1-1质点运动学

思 考 题

1-1 什么是矢径？矢径和对初始位置的位移矢量之间有何关系？怎样选取坐标原点才能够

使两者一致？

答：矢径即位置矢量，是从坐标原点O

指向质点所在处P 

的有向线段。位移 r v

D

和矢径 

r v

不同，矢径确定某一时刻质点的位置，位移则描述某段时间内始未质点位置的变化。矢径

是相对坐标原点的，位移矢量是相对初始位置的。对于相对静止的不同坐标系来说，位矢依

赖于坐标系的选择，而位移则与所选取的坐标系无关。若取初始位置为坐标原点才能够使两

者一致。

1-2 在下列各图中质点 M作曲线运动，指出哪些运动是不可能的？

答：(A) 质点只要作曲线运动，肯定有法向加速度，不可能加速度为零。

(C) 在质点作曲线运动时，加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧。

(D) 质点只要作曲线运动，肯定有法向加速度，不可能只有切向加速度。

1-3 下列说法哪一条是正确的？

(A) 加速度恒定不变时，物体运动方向也不变．

(B) 平均速率等于平均速度的大小．

(C) 不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成 ( ) 

2 / 

2 1 v v v + =

，其中 v

1、v

2 分

别为初、末速率．

(D) 运动物体速率不变时，速度可以变化．

答：加速度恒定不变时，意味着速度的大小和方向的变化是恒定的。不是物体运动方向

不变。平均速率不等于平均速度的大小。若速率的变化是线性的（加速度恒定）平均速率表

达式才可以写成 ( ) 

2 / 

2 1 v v v + =

， 否则不可以。 只有运动物体速率不变时， 速度可以变化． 才

是正确的。

1-4 如图所示，质点作曲线运动，质点的加速度 a 是恒矢量

(a

1=a

2=a

3=a)．试问质点是否能作匀变速率运动?

答：质点作匀变速率运动要求切向加速度是恒量，如图

所示， 质点作曲线运动， 质点的加速度 a 是恒矢量(a

1=a

2=a

3=a) 

则切向分量不一样，质点不能作匀变速率运动。

习题精解

1-1

某质点的速度为jtiv82

，已知t=0时它经过点（3，7），则该质点的运动方程为

（）

A.jtit

242

B.

jtit

74322



C.j

8

D.不能确定

解：本题答案为B.因为

dtrd

v





所以

dtjtird



82

于是有

dtjtirdtr

r

082

0



即jtitrr



2

042

亦即

jtitjir



24273

故

jtitr



74322



1-2一质点在平面上作曲线运动,

1t

时刻位置矢量为jir



62

1

，

2t

时刻的位置矢量为

jir



42

2

，求：（1）在

12ttt

时间内质点的位移矢量式;(2)该段时间内位移的大小

和方向；（3）在坐标图上画出

21,rr

及r



。

解（1）在

12ttt

时间内质点的位移矢量式为





mjirrr



24

12（2）该段时间内位移的大小

mr522422



该段时间内位移的方向与轴的夹角为









6.26

42

tan1



（3）坐标图上的表示如图1.1所示

1-3某质点作直线运动，其运动方程为214xtt

，其中x

以m

计，t

以s

计，求：

（1）第3s末质点的位置；（2）头3s的位移大小；（3）头3s内经过的路程。

解（1）第3s末质点的位置为

2(3)14334()xm（2）头3s的位移大小为



(3)03()xxm

（3）因为质点做反向运动是有()0vt，所以令0dx

dt

，即420,2tts

因此头3s内经过的路程为

(3)(2)(2)(0)45515()xxxxm

1-4已知某质点的运动方程为22,2xtyt

，式中t

以s

计，x

和y

以m

计。（1）计算

并图示质点的运动轨迹；（2）求出1ts

到2ts

这段时间内质点的平均速度；（3）计算1s

末2s

末质点的速度；（4）计算1s

第一章 质点运动学

1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r,速度为v ,速率为v,t 至(t ＋Δt)时间内的位移为Δr,

路程为Δs, 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r｜),平均速度为v,平均速率为v．

(1) 根据上述情况,则必有( )

(A) ｜Δr｜= Δs = Δr

(B) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜= ds ≠ dr

(C) ｜Δr｜≠ Δr ≠ Δs,当Δt→0 时有｜dr｜= dr ≠ ds

(D) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜= dr = ds

(2) 根据上述情况,则必有( )

(A) ｜v｜= v,｜v｜= v (B) ｜v｜≠v,｜v｜≠ v

(C) ｜v｜= v,｜v｜≠ v (D) ｜v｜≠v,｜v｜= v

分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt)时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr｜＝PP′,而Δr ＝｜r｜-｜r｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt→0 时,点P′无限趋近P点,则有｜dr｜＝ds,但却不等于dr．故选(B)．

(2) 由于｜Δr ｜≠Δs,故tstΔΔΔΔr,即｜v｜≠v．

但由于｜dr｜＝ds,故tstddddr,即｜v｜＝v．由此可见,应选(C)．

1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即

(1)trdd； (2)tddr； (3)tsdd； (4)22ddddtytx．

下述判断正确的是( )

(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确

(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确

1 习题1

1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为(cossin)r=Rωtiωtj

其中为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

解：(1) 由(cossin)r=Rωtiωtj，知：cosxRt ，sinyRt

消去t可得轨道方程：222xyR

∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；

（2）由drvdt，有速度：sinRcosvRtitj

而vv，有速率：1222[(sin)(cos)]vRtRtR。

1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为24(32)rtitj，式中r的单位为m，t的单位为s。求：（1）质点的轨道；（2）从0t到1ts的位移；（3）0t和1ts两时刻的速度。

解：（1）由24(32)rtitj，可知24xt ，32yt

消去t得轨道方程为：x2(3)y，∴质点的轨道为抛物线。

（2）从0t到1ts的位移为：jijjirrr243)54()0()1(

（3）由drvdt，有速度：82vtij

0t和1t秒两时刻的速度为：(0)2vj，(1)82vij。

1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为22rtitj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

解：(1)由drvdt，有：22vtij，dvadt，有：2ai；

（2）而vv，有速率：12222[(2)2]21vtt

∴tdvadt221tt，利用222tnaaa有：

22221ntaaat。

1-4．一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机 2 的天花板与底板相距为h，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。