【2020年】黑龙江省大庆市高考数学一模试卷(理科)及解析

2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷(理科)(二)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={x|x2−2x≤0}，B={x|y=lgx}，则A∪B=()A. RB. (0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)2.复数Z=i1+i(其中i为虚数单位)的虚部是()A. −12B. 12i C. 12D. −12i3.已知回归方程y^=1.5x−15，则()A. y=1.5x−15B. 15是回归系数aC. 1.5是回归系数aD. x=10时，y=04.函数f(x)=lg(|x|+x2)(|x|−1)x的图象大致为()A. B.C. D.5.如图是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为()A. 8−π4B. 8−πC. 83−π4D. 83−π6.已知数列{a n}是公比为2的等比数列，若a3a4a5=8，则a6等于()A. 4B. 8C. 12D. 167. 圆M:x 2+y 2−2x −2y +1=0与直线x a +y b =1(a >2,b >2)相切，则a +2b 的最小值为( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 148. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c =2，C =π3，且a +b =3，则△ABC 的面积为 ( )A. 13√312 B. 5√34 C. 512 D. 5√3129. 下列表示旅客搭乘火车的流程正确的是( )A. 买票→候车→检票→上车B. 候车→买票→检票→上车C. 买票→候车→上车→检票D. 候车→买票→上车→检票 10. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与圆x 2+y 2=a 2相切，与C 的左、右两支分别交于点A 、B ，若|AB|=|BF 2|，则C 的离心率为( )A. √5+2√3B. 5+2√3C. √3D. √5 11. 已知图象经过点(7π12,0)的函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，则φ=( )A. −π3B. π6C. π3D. −π6 12. 函数f(x)=x 2−ax +1在区间(12,3)上有零点，则实数a 的取值范围是( )A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. [2,103)D. [2,52) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 二项式(ax 2√x )5展开式中的常数项为5，则实数a = ______ ．14. 已知向量a⃗ =(3,1)，b ⃗ =(−2,4)，求a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为______ ． 15. 已知在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB =AC =PA =2，且在△ABC 中，∠BAC =120°，则三棱锥P −ABC 的外接球的体积为______ ．16. 已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=1a n −1+1，则a 2014= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知：△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos2B −cos(A +C)=0．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若sinA =3sinC ，△ABC 的面积为3√34，求b 边的长．18.如图，底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为棱PC上一动点，PA=AC．(1)当E为PC中点时，求证：PA//平面BDE；(2)当AE⊥平面PBD时，求二面角P−BD−E的余弦值．19.为了精准备考，某市组织高三年级进行摸底考试，已知全体考生的数学成绩X近似服从正态分布N(100,100)(满分为150分，不低于120分为成绩优秀)．(1)若参加考试的人数为30000，求P(X⩾120)及成绩优秀的学生人数；(2)从全体考生中随机抽取3人，ξ表示数学成绩为(90,110]的人数，求ξ的分布列与期望．附：若X ∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X ≤μ+σ)≈23；P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)≈1920．20. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和直线l ：y =bx +2，椭圆的离心率e =√63，坐标原点到直线l 的距离为√2．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1,0)，若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆相交于C ，D 两点，试判断是否存在实数k ，使得以CD 为直径的圆过定点E ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=e x −ae −x −(a +1)x(a ∈R).(其中常数e =2.71828…，是自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的极值点；(2)若对于任意0<a <1，关于x 的不等式[f(x)]2<λ(e a−1−a)在区间(a −1,+∞)上存在实数解，求实数λ的取值范围．22.直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+√3cosα，其中α为参数，直线l的方程y=√3sinα为x+√3y−2=0，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；(2)已知射线OA:θ=π与曲线C和直线l分别交于M，N两点，求线段MN的长．323.已知函数f(x)=|2x−1|−|x+3|，∀a，b∈[1,+∞)，|a+b|≤m|ab+1|．2(1)解不等式f(x)≤2；(2)证明：∀x∈R，f(x)≥−1−m．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|y=lgx}={x|x>0}，则A∪B={x|x≥0}=[0,+∞)．故选：C．化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：复数Z=i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i，则虚部为12，故选：C．先化简复数，由虚部的定义可得答案．本题考查复数的基本概念，属基础题．3.答案：A解析：解：回归直线必要样本中心点(x,y)点，故y=1.5x−15，即A正确；回归直线方程为y=bx+a中，一次项系数是回归系数b，常数项为回归系数a，故−15是回归系数a，故B错误；1.5是回归系数b，故C错误；x=10时，y的预报值为0，但y值不一定为0，故D错误故选A根据回归直线必要样本中心点(x,y)点，代入可判断A的真假；根据回归直线方程为y=bx+a中，一次项系数是回归系数b，常数项为回归系数a，可判断B，C的真假；根据回归直线的意义，可判断D的真假．本题考查的知识点是线性回归方程，熟练掌握线性回归方程的基本概念是解答的关键．解析：先判断函数的奇偶性，然后令x =2进行计算，判断函数值的符号是否一致即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，和特殊值的关系是解决本题的关键． 解：f(−x)=lg(|−x|+(−x)2)(|−x|−1)(−x)=−lg(|x|+x 2)(|x|−1)x =−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，f(2)=lg(2+4)2=lg62>0，排除B ，故选：A ．5.答案：C解析：【试题解析】本题主要考查了三视图，棱锥的体积公式，圆柱的体积公式，属于较易题.该几何体是一个正四棱锥挖去一个圆柱，利用体积公式可得结果．解：该几何体是一个正四棱锥挖去一个圆柱，正四棱锥的底面边长为2，高为2，其体积为13×22×2=83，圆柱的底面半径为12，高为1，其体积为π×(12)2×1=π4， 则该几何体的体积为V =83−π4，故选C ． 6.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．由题意可得a 4的值，进而由等比数列的通项公式可得．解：∵数列{a n }是公比为2的等比数列，且a 3a 4a 5=8，∴a 43=8，解得a 4=2，∴a 6=a 4×22=8，故选：B解析：本题考查直线与圆的位置关系，利用基本不等式求最值，涉及点到直线的距离公式的用法，属中档题．根据圆M 与直线相切，即圆心到直线的距离等于半径解得a =2b−2b−2，则a +2b =2b−2b−2+2b =2b−2+2(b −2)+6，根据基本不等式求解即可．解：圆M:x 2+y 2−2x −2y +1=0化为(x −1)2+(y −1)2=1，因为圆M 与直线x a +y b =1(a >2,b >2)相切，直线x a +y b =1(a >2,b >2)化为bx +ay −ab =0，则点M 到直线bx +ay −ab =0的距离为1， 即22=1化简得ab −2a −2b +2=0，则a =2b−2b−2， 则a +2b =2b−2b−2+2b =2b−2+2(b −2)+6⩾4+6=10，当且仅当2b−2=2(b −2)时取等号，所以a +2b 的最小值为10．8.答案：D解析：解：∵c =2，C =π3，a +b =3，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得：4=a 2+b 2−ab =(a +b)2−3ab =9−3ab ，∴解得ab =53，∴S △ABC =12absinC =12×53×√32=5√312． 故选：D ．由已知及余弦定理可解得ab 的值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．解析：本题考查流程图的作用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．旅客搭乘火车，应买票→候车→检票→上车，可得结论．解：旅客搭乘火车，应买票→候车→检票→上车，故选A．10.答案：A解析：解：由双曲线的定义可得|BF1|−|BF2|=2a，|AB|=|BF2|，可得|AF1|=2a，则|AF2|=|AF1|+2a=4a，cos∠BF1F2=√c2−a2c=|AF1|2+|F1F2|2−|AF2|22|AF1|⋅|F1F2|=4a2+4c2−16a22⋅2a⋅2c，化简可得c4−10a2c2+13a4=0，由e=ca可得e4−10e2+13=0，解得e2=5+2√3，可得e=√5+2√3，故选：A．由双曲线的定义可得|AF1|=2a，则|AF2|=|AF1|+2a=4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用锐角三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.答案：D解析： 本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题． 由周期求出ω，再利用点(7π12,0)在函数f(x)的图象上，可求φ的值．解：∵T =2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=sin(2x +φ)． 又∵点(7π12,0)在函数f(x)的图象上，∴sin (2×7π12+φ)=0，∴φ=−7π6+kπ(k ∈Z)．又∵|φ|<π2，∴φ=−π6．故选D ． 12.答案：C解析：由题意可得x 2−ax +1=0在区间(12， 3)内有解，利用函数有一个零点或者两个零点，列出关系式，即可求得实数a 的取值范围．解：由f(x)=x 2−ax +1在区间(12， 3)内有零点，可得x 2−ax +1=0在区间(12， 3)内有解． 函数f(x)=x 2−ax +1过(0,1)，∴{a 2>0f(12)f(3)<0或{ f(12)≥0f(3)≥012≤a 2≤3f(a 2)<0， 解{a 2>0f(12)f(3)<0得52<a <103， 解{ f(12)≥0f(3)≥012≤a 2≤3f(a 2)<0得2≤a ≤52， 综上a ∈[2,103).故选C ． 13.答案：1解析：解：二项式(ax2√x )5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅a5−r ⋅ x10−2r ⋅ x −r2=C5r⋅a5−r ⋅ x10−52r，令10−5r2=0，解得r=4，故展开式中的常数项为C51⋅a1=5，∴a=1，故答案为1．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．再由常数项为5，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.答案：−√55解析：解：向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(−2,4)，可得a⃗⋅b⃗ =3×(−2)+1×4=−2，|a⃗|=√9+1=√10，|b⃗ |=√4+16=2√5，可得a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=2√5=−√55．故答案为：−√55．运用向量数量积的坐标表示和模的公式，可得a⃗⋅b⃗ ，|a⃗|，|b⃗ |，再由a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|，计算即可得到所求值．本题考查向量数量积的坐标表示和模的公式以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题．15.答案：20√5π3解析：本题考查三棱锥的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键．求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球体积．解：∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC=2√3，∴2r=√3√32=4，∴r=2，∵PA ⊥面ABC ，PA =2，∴该三棱锥的外接球的半径为√22+12=√5，∴该三棱锥的外接球的体积43π⋅(√5)3=20√5π3． 故答案为：20√5π3． 16.答案：32解析：解：∵a n+1−1=1a n −1=a n−1−1，∴{a n −1}为周期数列且周期为2，a 1−1=2，∴a 2014−1=a 2−1=1a1−1=12， ∴a 2014=32． 故答案为：32．由题意可知{a n −1}为周期数列且周期为2，a 1−1=2，即可求出答案本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础． 17.答案：解：(Ⅰ)由已知得cos2B +cosB =0，可得2cos 2B +cosB −1=0，即(2cosB −1)(cosB +1)=0，解得cosB =12或cosB =−1．因为0<B <π，故cosB =12，所以，B =π3．(Ⅱ)由sinA =3sinC 利用正弦定理可得a =3c ，而△ABC 的面积为12acsinB =3√34， 将a =3c 和B =π3代入上式，得出c =1，且a =3，再由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，解得b =√7．解析：(Ⅰ)由条件可得2cos 2B +cosB −1=0，求得cos B 的值，可得B 的值．(Ⅱ)由sinA =3sinC 利用正弦定理可得a =3c ，再根据△ABC 的面积为12acsinB =3√34求得a 、c 的值，再由余弦定理求得b 的值．本题主要考查二倍角公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．18.答案：解：(1)连接AC ，BD 设其交点为O ，连接OE ，则O 为中点，故OE//PA ，又PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，故PA//平面BDE ；(2)以O 为原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过O 做AP 的平行线为z 轴，建立如图所示空间坐标系，如图示：设AB =2，则A(√2,0,0), C(−√2,0,0)，B(0,√2,0)，D(0,−√2,0)，P(√2,0,2√2)，设PE PC =λ>0，E(√2−2√2λ,0,2√2−2√2λ), AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2λ,0,2√2−2√2λ)， AE ⊥平面PBD ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得λ=23，因为AE ⊥平面PBD ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PBD 的一个法向量，E(−√23,0,2√23)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4√23,0,2√23)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√23,−√2,2√23), BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√2,0)，设平面BDE 的法向量为n⃗ =(x,y,z )，则有{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0, 即{−√23x −√2y +2√23z =0−2√2y =0，令x =2，得n⃗ =(2,0,1)， 设二面角P −BD −E 为θ，则|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=35，由图知，二面角为锐角， 故二面角P −BD −E 的余弦值为35．解析：本题主要考查线面平行的证明，二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．(1)连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ，推导出OE//PA ，由此能证明PA//平面BDE ．(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面PBD 的法向量和平面BDC 的法向量，利用向量法能求出二面角P −BD −C 的余弦值．19.答案：解：(1)∵X ∼N(100,100)，∴μ=100，σ=10，P (X ≥120)=1−P (80<X ≤120)2 =1−19202 =140， 成绩优秀的人数为30000×140=750(人)；(2)根据题意，P (90<X ≤110)≈23，ξ的取值有0，1，2，3，ξ∼B(3,23)，P(ξ=0)=(13)3=127； P(ξ=1)=C 31(13)2×23=627=29；P(ξ=2)=C 32×13×(23)2=1227=49； P(ξ=3)=(23)3=827．ξ的分布列为：E(ξ)=3×23=2．解析：本题考查正态分布及离散型随机变量的分布列与期望，属于一般题．(1)利用正态分布解决问题；(2)离散型随机变量求分布列，期望问题．20.答案：解：(1)直线l ：y =bx +2，坐标原点到直线l 的距离为√2． ∴√b 2+1=√2 ∴b =1∵椭圆的离心率e =√63， ∴a 2−1a 2=(√63)2 ∴a 2=3∴所求椭圆的方程是x 23+y 2=1；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，消去y 可得：(1+3k 2)x 2+12kx +9=0∴△=36k 2−36>0，∴k >1或k <−1设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=−12k 1+3k 2，x 1x 2=91+3k 2∵EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2)，且以CD 为圆心的圆过点E ，∴EC ⊥ED∴(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0∴(1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0∴(1+k 2)×91+3k 2+(2k +1)×(−12k 1+3k 2)+5=0 解得k =76>1，∴当k =76时，以CD 为直径的圆过定点E解析：(1)利用直线l ：y =bx +2，椭圆的离心率e =√63，坐标原点到直线l 的距离为√2，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD 为圆心的圆过点E ，利用数量积为0，即可求得结论．本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．21.答案：解：(1)易知f′(x)=e x+ae−x−(a+1)=(e x−1)(e x−a)，e x①当a≤0时，∴函数f(x)的极小值点为x=0，无极大值点；②当0<a<1时，∴函数f(x)的极大值点为x=lna，极小值点为x=0；③当a=1时，f′(x)=(e x−1)2⩾0，e x∴函数f(x)单调递增，即f(x)无极值点；④当a>1时，∴函数f(x)的极大值点为x=0，极小值点为x=lna；综上所述，当a≤0时，函数f(x)的极小值点为x=0，无极大值点；当0<a<1时，函数f(x)的极大值点为x=lna，极小值点为x=0；当a=1时，函数f(x)无极值点；当a>1时，函数f(x)的极大值点为x=0，极小值点为x=lna．(2)以下需多次引用到如下不等式：e x≥1+x，当且仅当x=0时取等号，证明略．注意到当0<a<1时，有lna<a−1<0．−1，当0<a<1时，gˈ(a)=0，令g(a)=lna−a+1，则g′(a)=1a∴g(a)<g(1)=0，即a−1>lna，显然a−1<0，∴lna<a−1<0，∴由(1)可知当0<a<1时，f(x)在区间(a−1,0)上递减，在区间(0,+∞)上递增，∴f(x)在区间(a−1,+∞)上的最小值为f(0)=1−a，∵关于x的不等式[f(x)]2<λ(e a−1−a)在区间(a−1,+∞)上存在实数解，∴只需当0<a<1时，关于a的不等式(1−a)2<λ(e a−1−a)恒成立，由上易知当0<a<1时，e a−1−a>0，∴只需当0<a<1时，不等式λ>(1−a)2e−a恒成立即可，令函数F(x)=(1−x)2e x−1−x ，0≤x<1，则F′(x)=(x−1)(3e x−1−xe x−1−x−1)(e x−1−x)2，(法一)令函数G(x)=3e x−1−xe x−1−x−1，0≤x<1，则Gˈ(x)=(2−x)e x−1−1，当0<x<1时，∵e1−x>2−x，∴(2−x)e x−1<1，∴Gˈ(x)<0，∴G(x)>G(1)=0，即G(x)>0，∴当0<x<1时，Fˈ(x)<0，∴F(x)<F(0)=e，即F(x)<e，∴当0<a<1时，不等式λ=(1−a)2e a−ea恒成立，只需λ≥e，综上，实数λ的取值范围为[e,+∞)．解析：本题考查利用导数研究函数的极值，最值问题，难度较大．(1)求导，讨论a，即可求导函数的单调区间，从而求得极值．(2)依题意，只需当0<a<1时，不等式λ>(1−a)2e a−1−a恒成立即可，令函数F(x)=(1−x)2e x−1−x，利用导数求解即可．22.答案：解：(1)由{x=1+√3cosα,y=√3sinα(α为参数)得曲线C的普通方程为(x−1)2+y2=3．由直线l的方程为：x+√3y−2=0，得极坐标方程为√3ρsinθ+ρcosθ−2=0，即ρsin(θ+π6)=1．(2)曲线C的极坐标方程是ρ2−2ρcosθ−2=0，把θ=π3代入曲线C的极坐标方程得ρ2−ρ−2=0，解之得ρM=2或ρM=−1(舍)．把θ=π3代入直线l的极坐标方程得ρN=1，所以MN =|ρM −ρN |=|2−1|=1．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．(1)消去参数可得普通方程，再利用公式化成极坐标方程；(2)先求出曲线C 的极坐标方程，把θ=π3代入曲线C 的极坐标方程，解得ρ的值， 把θ=π3代入直线l 的极坐标方程解得ρ的值，从而得出结果．23.答案：解：(1)f(x)=|2x −1|−|x +32|={ 52−x,x <−32−3x −12,−32≤x ≤12x −52,x >12， 根据题意，{x <−3252−x ≤2或{−32≤x ≤12−3x −12≤2或{x >12x −52≤2， 解之得−56≤x ≤92，故解集为[−56,92]．(2)当x ∈(−∞,12)时，函数f(x)单调递减，当x ∈(12,+∞)时，函数f(x)单调递增．∴当x =12时，函数f(x)min =−2．由题知|a+b||ab+1|≤m ，即a+b ab+1≤m ，∵(a +b)−(ab +1)=(a −1)(1−b)≤0，则a +b ≤ab +1，∴a+b ab+1≤1．∴m ≥1，∴−m −1≤−2，∴f(x)≥−1−m ．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，属基础题．(1)f(x)=|2x −1|−|x +32|={ 52−x,x <−32−3x −12,−32≤x ≤12x −52,x >12，然后分段解不等式f(x)≤2；(2)求出f(x)的最小值，证明f(x)min≥−1−m，即可．。

黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B=的值为（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{1，2} 2．（5分）若复数，则z在复平面内所对应的点位于的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．2 B．5 C．6 D．74．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．125．（5分）执行如图所示的程序语句，则输出的s的值为（）A．B．1 C．D．6．（5分）已知命题p：直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0平行；命题q：直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为，则命题p是q（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既充分也不必要条件7．（5分）数列{a n}为正项递增等比数列，满足a2+a4=10，a32=16，则等于（）A．﹣45 B．45 C．﹣90 D．908．（5分）若是夹角为60°的两个单位向量，则向量=的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f′（x）＜0．若，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b11．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）的图象过点，相邻两个对称中心的距离是，则下列说法不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称D．f（x）在上是减函数12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）﹣ax=0有两个解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）．14．（5分）一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记球O的体积为V1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为V2，则的值为．15．（5分）若f（x）=e x lna+e﹣x lnb为奇函数，则的最小值为．16．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数y=f（x）的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移个单位得到．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间：（2）在△ABC中，a，b，c，6分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，b=1，，求a的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为s n，点（n，s n）在曲线，上=2b n+1，b4=11，{b n}的前5项和为45．数列{b n}满足b n+b n+2（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式恒成立的最大正整数k的值．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥上面ABCD且PA=AB=2．E为PA的中点．（1）求证：PC∥面BDE；（2）求直线DE与平面PBC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0），其焦距为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，K为x轴上一点，满足，过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，求△FPQ面积s的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=1﹣ax+lnx（1）若不等式f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围；（2）在（1）中，a取最小值时，设函数g（x）=x（1﹣f（x））﹣k（x+2）+2．若函数g（x）在区间上恰有两个零点，求实数k的取值范围；（3）证明不等式：（n∈N*且n≥2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线，直线l：ρ（cosθ﹣sinθ）=4．（1）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线C2，请写出直线l，和曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l1经过点P（1，2）且l1∥l，l1与曲线C2交于点M，N，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b是任意非零实数．（1）求的最小值（2）若不等式|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x取值范圈．2018年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B=的值为（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{1，2}【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．2．（5分）若复数，则z在复平面内所对应的点位于的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为（，﹣），位于第四象限．故选：D．3．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．2 B．5 C．6 D．7【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5．即目标函数z=2x+y的最大值为5．故选：B．4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．12【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=3，∴几何体的体积：V===4．故选：B．5．（5分）执行如图所示的程序语句，则输出的s 的值为（ ）A ．B ．1C ．D ．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是S=sin +sin +sin +…+sin 的值，S=sin +sin +sin +…+sin=（sin+sin+sin+…+sin）+…sin +sin=sin+sin=sin+sin=1+．故选：C．6．（5分）已知命题p：直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0平行；命题q：直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为，则命题p是q（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既充分也不必要条件【解答】解：当a=0时，两直线方程分别为y+1=0，x+1=0，两直线不平行，当a≠0时，若两直线平行，则满足=≠，由=得a2=1，得a=±1，由≠，得a≠1，即a=﹣1，即p：a=﹣1，圆心到直线的距离d=，半径r=1，∵直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为，∴r2=d2+（）2，即1=+，得a2=1，得a=±1，则命题p是q充分不必要条件，故选：A．7．（5分）数列{a n}为正项递增等比数列，满足a2+a4=10，a32=16，则等于（）A．﹣45 B．45 C．﹣90 D．90＞0，公比q＞1．【解答】解：因为{a n}为正项递增等比数列，所以a n＞a n﹣1因为a2+a4=10 ①，且=16=a3•a3=a2•a4②由①②解得a2=2，a4=8．又因为a4=a2•q2，得q=2或q=﹣2（舍）．则得a5=16，a6=32，因为++…+==5=5=5×9=45×2=90，故选：D8．（5分）若是夹角为60°的两个单位向量，则向量=的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：根据题意，设、的夹角为θ，又由是夹角为60°的两个单位向量，且=，则•=（+）（﹣+2）=﹣2+22+•=，又由=（+），则||==，=（﹣+2），则||==，则有cosθ==，则θ=60°；故选：B．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由一条渐近线过点，可得=，双曲线的一个焦点（﹣c，0）在抛物线y2=16x的准线x=﹣4上，可得c=4，即有a2+b2=16，解得a=2，b=2，则双曲线的方程为﹣=1．故选：A．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f′（x）＜0．若，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解答】解：∵当x∈[0，+∞）时，f′（x）＜0，∴当x∈[0，+∞）时，函数f（x）单调递减，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，a=﹣f（ln）=﹣f（﹣ln2）=f（ln2），ln（﹣）＞ln=﹣1，又ln（﹣）＜0，则﹣1＜ln（﹣）＜0，e0.1＞1，0＜ln2＜1，则﹣1＜ln（﹣）＜ln2＜e0.1，则f（ln（﹣））＞f（ln2）＞f（e0.1），即c＜a＜b，故选：C．11．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）的图象过点，相邻两个对称中心的距离是，则下列说法不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称D．f（x）在上是减函数【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象相邻两个对称中心的距离是，∴=，∴T==，解得ω=3；又f（x）的图象过点，∴2sin（ω+φ）=2，∴ω+φ=+2kπ，k∈Z；解得φ=+2kπ，k∈Z；令k=0，得φ=，∴f（x）=2sin（3x+）；∴f（x）的最小正周期为T=，A正确；f（）=2sin（3×+）=﹣2为最小值，∴f（x）的一条对称轴为x=，B正确；f（x）的图象向左平移个单位，得函数y=2sin[3（x+）+]=2sin（3x+）=2cos3x，其图象关于y轴对称，C正确；x∈[﹣，]时，3x∈[﹣，]，∴3x+∈[﹣，]时，∴f（x）=2sin（3x+）在上是增函数，D错误．故选：D．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）﹣ax=0有两个解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设函数y=f（x）和y=ax，作出函数f（x）的图象如图：要使方程f（x）﹣ax=0有2两个解，即函数y=f（x）和y=ax有2个不同的交点，∵f（﹣2）=5，f（5）=|5+﹣4|=，当y=ax经过点（5，）时，此时a=，当过点（﹣2，5）时，此时a=﹣，当直线y=ax与y=x2+1相切时，∵y′=2x，设切点为（x0，y0），﹣2≤x0≤0，∴=2x0，解得x0=﹣1，当x0=﹣1，此时a=﹣2，结合图象，综上所述a的取值范围为[﹣，﹣2）∪（0，]，故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）6．【解答】解：（2x﹣1）dx=（x2﹣x）=9﹣3=6，∴（2x﹣1）dx=6，故答案为：614．（5分）一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记球O的体积为V1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为V2，则的值为2．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，球O的半径为r，∴球O的体积V1=，圆柱内除了球之外的几何体体积：V2==，∴==2．故答案为：2．15．（5分）若f（x）=e x lna+e﹣x lnb为奇函数，则的最小值为2．【解答】解：f（x）=e x lna+e﹣x lnb为奇函数，可得f（0）=0，即有e0lna+e0lnb=0，即有ln（ab）=0，可得ab=1，（a＞0，b＞0），则≥2=2，当且仅当b=2a=时，等号成立，则的最小值为2．故答案为：2．16．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为．【解答】解：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，分别过M和N作准线的垂线，垂足分别为C和D，过NH⊥CM，垂足为H，设|NF|=x，则|MF|=3x，由抛物线的定义可知：|NF|=|DH|=x，|MF|=|CM|=3x，∴|HM|=2x，由|MN|=4x，∴∠HMF=60°，则直线MN的倾斜角为60°，则直线l的斜率k=tan60°=，故答案为：．方法二：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，设直线MN的斜率为k，则直线MN的方程y=k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|MF|=3|NF|，=3，即（1﹣x1，﹣y1）=3（x2﹣1，y2），x1+3x2=4，整理得：3x2﹣4x2+1=0，解得：x2=，或x2=1（舍去），则x1=3，解得：k=±，由k＞0，则k=故答案为：．方法三：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，设直线MN的方程x=mx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），，整理得：y2﹣4my﹣4=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由|MF|=3|NF|，=3，即（1﹣x1，﹣y1）=3（x2﹣1，y2），﹣y1=3y2，即y1=﹣3y2，解得：y2=﹣，y1=2，∴4m=，则m=，∴直线l的斜率为，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数y=f（x）的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移个单位得到．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间：（2）在△ABC中，a，b，c，6分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，b=1，，求a的值．【解答】解：（1）y=2sin2x+1的图象向左平移个单位得到的图象，即．函数最小正周期T=π．令，则，解得，所以y=f（x）的单调增区间是．（2）由题意得：，则有．因为0＜A＜π，所以，．由及b=1得，c=4．根据余弦定理，，所以．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为s n，点（n，s n）在曲线，上=2b n+1，b4=11，{b n}的前5项和为45．数列{b n}满足b n+b n+2（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式恒成立的最大正整数k的值．【解答】解：（1）由已知得：，当n=1时，，当n≥2时，=n+2，当n=1时，符合上式．所以a n=n+2．因为数列{b n}满足b n+b n=2b n+1，所以{b n}为等差数列．设其公差为d．+2则，解得，所以b n=2n+3．（2）由（1）得，=，=，因为，所以{T n}是递增数列．所以，故恒成立只要恒成立．所以k＜9，最大正整数k的值为8．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥上面ABCD且PA=AB=2．E为PA的中点．（1）求证：PC∥面BDE；（2）求直线DE与平面PBC所成角的余弦值．【解答】（1）解：连接CA交BD于O，连接OE，因为ABCD为正方形且AC，BD为对角线，所以O为CA的中点，又E为PA的中点，故OE为△PAC的中位线，所以OE∥PC，而OE⊂面BDE，PC⊄面BDE，故PC∥面BDE．（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．则B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），E（0，0，1），P（0，0，2），所以，，，设平面PBC的法向量，则即，令z=1，则法向量，设直线DE与平面PBC所成角为θ，则，故直线DE与平面PBC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0），其焦距为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，K为x轴上一点，满足，过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，求△FPQ面积s的最大值．【解答】解：（1）因为椭圆焦距为2，即2c=2，所以c=1，，所以a=，从而b2=a2﹣c2=1，所以，椭圆的方程为+y2=1．（2）椭圆右焦点F（1，0），由可知K（2，0），直线l过点K（2，0），设直线l的方程为y=k（x﹣2），k≠0，将直线方程与椭圆方程联立得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由判别式△=（﹣8k2）2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0解得k2＜．点F（1，0）到直线l的距离为h，则，，=••，=|k|•，=，令t=1+2k2，则1＜t＜2，则S=•=，当时，S取得最大值．此时，，S取得最大值．21．（12分）已知函数f（x）=1﹣ax+lnx（1）若不等式f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围；（2）在（1）中，a取最小值时，设函数g（x）=x（1﹣f（x））﹣k（x+2）+2．若函数g（x）在区间上恰有两个零点，求实数k的取值范围；（3）证明不等式：（n∈N*且n≥2）．【解答】解：（1）由题意知，1﹣ax+lnx≤0恒成立．变形得：．设，则a≥h（x）max．由可知，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，h（x）在x=1处取得最大值，且h（x）max=h（1）=1．所以a≥h（x）max=1，实数a的取值范围是[1，+∞）．（2）由（1）可知，a≥1，当a=1时，f（x）=1﹣x+lnx，g（x）=x（x﹣lnx）﹣k（x+2）+2=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2，g（x）在区间上恰有两个零点，即关于x的方程x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2=0在区间上恰有两个实数根．整理方程得，，令，．令φ（x）=x2+3x﹣2lnx﹣4，，则，，于是φ'（x）≥0，φ（x）在上单调递增．因为φ（1）=0，当时，φ（x）＜0，从而s'（x）＜0，s（x）单调递减，当x∈（1，8]时，φ（x）＞0，从而s'（x）＞0，s（x）单调递增，，s（1）=1，，因为，所以实数k的取值范围是．证明（3）由（1）可知，当a=1时，有x﹣1≥lnx，当且仅当x=1时取等号．令，则有，其中k∈N*，k≥2．整理得：，当k=2，3，…，n时，，，…，，上面n﹣1个式子累加得：．n∈N*且n≥2，即．命题得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线，直线l：ρ（cosθ﹣sinθ）=4．（1）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线C2，请写出直线l，和曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l1经过点P（1，2）且l1∥l，l1与曲线C2交于点M，N，求|PM|•|PN|的值．【解答】解：（1）因为l：ρ（cosθ﹣sinθ）=4，转化为直角坐标方程为：x﹣y=4；设曲线C2上任一点坐标为（x'，y'），则，所以，代入C1方程得：，所以C2的方程为．（2）直线l：x﹣y=4倾斜角为，由题意可知，直线l1的参数方程为（t为参数），联立直线l1和曲线C2的方程得，．设方程的两根为t1，t2，则t1t2=2．由直线参数t的几何意义可知，|PM|•|PN|=|t1t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b是任意非零实数．（1）求的最小值（2）若不等式|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x取值范圈．【解答】解：（1）因为|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|3a+2b+3a﹣2b|=6|a|，当且仅当（3a+2b）（3a﹣2b）≥0时取等号，所以的最小值为6．（2）由题意得：恒成立，结合（Ⅰ）得：|2+x|+|2﹣x|≤6．当x≤﹣2时，﹣x﹣2+2﹣x≤6，解得﹣3≤x≤﹣2；当﹣2＜x≤2时，x+2+2﹣x≤6成立，所以﹣2＜x≤2；当x＞2时，x+2+x﹣2≤6，解得2＜x≤3．综上，实数x的取值范围是[﹣3，3]．。

2020届黑龙江省大庆实验中学高考理科数学一模试题一、单选题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0＜x＜log216}，集合B＝{x|2x﹣2＞0}，则集合A∩B真子集个数是（）A．2B．3C．4D．82．（5分）i为虚数单位，则的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1D．13．（5分）在（﹣）6的展开式中，中间一项的二项式系数为（）A．20B．﹣20C．15D．﹣154．（5分）已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y﹣3＝0，则该双曲线的离心率为（）A．5或B．或C．或D．5或5．（5分）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，．根据这些信息，可得sin234°＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m∥n的充分条件是（）A．m，n与平面α所成角相等B．m∥α，n∥αC．m∥α，m⊂β，α∩β＝n D．m∥α，α∩β＝n7．（5分）已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣7＜a＜24B．﹣24＜a＜7C．a＜﹣1或a＞24D．a＜﹣24或a＞7 8．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，3，…，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[401，731]的人数为（）A．10B．11C．12D．139．（5分）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知a＝5ln4π，b＝4ln5π，c＝5lnπ4，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c11．（5分）已知椭圆C：，过原点的直线交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆过右焦点F，若∠F AB＝α∈，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数（其中无理数e＝2.718…），关于x的方程有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（）A．B．（2，+∞）C．D．二．填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）＝a x+1+1，（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点坐标为．14．（5分）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得，类似上述过程，则．15．（5分）在四面体S﹣ABC中，SA＝SB＝2，且SA⊥SB，，，则该四面体体积的最大值为，该四面体外接球的表面积为．16．（5分）在△ABC中，，点D为线段AB上一动点，若最小值为，则△ABC的面积为．三．解答题（本题共5道小题，每题12分，共60分）17．（12分）已知数列{a n}满足，a1＝1，a2＝4且a n+2﹣4a n+1+3a n＝0（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{a n+1﹣a n}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝2n•a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为等边三角形，且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝1，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ADC＝45°，分别是AD，PD的中点．（Ⅰ）证明：平面CMN∥平面P AB；（Ⅱ）已知点E在棱PC上且，求直线NE与平面P AB所成角的余弦值．19．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），焦点为F．线段AB的中点为M（3，y0），且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8．（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求△ABC面积的最大值．20．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）21．（12分）已知函数．（1）若f'（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）＝f'（x）﹣x﹣alnx的单调性；（2）若（e是自然对数的底数），求证：f（x）＞0．四、请考生在第22～23题中任选一道作答，如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号.22．（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的极坐标的方程以及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a 的取值范围．。

