；（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．19．（本题满分10分）已知函数f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ，其中a ≥0． （1）若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；A BCD C 1B 1A 1D 1EF（第17题图）（2）讨论函数f (x )的单调性．20．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点B 、C 的坐标为B (－2，0)，C (2，0)，直线AB ，AC 的斜率乘积为－14，设顶点A 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设曲线E 与y 轴负半轴的交点为D ，过点D 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M ，N ．设l 1的斜率为k (k ≠0)，△DMN 的面积为S ，试求S∣k ∣的取值范围．南京市2013－2014学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准（理科） 2014.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．∃x ∈N ，x 2＝x 2．y 2＝20x 3．4 4．－1 5．6 6．2 7．528．14 9．(1，e) 10．充分不必要． 11．2 12．8 13．1 14．2二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解（1）因为复数z 1＝(m －1)＋(m ＋3)i 在复平面内对应的点在第二象限，所以⎩⎨⎧m －1＜0，m ＋3＞0．解得－3＜m ＜1，即m 的取值范围为(－3，1)． ……………… 3分 （2）由q 为真命题，即复数z 2＝1＋(m －2)i 的模不超过10，所以12＋(m －2)2≤10，解得－1≤m ≤5． ……………… 5分 由命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题得⎩⎨⎧p 为真命题，q 为假命题，或 ⎩⎨⎧p 为假命题，q 为真命题． 所以⎩⎨⎧－3＜m ＜1，m ＜－1或m ＞5，或⎩⎨⎧m ≤－3或m ≥1，－1≤m ≤5，即－3＜m ＜－1或1≤m ≤5．所以m 的取值范围为(－3，－1)∪[1，5]． ……………… 8分 16．解 （1）曲线与y 轴的交点是(0，－3)．令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3．即曲线与x 轴的交点是(－1，0)，(3，0)． ……………… 2分设所求圆C 的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧9－3E ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝2，F ＝－3．所以圆C 的方程是x 2＋y 2－2x ＋2y -3＝0． ……………… 5分（2）圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝(5)2，所以圆心C (1，－1)，半径r ＝5． ……………… 7分 圆心C 到直线x ＋y ＋a ＝0的距离d ＝|1＋(－1)＋a |2＝|a |2． 由于d 2＋(12AB )2＝r 2，所以(|a |2)2＋12＝(5)2，解得a ＝±2 2 ． ……………… 10分 17．解 如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴，建立坐标系．（1）由题意得A (2，0，0)，D 1(0，0，a )，C 1(0，2，a )，F (0，1，0)．故→AC 1＝(－2，2，a )，→D 1F ＝(0，1，－a )． …… 2分因为AC 1⊥D 1F ，所以→AC 1·→D 1F ＝0，即(－2，2，a )·(0，1，－a )＝0．从而2－a 2＝0，又a ＞0，故a ＝2． ……………… 5分 （2）平面FD 1D 的一个法向量为m ＝(1，0，0)． 设平面EFD 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为E (1，0，0)，a ＝2，故→EF ＝(－1，1，0)，→D 1F ＝(0，1，－2)． 由n ⊥→EF ，n ⊥→D 1F ，得－x ＋y ＝0且y －2z ＝0，解得x ＝y ＝2z ．故平面EFD 1的一个法向量为n ＝(2，2，1)． ……………… 8分因为cos<m ，n >＝m ·n |m |·|n |＝(1，0，0)·(2，2，1)1×3＝23，且二面角E －FD 1－D 的大小为锐角，所以二面角E －FD 1－D 的余弦值为23． ……………… 10分18．