2018年北京市西城区高考数学模拟试卷（一）一、选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的1. 已知全集I={0, 1, 2, 3}，集合M={0, 1, 2}，N={0, 2, 3}，则M∩(∁I N)=()A.{1}B.{2, 3}C.{0, 1, 2}D.⌀【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据题意，由集合N与全集I，可得∁I N，又由M={0, 1, 2}，结合交集的意义，计算可得答案．【解答】根据题意，集合N={0, 2, 3}，则∁I N={1}，又由M={0, 1, 2}，则M∩C I N={1}，2. 函数y=cos(2x−5π6)的最小正周期是（）A.π2B.πC.2πD.4π【答案】B【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】利用函数y=cos(2x−5π6)的最小正周期是T=2π|ω|=π．【解答】函数y=cos(2x−5π6)的最小正周期是T=2π|ω|=π，3. 下列四个函数中，在区间(0, +∞)上是减函数的是（）A.y=log3xB.y=3xC.y=x12 D.y=1 x【答案】D【考点】函数单调性的性质【解析】由对数函数，指数函数，幂函数的单调性很容易得到答案．【解答】A、∵y=log3x在(0, +∞)上是增函数，故错；B、y=3x在R上是增函数，∴y=3x在(0, +∞)上是增函数，故错；C、y=x12在(0, +∞)上是增函数，故错；D、y=1x在(0, +∞)上是减函数，故对；4. 若sinα=45，且α为锐角，则sin2α的值等于（）A.12 25B.−1225C.2425D.−2425【答案】C【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用二倍角公式求得sin2α的值．【解答】若sinα=45，且α为锐角，则cosα=√1−sin2α=35，∴sin2α=2sinαcosα=2425，5. 不等式x2>x的解集是()A.(−∞, 0)B.(0, 1)C.(1, +∞)D.(−∞, 0)∪(1, +∞)【答案】D【考点】一元二次不等式的应用【解析】对不等式先进行移项，然后再提取公因式，从而求解．【解答】解：∵不等式x2>x，∴x2−x>0.∴x(x−1)>0.解得x>1或x<0.故选D.6. 在△ABC中，a=2，b=√2，∠A=π4，则∠B=()A.π3B.π6C.π6或5π6D.π3或2π3【答案】B【考点】正弦定理【解析】利用正弦定理和已知的两边和其中一边的对角求得sinB的值，进而求得B．【解答】由正弦定理可知asinA =bsinB∴sinB=sinAa ⋅b=√222×√2=12∵b<a∴B<A∴B=π67. 如果函数y=2x+c的图象经过点(2, 5)，则c=()A.1B.0C.−1D.−2【答案】A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】把点(2, 5)代入函数y=2x+c从而求出c值．【解答】∵函数y=2x+c的图象经过点(2, 5)，∴5=22+c，∴c=1，8. 已知过点A(−2, m)，B(m, 4)的直线与直线2x+y−1=0平行，则m的值为（）A.0B.2C.−8D.10【答案】C【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】先由已知条件求出过点A(−2, m)，B(m, 4)的直线的斜率和直线2x+y−1=0的斜率，再由两直线平行斜率相等的性质能求出m的值．【解答】∵过点A(−2, m)，B(m, 4)的直线与直线2x+y−1=0平行，∴k=4−mm+2=−2，解得m=−8．9. 已知二次函数f(x)=(x−2)2+1，那么（）A.f(2)<f(3)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(3)C.f(0)<f(3)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(3)【答案】A【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】根据已知可知二次函数的对称轴和开口方向，从而求得函数的单调区间，利用函数的对称性和单调性即可求得结果．【解答】∵ 已知二次函数f(x)=(x −2)2+1对称轴为x =2 且在(−∞, 2)上单调递减， ∴ f(3)=f(1)∴ f(2)<f(3)<f(0) 故选：A ．10. 实数(−12)0+lg4+2lg5的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】 C【考点】对数的运算性质 【解析】利用指数、对数的性质及运算法则直接求解． 【解答】(−12)0+lg4+2lg5 =1+lg4+lg25 =1+lg100 =3．11. 已知a →=(3, 1)，b →=(−2, 5)，则3a →−2b →=( )A.(2, 7)B.(2, −7)C.(13, −7)D.(13, 13)【答案】 C【考点】平面向量的坐标运算 【解析】由a →=(3, 1)，b →=(−2, 5)，利用平面向量坐标运算法则能求出3a →−2b →．【解答】∵ a →=(3, 1)，b →=(−2, 5)，∴ 3a →−2b →=(9, 3)−(−4, 10)=(13, −7)．12. 