大庆市2020届高三第一次教学质量检测数学（理）试题参考答案一．,,ABCBC BBCDA AD二．13．5 14．12 15．59- 16．22,4e e ⎛⎤⎥⎝⎦17．解：（1）当1n =时，12a = .........................................1分当2n ≥时，()()()221112222n n n n n n n a S S a a a a ---⎡⎤=-=+--+-⎣⎦ .........2分()()1110n n n n a a a a --∴+--=0n a > 11n n a a -∴-= .........................................4分{}n a ∴是以12a =为首项，1d =为公差的等差数列1n a n ∴=+ .........................................6分（2）由（1）的11,2n n n a n b +=+=则 ....................9分()222122412n n nT +-∴==-- .....................12分18解：（1）在A 先生的男性好友中任意选取1名，其中走路步数不低于6000的概率为82205= 可能取值分别为0，1，2，3， . ............. ....................2分∴30033227(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21133254(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12233236(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 0333328(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， .. ................4分则()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （也可写成2(3,)5X B 26()355E X ∴=⨯= .. ................6分X2K ∴的观测值2040(413716) 1.129 2.70611292020k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯．..................10分 ∴据此判断没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关． ..... .............12分19．解：（1）证明：因为//AB CD ，90BCD ∠=︒，所以AB BC ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB平面ABCD AB =，∴BC ⊥平面PAB ， ······················································································ 1分又AQ ⊂平面PAB ，∴所以BC ⊥AQ ， ···················································································· 2分Q 为PB 中点，且PAB △为等边三角形，∴PB ⊥AQ ， ······························································································· 3分又PB BC B =I ，∴AQ ⊥平面 PBC . ·················································································· 4分（2）【法一】：（1）取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB △为等边三角形，所以PO ⊥AB ， 由平面PAB ⊥平面ABCD ，因为PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ， ··········· 5分 （2）所以PO ⊥OD ，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒， 可知//OD BC ，所以OD AB ⊥．以AB 中点O 为坐标原点，,,OD OB OP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. ··········································································································································· 6分 所以()()0,2,0,2,0,0,A D -()(()2,2,0,,0,2,0C P B ，则()()()2,2,0,2,0,23,0,2,0AD DP CD ==-=-，x因为Q 为PB中点，所以(Q ，由 (1) 知，平面PBC的一个法向量为(AQ =uuu r----------------7分设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由0,n CD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020y x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()3,0,1n =， ····························································· 9分由1cos ,4AQ n AQ n AQ n⋅<>===uuu r ruuu r r uuu r r . ························································· 11分 所以，二面角B PC D --的正弦值为4. ·································································· 12分 【法二】：取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB △为等边三角形，所以PO ⊥AB ， 由平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， ·················································· 5分 所以PO ⊥OD ，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒， 可知//OD BC ，所以OD AB ⊥．以AB 中点O 为坐标原点，,,OA OD OP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. ··········································································································································· 6分 所以()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,A D C-((),2,0,0P B -，所以()(2,2,0,0,,AD DP =-=-()2,0,0CD =，由(1)知，可以AQ uuu r为平面PBC 的法向量，因为Q 为PB 的中点，所以(Q -，由(1)知，平面PBC的一个法向量为(AQ =-uuu r， ·················································· 7分设平面PCD 的法向量为(),,n x yz =，x由0,0n CD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()0,3,1n =， ····························································································· 9分所以1cos ,4AQ n AQ n AQ n⋅<>===uuu r r uuu r r uuu r r ······················································ 11分 所以，二面角B PC D --的正弦值为4. ·································································· 12分 【法三】：过点B 作PC 的垂线BH ，交PC 于点H ，连结DH .由题意知PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PO CD ⊥.由条件知OD CD ⊥， 又POOD O =，所以CD ⊥平面POD ，又PD ⊂平面POD ，所以CD PD ⊥， 又CD CB =，所以Rt PDC Rt PBC △≌△， 所以DH PC ⊥，由二面角的定义知，二面角B PC D --的平面角为BHD ∠. ·········································· 7分 在Rt PDC △中，4,2PB BC ==，PC = 由PB BC BH PC ⋅=⋅，所以PB BC BH PC ⋅===.-------------8分同理可得DH =，-----------------------------------------------------9分又BD =在BHD △中，222cos 2BH DH BD BHD BH DH +-=∠(22214+-==-⎝⎭⎝⎭---------------------------------10分所以，二面角B PC D --的正弦值为4. ·································································· 12分 20．解：（1）设椭圆C 的方程为)00(12222>>=+b a by a x ，，则由题意知2b =b =第19题HO12e ==，解得24a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由（1）知，E 的方程为22143x y +=，所以(1,0)B F ， 所以直线BF的斜率BF k =l ，使得F 是BMN ∆的垂心，则BF MN ⊥． 设l 的斜率为k ，则1BF k k ∙=-，所以3k =，………………………………………………6分 设l的方程为3y x m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由22143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得221312(3)0x m ++-=，……………………………………7分由22)41312(3)0m ∆=-⨯⨯->，得33m -<<．…………………………8分2121212(3)13m x x x x -+==．…………………………………………………………9分因为MF BN ⊥，所以0MF BN ⋅=，因为1122(1,),(,MF x y BN x y =--=，所以1212(1)(0x x y y --=，……………………………………………………10分即12121(1)0x x x m x m x m ⎫⎫--+++=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，整理得2121241()03x x x x m ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭，所以22412(3)10313313m m m ⎛⎫⎛⎫----⋅-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221480m --=，解得m =21m =-．当m =MN 过点B ，不能构成三角形，舍去；当m =m <<， 所以存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，l的方程为321y x =-．…………12分 21. 解：（1）当2,3a b ==-时，ln ()3xf x x x=-+ （0x >） 221ln ()x x f x x --'=则1)(-='e f ，切点为)31,(+-e ee , 故函数()f x 在x e =处的切线方程为031=--+ey x . ………………………………4分 （2）证明：12,()x x f x 是的两个零点，不妨设12x x <12()()0f x f x ∴==,即111ln 102x ax b x --=，222ln 102x ax b x --= 21111ln 02x ax bx ∴--=，22221ln 02x ax bx --=相减得：221212121ln ln ()()02x x a x x b x x -----= ⇒121212ln1()02x x a x x b x x -+-=-…………6分 ⇒11222121212()ln1()()02x x x x a x x b x x x x +-+-+=-，11222121212()ln()()02()22x x x x x x x x a b x x +++--=-则 ∴11212212()ln()2()2x x x x x x g x x ++=- ⇒11112122221122()ln (1)ln ()22()2(1)x x xx x x x x x x g x x x x +++==--……8分 令12x t x =，即证01t <<，(1)ln 12(1)t t t +>-…………………9分(1)ln 2(1)2(1)1ln ln 02(1)11t t t t t t t t t +-->⇔<⇔-<-++由令2(1)()ln ,(0,1)1t m t t t t -=-∈+，22214(1)()0(1)(1)t m t t t t t -'=-=>++…………………11分2(1)()ln 1t m t t t -=-+在()0,1上是增函数 又(1)0m =(0,1),()0t m t ∴∈<，命题得证 …………………12分22.解（Ⅰ）由l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即打开得sin cos 2ρθθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得l的直角坐标方程为2y =+， ...... ...........2分由圆C的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，得圆心为)，半径为r则由直线l 与曲线C 相切∴圆心C 到直线l的距离2d r === .... ...... ...... ..........5分（Ⅱ）由（Ⅰ）圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 不妨设()1,M ρθ，()212,0,0,[0,2]6N πρθρρθπ⎛⎫+>>∈ ⎪⎝⎭，则12111||||sin sin 4sin 4sin 2264336OMN S OM ON MON ππππρρθθ∆⎛⎫⎛⎫=∠==⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos sin 22sin 23πθθθθθθ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，..... ..... ......8分当2+=32ππθ，即12πθ=时，S 2OMN ∆取最大值 ...... ......9分所以MON ∆面积的最大值为2 ．...... ...... ...... ......10分23.解 （1）()()2,2224,222,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪+-=++-+=-≤≤⎨⎪>⎩由()6f x ≥，则(][),33,x ∈-∞-+∞ ............5分（2）()()5,3412321,225,2x f x f x x x x x x <-⎧⎪--+=--+=---≤≤⎨⎪->⎩由()()41f x f x kx m --+>+的解集为实数集R ，可得0k =，5m <- 即5k m +<- ............5分。

2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷（理科）（五）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A ＝{y|y ＝3x , x ∈R}，B ＝{y|y =√4−x 2, x ∈R}，则A ∩B ＝（ ） A.[0, 2] B.(0, +∞) C.(0, 2] D.[0, 2)2. 若复数z =4i(1−i)2−2+i 2019，复数在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 下列说法错误的是（ ）A.命题“若x 2−3x +2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2−3x +2≠0”B.“x >1”是“|x|>1”的充分而不必要条件C.若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D.命题p ：“存在x ∈R ，使得x 2+x +1<0”，则非p ：“任意x ∈R ，均有x 2+x +1≥0”4. 在△ABC 中，AC ＝1，AC →⋅AB →=−1，O 为△ABC 的重心，则BO →⋅AC →的值为（ ） A.1 B.32C.53D.25. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）A.35B.20C.18D.96. 函数f(x)＝(3x +3−x )⋅lg |x|的图象大致为（ ）A. B.C. D.7. 二项式(x −ax )8的展开式中x 2的系数是−7，则a ＝（ ）A.1B.12C.−12D.−18. 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收入完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积，S为△OKL的面积，将Gini=aS称为基尼系数．①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f(x)，则对∀x∈(0, 1)，均有f(x)x>1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2(x∈[0, 1])，则Gini=14；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3(x∈[0, 1])，Gini=12．上述说法正确序号的是（）A.①④B.②③C.①③④D.①②④9. 圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则θ的取值范围是（）A.[√2π,2π)B.[π,√2π]C.{√2π}D.[√2π2,π)10. 已知α，β是函数f(x)＝sin x+cos x−13在[0, 2π)上的两个零点，则cos(α−β)＝（）A.−1B.−89C.−√22D.011. 椭圆与双曲线共焦点F1，F2，它们的交点P对两公共焦点F1，F2的张角为∠F1PF2＝2θ，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A.cos2θe12+sin2θe22=1 B.sin2θe12+cos2θe22=1C.e12cos2θ+e22sin2θ=1 D.e12sin2θ+e22cos2θ=112. 设函数g(x)＝e x+(1−√e)x−a（a∈R，e为自然对数的底数）．定义在R上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)＝x2，且当x≤0时，f′(x)<x．若存在x0∈{x|f(x)+12≥f(1−x)+x}，且x0为函数y＝g(x)−x的一个零点，则实数a的取值范围为（）A.(√e2,+∞) B.(√e, +∞) C.[√e, +∞) D.[√e2,+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．已知x，y满足{x−y≥0x+y≤2y≥0，则2x+y的最大值为________．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是________（用数字作答）．数列1，x，1，x，x，1，x，x，x，1，x，x，x，x，1，x，…，其中在第n个1与第n+1个1之间插入n个x，若该数列的前2020项的和为7891，则x＝________．在△ABC中，已知AB→⋅AC→=9，sin B＝cos A⋅sin C，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且CP→=x⋅CA→|CA→|+y⋅CB→|CB→|，则xy的最大值为________．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知数列{a n}是首项为1，公比为12的等比数列，S n＝a1+a2+...+a n．（1）若S n,98,a n−1成等差数列，求n的值；（2）证明∀n∈N∗，有2a2S1S2+2a3S2S3+⋯+2a n+1S n S n+1<1−12在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120∘．（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF // 平面PAD，求AF的长；（3）求二面角A−PC−B的余弦值．某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调査．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0, 30]内，按[0, 5]，(5, 10]，(10, 15]，(15, 20]，(20, 25]，(25, 30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：K2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：已知圆M：(x−√2)2+y2=73，若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为圆M的圆心，离心率为√22．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知直线l:y＝kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB 上），且|AG|＝|BH|，求k的值．（1）已知f(x)=ln x+1x2，证明：当x≥2时，x2ln x+1≥(ln2+14)x2；（2）证明：当a∈(−2−1e4,−1−1e2)时，g(x)=13x3ln x+3a−19x3+x(x≥√2)有最小值，记g(x)最小值为φ(a)，求φ(a)的值域．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为{x=1+2cosβy=1+2sinβ（β为参数），以原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为：θ＝α，直线l2的极坐标方程为θ=α+π2．(Ⅰ)写出曲线M的极坐标方程，并指出它是何种曲线；(Ⅱ)设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)＝|x−1|+|x−a|，a∈R．（1）当a＝4时，求不等式f(x)≥5的解集；（2）若f(x)≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷（理科）（五）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】分别求y＝3x，x∈R，y=√4−x2，x∈R的值域，得：A＝(0, +∞)，B＝[0, 2]，再求交集即可．【解答】由y＝3x，x∈R，得y>0，即A＝(0, +∞)，由y=2，x∈R，得：0≤y≤2，即B＝[0, 2]，即A∩B＝(0, 2]，2.【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】∵z=4i(1−i)2−2+i2019=4i−2−2i+i4×504=2i(−1+i)(−1−i)(−1+i)−i=−1−i−i＝−1−2i．∴z在复平面内对应的点的坐标为(−1, −2)，位于第三象限．3.