专题升级训练解答题专项训练(立体几何)1.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,G分别是AB,DF的中点.(1)求证:CM⊥平面FDM;(2)在线段AD上(含A,D端点)确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.2. (2013·某某,理19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=,连接CE并延长交AD于F.(1)求证:AD⊥平面CFG;(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.3.如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE 的中点.(1)求证:BM∥平面ADEF;(2)求证:平面BDE⊥平面BEC;(3)求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值.4.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD;(2)设PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.5.如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中点.(1)证明:PF⊥FD;(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD;(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°,求二面角A-PD-F的余弦值.6.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,PD=AD,E为PB的中点,向量,点H在AD上,且=0.(1)求证:EF∥平面PAD.(2)若PH=,AD=2,AB=2,CD=2AB,①求直线AF与平面PAB所成角的正弦值.②求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值.7.如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°.点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABFED.(1)求证:BD⊥平面POA;(2)当PB取得最小值时,若点Q满足=λ(λ>0),试探究:直线OQ与平面PBD所成的角是否一定大于?并说明理由.##1.解:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=a.(1)证明:∵FD⊥平面ABCD,CM⊂平面ABCD,∴FD⊥CM.在矩形ABCD中,CD=2a,AD=a,M为AB中点,DM=CM=a,∴CM⊥DM.∵FD⊂平面FDM,DM⊂平面FDM,FD∩DM=D,∴CM⊥平面FDM.(2)点P在A点处.证明:取DC中点S,连接AS,GS,GA,∵G是DF的中点,∴GS∥FC.又AS∥CM,AS∩AG=A,∴平面GSA∥平面FMC.而GA⊂平面GSA,∴GP∥平面FMC.2.解:(1)在△ABD中,因为E是BD中点,所以EA=EB=ED=AB=1,故∠BAD=,∠ABE=∠AEB=,因为△DAB≌△DCB,所以△EAB≌△ECB,从而有∠FED=∠BEC=∠AEB=,所以∠FED=∠FEA,故EF⊥AD,AF=FD,又因为PG=GD,所以FG∥PA.又PA⊥平面ABCD,所以CF⊥AD,故AD⊥平面CFG.(2)以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C,D(0,,0),P,故.设平面BCP的法向量n1=(1,y1,z1),则解得即n1=.设平面DCP的法向量n2=(1,y2,z2),则解得即n2=(1,,2).从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cosθ=.3.(1)证明:取DE中点N,连接MN,AN.在△EDC中,M,N分别为EC,ED的中点,所以MN∥CD,且MN=CD.由已知AB∥CD,AB=CD,所以MN∥AB,且MN=AB,所以四边形ABMN为平行四边形.所以BM∥AN.又因为AN⊂平面ADEF,且BM⊄平面ADEF,所以BM∥平面ADEF.(2)证明:在正方形ADEF中,ED⊥AD.又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以ED⊥平面ABCD.所以ED⊥BC.在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,可得BC=2.在△BCD中,BD=BC=2,CD=4.所以BC⊥BD.所以BC⊥平面BDE.又因为BC⊂平面BCE,所以平面BDE⊥平面BEC.(3)解:由(2)知ED⊥平面ABCD,且AD⊥CD.以D为原点,DA,DC,DE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),平面ADEF的一个法向量为m=(0,1,0).设n=(x,y,z)为平面BEC的一个法向量,因为=(-2,2,0),=(0,-4,2),所以令x=1,得y=1,z=2.所以n=(1,1,2)为平面BEC的一个法向量.设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ,则cosθ=.所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为.4.(1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=AD.从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD.因为PD∩AD=D,所以BD⊥平面PAD,故PA⊥BD.(2)解:如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,,0),P(0,0,1).