解 （1）由题意知，今年的年销售量为1＋4(x －2)2 (万件)．因为每销售一件，商户甲可获利(x －1)元，所以今年商户甲的收益y ＝[1＋4(x －2)2](x －1)＝4x 3－20x 2＋33x －17，(1≤x ≤2)． ……………… 4分（2）由（1）知y ＝4x 3－20x 2＋33x －17，1≤x ≤2， 从而y ′＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)．令y ′＝0，解得x ＝32，或x ＝116．列表如下：……………… 7分又f (32)＝1，f (2)＝1，所以f (x )在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．……………… 10分19．解（1）当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋4ln x ，从而f ′(x )＝－2＋4x ，其中x ＞0． ……………… 2分所以f ′(1)＝2．又切点为(1，－2)，所以所求切线方程为y ＋2＝2(x －1)，即2x －y －4＝0． ……………… 4分（2）因为f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ，所以f ′(x )＝2ax －(4a ＋2)＋4x ＝2ax 2－(4a ＋2)x ＋4x ＝2(ax －1)(x －2)x ，其中x ＞0．①当a ＝0时，f ′(x )＝－2(x －2)x，x ＞0．由f ′(x )＞0得，0＜x ＜2，所以函数f (x )的单调增区间是(0，2)；单调减区间是(2，＋∞)；……………… 6分②当0＜a ＜12时，因为1a ＞2，由f ′(x )＞0，得x ＜2或x ＞1a．所以函数f (x )的单调增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)；单调减区间为(2，1a)；……………… 8分③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)2x ≥0，且仅在x ＝2时，f ′(x )＝0，所以函数f (x )的单调增区间是(0，＋∞)；④当a ＞12时，因0＜1a ＜2，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1a或x ＞2，所以函数f (x )的单调增区间是(0，1a )和(2，＋∞)；单调减区间为(1a ，2)．综上，当a ＝0时，f (x )的单调增区间是(0，2)，单调减区间是(2，＋∞)； 当0＜a ＜12时，f (x )的单调增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)，减区间为(2，1a )；当a ＝12时，f (x )的单调增区间是(0，＋∞)；当a ＞12时，f (x )的单调增区间是(0，1a )和(2，＋∞)，减区间为(1a，2)．……………… 10分20．解（1）设顶点A 的坐标为(x ，y )，则k AB ＝y x ＋2，k AC ＝yx －2， ………… 2分 因为k AB ⋅k AC ＝－14，所以y x ＋2⋅ y x －2＝－14， 即x 24＋y 2＝1．（或x 2＋4y 2＝4）.所以曲线E 的方程为 x 24＋y 2＝1（x ≠±2) ． ……………… 4分（2）曲线E 与y 轴负半轴的交点为D (0，－1)．因为l 1的斜率存在，所以设l 1的方程为y ＝kx －1， 代入x 24＋y 2＝1，得M (8k1＋4k 2，4k 2－11＋4k 2)，从而DM ＝(8k 1＋4k 2)2＋(4k 2－11＋4k 2＋1)2＝8∣k ∣1＋k 21＋4k 2． ……………… 6分 用－1k 代k 得DN ＝81＋k 24＋k 2．所以△DMN 的面积S ＝12⋅8∣k ∣1＋k 21＋4k 2⨯81＋k 24＋k 2＝32(1＋k 2)∣k ∣(1＋4k 2)(4＋k 2)． ……………… 8分 则S∣k ∣＝ 32(1＋k 2)(1＋4k 2)(4＋k 2)， 因为k ≠0且k ≠±12，k ≠±2，令1＋k 2＝t ，则t ＞1，且t ≠54，t ≠5，从而S ∣k ∣＝32t (4t －3)(t ＋3)＝32t 4t 2＋9t －9＝329＋4t －9t ， 因为4t －9t ＞－5，，且4t －9t ≠－115，4t －9t ≠915．所以9＋4t －9t ＞4且9＋4t －9t ≠345，9＋4t －9t ≠1365，从而 S ∣k ∣＜8且S ∣k ∣≠8017，S ∣k ∣≠2017， 即 S ∣k ∣∈(0，2017)∪(2017，8017)∪(8017，8)． ……………… 10分。
