2020-2021九年级数学 二次函数的专项 培优 易错 难题练习题附答案

2020-2021九年级数学 二次函数的专项 培优 易错 难题练习题附答案

一、二次函数

1．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239yaxaxa与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．

（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；

（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AMAN均为定值，并求出该定值．

【答案】（1）a=13，A（﹣3，0），抛物线的对称轴为x=3；（2）点P的坐标为（3，0）或（3，﹣4）；（3）32．

【解析】

试题分析：（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；

（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（3，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可；

（3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．

试题解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=13．

令y=0得：22390axaxa，∵a≠0，∴22390xx，解得：x=﹣3或x=33，∴点A的坐标为（﹣3，0），B（33，0），∴抛物线的对称轴为x=3．

（2）∵OA=3，OC=3，∴tan∠CAO=3，∴∠CAO=60°．

∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO=30°，∴DO=33AO=1，∴点D的坐标为（0，1）． 设点P的坐标为（3，a）．

依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．

当AD=PA时，4=12+a2，方程无解．

当AD=DP时，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴点P的坐标为（3，0）．

当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴点P的坐标为（3，﹣4）．

综上所述，点P的坐标为（3，0）或（3，﹣4）．

（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：330m，解得：m=3，∴直线AC的解析式为33yx．

设直线MN的解析式为y=kx+1．

把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=1k，∴点N的坐标为（1k，0），∴AN=13k=31kk．

将33yx与y=kx+1联立解得：x=23k，∴点M的横坐标为23k．

过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG=233k．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG=4233k=2323kk，∴11AMAN=323231kkkk =33232kk=3(31)2(31)kk =32．

点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐标是解答问题（3）的关键．

2．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3,

4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？

（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？

【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）2085或2013．

【解析】

（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；

（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；

（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．

解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），

∵抛物线的顶点为A，

设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，

代入点C（3, 0），可得a＝－1．

∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．

（2）∵P（112t，４），

将112xt代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝2144t， ∴M（112t，2144t），

设直线AC的解析式为，

将A（１,４），C（３,０）代入，得：，

将112xt代入得，

∴N（112t，），

∴MN ，

∴，

∴当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1．

（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时，

∵Ｎ（112t，），P（112t，４），

∴PＮ＝４—（）＝＝CQ，

又∵PN∥CQ，

∴四边形PNCQ为平行四边形，

∴当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，

PQ2＝PD2+DQ2 ＝，

∴，

整理，得240800tt．解得12085t，22085t（舍去）；

②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，

NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，

NQ2＝CQ2，得：．

整理，得213728000tt．1320400tt．所以12013t，（舍去）．

“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.

3．如图，在平面直角坐标系中，直线483yx与x轴，y轴分别交于点A、B，抛物线24yaxaxc经过点A和点B，与x轴的另一个交点为C，动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向O点运动，同时动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向A点运动，设运动的时间为t秒，0﹤t﹤5.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似；

（3）当△ADE为等腰三角形时，求t的值；

（4）抛物线上是否存在一点F，使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）抛物线的解析式为228833yxx；

（2）t的值为3011或5013；

（3）t的值为103或6017或258；

（4）符合条件的点F存在，共有两个1F（4，8），2(227F，-8）.

【解析】 （1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE∽△AOB和△AED∽△AOB即可求出t的值；（3）过E作EH⊥x轴于点H，过D作DM⊥AB于点M即可求出t的值；（4）分当AD为边时，当AD为对角线时符合条件的点F的坐标.

解：(1)A（6,0），B（0,8），依题意知36240{8aacc，解得2{38ac，

∴228833yxx.

(2)∵ A（6,0），B（0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t，AE=10-2t，

①当△ADE∽△AOB时，ADAEAOAB，∴102610tt，∴3011t；

②当△AED∽△AOB时，AEADAOAB，∴102610tt，∴5013t；

综上所述，t的值为3011或5013.

(3) ①当AD=AE时，t=10-2t，∴103t；

②当AE=DE时，过E作EH⊥x轴于点H，则AD=2AH，由△AEH∽△ABO得，AH=31025t，∴61025tt，∴6017t；

③当AD=DE时，过D作DM⊥AB于点M，则AE=2AM，由△AMD∽△AOB得，AM=35t，∴61025tt，∴258t；

综上所述，t的值为103或6017或258.

(4) ①当AD为边时，则BF∥x轴，∴8FByy，求得x=4，∴F（4，8）；

②当AD为对角线时，则8FByy，∴2288833xx，解得227x，∵x﹥0，∴227x，∴227,8.

综上所述，符合条件的点F存在，共有两个1F（4，8），2(227F，-8）.

“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．

4．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．

(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； (2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数y＝kx(k为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；

(3)若直线y＝2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y＝ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点．

①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；

②若a＞2b＞3c，x2＝1，求点P(ca，ba)与原点O的距离OP的取值范围．

【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t的值为﹣4、﹣2或2；(3)①证明见解析；②22≤OP＜102且OP≠1．

【解析】

【分析】

（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；

（2）把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；

（3）①由直线解析式可求得x1＝﹣cb，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x2+x3＝﹣ba，x2x3＝ca，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c＝0，可得c＝﹣(a+b)，由a＞2b＞3c可求得ba的取值范围，令m＝ba，利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围．

【详解】

（1）不能，理由如下：