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】A中命题的逆否命题是条件与结论互换并且否定；B中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；C中p且q为假命题时，则p或q为假命题，或P、Q都是假命题，即一假则假；D中非p是特称命题的否定．【解答】A、命题“若x2−3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，命题正确；B、当x>1时，|x|>1成立，当|x|>1时，有x>1或x<−1，∴原命题正确；C、当p且q为假命题时，有p或q为假命题，或P、Q都是假命题，∴原命题错误；D、命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1<0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，命题正确．4.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】取AC中点为D，因为O为△ABC的重心，则BO→=23BD→，由三角形法则有：BD→=12(BA→+BC→)，所以BO→=13(BA→+BC→)，再利用数量积公式求解即可【解答】取AC中点为D，因为O为△ABC的重心，则BO→=23BD→，由三角形法则有：BD→=12(BA→+BC→)，所以BO→=13(BA→+BC→)，BO→⋅AC→=13(BA→+BC→)⋅AC→=13(AC→−AB→−AB→)⋅AC→=13AC→2−23AB→⋅AC→=13+23＝1，5.【答案】C【考点】程序框图【解析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】∵输入的x＝2，n＝3，故v＝1，i＝2，满足进行循环的条件，v＝4，i＝1，满足进行循环的条件，v＝9，i＝0，满足进行循环的条件，v＝18，i＝−1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：6.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据条件平时函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可．【解答】函数的定义域为{x|x≠0}，f(−x)＝(3x+3−x)⋅lg|x|＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当x>1时，f(x)>0，排除A，当0<x<1时，f(x)<0，排除C，7.【答案】B【考点】二项式定理及相关概念【解析】利用通项公式即可得出．【解答】二项式(x−ax)8的展开式中的通项公式：T r+1＝C8r(−a)r x8−2r，令8−2r＝2，解得r＝3，则含x2项的系数为C83(−a)3＝−7，解得a=128.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】可由当Gini=as，则a越小，不平等区域越小，越公平，进行判断①，f(x)<x，则对∀x∈(0, 1)，均有f(x)x<1，可判断②，先积分求a，再求Gini，判断③④．【解答】①：由题意知A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．当Gini=as，则a越小，不平等区域越小，越公平，①对，②：由图可知f(x)<x，则对∀x∈(0, 1)，均有f(x)x <1，②错；③：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2(x∈[0, 1])，a=∫1 (x−x2)dx＝( 12x2−13x3)|01=16，Gini=1612=13，③错，④：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3(x∈[0, 1])，a=∫1 (x−x3)dx＝( 12x2−14x4)|01=14，Gini＝1412=12，④对，9.【答案】A【考点】棱锥的结构特征【解析】设轴截面的中心角为2α，由条件得π4≤α<π2，sinα=rl=r2≥√22，解得r≥√2，由此能求出θ的取值范围．【解答】圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，设轴截面的中心角为2α，由条件得：π4≤α<π2，sinα=rl=r2≥√22，解得r≥√2，θ=2πrl≥2√2π2=√2π，∴√2π≤θ<2π，∴θ的取值范围是[√2π,2π)．10.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用函数与方程之间的关系，结合三角函数的诱导公式，同角的三角函数的关系以及两角和差的三角公式分别进行转化求解即可．【解答】解法一：依题意，f(α)＝f(β)＝0，故sinα+cosα=13，由{sinα+cosα=13sin2α+cos2α=1，得9sin2α−3sinα−4＝0，9cos2α−3cosα−4＝0且sinα≠cosα，所以sinα，cosα是方程9x2−3x−4＝0(∗)的两个异根．同理可证，sinβ，cosβ为方程(∗)的两个异根．可以得到sinα≠sinβ，理由如下：假设sinα＝sinβ，则cosα＝cosβ，又α，β∈[0, 2π)，则α＝β，这与已知相悖，故sinα≠sinβ．从而sinα，sinβ为方程(∗)的两个异根，故sinαsinβ=−49．同理可求cosαcosβ=−49，所以cos(α−β)＝cosαcosα+sinαsinβ=−89．解法二：令f(x)＝0，得sin x +cos x =13．令g(x)＝sin x +cos x ，即g(x)=√2sin (x +π4)，则α，β即为g(x)与直线y =13在[0, 2π)上交点的横坐标，由图象可知，α+β2=5π4，故β=5π2−α，又√2sin (α+π4)=13，所以cos (α−β)=cos (2α−5π2)=cos [2(α+π4)−3π]=−cos 2(α+π4)=−1+2sin 2(α+π4)=−89．解法三：依题意，不妨设0≤β<α<2π，则点A(cos α, sin α)，B(cos β, sin β)为直线x +y −13=0与单位圆的两个交点，如图所示．取AB 中点为H ，则OH ⊥AB ，记∠AOH ＝θ．则α−β＝2π−2θ， 所以，cos (α−β)＝cos (2π−2θ)＝cos 2θ＝2cos 2θ−1． 另一方面，OH =|0+0−13|√12+12=√26，OA ＝1，故cos θ=√26， 从而cos (α−β)=2×(√26)2−1=−89．11.【答案】 B【考点】圆锥曲线的综合问题 【解析】设椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，P 到两焦点的距离分别为m ，n(m >n >0)，焦距为2c ，分别运用椭圆和双曲线的定义，以及三角形的余弦定理和离心率公式，结合二倍角公式，即可得到结论． 【解答】设椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，P 到两焦点的距离分别为m ，n(m >n >0)，焦距为2c ， 由椭圆的定义可得m +n ＝2a 1，由双曲线的定义可得m −n ＝2a 2， 解得m ＝a 1+a 2，n ＝a 1−a 2，由余弦定理可得m 2+n 2−2mn cos 2θ＝4c 2，则(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)cos 2θ＝4c 2，化为a 12(1−cos 2θ)+a 22(1+cos 2θ)＝2c 2， 可得a 12sin 2θc 2+a 22cos 2θc 2=1，由e 1=c a 1，e 2=c a 2，可得sin 2θe 1+cos 2θe 2=1．12.【答案】 D【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】构造函数T(x)＝f(x)−12x 2，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可． 【解答】构造函数T(x)＝f(x)−12x 2， ∵ f(−x)+f(x)＝x 2，∴ T(x)+T(−x)＝f(x)−12x 2+f(−x)−12(−x)2＝f(x)+f(−x)+x 2＝0∴ T(x)为奇函数，当x ≤0时，T′(x)＝f′(x)−x <0， ∴ T(x)在(−∞, 0]上单调递减， ∴ T(x)在R 上单调递减．∵ 存在x 0∈{x|f(x)+12≥f(1−x)+x}，∴ f(x 0)+12≥f(1−x 0)+x 0，∴ T(x 0)+12x 02+12≥T(1−x 0)+12(1−x 0)2+x 0，化简得T(x 0)≥T(1−x 0)，∴ x 0≤1−x 0，即x 0≤12，令ℎ(x)＝g(x)−x ＝e x −√ex −a ，(x ≤12)，∵ x 0为函数y ＝g(x)−x 的一个零点，∴ ℎ(x)在x ≤12时有一个零点，∵ 当x ≤12时，ℎ′(x)＝e x −√e ≤e 12−√e =0，∴ 函数ℎ(x)在x ≤12时单调递减， 由选项知a >0，√e<a <12，又∵ √e)=a √e−√e(−√e)−a =a √e>0，∴ 要使ℎ(x)在x ≤12时有一个零点，只需使ℎ(12)=√e −12√e −a ≤0， 解得a ≥√e2，∴ a 的取值范围为[√e2, +∞)， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】 4【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出最大值．， 【解答】作出x ，y 满足{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0 ，对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z ＝2x +y 得y ＝−2x +z ， 平移直线y ＝−2x +z ，由图象可知当直线y ＝−2x +z 经过点A 时，直线y ＝−2x +z 的截距最大， 此时z 最大．由{x +y =2y =0，解得A(2, 0)，代入目标函数z ＝2x +y 得z ＝2×2+0＝4． 即目标函数z ＝2x +y 的最大值为：4． 【答案】 40【考点】分步乘法计数原理 【解析】欲求可组成符合条件的六位数的个数，只须利用分步计数原理分三步计算：第一步：先将3、5排列，第二步：再将4、6插空排列，第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中即可． 【解答】解析：可分三步来做这件事： 第一步：先将3、5排列，共有A 22种排法；第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有2A 22种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C 51种排法．由分步乘法计数原理得共有A 22⋅2A 22⋅C 51＝40（种）． 【答案】 4【考点】 数列的求和 【解析】当n ≥2时，前n 个1之间共有n +[1+2+3+...+(n −1)]=n(n+1)2项，可知在第63个1的后面再跟的第4个x就是第2020项，所以前2020项中含63个1，其余的均为x ，即可求得结果．【解答】当n ≥2时，前n 个1之间共有n +[1+2+3+...+(n −1)]=n(n+1)2项，当n ＝63时，有63×642=2016项，在第63个1的后面再跟的第4个x 就是第2020项，所以前2020项中含63个1，其余的均为x ，故该数列前2020项的和为63×1+(2020−63)x ＝7891，解得x ＝4． 【答案】 3【考点】三角函数中的恒等变换应用 平面向量的基本定理 【解析】由条件求得bc cos A ＝9，12bc sin A ＝6，tan A =43，可得c ＝5，b ＝3，a ＝4，以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得C(0, 0)，A(3, 0)，B(0, 4)．设CA→|CA →|=e 1→，CB →|CB →|=e 2→，则CP →=(x, y)，可得x ＝3λ，y ＝4−4λ则4x +3y ＝12，利用基本不等式求解最大值． 【解答】△ABC 中，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，∵ sin B ＝cos A ⋅sin C ，sin (A +C)＝sin C cos nA ， 即sin A cos C +sin C cos A ＝sin C cos A ．∴ sin A cos C ＝0，∵ sin A ≠0，∴ cos C ＝0，C ＝90∘．∵ AB →⋅AC →=9，S △ABC ＝6，∴ bc cos A ＝9，12bc sin A ＝6，∴ tan A =43． 根据直角三角形可得sin A =45，cos A =35，bc ＝15，∴ c ＝5，b ＝3，a ＝4．以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得C(0, 0)，A(3, 0)，B(0, 4)． P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得CP →=λCA →+(1−λ)CB →=(3λ, 4−4λ)(0≤λ≤1)． 设CA→|CA →|=e 1→，CB →|CB →|=e 2→，则|e 1→|＝|e 2→|＝1，且 e 1→=(1, 0)，e 2→=(0, 1)．∴ CP →=x ⋅CA →|CA →|+y ⋅CB →|CB →|=(x, 0)+(0, y)＝(x, y)，可得x ＝3λ，y ＝4−4λ则4x +3y ＝12，12＝4x +3y ≥2√12xy ，解得xy ≤3， 故所求的xy 最大值为：3．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 【答案】 a n =(12)n−1，S n =1−(12)n1−12=2−12n−1，∵ S n ,98,a n−1成等差数列， ∴ 2×98=2−12n−1+12n−2， 解得n ＝3．证明：2a n+1S n S n+1=2(S n+1−S n )S n S n+1=2(1S n−1Sn+1)．∴ 2a 2S1S 2+2a 3S2S 3+⋯⋯+2a n+1S n S n+1=2(1S 1−1S 2+1S 2−1S 3+⋯⋯+1S n−1Sn+1)＝2(1S 1−1Sn+1)＝2(1−2n2n+1−1)＝1−12n+1−1<1−12n+1．∴ 2a 2S1S 2+2a 3S 2S 3+⋯⋯+2a n+1Sn S n+1<1−12n+1．【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和 【解析】（1）利用通项公式与求和公式可得：a n ，S n ，根据S n ,98,a n−1成等差数列，解得n ．(2)2a n+1Sn S n+1=2(S n+1−S n )S n S n+1=2(1S n−1Sn+1)．利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．【解答】 a n =(12)n−1，S n =1−(12)n1−12=2−12n−1，∵ S n ,98,a n−1成等差数列， ∴ 2×98=2−12n−1+12n−2，解得n ＝3． 证明：2a n+1S n S n+1=2(S n+1−S n )S n S n+1=2(1S n−1S n+1)．∴2a 2S 1S 2+2a 3S 2S 3+⋯⋯+2a n+1S n S n+1=2(1S 1−1S 2+1S 2−1S 3+⋯⋯+1S n−1S n+1)＝2(1S 1−1S n+1)＝2(1−2n2n+1−1)＝1−12n+1−1<1−12n+1． ∴ 2a 2S1S 2+2a 3S2S 3+⋯⋯+2a n+1Sn S n+1<1−12n+1．【答案】（1）证明：∵ △ABC 是正三角形，M 是AC 中点， ∴ BM ⊥AC ，即BD ⊥AC ．又∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥BD ． 又PA ∩AC =A ，∴ BD ⊥平面PAC ． ∴ BD ⊥PC ．（2）解：取DC 中点G ，连接FG ，则EG // 平面PAD ，∵ 直线EF // 平面PAD ，EF ∩EG =E ， ∴ 平面EFG // 平面PAD ， ∵ FG ⊂平面EFG ， ∴ FG // 平面PAD∵ M 为AC 中点，DM ⊥AC ， ∴ AD =CD ．∵ ∠ADC =120∘，AB =4，∴ ∠BAD =∠BAC +∠CAD =90∘，AD =CD =4√33， ∵ ∠DGF =60∘，DG =2√33，∴ AF =1（3）解：分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，∴ B(4, 0, 0)，C(2, 2√3, 0)，D(0, 4√33, 0)，P(0, 0, 4)． DB →=(4, −4√33, 0)为平面PAC 的法向量． 设平面PBC 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则 ∵ PC →=(2, 2√3, −4)，PB →=(4, 0, −4)， ∴ {2x +2√3y −4z =04x −4z =0，令z =3，得x =3，y =√3，则平面PBC 的一个法向量为n →=(3, √3, 3)， 设二面角A −PC −B 的大小为θ，则cos θ=|n →||DB →|˙=√77．∴二面角A−PC−B余弦值为√77．【考点】二面角的平面角及求法用空间向量求平面间的夹角与二面角有关的立体几何综合题两条直线垂直的判定直线与平面平行的性质直线与平面平行的判定【解析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）设取DC中点G，连接FG，证明平面EFG // 平面PAD，可得FG // 平面PAD，求出AD=CD，即可求AF 的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A−PC−B的余弦值．【解答】（1）证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．（2）解：取DC中点G，连接FG，则EG // 平面PAD，∵直线EF // 平面PAD，EF∩EG=E，∴平面EFG // 平面PAD，∵FG⊂平面EFG，∴FG // 平面PAD∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．∵∠ADC=120∘，AB=4，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90∘，AD=CD=4√33，∵∠DGF=60∘，DG=2√33，∴AF=1（3）解：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B(4, 0, 0)，C(2, 2√3, 0)，D(0, 4√33, 0)，P(0, 0, 4)．DB→=(4, −4√33, 0)为平面PAC的法向量．设平面PBC的一个法向量为n→=(x, y, z)，则∵PC→=(2, 2√3, −4)，PB→=(4, 0, −4)，∴{2x+2√3y−4z=04x−4z=0，令z=3，得x=3，y=√3，则平面PBC的一个法向量为n→=(3, √3, 3)，设二面角A−PC−B的大小为θ，则cosθ=|n→||DB→|˙=√77．∴二面角A−PC−B余弦值为√77．【答案】依题意，因为0.01×5+0.02×5+0.04×5＝0.35<0.5，而0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5＝0.65>0.5，所以中位数位于[15, 20)之间，所以中位数为15+0.5−0.350.06=17.5．依题意，消费金额在20千元以上的频率为：0.04×5+0.03×5＝0.35，所以网购迷”人数为100×0.35＝35人，非网购迷的人数为100−35＝65人．所以补全的列联表如下：所以K2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(15×20−45×20)260×40×35×65≈6.593．所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”；根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，P(ξ＝0)=(1−12)2(1−23)2=136，P(ξ＝1)=c 21×(12)2×(1−23)2+(12)2C 21×23×(1−23)=16P(ξ＝2)=(12)2×(1−23)2+C 21(12)2×C 21×13×(1−13)+(12)2×(23)2=1336，P(ξ＝3)=C 21×(12)2×(23)2+(12)2×C 21×23×(1−23)=13，P(ξ＝4)=(12)2×(23)2=19．所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望E(ξ)=16+2×1336+3×13+4×19=73． 【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）根据中位数在中间位置，即该数前的数出现频率为0.5，结合频率分布直方图估计即可； （2）根据题意，补充完整列联表，根据表中数据，计算出K 2的值，查临界值表判断即可； （3）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和为ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，分别计算出各个取值对应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列，求出期望即可． 【解答】依题意，因为0.01×5+0.02×5+0.04×5＝0.35<0.5，而0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5＝0.65>0.5，所以中位数位于[15, 20)之间，所以中位数为15+0.5−0.350.06=17.5．依题意，消费金额在20千元以上的频率为：0.04×5+0.03×5＝0.35，所以网购迷”人数为100×0.35＝35人，非网购迷的人数为100−35＝65人． 所以补全的列联表如下：所以K 2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(15×20−45×20)260×40×35×65≈6.593．所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”；根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，P(ξ＝0)=(1−12)2(1−23)2=136，P(ξ＝1)=c 21×(12)2×(1−23)2+(12)2C 21×23×(1−23)=16 P(ξ＝2)=(12)2×(1−23)2+C 21(12)2×C 21×13×(1−13)+(12)2×(23)2=1336，P(ξ＝3)=C 21×(12)2×(23)2+(12)2×C 21×23×(1−23)=13，P(ξ＝4)=(12)2×(23)2=19．所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望E(ξ)=16+2×1336+3×13+4×19=73． 【答案】（I ）设椭圆的焦距为2c ，由圆心M(√2,0)得到a =√2． ∵ e =ca =√22，∴ c ＝1．∴ b 2＝a 2−c 2＝1． 所以椭圆C:x 22+y 2=1．(II)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则{y =kxx 2+2y 2=2消去y 得到(1+2k 2)x 2−2＝0，则x 1+x 2＝0，x 1x 2=−21+2k 2．∴ |AB|=√(1+k 2)(0+81+2k 2)=√8(1+k 2)1+2k 2． 点M(√2,0)到直线l 的距离d =√2k|√1+k 2．则|GH|=2√73−2k 21+k 2．显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y ＝kx 就是y 轴，矛盾． ∵ |AG|＝|BH|，∴ |AB|＝|GH|． ∴ 8(1+k 2)1+2k 2=4(73−2k 21+k 2)， 解得k 2＝1，即k ＝±1．【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（I ）由圆心M(√2,0)得到a =√2．利用椭圆的离心率e =ca 及b 2＝a 2−c 2即可得出椭圆的标准方程；(II)把直线l 的方程与椭圆的方程联立，消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|AB|，利用垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系(|GH|2)2=R 2−d 2即可得到|GH|，进而得出k ． 【解答】（I ）设椭圆的焦距为2c ，由圆心M(√2,0)得到a =√2． ∵ e =c a=√22，∴ c ＝1．∴ b 2＝a 2−c 2＝1． 所以椭圆C:x 22+y 2=1．(II)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则{y =kxx 2+2y 2=2消去y 得到(1+2k 2)x 2−2＝0，则x 1+x 2＝0，x 1x 2=−21+2k 2．∴ |AB|=√(1+k 2)(0+81+2k 2)=√8(1+k 2)1+2k 2． 点M(√2,0)到直线l 的距离d =√2k|√1+k 2．则|GH|=2√73−2k 21+k 2．显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y ＝kx 就是y 轴，矛盾．∵ |AG|＝|BH|，∴ |AB|＝|GH|． ∴ 8(1+k 2)1+2k =4(73−2k 21+k )， 解得k 2＝1，即k ＝±1．【答案】证明：f ′(x)=1x −2x 3=x 2−2x 3≥0，∴ f(x)在[√2,+∞)上单增， ∴ x ≥2时，f(x)≥f(2)， 即ln x +1x 2≥ln 2+14，∴ x ≥2时，x 2ln x +1≥(ln 2+14)x 2．