向量组的线性相关习题

第三章课后习题及解答

将1, 2题中的向量a表示成多,%，%,%的线性组合：

1. 2=（121,1厂吗=（1,1,1,=（1,1,-1,-1厂,% =（1，-口，-1）:% =（1，T，T』）\

2. a =（0,0,01）,4 = （1,1,04）,4 =（2,1,31）,4 = （U，0,。）。4 =（。J，-if

解：设存在占次2,攵3,好使得a =+k2a2 +攵3。3 +攵4。4，整理得

%+七+七+攵』=1 1 - j r

尤+八一3一3=2

占一攵2 +%3 一3=1

占一攵2 一攵3 +的=1

解得 ％]=-，欠2 =，攵3 = -- ，左4 =一

4 . 4 4

设存在 占次2,攵3,好使得。+攵2。2 +勺% +3%，整理得 k[ + 2k2 + 女3 =。，k}+k2+k3+k4 =0 9

342 —k4 = 0 ,公+攵2 —攵4 = 1・

解得kx = l,k? = 0/3 = —1/4 =。・所以& = 4 — %・ 所以2=3囚+■% 4 4 - 判断3, 4题中的向量组的线性相关性: 3.q=（1』,1）;% =（025）,% =（1，3,61

4,自=（LT2,4）T，4=（0,3,1,2）T,网=（3,0,7,1”.

解：

3 .设存在 %,攵2，々3使得占4 +%2 a2 +"3a3 = 0 9即

1 0 1

由1 2 3 =0,解得占次2，砥不全为零,

1 5 6

故&],々2，々3线性相关.

4设存在攵1,七,43使得占4+攵2旦+勺23=°，即

卜 + 3k 3 = 0

，一” 八 可解得公，公,号不全为零，故4,A，凤线性相关.

2勺 +& +73 =。 . .

4占+23+143=0

5.论述单个向量2=（卬，。2，一・，。〃）线性相关和线性无关的条件.

解：设存在女使得左。= 0,若2工0,要使左。= 0,当且仅当Z=0,故，单个向量线性 无关的充要条件是。工0:相反，单个向量a 线性相关的充要条件是

线性代数答案解答

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

（1）381141102； （2）bacacbcba

（3）222111cbacba； （4）yxyxxyxyyxyx.

解 （1）381141102811)1()1(03)4(2

)1()4(18)1(2310

=416824

=4

（2）bacacbcbacccaaabbbcbabacacb

3333cbaabc

（3）222111cbacba222222cbbaacabcabc

))()((accbba

（4）yxyxxyxyyxyx

yxyxyxyxyyxx)()()(333)(xyxy

33322333)(3xyxxyyxyyxxy

)(233yx

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；

（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；

（5）1 3 … )12(n 2 4 … )2(n；

（6）1 3 … )12(n )2(n )22(n … 2.

解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2

（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1

（4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(nn：

3 2 1个

5 2，5 4 2个

第2章 线性方程组 练习题

1、已知 1 = ( 1 , 1 , 0 , 1 )T ，2 = ( 2 , 1 , 3 , 1 )T ，3 = ( 1 , 1 , 0 , 0 )T ，4 = ( 0 , 1 , 1 ,

1 )T ， = ( 0 , 0 , 0 , 1 )T ，（1）求向量组 1 ，2 ，3 ，4 的秩，（2）判定 是否可以表为 1 ，2 ，3 ，4 的线性组合，说明理由。（ 4，可以 ）

2、设向量组 1 = ( 1 , 1 , 1 )T ，2 = ( 1 , 2 , 3 )T ，3 = ( 1 , 3 , t )T ，求（1）当 t 为何值时，1 ，2 ，3 线性无关（2）当 t 为何值时，1 ，2 ，3 线性相关此时将 3 表为 1 与2 的线性组合。

（ t 5 时，1 ，2 ，3 线性无关；t = 5时，1 ，2 ，3 线性相关，且 3 = 1 + 22 ）

3、确定 为何值时，向量 = ( 0 , 1 , )T 可以表为向量组 1 = (1 , 2 , 3 )T ，2 = ( 2 , 1 ,

1 )T ，3 = ( 1 , 1 , 2 )T ， 4 = ( 2 , 1 , 1 )T 的线性组合，并求出一个具体表达式。

（ =1； = 1 + 2 + 3 + 4 ）

{

4、设

111k，112k，k113，223k，讨论 k 为何值时，（1） 不能由 1 ，2 ，3 线性表出；（2） 能由 1 ，2 ，3 线性表出，且表示法唯一；（3） 能由 1 ，2 ，3 线性表出，且表示法不唯一，并求出一个具体表示。

（ （1） 2；（2）k 1且 k 2 ；（3）1 ， = 2 1 ）

5、已知向量组 1 = ( 1 , 0 , 2 , 3 )T ，2 = ( 1 , 1 , 3 , 5 )T ，3 = ( 1 , 1 , a+2 , 1 )T ，4 = ( 1 ,

一、单项选择题

1. 若向量组m,,,21线性相关，则向量组内【 】可由向量组其余向量线性表示.

A．至少有一个向量 B．没有一个向量

C．至多有一个向量 D．任何一个向量

2. 若A为6阶矩阵，齐次线性方程组0Ax的基础解系中解向量的个数为2，则矩阵A的秩为

A．5 B. 4 C. 3 D. 2

3．行列式111221222aaaa, 111221224bbbb， 则11121221222222aabaab

A. 10 B. 6 C. 8 D. 12

4设ba,为实数，且010100abba，则

A. 0,0ba B. 0,1ba C. 1,0ba D. 1,1ba

5.设A为2阶非零矩阵，21,为齐次线性方程组0Ax的两个不同解，k为任意常数，则方程组0Ax的通解为

A. 1k B. 2k C. 12()k D. 12()k

6、已知三阶矩阵A的特征值为 1, 2 , －1 , 则矩阵1A的特征值为

A． 1,2,1 B． 1,2,1

C． 11,,12 D． 11,,12