若函数f(x)={3x +5x ≤1−x +9x >1，则f(x)的最大值为（ ）A.9B.8C.7D.6 【答案】 B【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】由解析式可以看出，所给的函数是一个分段函数，在(−∞, 1]上增，在(1, +∞)上减，故可得函数的最大值在x =1处取到，代入求值即可 【解答】由f(x)={3x +5x ≤1−x +9x >1，函数的最大值在x =1处取到 ∴ f(1)=3×1+5=8 故选：B ．13. 直线a ，b 是不同的直线，平面α，β是不同的平面，下列命题正确的是（ ） A.直线a // 平面α，直线b ⊂平面α，则直线a // 直线b B.直线a // 平面α，直线b // 平面α，则直线a // 直线bC.直线a // 直线b ，直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β，则平面α // βD.直线a // 直线b ，直线a 平面α，直线b ⊂平面α，则直线a // 平面α 【答案】 D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】在A 中，直线a 与直线b 平行或异面；在B 中，直线a 与直线b 相交、平行或异面；在C 中，平面α与β相交或平行；在D 中，由线面平行的判定定理得直线a // 平面α． 【解答】由直线a ，b 是不同的直线，平面α，β是不同的平面，知：在A 中，直线a // 平面α，直线b ⊂平面α，则直线a 与直线b 平行或异面，故A 错误； 在B 中，直线a // 平面α，直线b // 平面α，则直线a 与直线b 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，直线a // 直线b ，直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β，则平面α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，直线a // 直线b ，直线a 平面α，直线b ⊂平面α，则由线面平行的判定定理得直线a // 平面α，故D 正确．14. 过点(0, 1)并且与直线y =−2x +3垂直的直线方程是（ ） A.2x −y −1=0 B.x −2y +2=0 C.2x −y +1=0 D.x −2y −2=0 【答案】 B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【解析】过点(0, 1)并且与直线y =−2x +3垂直的直线方程的斜率k =12，由此能求出过点(0, 1)并且与直线y =−2x +3垂直的直线方程． 【解答】过点(0, 1)并且与直线y =−2x +3垂直的直线方程的斜率k =12， ∴ 过点(0, 1)并且与直线y =−2x +3垂直的直线方程是： y −1=12x ，整理得：x −2y +2=0．15. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A.35B.25C.15D.7【答案】C【考点】分层抽样方法【解析】先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．【解答】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为7715=15．16. 从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是( )A.1 6B.14C.13D.12【答案】A【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率古典概型及其概率计算公式【解析】根据已知中从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，我们列出所有的基本事件个数，及满足条件两个数都是奇数的基本事件个数，代入古典概型概率公式，即可得到答案．【解答】解：从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，共有(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(2, 1)，(2, 3)，(2, 4)(3, 1)，(3, 2)，(3, 4)，(4, 1)，(4, 2)，(4, 3)共12种；其中满足条件两个数都是奇数的有(1, 3)，(3, 1)两种情况，故从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率为P=212=16.故选A.17. 已知A(1, 0)，B(3, 4)，M是线段AB的中点，那么向量AM→的坐标是（）A.(1, 2)B.(−1, −2)C.(2, 1)D.(−2, −1)【答案】A【考点】平面向量的坐标运算中点坐标公式【解析】利用中点坐标公式、向量坐标运算性质即可得出．【解答】∵A(1, 0)，B(3, 4)，M是线段AB的中点，∴M(2, 2)，∴AM→=(1, 2)．18. 在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则角A为（）A.30∘B.45∘C.120∘D.150∘【答案】C【考点】余弦定理【解析】利用余弦定理即可得出．【解答】cosA=b2+c2−a22bc =−bc2bc=−12，解得A=120∘．19. 如图，一个空几何体的正视图（或称主视图）与侧视图（或称左视图）为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（）A.πB.3πC.2πD.π+√3【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】先管仔细观察给出几何体的主视图和侧视图便可知该几何体为圆锥，根据圆锥表面积公式的求法便可求出该几何体的全面积．