证明：g ′(x)=x 2ln x +13x 2+3a−13x 2+1=x 2(ln x +1x 2+a)由f(x)在[√2,+∞)上单增且f(e)=1+1e,f(e 2)=2+1e ，a ∈(−2−1e 4,−1−1e 2) 知存在唯一的实数x 0∈(e,e 2)，使得g′(x 0)＝0， 即ln x 0+1x 0+a =0，∴ x ∈(√2,x 0),g ′(x)<0,g(x)单减； x ∈(x 0, +∞)，g′(x)>0，g(x)单增，∴ g(x)min ＝g(x 0)，x 0满足ln x 0+1x 02+a =0，∴ a =−ln x 0−1x 02，∴ g(x 0)=13x 03ln x 0+3a−19x 03+x 0=−x 039+23x 0(e <x 0<e 2)，记ℎ(x)=−19x 3+23x(e <x <e 2)， 则ℎ(x)=23−x 23<0，∴ ℎ(x)在(e, e 2)上单减， ∴ −e 69+23e 2=ℎ(e 2)<ℎ(x)<ℎ(e)=−e 39+23e ，所以φ(a)的值域为(−e 69+23e 2,−e 39+23e)．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值，推出结果．（2）求出g′(x)=x2ln x+13x2+3a−13x2+1=x2(ln x+1x2+a)，利用函数的单调性求解函数的最小值，g(x)min＝g(x0)，构造函数ℎ(x)=−19x3+23x(e<x<e2)，利用函数的单调性求解函数的值域即可．【解答】证明：f′(x)=1x −2x3=x2−2x3≥0，∴f(x)在[√2,+∞)上单增，∴x≥2时，f(x)≥f(2)，即ln x+1x2≥ln2+14，∴x≥2时，x2ln x+1≥(ln2+14)x2．证明：g′(x)=x2ln x+13x2+3a−13x2+1=x2(ln x+1x2+a)由f(x)在[√2,+∞)上单增且f(e)=1+1e ,f(e2)=2+1e，a∈(−2−1e4,−1−1e2)知存在唯一的实数x0∈(e,e2)，使得g′(x0)＝0，即ln x0+1x0+a=0，∴x∈(√2,x0),g′(x)<0,g(x)单减；x∈(x0, +∞)，g′(x)>0，g(x)单增，∴g(x)min＝g(x0)，x0满足ln x0+1x02+a=0，∴a=−ln x0−1x02，∴g(x0)=13x03ln x0+3a−19x03+x0=−x039+23x0(e<x0<e2)，记ℎ(x)=−19x3+23x(e<x<e2)，则ℎ(x)=23−x23<0，∴ℎ(x)在(e, e2)上单减，∴−e69+23e2=ℎ(e2)<ℎ(x)<ℎ(e)=−e39+23e，所以φ(a)的值域为(−e 69+23e2,−e39+23e)．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】（1）由{x=1+2cosβy=1+2sinβ（β为参数）消去参数β得：(x−1)2+(y−1)2＝4，展开可得：x2+y2−2x−2y−2＝0．将曲线M的方程化成极坐标方程得：ρ2−2ρ(cosθ+sinθ)−2＝0，∴曲线M是以(1, 1)为圆心，2为半径的圆．（2）设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，由l1与圆M联立方程可得ρ2−2ρ(sinα+cosα)−2＝0，∴ρ1+ρ2＝2(sinα+cosα)，ρ1⋅ρ2＝−2，∵O，A，C三点共线，则|AC|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1⋅ρ2=√12+4sin2α①，∴用α+π2代替α可得|BD|=√12−4sin2α，∵l1⊥l2，∴S ABCD=12|AC|⋅|BD|=12√(144−16sin22α)，∵sin22α∈[0, 1]，∴S四边形ABCD∈[4√2,6]．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】(Ⅰ)由{x=1+2cosβy=1+2sinβ（β为参数）消去参数β得：(x−1)2+(y−1)2＝4，将曲线M的方程化成极坐标方程．(Ⅱ)设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，由l1与圆M联立方程可得ρ2−2ρ(sinα+cosα)−2＝0，根据根与系数的关系及其O，A，C三点共线，|AC|＝|ρ1−ρ2|，用α+π2代替α可得|BD|=√12−4sin2α，根据l1⊥l2，可得S四边形ABCD．【解答】（1）由{x=1+2cosβy=1+2sinβ（β为参数）消去参数β得：(x−1)2+(y−1)2＝4，展开可得：x2+y2−2x−2y−2＝0．将曲线M的方程化成极坐标方程得：ρ2−2ρ(cosθ+sinθ)−2＝0，∴曲线M是以(1, 1)为圆心，2为半径的圆．（2）设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，由l1与圆M联立方程可得ρ2−2ρ(sinα+cosα)−2＝0，∴ρ1+ρ2＝2(sinα+cosα)，ρ1⋅ρ2＝−2，∵O，A，C三点共线，则|AC|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1⋅ρ2=√12+4sin2α①，∴用α+π2代替α可得|BD|=√12−4sin2α，∵l1⊥l2，∴S ABCD=12|AC|⋅|BD|=12√(144−16sin22α)，∵sin22α∈[0, 1]，∴S四边形ABCD∈[4√2,6]．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当a＝4时，不等式f(x)≥5，即|x−1|+|x−4|≥5，等价于{x<1−2x+5≥5，或{1≤x≤43≥5，或{x>42x−5≥5，解得：x≤0或x≥5．故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0, 或 x≥5 }．因为f(x)＝|x−1|+|x−a|≥|(x−1)−(x−a)|＝|a−1|．（当x＝1时等号成立）所以：f(x)min＝|a−1|．由题意得：|a−1|≥4，解得a≤−3，或a≥5．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）不等式即|x−1|+|x−4|≥5，等价于{x<1−2x+5≥5，或{1≤x≤43≥5，或{x>42x−5≥5，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）因为f(x)＝|x−1|+|x−a|≥|a−1|，由题意可得|a−1|≥4，与偶此解得a的值．【解答】当a＝4时，不等式f(x)≥5，即|x−1|+|x−4|≥5，等价于{x<1−2x+5≥5，或{1≤x≤43≥5，或{x>42x−5≥5，解得：x≤0或x≥5．故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0, 或 x≥5 }．因为f(x)＝|x−1|+|x−a|≥|(x−1)−(x−a)|＝|a−1|．（当x＝1时等号成立）所以：f(x)min＝|a−1|．由题意得：|a−1|≥4，解得a≤−3，或a≥5．。

2020年黑龙江省大庆市高考一模数学理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B的值为( )A.{-1，0，1，2}B.{-2，-1，0，1，2}C.{0，1，2}D.{1，2}解析：分别求出集合A，B，由此能求出A∩B.∵集合A={-1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2}，∴A∩B={-1，0，1，2}.答案：A2.若复数21-=+izi，则z在复平面内所对应的点位于的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z所对应点的坐标得答案.∵()()()()1322121311122----====-++-i ii iz ii i i，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为(12，32-)，位于第四象限.答案：D3.若x，y满足111≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩yx yy x，则2x+y的最大值为( )A.2B.5C.6D.7解析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值.作出x，y满足111≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩yx yy x对应的平面区域如图：(阴影部分).由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大.由11=⎧⎨=-⎩yy x，解得A(2，1)，代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5.即目标函数z=2x+y的最大值为5.答案：B4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A.2B.4C.8D.12解析：由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S-ABCD ，其中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PC ⊥平面ABCD ，PC=3，由此能求出几何体的体积. 由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S-ABCD ，其中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， PC ⊥平面ABCD ，PC=3， ∴几何体的体积：22341133=⨯⨯=⨯⨯⨯=正方形ABCD V S PC .答案：B5.执行如图所示的程序语句，则输出的S 的值为( )A.22B.1C.2+1解析：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是2350sinsinsin sin 4444ππππ=+++⋯+S 的值，2350sinsinsin sin44442384950sin sin sin sin sin sin 4444444950sin sin44sin sin4122ππππππππππππππ=+++⋯+⎛⎫=+++⋯++⋯++ ⎪⎝⎭=+=+=+S答案：C6.已知命题p ：直线l 1：ax+y+1=0与l 2：x+ay+1=0平行；命题q ：直线l ：x+y+a=0与圆x 2+y 2=1，则命题p 是q( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既充分也不必要条件 解析：根据直线平行的等价条件以及直线和圆相交的弦长公式分别进行计算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.当a=0时，两直线方程分别为y+1=0，x+1=0，两直线不平行，当a ≠0时，若两直线平行，则满足1111=≠a a ，由11=a a 得a 2=1，得a=±1，由111≠a ，得a ≠1，即a=-1， 即p ：a=-1，圆心到直线的距离=d ，半径r=1，∵直线l ：x+y+a=0与圆x2+y2=1，∴r 2=d 2+(2)2，即21122=+a ，得a 2=1，得a=±1， 则命题p 是q 充分不必要条件. 答案：A7.数列{a n }为正项递增等比数列，满足a 2+a 4=10，a 32=16，则1012++⋯+a a a 等于( )A.-45B.45C.-90D.90解析：运用等比数列的通项公式和性质，求出q.再结合对数运算公式，求出结果即可. ∵{a n}为正项递增等比数列，∴a n ＞a n-1＞0，公比q ＞1.a 2+a 4=10①，且a 32=16=a 3·a 3=a 2·a 4②，由①②解得a 2=2，a 4=8.又因为a 4=a 2·q 2，得q=2或q=-2(舍).则得a 5=16，a 6=32，5121012160++⋯+=⋯=a a a a a a a a953229224590⨯⨯⨯=====.答案：D 8.若1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，则向量12=+a e e ，122=-+b e e 的夹角为( )A.30°B.60°C.90°D.120°解析：根据题意，设a 、b 的夹角为θ， 又由1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，且12=+a e e ，122=-+b e e ，则()()22121212122232=+-+=-++=a b e e e e e e e e ，又由12=+a e e，则11=++=a ， 由122=-+b e e ，则14=+-=b则有1os 2c θ==a b a b，则θ=60°. 答案：B9.已知双曲线22221-=x y a b (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(1)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=16x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.221412-=x y B.221124-=x y C.221420-=x y D.221204-=x y解析：双曲线22221-=x y a b (a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y=±ba x ， 由一条渐近线过点(1，可得=ba双曲线的一个焦点(-c ，0)在抛物线y 2=16x 的准线x=-4上，可得c=4，即有a 2+b 2=16， 解得a=2，则双曲线的方程为221412-=x y .答案：A10.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，+∞)时，f ′(x)＜0.若12ln ⎛⎫ ⎪⎝=-⎭a f ，211ln ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-⎭=⎝b f e e ，c=f(e 0.1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.b ＜a ＜cB.b ＜c ＜aC.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b解析：根据条件先判断函数的单调性，结合对数的运算性质进行化简即可. ∵当x ∈[0，+∞)时，f ′(x)＜0，∴当x ∈[0，+∞)时，函数f(x)单调递减，∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴函数在(-∞，+∞)上单调递减，()()1222ln ln ln ⎛⎫⎪⎝=-=-⎭-=a f f f ， 2111ln ln 1⎛⎫ ⎪⎝=-⎭-＞e e e ，又211ln 0⎛⎫- ⎪⎝⎭＜e e ，则2111ln 0-⎛⎫⎝⎭-⎪＜＜e e ，e 0.1＞1，0＜ln2＜1， 则0.12111ln ln 2⎛⎫⎪⎝⎭--＜＜＜e e e ，则()()0.12112ln ln ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭＞＞f f f e e e ，即c ＜a ＜b. 答案：C11.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象过点(9π，2)，相邻两个对称中心的距离是3π，则下列说法不正确的是( )A.f(x)的最小正周期为23πB.f(x)的一条对称轴为x=49πC.f(x)的图象向左平移9π个单位所得图象关于y 轴对称D.f(x)在[9π-，9π]上是减函数解析：求出函数f(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可.函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象相邻两个对称中心的距离是3π，∴23π=T ，∴223ππω==T ，解得ω=3； 又f(x)的图象过点(9π，2)， ∴2sin(9πω+φ)=2，∴292ππωϕπ+=+k ，k ∈Z ；解得φ=6π+2k π，k ∈Z ； 令k=0，得φ=6π，∴f(x)=2sin(3x+6π)；∴f(x)的最小正周期为T=23π，A 正确； 442sin 32996πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 为最小值，∴f(x)的一条对称轴为x=49π，B 正确；f(x)的图象向左平移9π个单位，得函数2sin 32sin 32cos3962πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x，其图象关于y 轴对称，C 正确；x ∈[9π-，9π]时，3x ∈[3π-，3π]，∴3x+6π∈[6π-，2π]时，∴f(x)=2sin(3x+6π)在[9π-，9π]上是增函数，D 错误.答案：D12.已知函数()21211415⎧+-≤≤⎪=⎨+-≤⎪⎩，，＜x x f x x x x ，若关于x 的方程f(x)-ax=0有两个解，则实数a 的取值范围是( )A.(0，625]∪[52-，-2) B.(0，625)∪[52-，-2]C.(-∞，52-)∪[625，+∞)∪{0，-2}D.(-∞，52-)∪[625，+∞)解析：分别作出函数y=f(x)和y=ax 的图象，利用方程有两个解，利用数形结合即可得到结论.设函数y=f(x)和y=ax ， 作出函数f(x)的图象如图：要使方程f(x)-ax=0有2两个解，即函数y=f(x)和y=ax 有2个不同的交点，∵f(-2)=5，f(5)=|5+15-4|=65， 当y=ax经过点(5，65)时，此时a=625， 当过点(-2，5)时，此时a=52-，当直线y=ax 与y=x 2+1相切时，∵y ′=2x ，设切点为(x 0，y 0)，-2≤x 0≤0，∴200012+=x x x ，解得x 0=-1，当x 0=-1，此时a=-2，结合图象，综上所述a 的取值范围为[52-，-2)∪(0，625].答案：A二、填空题(本题有4标题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.()3021-=⎰x dx .解析：根据定积分的运算，即可求得答案.()()3230036219=-=-=-⎰x x x x d .答案：614.一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记球O 的体积为V 1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为V 2，则12V V 的值为 .解析：设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，球O 的半径为r ，∴球O 的体积V 1=43πr 3，圆柱内除了球之外的几何体体积：V 2=πr 2×2r -43πr 3=23πr 3，∴313243322ππ==r V V r .答案：215.若f(x)=e xl na+e -xlnb 为奇函数，则12+a b 的最小值为 . 解析：由奇函数的性质可得f(0)=0，即有对数的运算性质可得ab=1，再由基本不等式，即可得到所求最小值.f(x)=e xl na+e -xlnb 为奇函数， 可得f(0)=0，即有e 0lna+e 0lnb=0， 即有ln(ab)=0，可得ab=1，(a ＞0，b ＞0)，则12≥=+a b ，当且仅当时，等号成立，则12+a b 的最小值为. 答案：16.已知抛物线C ：y 2=4x ，过其焦点F 作一条斜率大于0的直线l ，l 与抛物线交于M ，N 两点，且|MF|=3|NF|，则直线l 的斜率为 .解析：方法一：由抛物线的定义：|NF|=|DH|=x ，|MF|=|CM|=3x ，根据相似三角形的性质，即可求得直线MN 的倾斜角为60°，即可求得直线l 的斜率. 抛物线C ：y2=4x ，焦点F(1，0)，准线为x=-1， 分别过M 和N 作准线的垂线，垂足分别为C 和D ，过NH ⊥CM ，垂足为H ， 设|NF|=x ，则|MF|=3x ，由抛物线的定义可知：|NF|=|DN|=x ，|MF|=|CM|=3x ， ∴|HM|=2x ，由|MN|=4x ，∴∠HMF=60°，则直线MN 的倾斜角为60°， 则直线l 的斜率k=tan60°3.方法二：设直线MN 的方程y=k(x-1)，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k 的值.抛物线C ：y 2=4x ，焦点F(1，0)， 准线为x=-1，设直线MN 的斜率为k ，则直线MN 的方程y=k(x-1)，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，()241⎧=⎪⎨=-⎪⎩y x y k x ， 整理得：k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0，则()212222++=k x x k ，x 1x 2=1，由|MF|=3|NF|，3=M FN F ，即(1-x 1，-y 1)=3(x 2-1，y 2)，x 1+3x 2=4，整理得：3x 2-4x 2+1=0，解得：x 2=13，或x 2=1(舍去)，则x 1=3，解得：k=3， 由k ＞0，则3.方法三：设直线MN 的方程x=mx+1，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求得m 的值，则直线l 的斜率为1m .抛物线C ：y 2=4x ，焦点F(1，0)，准线为x=-1，设直线MN 的方程x=mx+1，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，214=+⎧⎨=⎩x my y x ，整理得：y 2-4my-4=0，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，由|MF|=3|NF|，3=M FN F ，即(1-x 1，-y 1)=3(x 2-1，y 2)，-y 1=3y 2，即y 1=-3y 2，解得：y 2=，y 1∴4m=，则m=，∴直线l.三、解答题(本大题共6小题，共70分，第17~21题为必考题，每小题12分，第22、23题为选考题，有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.设函数y=f(x)的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移12π个单位得到.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析：(1)通过函数的图象的变换，求出函数的解析式，然后求解函数的周期以及函数的单调区间.答案：(1)y=2sin2x+1的图象向左平移12π个单位得到y=2sin(2x+6π)+1的图象， 即f(x)=2sin(2x+6π)+1.函数最小正周期T=π.令222262πππππ-+≤+≤+k x k (k ∈Z)，则222233ππππ-+≤≤+k x k (k ∈Z)，解得36ππππ-+≤≤+k x k (k ∈Z)，所以y=f(x)的单调增区间是[3ππ-+k ，6ππ+k ](k ∈Z).(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f(A)=2，b=1，S △ABCa 的值. 解析：(2)利用已知条件求出A ，然后利用图象定理，以及三角形的面积求解a 即可.答案：(2)由题意得：f(A)=2sin(2A+6π)+1=2，则有sin(2A+6π)=12.因为0＜A ＜π，所以5266ππ+=A ，A=3π.由1sin 2==ABCbc A Sb=1得，c=4.根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bccosA=1+16-2×1×4×12=13，所以18.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在曲线25122=+y x x 上，数列{b n }满足b n +b n+2=2b n+1，b 4=11，{b n }的前5项和为45.(1)求{a n }，{b n }的通项公式.解析：(1)利用已知条件求出{a n }的通项公式，判断数列是等差数列求解{b n }的通项公式.答案：(1)由已知得：21252=+n S n n ，当n=1时，1115232==+=a S ，当n ≥2时，()()22151125112222-=-=+----=+n n n a S S n n n n n ，当n=1时，符合上式.所以a n =n+2.因为数列{b n }满足b n +b n+2=2b n+1，所以{b n }为等差数列.设其公差为d.则()413131155245=+=⎧⎪⎨=+=⎪⎩b b db b d，解得152=⎧⎨=⎩bd，所以b n=2n+3.(2)设()()12328=--nn nca b，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式T n＞54k恒成立的最大正整数k的值.解析：(2)化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可.答案：(2)由(1)得，()()()()()()11111 2328214222141212121 ====---+-+--⎛⎫⎝⎭+⎪nn nca b n n n n n n，111111521212111143341⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝=-++⋯+-=-⎝+⎭-+⎭nTn n n，因为()()111121232212431+⎛⎫-=-=++⎪⎭++⎝＞n nT Tn n n n，所以{T n}是递增数列.所以T n≥T1=16，故T n＞54k恒成立只要11654=＞Tk恒成立.所以k＜9，最大正整数k的值为8.19.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD且PA=AB=2.E为PA的中点.(1)求证：PC∥面BDE.解析：(1)连接CA交BD于O，连接OE，证明OE∥PC，即可推出PC∥面BDE.答案：(1)连接CA交BD于O，连接OE，因为ABCD为正方形且AC，BD为对角线，所以O为CA的中点，又E为PA的中点，故OE为△PAC的中位线，所以OE∥PC，而OE⊂面BDE，PC⊂面BDE，故PC∥面BDE.