2017年湖北省黄冈市高一理科下学期人教A版数学期末测试试卷

第1页（共7页） 2017年湖北省黄冈市高一理科下学期人教A版数学期末测试试卷

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 下列结论正确的是   

A. 若 𝑎>𝑏，则 𝑎𝑐2>𝑏𝑐2 B. 若 𝑎2>𝑏2，则 𝑎>𝑏

C. 若 𝑎>𝑏，𝑐<0，则 𝑎+𝑐<𝑏+𝑐 D. 若 𝑎< 𝑏，则 𝑎<𝑏

2. 设数列 𝑎𝑛 是等差数列，若 𝑎2+𝑎4+𝑎6=12，则 𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎7 等于   

A. 14 B. 21 C. 28 D. 35 3. 若 𝑙，𝑚 是两条不同的直线，𝛼 是一个平面，则下列命题中正确的是   

A. 若 𝑙⊥𝑚，𝑚⊂𝛼，则 𝑙⊥𝛼 B. 若 𝑙⊥𝛼，𝑙∥𝑚，则 𝑚⊥𝛼

C. 若 𝑙∥𝛼，𝑚⊂𝛼，则 𝑙∥𝑚 D. 若 𝑙∥𝛼，𝑚∥𝛼，则 𝑙∥𝑚

4. 在 △𝐴𝐵𝐶 中，内角 𝐴，𝐵，𝐶 所对的边分别是 𝑎，𝑏，𝑐，若 3𝑎=2𝑏，则 2sin2𝐵−sin2𝐴sin2𝐴 的值为

A. −19 B. 13 C. 1 D. 72

5. 已知等比数列 𝑎𝑛 中，𝑎3=2，𝑎4𝑎6=16，则 𝑎9−𝑎11𝑎5−𝑎7=   

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

6. 从点 2,3 射出的光线沿斜率 𝑘=12 的方向射到 𝑦 轴上，则反射光线所在的直线方程为   

A. 𝑥+2𝑦−4=0 B. 2𝑥+𝑦−1=0 C. 𝑥+6𝑦−16=0 D. 6𝑥+𝑦−8=0

7. 若 𝛼，𝛽 为锐角，且满足 cos𝛼=45，cos 𝛼+𝛽 =513，则 sin𝛽 的值为   

A. −1665 B. 3365 C. 5665 D. 6365

8. 若动点 𝐴 𝑥1,𝑦1 ，𝐵 𝑥2,𝑦2 分别在直线 𝑙1:𝑥+𝑦−11=0 和 𝑙2:𝑥+𝑦−1=0 上移动，则 𝐴𝐵 中点 𝑀 所在直线方程为   

A. 𝑥−𝑦−6=0 B. 𝑥+𝑦+6=0 C. 𝑥−𝑦+6=0 D. 𝑥+𝑦−6=0 9. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为   

第2页（共7页） A. 2π3+12 B. 4π3+16 C. 2π6+16 D. 2π3+12

10. 将正偶数集合 2,4,6,⋯ 从小到大按第 𝑛 组有 2𝑛 个偶数进行分组： 2,4 ， 6,8,10,12 ， 14,16,18,20,22,24 ，⋯，则 2018 位于    组．

A. 30 B. 31 C. 32 D. 33

11. 已知实数 𝑥，𝑦 满足 𝑦≥0,𝑥−𝑦≥0,2𝑥−𝑦−2≥0, 则 𝜔=𝑦−1𝑥+1 的取值范围是   

A. −1,13 B. −12,13 C. −12,1 D. −12,+∞

12. 正方体 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 中，𝐸 是棱 𝐵𝐶 的中点，𝐹 是侧面 𝐵𝐶𝐶1𝐵1 上的动点，且