【解答】仔细观察几何体的主视图侧视图可知该几何体为圆锥，由图象可知：圆锥的圆心角为60∘，圆锥的母线L长为2，半径为1．根据圆锥表面积公式的求法：S=πRL+πRR=π×1×2+π×1×1=3π，20. 若P(x, y)在直线x+y−4=0上，则x2+y2的最小值是（）A.8B.2√2C.√2D.16【答案】A【考点】点到直线的距离公式【解析】x2+y2≥0，√x2+y2表示直线上的点到原点的距离，由原点到直线的距离能求出x 2+y 2的最小值． 【解答】∵ x 2+y 2≥0，∴ √x 2+y 2表示直线上的点到原点的距离， ∴ 原点到直线的距离d =√2=2√2，∴ √x 2+y 2=2√2， ∴ x 2+y 2的最小值为8．21. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →=√3BD →，|AD →|=1，则AC →∗AD →=( )A.2√3B.√32C.√33D.√3【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题．从要求的结论入手，用公式写出数量积，根据正弦定理变未知为已知，代入数值，得到结果，本题的难点在于正弦定理的应用． 【解答】AC →∗AD →=|AC →|∗|AD →|cos∠DAC =|AC →|∗cos∠DAC =|AC →|sin∠BAC =BC →sinB =√322. 一天，某人要去公安局办理护照，已知公安局的工作时间为9:00至17:00，设此人在当天13:00至18:00之间任何时间去公安局的可能性相同，那么此人去公安局恰好能办理护照的概率是（ ） A.13B.34C.58D.45【答案】 D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】设公安局的工作时间为x ，某人去公安局的时间为y ，以横坐标表示公安局的工作时间，以纵坐标表示某人去公安局的时间，建立平面直角坐标系，求面积之比可得答案． 【解答】设公安局的工作时间为x ，某人去公安局时间为y ，以横坐标表示公安局的工作时间，以纵坐标表示某人去公安局的时间，建立平面直角坐标系（如图）， 则此人去公安局恰好能办理护照的概率P =5×8−12×4×45×8=45．23. 已知函数f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数，当n ∈N ∗时，f(n)∈N ∗．若f[f(n)]=3n ，其中n ∈N ∗，则f(1)=( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】 C【考点】抽象函数及其应用 【解析】根据题意，分析可得f(1)=1或f(1)=2或f(1)=3或f(1)=n(n >3)，分析验证f(1)=1、f(1)=3、f(1)=n 时是否符合函数的单调性以及f[f(n)]=3n ，即可得可得答案． 【解答】，若f(1)=1，则f[f(1)]=f(1)=1，与f[f(1)]=3×1=3相矛盾， （1），若f(1)=3，则f[f(1)]=f(3)=3，与函数的单调性项矛盾， （2），若f(1)=n ，(n >3)，则f[f(1)]=f(n)=3，又由n >3，与函数f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数矛盾， 则必有f(1)=2； 故选：C ．24. 一同学为研究函数f(x)=√1+x 2+√1+(1−x)2(0≤x ≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP =x ，则AP +PF =f(x)，请你参考这些信息，推知函数g(x)=4f(x)−9的零点的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】 B【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】把函数f(x)=√1+x 2+√1+(1−x)2看作是图中的AP +PF ，通过分析点P 的特殊位置得到AP +PF 的范围，而函数g(x)=4f(x)−9的零点的个数就是方程f(x)=94的解的个数，由94大于AP +PF 的最小值且小于AP +PF 的最大值可知f(x)=94的解有2个，则答案可求． 【解答】 由题意可得：函数f(x)=√1+x 2+√1+(1−x)2=AP +PF ， 当A 、P 、F 共线时，f(x)取得最小值为√5<94，当P与B或C重合时，f(x)取得最大值为√2+1>9．4g(x)=4f(x)−9=0，即f(x)=9．4故函数g(x)=4f(x)−9的零点的个数就是f(x)=9的解的个数．4的解有2个，而由题意可得f(x)=9425. 某航空公司经营A，B，C，D这四个城市之间的客运业务，它们之间的直线距离的部分机票价格如下：AB为2000元；AC为1600元；AD为2500元；CD为900元；BC为1200元，若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则BD间直线距离的票价为（设这四个城在同一水平面上）（）A.1500元B.1400元C.1200元D.1000元【答案】A【考点】两点间的距离公式【解析】判断三角形ABC是直角三角形，C在AD线上，∠BCD也是90∘，即可得出结论．