(2)求直线DE与平面PBC所成角的余弦值.解析：(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz.求出平面PBC的法向量n=(x，y，z)，设直线DE与平面PBC所成角为θ，利用向量的数量积求解即可.答案：(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz. 则B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，E(0，0，1)，P(0，0，2)，所以DE=(0，-2，1)，BP=(-2，0，2)，BC=(0，2，0)，设平面PBC的法向量n=(x，y，z)，则⎧=⎪⎨=⎪⎩n BPn BC，即-=⎧⎨=⎩x zy，令z=1，则法向量n=(1，0，1)，设直线DE与平面PBC所成角为θ，则10 sin cos10θ===，n DEn DEn DE，故直线DE与平面PBC所成角的余弦值310.20.已知椭圆C：22221+=x ya b(a＞b＞0)，其焦距为2，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程.解析：(1)由2c=2，可得c=1，由2=c a，可得，从而b 2=a 2-c 2=1，即可求出椭圆方程.答案：(1)因为椭圆焦距为2，即2c=2，所以c=1，2=c a，所以， 从而b 2=a 2-c 2=1，所以，椭圆的方程为2212+=x y .(2)设椭圆的右焦点为F ，K 为x 轴上一点，满足2=O OF K ，过点K 作斜率不为0的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，求△FPQ 面积S 的最大值.解析：(2)设直线MN 的方程为y=k(x-2)(k ≠0).代入椭圆方程得(1+2k 2)x 2-8k 2x+8k 2-2=0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由判别式△＞0解得k 范围.利用弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性即可得出.答案：(2)椭圆右焦点F(1，0)，由2=O OF K 可知K(2，0)， 直线l 过点K(2，0)，设直线l 的方程为y=k(x-2)，k ≠0， 将直线方程与椭圆方程联立得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则2122812+=+k x x k ，21228212-=+k x x k ， 由判别式△=(-8k 2)2-4(2k 2+1)(8k 2-2)＞0解得k 2＜12.点F(1，0)到直线l 的距离为h，则==h()42212222226482111242211121-==-=+-⨯++++kk k k S PQ h x x k k k k k ))22221221122-==+k k k k令t=1+2k 2，则1＜t ＜2，则2232+==-t t S t当134=t时，S取得最大值.此时k2=16，k=±，S取得最大值4.21.已知函数f(x)=1-ax+lnx(1)若不等式f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围.解析：(1)分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围.答案：(1)由题意知，1-ax+lnx≤0恒成立.变形得：ln1+≥xax.设()ln1+=xh xx，则a≥h(x)max.由()2ln'=-xh xx可知，h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，h(x)在x=1处取得最大值，且h(x)max=h(1)=1. 所以a≥h(x)max=1，实数a的取值范围是[1，+∞).(2)在(1)中，a取最小值时，设函数g(x)=x(1-f(x))-k(x+2)+2.若函数g(x)在区间[12，8]上恰有两个零点，求实数k的取值范围.解析：(2)问题转化为即关于x的方程x2-xlnx-k(x+2)+2=0在区间[12，8]上恰有两个实数根，再分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围. 答案：(2)由(1)可知，a≥1，当a=1时，f(x)=1-x+lnx，g(x)=x(x-lnx)-k(x+2)+2=x2-xlnx-k(x+2)+2，g(x)在区间[12，8]上恰有两个零点，即关于x的方程x2-xlnx-k(x+2)+2=0在区间[12，8]上恰有两个实数根.整理方程得，2ln 22-+=+x x x k x ，令()2ln 22-+=+x x x s x x ，x ∈[12，8]，()()2232ln 42+--'=+x x x s x x .令φ(x)=x 2+3x-2lnx-4，x ∈[12，8]，则()()()212ϕ-+'=x x x x，x ∈[12，8]，于是φ′(x)≥0，φ(x)在[12，8]上单调递增.因为φ(1)=0，当x ∈[12，1)时，φ(x)＜0，从而s ′(x)＜0，s(x)单调递减，当x ∈(1，8]时，φ(x)＞0，从而s ′(x)＞0，s(x)单调递增，()()9ln 23312ln 2118105251⎛⎫ ⎪=⎭-+==⎝，，s s s ， 因为()5726ln 2801102--=⎛⎫ ⎪⎝⎭＞s s ，所以实数k 的取值范围是(1，9ln 2105+].(3)证明不等式：2ln(2×3×4×…×n)＞221-+n n n (n ∈N*且n ≥2).解析：(3)由(1)可得x-1≥lnx ，当且仅当x=1时取等号，令x=21k ，则有22111ln -≥kk ，其中k ∈N*，k ≥2，利用放缩裂项，累加求和即可证明.答案：(3)证明：由(1)可知，当a=1时，有x-1≥lnx ， 当且仅当x=1时取等号.令x=21k ，则有22111ln -≥kk ，其中k ∈N*，k ≥2.整理得：()2111112ln 111111≥-=--=-+--＞k k k k k k k k ，当k=2，3，…，n 时，12ln 212112-+-＞，12ln 313113-+-＞，…，112ln 11-+-＞n n n ，上面n-1个式子累加得：2ln(2×3×…×n)＞n-1-1+1n .n ∈N*且n ≥2，即2ln(2×3×…×n)＞221-+n n n .命题得证.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C 1：x 2+y 2=1，直线l ：ρ(cos θ-sin θ)=4.(1)将曲线C 1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍后得到曲线C 2，请写出直线l ，和曲线C 2的直角坐标方程.解析：(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.答案：(1)因为l ：ρ(cos θ-sin θ)=4，转化为直角坐标方程为：x-y=4； 设曲线C 2上任一点坐标为(x ′，y ′)，则2'=⎧⎪⎨'=⎪⎩x x y ， 所以2'⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x x y ， 代入C 1方程得：22123''+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎝=⎪⎝⎭⎭x y ， 所以C 2的方程为22143''+=x y .(2)若直线l 1经过点P(1，2)且l 1∥l ，l 1与曲线C 2交于点M ，N ，求|PM|·|PN|的值. 解析：(2)利用直线哈曲线建立方程组，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果.答案：(2)直线l ：x-y=4倾斜角为4π，由题意可知，直线l 1的参数方程为2122⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x t y (t 为参数)， 联立直线l 1和曲线C 2的方程得，27702++=t . 设方程的两根为t 1，t 2，则t 1t 2=2.由直线参数t 的几何意义可知，|PM|·|PN|=|t 1t 2|=2.[选修4-5：不等式选讲]23.已知a ，b 是任意非零实数.(1)求3232++-a b a b a 的最小值.解析：(1)根据绝对值三角不等式得出结论.答案：(1)因为|3a+2b|+|3a-2b|≥|3a+2b+3a-2b|=6|a|，当且仅当(3a+2b)(3a-2b)≥0时取等号，3232++-a b a ba 的最小值为6.(2)若不等式|3a+2b|+|3a-2b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立，求实数x 取值范围. 解析：(2)根据(1)的结论可得：|2+x|+|2-x|≤6，再讨论x 的符号解出x 的范围.答案：(2)由题意得：323222++-++-≤a b a b x x a 恒成立， 结合(1)得：|2+x|+|2-x|≤6.当x ≤-2时，-x-2+2-x ≤6，解得-3≤x ≤-2；当-2＜x ≤2时，x+2+2-x ≤6成立，所以-2＜x ≤2；当x ＞2时，x+2+x-2≤6，解得2＜x ≤3.综上，实数x 的取值范围是[-3，3].。

绝密★启用前黑龙江省大庆市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合{}{}2|,|01A x x x B x x =≤=<≤，则A B =（ ）A ．(]0,1B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()(],00,1-∞2．已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +3．已知()()2,1,,2a b x =-=,且//a b ，则a b +=（ ） A ．4B ．3C D4．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（ ） A ．829B ．415C ．429D ．2155．设抛物线22y px =的焦点在直线2380x y +-=上，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．1x =-B ．2x =-C ．3x =-D ．4x =-6．若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．327．某公司安排甲、乙、丙3人到,A B 两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲去的概率为（ ） A ．15B ．16C ．13D ．148．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为()g x ，若()g x 最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．-2B ．2C ．D9．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是( ) A ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥ B ．若n α⊥，//n m ，则m α⊥ C ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥D ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥10．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．10B ．3C ．4D ．311．设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若双曲线的左支上存在一点P ，使得2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H ，且224PF F H =，则此双曲线的离心率为（ ）A ．3B．43C ．2D ．53第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．若实数x ，y 满足不等式组220102x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z xy =-的最大值为____________.14．若函数()222,0,0x mx m x f x x m x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且()()12f f =，则m 的值为__________.15sin 3αα+=，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.16．已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]1,2y ∈-，使得2ln 1yx x a y e -++=成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足222n n n S a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．微信作为一款社交软件已经在支付、理财、交通、运动等各方面给人们的生活带来各种各样的便利.手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.A 先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能，他随机选取了其中40名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：90，AB PB中点……○…………订…………线…………○……_______班级：___________考号：……○…………订…………线…………○……（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的正弦值.20．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，且短轴长为12.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点B 为椭圆E 与y 轴正半轴的交点，是否存在直线l ，使得l 交椭圆E 于,M N 两点，且F 恰是BMN ∆的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由. 21．已知函数()()2ln 1,2x f x ax b g x ax bx x =--=+. （1）当2,3a b ==-时，求函数()f x 在x e =处的切线方程； （2）若函数()y f x =的两个零点分别为12,x x ，且12x x ≠，求证：1212x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭. 22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r +-=>，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切。

黑龙江省大庆市2020届高三数学第一次教学质量检测试题 理（含解析）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题8分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合{}{}2|,|01A x x x B x x =≤=<≤，则AB =（ ）A. (]0,1B. []0,1C. (],1-∞D.()(],00,1-∞【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A 后可求AB .【详解】[]0,1A =，故(]0,1A B =，故选A.【点睛】本题考查集合的运算交，属于基础题.2.已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（ ）A. 1i --B. 1i -C. 1i -+D. 1i +【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算法则，化简复数1z i =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数满足2(1)=1i i z，即221(1)2=11111i i i izi i ii i，所以复数z 的共轭复数等于1z i =--，故选A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.已知()()2,1,,2a b x =-=,且//a b ，则a b +=（ ） A. 4 B. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标形式可求x ，求出a b +的坐标后可求a b +. 【详解】因为//a b ，故221x ⨯=-⨯，所以4x =-， 故()2,1a b +=-，故5a b +=. 故选C.【点睛】如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么：（1）若//a b ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=.4.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（ ） A.829B.415C.429D.215【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为等差数列问题，通过90n S =，1n a =，15a =，构造方程组解出公差，从而得到结果.【详解】设每天所织布的尺数为n a ，则数列{}n a 为等差数列 设公差为d由题意可知：15a =，1n a =，90n S =则()()51115902n d n n n d ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：30429n d =⎧⎪⎨=-⎪⎩即每天比前一天少织429尺的布 本题正确选项：C【点睛】本题考查等差数列通项公式、求和公式的应用，关键是能够将问题转化为等差数列基本量求解的问题.5.设抛物线22y px =的焦点在直线2380x y +-=上，则该抛物线的准线方程为（ ） A. 1x =- B. 2x =- C. 3x =- D. 4x =-【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线焦点F 在2380x y +-=上，求得8p =，进而得到抛物线的准线方程，得到答案. 【详解】由题意，抛物线22y px =的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又由焦点F 在2380x y +-=上， 解得8p =，所以抛物线的准线方程为42px =-=-，故选D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为（ ）A.12B. 1C. 2D.32【答案】B 【解析】 分析】设切点为()00,ln 2x a x +，求出函数在0x x =处的导数后可得切线的斜率，从而可用a 表示切点的横坐标，最后根据切点在切线上得到关于a 的方程，解该方程后可得实数a 的值. 【详解】设切点为()00,ln 2x a x +，因为a y x'=，故切线的斜率01a k x ==， 所以0x a =，所以ln 21a a a +=+，因为0a >，故1a =， 故选B.【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率，本题为基础题．7.某公司安排甲、乙、丙3人到,A B 两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲去的概率为（ ） A.15B.16C.13D.14【答案】B 【解析】 【分析】求出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，利用公式可求概率.【详解】设事件C 为“A 城市恰好只有甲去”，则基本事件的总数为22326C A =，事件C 中含有的基本事件的总数为1，所以()16P C =. 故选B.【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时应利用排列组合的方法来考虑，此类问题为基础题.8.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为()g x ，若()g x 最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. -2B. 2C.【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据三角函数的图象的对称性求出φ，由周期求出ω，由三角函数的值求出A ，可得函数的解析式，从而求得38f π⎛⎫⎪⎝⎭． 【详解】∵()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数，故()()f x f x -=，所以()()sin sin A x A x ωϕωϕ+=-+，整理得到sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x ωϕωϕωϕωϕ+=-+， 所以sin cos 0x ωϕ=对任意的x ∈R 恒成立，所以cos 0ϕ=，即,2k k Z πϕπ=+∈.因为0ϕπ<<，故2ϕπ=.所以()cos f x A x ω=， 将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()cos2A g x xω=.因为()g x 最小正周期为2π，则有22πω＝2π，∴ω＝2，g （x ）＝A cos x ，f （x ）＝A cos2x ．且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭4cos A π=，解得2A =，所以()2cos2f x x =，所以332cos 84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选:C.【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，属于基础题．9.设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是( ) A. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥ B. 若n α⊥，//n m ，则m α⊥ C. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥ D. 若αβ⊥，//m α，则m β⊥【答案】D 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质定理及相关的推论考查所给的选项是否正确即可. 【详解】逐一考查所给的选项：由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//n α，则m n ⊥，选项A 正确； 由线面垂直的性质定理推论可知：若n α⊥，//n m ，则m α⊥，选项B 正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//m β，则平面β内存在直线l ，满足//l m ，则l α⊥，然后利用面面垂直的判定定理可得αβ⊥，选项C 正确；在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面,αβ分别为平面11,ABCD ADD A ，直线m 为棱11B C ，满足αβ⊥，//m α，但是不满足m β⊥，选项D 错误； 故选：D.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理及其推论，线面关系命题的判定，属于中等题. 10.已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为（ ）A.510B.53C.64D.15 【答案】A 【解析】 【分析】如图，取11A B 的中点，连接,MN AN ，可以证明AMN ∠是异面直线AM 与BC 所成角，利用余弦定理可求其余弦值.【详解】如图，取11A B 的中点N ，连接,MN AN ， 在111A B C ∆中，因为,M N 为中点，所以11MNB C ，由直三棱柱111ABC A B C -可得11BC B C ，故MNBC ，所以AMN ∠或其补角是异面直线AM 与BC 所成角.因为三棱柱111ABC A B C -是直棱柱，所以1AA ⊥平面111A B C ， 因为11A C ⊂平面111A B C ，故111AA AC ⊥，故1AA M ∆为直角三角形， 同理1AA N ∆为直角三角形. 设2AB a =，则1A N a =，在1Rt AA N ∆中，有AN =，同理AM =，又MN a =,故222cosAMN ∠==. 故选A.【点睛】求异面直线所成的角，一般需要平移空间直线后将空间角转化为平面角来处理，后者可以利用平面几何的相关知识方法或利用解三角形的方法求平面角的大小或角的余弦值. 11.设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A. 13()()(1)32f f f << B. 31(1)()()23f f f <<C. 13(1)()()32f f f <<D. 31()(1)()23f f f <<【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再利用函数在区间[1,0)-上是增函数可得答案. 【详解】解：()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力.12.