北京市顺义区2012届高三尖子生综合素质展示 理科数学试题

本卷第1页（共9页） 顺义区2012届高三尖子生综合素质展示

数 学 试 卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．计算21ii 得 ( )

A．3i B. 1i C. 1i D. 22i

2.某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B的值是 ( )

A．63 B．31 C．15 D．7

3．直线3x，2x都是函数) , 0)(sin()(xxf的对称轴，且函数)(xf在区间]2 , 3[上单调递减，则( )

A． 2 B．6，2

C . 6，2 D．3，2

4．函数1cosyxx在坐标原点附近的图象可能是

5. 等差数列na的前n项的和为nS，若205S，则142aa（ ）

A. 9 B.12 C.15 D.18

6．已知函数22, 1,(), 1,xaxxfxaxxx 则“2a”是“()fx在R上单调递减”的 y2O3232222xy2O3232222xy2O3232222xy2O3232222xABCD

本卷第2页（共9页） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7. 直线1axby与圆122yx相交于不同的A,B两点（其中ba,是实数），

且0OAOB(O是坐标原点)，则点P),(ba与点1(0,)2距离的取值范围为（ ）

A.(1,) B. 1(,)2 C. 1(,2)2 D. 11(,2)22

8．对于任意x，][x表示不超过x的最大整数，如[1.1]1,[2.1]3. 定义R上的函

数()[2][4][8]fxxxx，若(),01Ayyfxx，则A中所有元素的和为（ ）

A．55 B. 58 C.63 D.65

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.

9．已知12,FF为双曲线C:2211620xy 的左、右焦点，点P在C上，若19,PF则2PF= .

10.设函数(),()fxgx在(0,5)内导数存在，且有以下数据：

x 1 2 3

4

()fx 2 3 4 1

()fx

3

4

2 1

()gx 3 1 4

2

()gx 2 4 1 3

则曲线在点(1,(1))f处的切线方程是 ；函数(())fgx在2x处的导数值是 ．

11．已知sincostan()cosxxxfxx在[1,1]x上的最大值为2，则最小值为 .

12．设)11()311)(211(222nan),3,2(n，则4a的值是 ；

10a的值是 .

本卷第3页（共9页） 13. 已知M、N是60111yxyxyx所围成的区域内的不同两点，则||MN的最大值是 .

14．已知下列四个命题：

① 函数xxf2)(满足：对任意Rxx21,，有)]()([21)2(2121xfxfxxf；

② 函数)1(log)(22xxxf,1221)(xxg均是奇函数；

③ 若函数)(xf的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足)()4(xfxf，那么(2)(2012)ff=；

④ 设21,xx是关于x的方程)1,0(logaakxa的两根，则1=21xx.

其中正确命题的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15．（本小题满分13分）

已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点(3,3)P.

（Ⅰ）求sin2tan的值；

（Ⅱ）若函数()cos()cossin()sinfxxx，

求函数23(2)2()2yfxfx在区间2π03，上的取值范围．

16．（本小题满分13分）

现有10000元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金分别为x和y时，得到的回报是3231yxP．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报.

17．（本小题满分13分）

设数列}{na的前n项和为nS，已知1a1，)1(nnnaSnn （)nN

（Ⅰ）求na的表达式；

本卷第4页（共9页） （Ⅱ）若数列}1{1nnaa的前n项和为nT，问：满足209100nT的最小正整数n是多少？

18．（本小题满分14分）

已知函数xaxxxfln)(2， .aR

（Ⅰ）若0a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；

（Ⅱ）若函数)(xf在2,1上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）令2)()(xxfxg，是否存在实数a，当x],0(e（e是自然对数的底）时，函数)(xg 的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

19．（本小题满分13分）

已知ABC的顶点A、B在椭圆.//,2:,4322lABxylCyx且上在直线点上

（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积；

（Ⅱ）当90ABC，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.

20．（本小题满分14分）

已知函数)(xf，如果存在给定的实数对（ba,），使得bxafxaf)()(恒成立，则称)(xf为“S-函数”.

（Ⅰ）判断函数xxfxxf3)(,)(21是否是“S-函数”；

（Ⅱ）若xxftan)(3是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(ba；

（Ⅲ）若定义域为R的函数)(xf是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)4,1(，当]1,0[x时，)(xf的值域为]2,1[，求当]2012,2012[x时函数)(xf的值域.

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数学试题参考答案（理科）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分。

题号 1 2

3 4 5 6 7

8

选项 B A C A B C D

B

8．解答： 1[0,),()08xfx，12[,),()188xfx，23[,),()388xfx

34[,),()488xfx，45[,),()788xfx，56[,),()888xfx，

67[,),()1088xfx，7[,1),()118xfx，(1)14f

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上，有两空的题目，第一空3分，第二空2分。

9. 17 10. 31yx ，12 11. 0

12.

85；2011 13. 17 14. ①②④

三、解答题: 本大题共4小题,共30分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为角终边经过点(3,3)P，所以

1sin2，3cos2，3tan3 ------------3分

333sin2tan2sincostan236---------6分

(2) ()cos()cossin()sincosfxxxx

，xR--------8分

23cos(2)2cos3sin21cos22sin(2)126yxxxxx----10分

2470,02,233666xxx

1sin(2)126x，22sin(2)116x------------------12分

本卷第6页（共9页） 故：函数23(2)2()2yfxfx在区间2π03，上的取值范围是[2,1]

---------------------------13分

16. （本小题满分13分）

解：由于10000yx，所以100000,)10000(32313231yyyyxP．

------------------------4分

考虑23)10000(yyP，由0320000)(23yyP得320000,021yy，

-----------------------------8分

由于当320000y时，0)(3P；当320000y时，0)(3P，---------10分

所以3200002y是3P的极大值点，从而也是P的极大值点．---------------12分

故当投到产品开发的资金为320000元时，得到的回报最大. ----------------13分

17．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）当2n时，11(1)2(1)nnnnnaSSnanan „„2分

 122)nnaan

 数列}{na是以11a为首项，以2为公差的等差数列

∴21nan „„6分

（Ⅱ）数列}1{1nnaa的前n项和为nT

122311111111335(21)(21)111111111[()()()()]2133557212111(1)22121nnnTaaaaaannnnnnn„„10分

 10021209nn  1009n 满足209100nT的最小正整数n是12. „„13分