第七章 空间解析几何与向量代数
7．1 空间直角坐标系
1． 解：A 点在第4卦限；B 点在第5卦限；C 点在第8卦限；D 点在第3卦限。 2． 解：分别为),0,0(),0,,0(),0,0,(),,0,(),,,0(),0,,(c b a c a c b b a 。 3． 解：),,(),,,(),,,(),,,(z y x z y x z y x z y x ------。
4． 解：设yoz 坐标面所求点为),,0(z y M ，依题意有||||||MC MB MA ==，从而
222)2()1()30(-+-+-z y 222)2()2()40(++++-=z y 222)2()1()30(-+-+-z y 222)1()5()00(++-+-=z y ，
联立解得2,1-==z y ，故所求点的坐标为)2,1,0(-.
5． 解：设所求z 轴上的点为),0,0(z ，依题意：222)7()10()40(-+-++z
222)2()50()30(++-+-=z ，两边平方得914=
z ，故所求点为)9
14,0,0(。 6． 解：（1）11)1()27()64(222=-+--+-z ，即2
2
2
2
11)1(92=-++z ，
解得7=z 或5-=z 。
（2）5)44()32()2(2
2
2
=-+--+-x ，解得2=x 。
7．2 向量及其线性运算
1． 解：因为a c BD AB AD
5
111+
=+=，所以)51(11a c AD A D +-=-=。同理
)5
4(),53(),52(4322a c A D a c A D a c AD A D
+-=+-=+-=-=。
2． 证明：设四边形为ABCD ，它们的对角线交点为M ，则由条件
MD MB MC MA ==,，由此有CD MC MD MA MB AB -=--=-=)(，因此
||||CD AB =，同理：||||AD BC =, 即四边形ABCD 是平形四边形。
3． 解：（1），（2）均是错误的，因k j i ++的模为3，因而不是单位向量。而i
-的模
是1，故是单位向量。
（3）因任一向量的三个方向角γβα,,满足1cos cos cos 2
2
2
=++γβα，当
γβα==时有1cos 32=α，即3/1cos ±=α，所以3
π
α≠
。故（3）的说法是
错误的。
4. 解：（1）设与A 同方向的单位向量为0A ，则{}}31,32,32{1
221,2,2||220=++=
=A A
A
（2）因{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+-+-==91,94,981)4(81,4,8||220B B 。故B 的方向余弦为： 9
1cos ,94cos ,98cos =-==γβα。
5． 解：k j i k j i k j i k j i a 4115)43()32(3)32(2-+=+---++++=。故向量a 在x 轴上的投影5=x a ,在y 轴上的投影分量为j a y 11=
6． 解：设点A 为（x, y, z ）,依题意有：84,31,32=---=-=--z y x ， 故12,4,5-==-=z y x ，即所求的点A （-5， 4， -12）
7．解：由于共线向量的坐标成比例，所以：
5
1
15,1153
-==-==
γαγα
，即：。 8．解：因7
6cos 49367372
1cos ,1cos cos cos
2
22222
±==
-==++γγγβα，）（—）（故，又γ是钝角，所以7
6
cos -
=γ。 9．合力k j i k j k j i k i F F F F 323)()432()2(321+-=+++-+-=++=，因此，合力的大小为,22||=
F 合力的方向余弦为,22
2cos ,cos 22
3cos -=
==
βγα
因此22
2arccos
,22
3arccos -===πβγα。
7．3向量乘积
1． 解：（1）等式左端是向量，右端是数，所以等式不成立。（2）等式两端均为数，但
2
222)),cos(|||(|)(b a b a b a b a ==⋅Λ等式一般不成立，除非b a ,共线。
2． （1）解：不能推出C B
=，因为使得C A B A ⋅=⋅，即0)(=-⋅C B A ，并不要求至
少有一个是零向量，而只要求)(C B A
-⊥。（2）不能推出C B =，因为使得
C A B A ⨯=⨯，即：0)(
=-⨯C B A 成立，并不要求其中至少有一个必为零向量，而只要)//(C B A
-即可。
3． 解：（1）.41)4()2(121-=⨯-+-⨯+⨯=⋅b a
(2) )922arccos(),(,9223
234||||),cos(-=∴-=⋅-=⋅=∧Λ
b a b a b a b a 。
（3）3222
34-=-=⋅=a b a b prj a 。 4． 解：因为x 与a 共线，则必有0≠γ使得{}γγγγ2,,2-==a x ，又因18-=⋅x a
，则有：
1844-=++γγγ，解得2-=γ，所以：{}4,2,4--=x
。 5． 解：由b a b a b a b a
274,573-⊥--⊥+，所以
015167)57()3(22=-⋅+=-⋅+b b a a b a b a
（1） 08307)27()4(2=+⋅-=-⋅-b b a a b a b a
（2）
由（1），（2）两式可得：22346b b a =⋅，即2
2161322;2
1a b a b b a =⋅=⋅，即
222121a a b a ==⋅。
于是41
||||)(222
=⋅b a b a ，且0≥⋅b a ，所以2
1||||),cos(=⋅=∧b a b a b a ，故3),(π=∧
b a 。
6． （1）|6432||)2()32(|b b b a a b a a b a b a
⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-
3353
si n 2577=⨯⨯⨯=⨯=πb a 。
（2）解：769664)32()32()32(222=+⋅-⋅-=-⋅-=-b a b b a a b a b a b a
。 7． （1）解：k j k j i j i b c a c b a
248)3(8)2(8)()(--=+---=⋅-⋅。
(2)解：k j i c b k j i b a 332,443+-=++-=+，故)()(c b b a
+⨯+
k j k
j i
--=--=3
32443。
（3）2)2()58()2(3
1
113
2)(=-⋅+--=-⋅--=⋅⨯j i k j i j i k
j
i c b a
。