【解答】由题意，不妨设AB=2000，AC=1600，AD=2500，CD=900，BC=1200，AB=2000，AC=1600，BC=1200，所以三角形ABC是直角三角形AC=1600，CD=900，AD=2500，所以三角形ACD不存在，点C在AD线上所以∠BCD也是90∘因为BC=1200，CD=900，所以BD=1500二、解答题（共25分）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AC为底面ABCD的对角线，E为D1D的中点(Ⅰ)求证：D1B⊥AC；(Ⅱ)求证：D1B // 平面AEC．【答案】证明：(Ⅰ)连接BD在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中DD1⊥平面ABCD，ABCD是正方形∵ DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD∴ DD1⊥AC∵ ABCD是正方形∴ AC⊥BD∵ DD1⊥AC,AC⊥BD,BD∩DD1=D∴ AC⊥平面D1DB∵D1B⊂平面D1DB∴ AC⊥D1B(Ⅱ)设BD∩AC=O，连接OE∵ ABCD是正方形∴ BO=DO∵ E是D1D的中点∴ EO是△D1DB的中位线∴D1B // EO∵D1B平面AEC,EO⊂平面AEC∴D1B // 平面AEC【考点】直线与平面平行直线与平面垂直【解析】（I）连接BD，由正四棱柱的结构特征，用正方形对角线互相垂直的性质，结合线面垂直的判定定理我们可以证明出AC⊥平面D1DB，进而根据线面垂直的性质得到D1B⊥AC；(Ⅱ)BD∩AC=O，连接OE，由三角形中位线定理，我们可得D1B // EO，再由线面平行的判定定理，即可得到D1B // 平面AEC．【解答】证明：(Ⅰ)连接BD在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中DD1⊥平面ABCD，ABCD是正方形∵ DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD∴ DD1⊥AC∵ ABCD是正方形∴ AC⊥BD∵ DD1⊥AC,AC⊥BD,BD∩DD1=D∴ AC⊥平面D1DB∵D1B⊂平面D1DB∴ AC⊥D1B(Ⅱ)设BD∩AC=O，连接OE∵ ABCD是正方形∴ BO=DO∵ E是D1D的中点∴ EO是△D1DB的中位线∴D1B // EO∵D1B平面AEC,EO⊂平面AEC∴D1B // 平面AEC已知函数f(x)=sinx，x∈R，点P(−1,√3)是角α终边上一点，α∈[0, 2π]．(Ⅰ)求f(α)的值；brack上的最大值和最小值．(Ⅱ)设g(x)=f(x+α)+f(x)，求g(x)在[0,π2【答案】(Ⅰ)因为点P(−1,√3)是角α终边上一点，所以r =√(−1)2+(√3)2=2，所以sinα=y r =√32， 所以f(α)=sinα=√32． (Ⅱ)由(Ⅰ)知sinα=√32，cosα=−12， α∈[0, 2π]．所以α=2π3．所以g(x)=f(x +α)+f(x)=sin(x +2π3)+sinx ， =−12sinx +√32cosx +sinx ，=12sinx +√32cosx ， =sin(x +π3) 因为x ∈[0,π2brack ，所以π3≤x +π3≤5π6． 所以，当x +π3=π2，即x =π6时，g(x)的最大值为1；当x +π3=5π6， 即x =π2时，g(x)的最小值为12．【考点】三角函数的最值【解析】(Ⅰ)直接利用三角函数的定义求出结果．(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质求出结果．【解答】(Ⅰ)因为点P(−1,√3)是角α终边上一点，所以r =√(−1)2+(√3)2=2，所以sinα=y r =√32， 所以f(α)=sinα=√32． (Ⅱ)由(Ⅰ)知sinα=√32，cosα=−12，α∈[0, 2π]．所以α=2π3．所以g(x)=f(x+α)+f(x)=sin(x+2π3)+sinx，=−12sinx+√32cosx+sinx，=12sinx+√32cosx，=sin(x+π3 )因为x∈[0,π2brack，所以π3≤x+π3≤5π6．所以，当x+π3=π2，即x=π6时，g(x)的最大值为1；当x+π3=5π6，即x=π2时，g(x)的最小值为12．已知点P(2, 0)及圆C:x2+y2−6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax−y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2, 0)的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【答案】由于圆C:x2+y2−6x+4y+4=0的圆心C(3, −2)，半径为3，|CP|=√5，而弦心距d=√5，所以d=|CP|=√5，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为(2, 0)，半径为12|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为(x−2)2+y2=4；把直线ax−y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得(a2+1)x2+6(a−1)x+9=0．由于直线ax−y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36(a−1)2−36(a2+1)>0，即−2a>0，解得a<0．则实数a的取值范围是(−∞, 0)．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3, −2)必在l2上．