𝐴1𝐹∥平面𝐴𝐷1𝐸，则直线 𝐴1𝐹 与平面 𝐵𝐶𝐶1𝐵1 所成的角的正切值 𝑡 构成的集合是   

A. 𝑡 2 55≤𝑡≤2 33 B. 𝑡 2≤𝑡≤2 3

C. 𝑡 2 55≤𝑡≤2 3 D. 𝑡 2≤𝑡≤2 2

二、填空题（共4小题；共20分）

13. 若关于 𝑥 的不等式 𝑎𝑥2−6𝑥+𝑎2<0 的解集是 1,𝑚 ，则 𝑚= ．

14. 若 sin𝛼+cos𝛼sin𝛼−cos𝛼=12，则 tan2𝛼= ．

15. 若 △𝐴𝐵𝐶 的面积为 3，𝐵𝐶=2，∠𝐶=60∘，则边 𝐴𝐵 的长度等于 ．

16. 已知不等式组 𝑥−2𝑦+1≥0,𝑥≤2,𝑥+𝑦−1≥0 表示的平面区域为 𝐷，则

（1）𝑧=𝑥2+𝑦2 的最小值为 ．

（2）若函数 𝑦= 2𝑥−1 +𝑚 的图象上存在区域 𝐷 上的点，则实数 𝑚 的取值范围是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）

17. 在平面直角坐标系内，已知 𝐴 1,𝑎 ，𝐵 −5,−3 ，𝐶 4,0 ；

（1）当 𝑎∈ 3,3 时，求直线 𝐴𝐶 的倾斜角 𝛼 的取值范围；

（2）当 𝑎=2 时，求 △𝐴𝐵𝐶 的 𝐵𝐶 边上的高 𝐴𝐻 所在直线方程 𝑙．

18. 在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝑎，𝑏，𝑐 分别是角 𝐴，𝐵，𝐶 的对边，cos𝐶cos𝐵=2𝑎−𝑐𝑏，且 𝑎+𝑐=2．

（1）求角 𝐵；

（2）求边长 𝑏 的最小值． 19. 已知 𝐴 4,−3 ，𝐵 2,−1 和直线 𝑙:4𝑥+3𝑦−2=0．

（1）求在直角坐标平面内满足 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 的点 𝑃 的方程；

（2）求在直角坐标平面内一点 𝑃 满足 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 且点 𝑃 到直线 𝑙 的距离为 2 的坐标． 20. 如图 1 所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图 2 所示），𝐸 为 𝑉𝐵 的中点． 第3页（共7页）

（1）求证：𝑉𝐷∥平面𝐸𝐴𝐶；

（2）求二面角 𝐴−𝑉𝐵−𝐷 的余弦值． 21. 某投资公司计划投资 A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润 𝑦1 与投资金额

𝑥 的函数关系为 𝑦1=18−180𝑥+10，B产品的利润 𝑦2 与投资金额 𝑥 的函数关系为 𝑦2=𝑥5（注：利润与投资金额单位：万元）．

（1）该公司已有 100 万元资金，并全部投入 A，B 两种产品中，其中 𝑥 万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为 𝑥 的函数，并写出定义域；

（2）在（1）的条件下，试问：怎样分配这 100 万元资金，才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?

