数值分析绪论

欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04

欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04 第一章 绪论（12）

时间：2021.02.04 创作：欧阳育

1、设0x，x的相对误差为，求xln的误差。

[解]设0*x为x的近似值，则有相对误差为)(*xr，绝对误差为**)(xx，从而xln的误差为*****1)()(ln)(lnxxxxx，

相对误差为****lnln)(ln)(lnxxxxr。

2、设x的相对误差为2%，求nx的相对误差。

[解]设*x为x的近似值，则有相对误差为%2)(*xr，绝对误差为**%2)(xx，从而nx的误差为nnxxnxnxxnxxx**1***%2%2)()()()(ln*，

相对误差为%2)()(ln)(ln***nxxxnr。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

1021.1*1x，031.0*2x，6.385*3x，430.56*4x，0.17*5x。

[解]1021.1*1x有5位有效数字；0031.0*2x有2位有效数字；6.385*3x有4位有效数字；430.56*4x有5位有效数字；0.17*5x有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,xxxx均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1xxx； 欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04

欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04 [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(xxxxxfxxxenkkk；

.

整理文本 第四版

数值分析习题

第一章 绪 论

1. 设x>0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.

2. 设x的相对误差为2％,求nx的相对误差.

3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:

*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,71.0.xxxxx 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:

********12412324(),(),()/,ixxxiixxxiiixx其中****1234,,,xxxx均为第3题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?

6. 设028,Y按递推公式

11783100nnYY ( n=1,2,…)

计算到100Y.若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y将有多大误差?

7. 求方程25610xx的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).

8. 当N充分大时,怎样求211Ndxx?

9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?

10. 设212Sgt假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小.

11. 序列{}ny满足递推关系1101nnyy(n=1,2,…),若021.41y(三位有效数字),计算到10y时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

12. 计算6(21)f,取21.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?

36311,(322),,99702.(21)(322)

13. 2()ln(1)fxxx,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式

22ln(1)ln(1)xxxx 计算,求对数时误差有多大? .

课后习题解答

第一章绪论

习题一

1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=lnx的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有

已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得

有5位有效数字，其误差限，相对误差限

有2位有效数字，

有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换

所给公式。（1）

（2）4.近似数x*=0.0310,是3位有数数字。5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近

习题二、三1.给定的数值表

用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.

解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,

并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，

用Newton插值

误差限，因，故

二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值

误差限，故

2.在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h

应取多少?

解：用误差估计式（5.8），令因得

3.若，求和.解：由均差与导数关系于是

4.若互异，求

的值，这里p≤n+1.

解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得

5.求证.

解：解：只要按差分定义直接展开得

6.已知的函数表

求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并

用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表

由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式

N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)

由此可得

f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7.给定f(x)=cosx的函数表

数值分析复习试题

第一章绪论

一.填空题

1.为精确值的近似值；为一元函数的近似值；*

xx

**

xfy

xfy1

为二元函数的近似值，请写出下面的公式：：

**,*

yxfy

yxfy,2*

*exx

**

*rxx

e

x







*'

1**yfxx







'

***

1*

*rrxfx

yx

fx









**,**,*

2**fxyfxy

yxy

xy









*

***,***,**

2

22rfxyexfxyey

y

xy

yy





2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差

。

3、分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7

位；又取（三位有效数字），则。31.73-21

31.73 10

2

4、设均具有3位有效数字，则的相对误差限为 0.0055 。121.216,3.654xx

12xx

5、设均具有3位有效数字，则的误差限为 0.01 。121.216,3.654xx

12xx

6、已知近似值是由真值经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 .2.4560

Ax

Tx

7、递推公式如果取作计算,则计算到时,误差为

,







0

nn-1y=2,

y=10y-1,n=1,2,021.41y

10y

;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .81

10

2

8、精确值，则近似值和分别有 3 位和 14159265.3*



141.3*

1

1415.3*

2

4 位有效数字。

9、若,则x有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5 。*

2.71828xex

10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值*0.231x

关于真值229.0x

有( 2 )位有效数字；

12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；