所以l2的斜率k PC=−2，∴k AB=a=12，由于12∉(−∞,0)，故不存在实数a ，使得过点P(2, 0)的直线l 2垂直平分弦AB ．【考点】直线与圆的位置关系【解析】（1）由利用两点间的距离公式求出圆心C 到P 的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d ，发现|CP|与d 相等，所以得到P 为MN 的中点，所以以MN 为直径的圆的圆心坐标即为P 的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y 得到关于x 的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△>0，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可得到a 的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a 存在，由直线l 2垂直平分弦AB 得到圆心必在直线l 2上，根据P 与C 的坐标即可求出l 2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为−1，即可求出直线ax −y +1=0的斜率，进而求出a 的值，经过判断求出a 的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a 不存在．【解答】由于圆C:x 2+y 2−6x +4y +4=0的圆心C(3, −2)，半径为3，|CP|=√5，而弦心距d =√5，所以d =|CP|=√5，所以P 为MN 的中点，所以所求圆的圆心坐标为(2, 0)，半径为12|MN|=2，故以MN 为直径的圆Q 的方程为(x −2)2+y 2=4；把直线ax −y +1=0即y =ax +1．代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2+1)x 2+6(a −1)x +9=0．由于直线ax −y +1=0交圆C 于A ，B 两点，故△=36(a −1)2−36(a 2+1)>0，即−2a >0，解得a <0．则实数a 的取值范围是(−∞, 0)．设符合条件的实数a 存在，由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C(3, −2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC =−2，∴ k AB =a =12，由于12∉(−∞,0)，故不存在实数a ，使得过点P(2, 0)的直线l 2垂直平分弦AB ．今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f(x)时刻x （时）的函数关系为f(x)=|log 25(x +1)−a|+2a +1，x ∈[0, 24]，其中a 为空气治理调节参数，且a ∈(0, 1)．（1）若a =12，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f(x)的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？【答案】a =12时，f(x)=|log 25(x +1)−12|+2，x ∈[0, 24]，令|log 25(x +1)−12|=0，解得x =4，因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．令f(x)=|log 25(x +1)−a|+2a +1={3a +1−log 25(x +1),x ∈(0,25a −1]log 25(x +1)+a +1,x ∈(25a −1,24]， 当x ∈(0, 25a −1]时，f(x)=3a +1−log 25(x +1)单调递减，∴ f(x)<f(0)=3a +1．当x ∈[25a −1, 24)时，f(x)=a +1+log 25(x +1)单调递增，∴ f(x)≤f(24)=a +1+1．联立{3a +1≤3a +2≤30<a <1，解得0<a ≤23．可得a ∈(0,23]．因此调节参数a 应控制在范围(0,23]．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）a =12时，f(x)=|log 25(x +1)−12|+2，x ∈[0, 24]，令|log 25(x +1)−12|=0，解得x 即可得出．（2）令f(x)=|log 25(x +1)−a|+2a +1={3a +1−log 25(x +1),x ∈(0,25a −1]log 25(x +1)+a +1,x ∈(25a −1,24]，再利用函数的单调性即可得出．【解答】a =12时，f(x)=|log 25(x +1)−12|+2，x ∈[0, 24]，令|log 25(x +1)−12|=0，解得x =4，因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．令f(x)=|log 25(x +1)−a|+2a +1={3a +1−log 25(x +1),x ∈(0,25a −1]log 25(x +1)+a +1,x ∈(25a −1,24]， 当x ∈(0, 25a −1]时，f(x)=3a +1−log 25(x +1)单调递减，∴ f(x)<f(0)=3a +1．当x ∈[25a −1, 24)时，f(x)=a +1+log 25(x +1)单调递增，∴ f(x)≤f(24)=a +1+1．联立{3a +1≤3a +2≤30<a <1，解得0<a ≤23．可得a ∈(0,23]．因此调节参数a 应控制在范围(0,23]．。