22. 已知曲线 𝑓 𝑥 =log2 𝑥+1

𝑥+1 𝑥>0 上有一点列 𝑃𝑛 𝑥𝑛,𝑦𝑛 𝑛∈𝐍∗ ，点 𝑃𝑛 在 𝑥 轴上的射影是

𝑄𝑛 𝑥𝑛,0 ，且 𝑥1+𝑥2+𝑥3+⋯+𝑥𝑛=2𝑛+1−𝑛−2 𝑛∈𝐍∗ ．

（1）求数列 𝑥𝑛 的通项公式；

（2）设四边形 𝑃𝑛𝑄𝑛𝑄𝑛+1𝑃𝑛+1 的面积是 𝑆𝑛，求 𝑆𝑛；

（3）在（2）条件下，求证：1𝑆1+12𝑆2+⋯+1𝑛𝑆𝑛<4． 第4页（共7页） 答案

第一部分

1. D 2. C 3. B 【解析】A错误，要判断 𝑙⊥𝛼，需判断 𝑙 垂直于 𝛼 内的两条相交直线；B正确，此为线面垂直的性质定理；C错误，𝑙 与 𝛼 内的直线可能平行或异面；D错误，𝑙 与 𝑚 可能平行、相交或异面．

4. D 【解析】因为 3𝑎=2𝑏，所以由正弦定理得 𝑎𝑏=sin𝐴sin𝐵=23．所以 sin2𝐴sin2𝐵=49，2sin2𝐵−sin2𝐴sin2𝐴=72．

5. B

6. A 7. B 8. D 9. C 【解析】由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，所以 𝑉=13× 12×1×1 ×1+ 43π 22 3 ×12=16+ 2π6．

10. C

【解析】第一组有 2=1×2 个数，最后一个数为 4，即 2×2；

第二组有 4=2×2 个数，最后一个数为 12，即 2× 2+4 ；

第三组有 6=2×3 个数，最后一个数为 24，即 2× 2+4+6 ；

⋯

所以第 𝑛 组有 2𝑛 个数，其中最后一个数为 2× 2+4+⋯+2𝑛 =4 1+2+3+⋯+𝑛 =2𝑛 𝑛+1 ．

所以当 𝑛=31 时，第 31 组的最后一个数为 2×31×32=1984，

所以当 𝑛=32 时，第 32 组的最后一个数为 2×32×33=2112，

所以 2018 位于第 32 组．

11. C 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，

𝜔 的几何意义是区域内的点到定点 𝐷 −1,1 的斜率，

由图象知当直线和直线 𝐵𝐶:𝑥−𝑦=0 平行时，直线斜率最大，此时直线斜率为 1，但取不到，

当直线过点 𝐴 1,0 时，直线斜率最小，

此时直线 𝐴𝐷 的斜率 𝑘=0−11+1=−12，

则 𝜔 的范围是 −12,1 ．

12. D

第二部分

13. 2 第5页（共7页） 【解析】根据不等式与方程之间的关系知 𝑥=1 为方程 𝑎𝑥2−6𝑥+𝑎2=0 的一个根，即 𝑎2+𝑎−6=0，解得 𝑎=2 或 𝑎=−3，当 𝑎=2 时，不等式 𝑎𝑥2−6𝑥+𝑎2<0 的解集是 1,2 ，符合要求；当

𝑎=−3 时，不等式 𝑎𝑥2−6𝑥+𝑎2<0 的解集是 −∞,−3 ∪ 1,+∞ ，不符合要求，舍去．故 𝑚=2．

14. 34

【解析】由题意得 sin𝛼+cos𝛼sin𝛼−cos𝛼=tan𝛼+1tan𝛼−1=12，

解得 tan𝛼=−3，

所以 tan2𝛼=2tan𝛼1−tan2𝛼=34．

15. 2

【解析】因为 △𝐴𝐵𝐶 的面积为 3，

所以 12×𝐵𝐶×𝐴𝐶×sin𝐶= 3，即 𝐴𝐶= 3sin60∘=2．

又 𝐵𝐶=2，∠𝐶=60∘，所以 △𝐴𝐵𝐶 是正三角形，所以 𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶=2．

16. 12， −4,34

第三部分

17. （1） 𝑘𝐴𝐶=𝑎1−4=−𝑎3，

𝑎∈ 3,3 ，则 𝑘𝐴𝐶∈ −1,− 33 ，

𝑘𝐴𝐶=tan𝛼，

又因为 𝛼∈ 0,π ，

所以 𝛼∈ 3π4,5π6 ．

（2） 𝑘𝐵𝐶=0− −3

4− −5 =13，

因为 𝐴𝐻 为高，

所以 𝐴𝐻⊥𝐵𝐶，

所以 𝑘𝐴𝐻⋅𝑘𝐵𝐶=−1，

所以 𝑘𝐴𝐻=−3．

又因为 𝑙 过点 𝐴 1,2 ，

所以 𝑙:𝑦−2=−3 𝑥−1 ，

即 3𝑥+𝑦−5=0．

18. （1） 所以 cos𝐶cos𝐵=2sin𝐴−sin𝐶sin𝐵，即 cos𝐶sin𝐵= 2sin𝐴−sin𝐶 cos𝐵，

sin 𝐵+𝐶 =2sin𝐴cos𝐵，sin𝐴=2sin𝐴cos𝐵，