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若双曲线的左支上存在一点P ，使得2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H ，且224PF F H =，则此双曲线的离心率为（ ） A.263B.43C.132D.53【答案】D 【解析】 【分析】利用2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H 可求出H 的坐标，再利用224PF F H =求出P 的坐标（用,,a b c 表示），将P 的坐标代入双曲线的方程后可求离心率.【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，取一条渐近线为by x a =， 则直线()2:a a acF H y x c x b b b=--=-+，由a ac y x b b b y x a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2,a ab H c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为224PF F H =，故224PF F H =-，从而()2,4,p p a ab c x y c c c ⎛⎫--=--⎪⎝⎭， 所以2434p p a x c c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，将P 的坐标代入双曲线的方程可以得到：222224431a ab c c c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，化简可得29250e -=，所以53e =， 故选D.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.若实数x ，y 满足不等式组220102x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为____________.【答案】5 【解析】 【分析】由题意首先画出不等式组表示平面区域，然后结合目标函数的几何意义求解其最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点C 处取得最大值， 联立直线方程：102x y y +-=⎧⎨=-⎩，可得点的坐标为：()3,2C -，据此可知目标函数的最大值为：()max 325z =--=. 故答案为：5．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.14.若函数()222,0,0x mx m x f x x m x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且()()12f f =，则m 的值为__________.【答案】12【解析】 【分析】先求出()1f ，再根据()10f >、()10f ≤分类讨论并求出相应的()()1ff ，根据()()12f f =可求实数m 的值.【详解】()11f m =+， 若1m >-，则()()121ff m =+，令212m +=，故12m =；若1m ≤-，则()()()()2211211f f m m m m =+-++=，故()()12f f =无解，综上，12m =. 故答案为：12m =. 【点睛】分段函数的处理方法有两种：（1）分段处理，因为在不同的范围上有不同的解析式，故可考虑在不同范围上对应的方程、不等式等；（2）数形结合，即画出分段的函数的图像，从而考虑与分段函数相关的不等式问题、方程的解等问题.15.sin 3αα+=，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【答案】59- 【解析】 【分析】先逆用两角和的正弦得到sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令3παθ=-，则cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值即为cos2θ-的值，利用二倍角的余弦值可求此值.sin 3αα+=可以得到12sin 23αα⎫+=⎪⎪⎝⎭所以sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，设3πθα=+，则3παθ=- 则222333πππαθπθ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭， 所以()245cos 2cos 2cos 22sin 11399παπθθθ⎛⎫-=-=-=-=-=-⎪⎝⎭.故答案为：59-. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.16.已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]1,2y ∈-，使得2ln 1y x x a y e -++=成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】22,4e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】令()ln 1f x x x a =-++，1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()[]2,1,2xg x x e x =∈-.利用导数可求前者的值域和后者的单调性，最后根据方程的解的唯一性得到实数a 的取值范围.【详解】令()ln 1f x x x a =-++，1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()[]2,1,2xg x x e x =∈-.当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1110x f x x x -'=-=>，故()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数， 故()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,a a e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 又当()1,0x ∈-时，()()220xg x x x e '=+<，当()0,2x ∈时，()()220xg x x x e '=+>，所以()g x 在[]1,0-上减函数，在[]0,2上为增函数.令()t f x =，因为对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]1,2y ∈-，使得2ln 1yx x a y e-++=成立，故对直线s t =与函数()s g y =的图象有且只要一个公共点， 而()()()211,00,24g g g e e-===，且()g x 在[]1,0-上为减函数，在[]0,2上为增函数， 故214t e e <≤，所以2114a e e a e ⎧->⎪⎨⎪≤⎩，即224a e e <≤. 故答案为：22,4e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题以多元方程解的性质为载体，考查导数在函数性质研究中的应用，在解决问题的过程中，注意把解的个数合理地转化为动直线与函数图象的位置关系，此类问题为难题. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足222n n n S a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+；（2）224n n T +=-.【解析】 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-把递推关系转化为11n n a a --=，再利用等差数列的通项公式可求{}n a 的通项；（2）利用等比数列的求和公式可求{}n b 的前n 项和n T . 【详解】（1）当1n =时，12a =，当2n ≥时，()()()221112222n n n n n n n a S S a a a a ---⎡⎤=-=+--+-⎣⎦， ∴()()1110n n n n a a a a --+--=， ∵0n a >，∴11n n a a --=，∴{}n a 是以12a =为首项，1d =为公差的等差数列， ∴1n a n =+.（2）由（1）的1n a n =+，则12n n b +=，∴()222122412n n nT +-==--.【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列或等比数列的通项，则用公式直接求和；如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 18.微信作为一款社交软件已经在支付、理财、交通、运动等各方面给人们的生活带来各种各样的便利.手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.A 先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能，他随机选取了其中40名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：（1）以样本估计总体，视样本频率为概率，在A 先生的微信朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数不低于6000步的有X 名，求X 的分布列和数学期望；（2）如果某人一天的走路步数不低于8000步，此人将被“微信运动”评定为“运动达人”，否则为“运动懒人”.根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）分布列见解析，65；（2）没有. 【解析】 【分析】（1）利用二项分布可求X 的分布列和数学期望.（2）根据题设中的数据可得列联表，再由公式可计算得到2K 的观察值，最后根据临界值表可得没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.【详解】（1）在A 先生的男性好友中任意选取1名，其中走路步数不低于6000的概率为82205=，X 可能取值分别为0，1，2，3， ∴()30033227055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21133254155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()12233236255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0333328355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为则()2754368601231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， （也可写成235XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭,），∴()26355E X =⨯=.（2）完成2×2列联表运动达人 运动懒人 总计 男 4 16 20 女 7 13 20 总计 112940∴2K 的观测值()240413716 1.129 2.70611292020k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， ∴据此判断没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和独立性检验，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等），而独立性检验一般地依据给定的列联表计算2K 的观察值，再结合临界值表得到是否有把握认定结论.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，90BCD ∠=，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）154.【解析】 【分析】（1）可证BC ⊥平面PAB ，从而得到要证的线面垂直；（2）过点B 作PC 的垂线BH ，交PC 于点H ，连结DH ，可证二面角B PC D --的平面角为BHD ∠，利用余弦定理可求其余弦值后可得其正弦值.我们也可以建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量和平面PCD 的法向量后可求它们的夹角的余弦值，从而得到二面角的正弦值.【详解】（1）证明：因为//AB CD ，090BCD ∠=， 所以AB BC ⊥，又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AB 平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，又∵AQ ⊂平面PAB ，∴ 所以BC AQ ⊥，∵Q 为PB 中点，且PAB ∆为等边三角形，∴PB AQ ⊥，又∵PB BC B ⋂=， ∴AQ ⊥平面PBC .（2）【法一】过点B 作PC 的垂线BH ，交PC 于点H ，连结DH ， 取AB 中点为O ，连接PO .因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥，由平面PAB ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PO CD ⊥，由条件知OD CD ⊥，又POOD O =，所以CD ⊥平面POD ，又PD ⊂平面POD ，所以CD PD ⊥， 又CD CB =，所以Rt PDC Rt PBC ∆≅∆， 所以DH PC ⊥，由二面角的定义知，二面角B PC D --的平面角为BHD ∠，在Rt PDC ∆中，4,2,PB BC PC ===由PB BC BH PC =，所以525PB BC BH PC ===，同理可得455DH =， 又22BD =BHD ∆中，(2222224545221cos 2445452BH DH BD BHD BH DH +-+-⎝⎭⎝⎭∠===-⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以，二面角B PC D --15. 【法二】取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥， 由平面PAB ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO OD ⊥，由224AB BC CD ===，090ABC ∠=， 可知//OD BC ，所以⊥OD AB ，以AB 中点O 为坐标原点，,,OA OD OP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，所以()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0A D C -，(()0,0,23,2,0,0P B -， 所以()()()2,2,0,0,2,23,2,0,0AD DP CD =-=-=， 由（1）知，可以AQ 为平面PBC 的法向量， 因为Q 为PB 的中点， 所以(3Q -，由（1）知，平面PBC 的一个法向量为(3AQ =-， 设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由·0·0n CD n DP ⎧=⎨=⎩得202230x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()0,3,1n =， 所以231cos ,43331AQ n AQ n AQ n===+⨯+， 所以二面角B PC D --15. 【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角得到. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20.椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，且短轴长为23，离心率为12.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点B 为椭圆E 与y 轴正半轴的交点，是否存在直线l ，使得l 交椭圆E 于,M N 两点，且F 恰是BMN ∆的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，3163y x =-【解析】 【分析】（1）根据短轴长和离心率可求,,a b c ，从而得到椭圆的标准方程；（2）假设存在直线l ，则其斜率为3k =l 的方程为3y x m =+，()()1122,,,M x y N x y ，由F 为垂心可得()212123413033m x x x x m m ⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理可得关于m 的方程，解该方程后可得所求的直线方程.【详解】（1）设椭圆C 的方程为()222210,0x y a b a b+=>>，则由题意知223b =3b =22112b e a =-=，解得24a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由（1）知，E 的方程为22143x y +=，所以(()3,1,0B F ，所以直线BF 的斜率3BF k =-，假设存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，则BF MN ⊥. 设l 的斜率为k ，则1BF k k =-，所以3k =. 设l 的方程为3y x m =+,()()1122,,,M x y N x y . 由2233143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()2213831230x mx m ++-=， 由()()22834131230mm ∆=-⨯⨯->，得393933m -<<， ()2121212383,1313m m x x x x -+=-=. 因为MF BN ⊥，所以0MF BN =，因为()()11221,,,3MF x y BN x y =--=-， 所以()()1212130x x y y ---=，即()12121333130333x x x m x m x m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++++= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，整理得()212123413033m x x x x m m ⎛⎫-+--+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()221233834130313313m m m m m -⎛⎫⎛⎫----+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得22153480m m --=，解得3m =或163m =，当m 时，直线MN 过点B ，不能构成三角形，舍去；当m =时，满足m <<， 所以存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，l的方程为y x =-【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的几何量的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把题设中的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程，从而可得欲求的几何量的值. 21.已知函数()()2ln 1,2x f x ax b g x ax bx x =--=+. （1）当2,3a b ==-时，求函数()f x 在x e =处的切线方程； （2）若函数()y f x =的两个零点分别为12,x x ，且12x x ≠，求证：1212x x g +⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）130x y e+--=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数在x e =处的导数，求出切点坐标后可得切线的方程.（2）利用()()120f x f x ==可得()()12122121212ln0222x x x x x x x x a b x x +++⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因此只需证明()()112212ln 12x x x x x x +>-即1122121ln 121x x x x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>⎛⎫- ⎪⎝⎭即可，令12x t x =，构建新函数()()()21ln ,0,11t m t t t t -=-∈+可证该不等式成立.【详解】（1）当2,3a b ==-时，()()ln 30xf x x x x=-+>，()221ln x x f x x--'=， 则()1f e '=-，切点为1,3e e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 故函数()f x 在x e =处的切线方程为130x y e+--=. （2）证明：∵12,x x 是()f x 的两个零点，不妨设12x x <，∴()()120f x f x ==，即111ln 102x ax b x --=，222ln 102x ax b x --=， ∴21111ln 02x ax bx --=，22221ln 02x ax bx --=， 相减得：()()221212121ln ln 02x x a x x b x x -----= 故()121212ln102x x a x x b x x -+-=-，整理得到()()()11222121212ln102x x x x a x x b x x x x +-+-+=-， 则()()12122121212ln0222x x x x x x x x a b x x +++⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， ∴()()11221212ln 22x x x x x x g x x ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭即()()111122212212121ln ln 2221x x x x x x x x x x g x x x x ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭== ⎪-⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭， 令12x t x =，即证01t <<，()()1ln 121t t t +>-也就是()21ln 01t t t --<+， 令()()()21ln ,0,11t m t t t t -=-∈+，()()()()222114011t m t t t t t -'=-=>++，()()21ln 1t m t t t -=-+在()0,1上是增函数， 又∵()10m =，∴()0,1t ∈，()0m t <，命题得证.【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.与函数零点有关的不等式的证明，可利用零点满足的等式将要求证的不等式进行转化，再构造新函数，利用导数讨论新函数的性质可证明新转化的不等式是成立的.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切。