=(-1,,0),=(0,,-1),=(-1,0,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则因此可取n=(,1,).设平面PBC的法向量为m,则可取m=(0,-1,-),cos<m,n>==-.故二面角A-PB-C的余弦值为-.5.(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,AB=1,AD=2,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0).不妨令P(0,0,t),∵=(1,1,-t),=(1,-1,0),∴·=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0,即PF⊥FD.(2)解:设平面PFD的法向量为n=(x,y,z),由令z=1,解得:x=y=.∴n=.设G点坐标为(0,0,m),E,则,要使EG∥平面PFD,只需·n=0,即+0×+1×m=m-=0,得m=t,从而满足AG=AP的点G即为所求.(3)解:∵AB⊥平面PAD,∴是平面PAD的法向量,易得=(1,0,0),又∵PA⊥平面ABCD,∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角,得∠PBA=45°,PA=1,平面PFD的法向量为n=.∴cos<,n>==.故所求二面角A-PD-F的余弦值为.6.解:(1)证明:取PA的中点Q,连接EQ,DQ,∵E是PB的中点,∴EQ∥AB,且EQ=AB.又∵,∴DF∥AB,且DF=AB.∴EQ∥DF,且EQ=DF,∴四边形EQDF为平行四边形.∴EF∥QD.又∵EF⊄平面PAD,且DQ⊂平面PAD,∴EF∥平面PAD.(2)方法一:①证明:∵·=0,∴,即PH⊥AD.又∵AB⊥平面PAD,PH⊂平面PAD,∴AB⊥PH.又∵AB∩AD=A,∴PH⊥平面ABCD.连接AE,AF,∵PD=AD,Q为PA的中点,∴DQ⊥PA.又∵AB⊥平面PAD,且DQ⊂平面PAD,∴AB⊥DQ.∵AB∩PA=A,∴DQ⊥平面PAB.由(1)知 EF∥DQ,∴EF⊥平面PAB.∴AE为AF在平面PAB上的射影.∴∠FAE为直线AF与平面PAB所成的角.∵PD=AD=2,PH=,∴在Rt△PHD中,HD==1.∴H为AD的中点.又PH⊥AD,∴PA=PD=AD=2,∴EF=DQ=PH=.∵AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD.∵DF∥AB,∴DF⊥AD.在Rt△ADF中,AF=.又∵EF⊥平面PAB,∴EF⊥AE.∴在Rt△AEF中,sin∠FAE=.∴直线AF与平面PAB所成的角的正弦值为.②延长DA,CB交于点M,连接PM,则PM为平面PAD与平面PBC所成二面角的交线.∵AB∥CD,AB=CD,∴点A,B分别为DM,CM的中点,且DM=4.在Rt△PHM中,PM2=PH2+MH2,∴PM=2.∴PD2+PM2=DM2.∴PM⊥PD.又CD⊥平面PMD,且PM⊂平面PMD,∴CD⊥PM.∵CD∩PD=D,∴PM⊥平面PCD.∴PM⊥CP.∴∠CPD即为所求的二面角的平面角.∴在Rt△PCD中,cos∠CPD=.方法二:①由方法一,可得PH⊥平面ABCD.又∵AB⊥平面PAD,在平面ABCD内过点H作HG∥AB,交BC于点G,∴HG⊥平面PAD.以H为原点,以的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系H-xyz.∵PD=AD=2,PH=,∴在Rt△PHD中,HD==1.∴H为AD的中点.∴A(1,0,0),P(0,0,),B(1,2,0),E,F(-1,1,0).∴=(-2,1,0).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z).∵=(1,0,-),=(1,2,-),由∴得y=0,令z=,得x=3.∴n=(3,0,).设直线AF与平面PAB所成的角为θ.则sinθ=|cos<,n>|===.∴直线AF与平面PAB所成的角的正弦值为.②显然向量为平面PAD的一个法向量,且=(0,2,0).设平面PBC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),=(1,2,-),=(-2,2,0),由·n1=0,得到x1+2y1-z1=0,由·n1=0,得到-2x1+2y1=0,令x1=1,则y1=1,z1=.∴n1=(1,1,),cos<,n1>==,∴平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值为.7.解:(1)证明:∵菱形ABCD的对角线互相垂直,∴BD⊥AC,即BD⊥AO.∵EF⊥AC,∴PO⊥EF.∵平面PEF⊥平面ABFED,平面PEF∩平面ABFED=EF,且PO⊂平面PEF, ∴PO⊥平面ABFED.∵BD⊂平面ABFED,∴PO⊥BD.∵AO∩PO=O,∴BD⊥平面POA.(2)如图,以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz.设AO∩BD=H.∵∠DAB=60°,∴△BDC为等边三角形,故BD=4,HB=2,HC=2.又设PO=x,则OH=2-x,OA=4-x.∴O(0,0,0),P(0,0,x),B(2-x,2,0),故=(2-x,2,-x),∴||=.当x=时,|PB|min=.此时PO=,OH=.设点Q的坐标为(a,0,c),由前知,OP=,则A(3,0,0),B(,2,0),D(,-2,0),P(0,0,).∴=(a-3,0,c),=(-a,0,-c).∵=λ,∴∴Q,∴.设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0.∵=(,2,-),=(0,-4,0),∴取x=1,解得y=0,z=1,∴n=(1,0,1).设直线OQ与平面PBD所成的角为θ,∴sinθ=|cos<,n>|====.又∵λ>0,∴sinθ>.∵θ∈,∴θ>.因此直线OQ与平面PBD所成的角大于,即结论成立.。