2020-2021学年黑龙江省大庆市高三（上）第一次质检数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，1，2，3} C．{0，1，2} D．{0，1}2．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣23．（5分）设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．534．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A． B．C．D．5．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm36．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．167．（5分）已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α8．（5分）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．9．（5分）高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（）学科数学信息物理化学生物北大 4 2 5 4 1清华 2 1 0 4 2A．B．C．D．10．（5分）设F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．5 B．5+4C．7 D．911．（5分）设函数f是定义在正整数有序对的集合上，并满足：①f（x，x）=x；②f（x，y）=f（y，x）；③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）；则f（12，16）+f（16，12）的值是（）A．24 B．48 C．64 D．9612．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．[，] B．[0，] C．[，] D．[1，]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣，则实数a的值为．14．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．15．（5分）已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是．16．（5分）若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．19．（12分）国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同．某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象）．每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．（Ⅰ）求某队员投掷一次“成功”的概率；（Ⅱ）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望．20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点到椭圆C的右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB面积的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=a（x+1）2﹣4lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年黑龙江省大庆市高三（上）第一次质检数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，1，2，3} C．{0，1，2} D．{0，1}【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：﹣2≤x≤1，即B=[﹣2，1]，∵A={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．53【分析】先利用数列{1+a n}是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列{1+a n}的通项，再把n=4代入即可求出结论．【解答】解：因为数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，且a1=2所以其首项为1+a1=3．其通项为：1+a n=（1+a1）×3n﹣1=3n．当n=4时，1+a4=34=81．∴a4=80．故选A．【点评】本题主要考查等比数列的性质的应用．解决本题的关键在于利用数列{1+a n}是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列{1+a n}的通项．是对基础知识的考查，属于基础题．4．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A． B．C．D．【分析】根据∥，算出=（﹣2，﹣4），从而得出=（﹣4，﹣8），最后根据向量模的计算公式，可算出的值．【解答】解：∵且∥，∴1×m=2×（﹣2），可得m=﹣4由此可得，∴2+3=（﹣4，﹣8），得==4故选：B【点评】本题给出向量、的坐标，求向量的模，着重考查了平面向量平行的充要条件和向量模的公式等知识点，属于基础题．5．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：B．【点评】本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．7．（5分）已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．【解答】解：（A）若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；（B）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．（C）设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，∵m∥α，m⊂γ，α∩γ=a，∴m∥a，同理可得：m∥b．∴a∥b，∵b⊂β，a⊄β，∴a∥β，∵α∩β=l，a⊂α，∴a∥l，∴l∥m．故C正确．（D）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，则α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC⊂平面ABCD，故D错误．故选：C．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，借助常见空间几何模型举出反例是解题关键．8．（5分）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD，然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D，根据勾股定理求出弦长的一半BD，乘以2即可求出弦长AB．【解答】解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=，则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=故选D．【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题，以及理解直线和圆相交所截取的弦的一半、圆的半径、弦心距构成直角三角形．灵活运用垂径定理解决数学问题．9．（5分）高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（）学科数学信息物理化学生物北大 4 2 5 4 1清华 2 1 0 4 2A．B．C．D．【分析】先求出恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的种数，再分类求出至少有1人是参加数学竞赛种数，根据概率公式计算即可得到．【解答】解：其中北大保送生有4+2+5+4+1=16人，清华保送生有2+1+0+4+2=9人，恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的有C161C91=144种，故至少有1人是参加数学竞赛种数为C41C71+C21C121+C21C41=28+24+8=60种，故至少有1人是参加数学竞赛的概率P==．故选：A．【点评】本题考查了古典概型概率问题，以及排列组合的问题，属于基础题．10．（5分）设F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．5 B．5+4C．7 D．9【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得，|PF|﹣|PF′|=2a=4，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5，两式相加求得答案．【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线定义可得，|PF|﹣|PF′|=2a=4，而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5，两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．则|PF|+|PA|的最小值为9．故选：D．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用，同时考查两点间线段最短，属于中档题．11．（5分）设函数f是定义在正整数有序对的集合上，并满足：①f（x，x）=x；②f（x，y）=f（y，x）；③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）；则f（12，16）+f（16，12）的值是（）A．24 B．48 C．64 D．96【分析】由函数性质的第3条，可得f（x，x+y）=f（x，y），从而得到f（12，16）+f（16，12）=2f（12，16）=2f（12，12+4）=2××f（12，12），再利用①解．【解答】解：∵（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），∴f（x，x+y）=f（x，y），f（12，16）+f（16，12）=2f（12，16）=2f（12，12+4）=2××f（12，12）=2×4×12=96．故选：D【点评】本题考查了抽象函数的应用，重点考查了学生对新知识的接受能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．[，] B．[0，] C．[，] D．[1，]【分析】判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣（x+sinx）=﹣f（x），即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数．∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，由f′（x）=1+cosx≥0，∴函数单调递增．∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，∵当y≥1时，=1+，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．而的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．设k=，（k＞0），则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d===1即8k2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．当直线kx﹣y+k=0经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=，∴≤k≤，故=1+=1+k的取值范围是[，]．故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣，则实数a的值为 1 ．【分析】先化抛物线y=ax2为标准方程：x2=y，得到焦点坐标为F（0，），准线方程：y=﹣，再结合题意准线方程为，比较系数可得a=1．【解答】解：∵抛物线y=ax2化成标准方程为x2=y，∴2p=，可得=，焦点坐标为F（0，），准线方程：y=﹣再根据题意，准线方程为，∴﹣=﹣，可得a=1故答案为：1【点评】本题给出含有字母参数的抛物线方程，在已知准线的情况下求参数的值，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题．14．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．【分析】先利用函数图象，计算函数的周期，再利用周期计算公式计算ω的值，最后将点（，0）代入，结合φ的范围，求φ值即可【解答】解：由图可知T=2（）=π，∴ω==2∴y=sin（2x+φ）代入（，0），得sin（+φ）=0∴+φ=π+2kπ，k∈Z∵0＜φ≤∴φ=故答案为【点评】本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，利用函数图象确定参数值的方法，属基础题15．（5分）已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是．【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，求出a=c+4和b=c+2，由边角关系和条件求出sinA，求出A=60°或120°，再判断A的值，利用余弦定理能求出三边长，由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值．【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，可得b=c+2，a=c+4，∴A＞B＞C，∵最大角的正弦值为，∴sinA=，由A∈（0°，180°）得，A=60°或120°，当A=60°时，∵A＞B＞C，∴A+B+C＜180°，不成立；即A=120°，则cosA===，化简得，解得c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7，∴cosC===，又C∈（0°，180°），则sinC==，∴这个三角形最小值的正弦值是，故答案为：．【点评】本题考查等差中项的性质，余弦定理，以及三角形边角关系的应用，考查了方程与转化思想，运算求解能力，推理论证能力．16．（5分）若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p的取值范围为[1，+∞）．【分析】直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，可知：点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，因此（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0．画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得d min=．由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，可得≥20（a2+b2）=4，再利用基本不等式的性质即可得出答案．min【解答】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，∴（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0，即，或；画出它们表示的平面区域，如图所示．a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵d min=那么a2+b2的最小值为：d2=．由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，∴≥20（a2+b2）min=4，∵θ∈（0，），∴sinθ，cosθ∈（0，1）．∴+=（sin2θ+cos2θ）=1+p++≥1+p+2=1+p+2，当且仅当tan2θ=时取等号．∴1+p+2≥4，p＞0，解得1≤p．∴tanθ=1，即时取等号．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了函数图象与性质、线性规划有关知识、三角函数基本关系式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，可得，解得a1，d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（Ⅱ）由（I）可得b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n．（Ⅱ）===，∴T n===．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【分析】（1）先通过两角和公式对函数解析式进行化简，得f（x）=2sin（2x+），根据正弦函数的周期性和对称性可的f（x）的最小正周期及对称中心．（2）根据正弦函数的单调性及x的取值范围进而求得函数的最值．【解答】解：（1）∴f（x）的最小正周期为，令，则，∴f（x）的对称中心为；（2）∵∴∴∴﹣1≤f（x）≤2∴当时，f（x）的最小值为﹣1；当时，f（x）的最大值为2．【点评】本题主要考查了正弦函数的性质．三角函数的单调性、周期性、对称性等性质是近几年高考的重点，平时应加强这方面的训练．19．（12分）国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同．某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象）．每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．（Ⅰ）求某队员投掷一次“成功”的概率；（Ⅱ）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望．【分析】（Ⅰ）由题意，求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式解答；（Ⅱ）明确X的取值，分别求出随机变量对应的概率，列出分布列，求期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：S矩形=10×10=100，=20，记某队员投掷一次“成功”事件为A，则P（A）=…．（5分）（Ⅱ）因为X为某队获奖等次，则X取值为1、2、3、4．，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=…．（9分）即X分布列为：X 1 2 3 4P（X）…（10分）所以，X的期望EX=1×+2×+3×+4×=…（12分）【点评】本题考查了几何概型的运用以及随机变量的分布列和期望．20．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，则EG∥A1B1，从而GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，从平面GEF∥平面ABB1A1，由此能证明EF∥平面ABB1A1．（Ⅱ）连结AC1，推导出AC1⊥AA1，从而AC1⊥平面ABB1A1，再求出AC1⊥AB，AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，在△A1B1C1中，EG为中位线，∴EG∥A1B1，∴GE⊄平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，∴GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，又GF∩GE=G，∴平面GEF∥平面ABB1A1，∵EF⊂平面GEF，∴EF∥平面ABB1A1．解：（Ⅱ）连结AC 1，在△AA1C1中，，，∴由余弦定理得=+﹣2AA1×A1C1cos∠AA1C1=，∴AA1=AC1，△A1AC1是等腰直角三角形，AC1⊥AA1，又∵平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，∴AC1⊥平面ABB1A1，∵AB⊂平面ABB1A1，∴AC1⊥AB，又∵侧面ABB1A1为正方形，∴AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），A1（1，0，0），B1（1，1，0），C1（0，0，1），C（﹣1，0，1），D（0，2，0），∴=（2，1，﹣1），=（1，2，﹣1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面CB1D的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，3），cos＜＞===，∴平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点到椭圆C的右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB面积的取值范围．【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的右焦点，∴c=2， (1)圆Q（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心（2，），∴在椭圆C上，代入椭圆+=1，∴， (2)由a2﹣b2=4解得：a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为； (4)（Ⅱ）由题意可得l1的斜率不为零，当l1垂直x轴时，△MAB的面积为，..5 当l1不垂直x轴时，设直线l1的方程为：，则直线l2的方程为：，由消去y得，所以， (7)则， (8)又圆心到l2的距离得k2＞1， (9)又MP⊥AB，QM⊥CD，所以M点到AB的距离等于Q点到AB的距离，设为d2，即， (10)所以△MAB面积， (11)令t=2k2+1∈（3，+∞），则，，综上，△MAB面积的取值范围为 (12)【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查三角形的面积的范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，运用换元法和函数的单调性，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=a（x+1）2﹣4lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出f（x）的最大值，结合对任意x ∈[1，e]，f（x）＜1恒成立，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由得f（1）=2 (1)…3则所求切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），即y=﹣2x+4 (4)（Ⅱ） (5)令g（x）=ax2+ax﹣2．当a=0时，，f（x）在[1，e]上单调递减，[f（x）]max=f（1）=0＜1，恒成立，符合题意 (6)当a＜0时，g（x）=ax2+ax﹣2，开口向下，对称轴为，且g（0）=﹣2＜0，所以当x∈[1，e]时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，[f（x）]max=f（1）=0＜1，恒成立，符合题意 (8)当a＞0时，g（x）=ax2+ax﹣2的开口向上，对称轴为，g（0）=﹣2＜0，所以g（x）=ax2+ax﹣2在（0，+∞）单调递增，故存在唯一x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，即f′（x0）=0 (9)当0＜x＜x0时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞x0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以在[1，e]上，[f（x）]max=max{f（1），f（e）}．所以，得，得．所以 (11)综上，a得取值范围是 (12)【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．。

2020届黑龙江省大庆市第四中学高三上学期第一次检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{1,2}A =-， {}|02B x Z x =∈≤≤，则A B 等于A ．{0}B ．{}2C ．{0,1,2}D ．φ【答案】B【解析】试题分析：因为{}{}|020,1,2B x Z x =∈≤≤=，{}1,2A =-，所以A B ⋂={}2，故选B.【考点】1、集合的表示；2、集合的交集. 2．在复平面内，复数21ii+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】在复平面内，复数21ii +=()()()211+11i i i i i -=+- ∴复数所对应的点（1，1）位于第一象限． 故选：A ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．已知平面向量a ，b 满足()3b a b ⋅+=，且1a =，2b =，则向量a 与b 的夹角（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】设出夹角，根据b •（a +b ）=3，展开由已知和数量积公式可得夹角的余弦值，由角的范围确定角. 【详解】设向量a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π]由b •（a +b ）=2||+||||cos =3b a b θ⋅，代入数据可得22+2×1×cosθ=3， 解之可得cosθ=12-， 故可得θ=2π3. 故选：C. 【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算，属于基础题. 4．命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ） A ．对任意实数x, 都有x > 1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x, 都有x ≤1 D ．存在实数x ，使x ≤1【答案】C 【解析】【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词． ∵命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是 “对任意实数x ，都有x ≤1” 故选C ．5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且111313a S ==，则9a =（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,∵111313a S ==,∴a 1+10d =13a 1+13122⨯d =13， 解得a 1=−17，d =3. 则a 9=−17+8×3=7. 故选B.6．若偶函数()y f x =在(],0-∞上的解析式为()2f x x x =+，则切点横坐标为1的切线方程是（ ） A ．10x y --= B ．10x y +-= C ．310x y --= D ．310x y -+=【答案】A【解析】利用函数是偶函数，得到 0x >时，函数()y f x =的表达式，然后利用导数的几何意义求切线方程即可.【详解】解：设 0x >，则0x -< ，则()()()22f x x x x x -=-+-=-， 因为()y f x =是偶函数，所以 0x >时，()()2f x f x x x =-=-，所以此时函数的导数()'12fx x =-，0x >，当x =1时，()()'1211110f f =⨯-==，， 所以切点坐标为(1,0)，所以切线方程为1y x =-，即10x y --=. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用函数的奇偶性求出函数的解析式是解决本题的关键，要求熟练掌握导数的基本应用，属于基础题.7．已知α，β，γ是三个不同的平面，1l ，2l 是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（ ）A ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβB ．若1//l α，1l β⊥，则//αβC ．若//αβ，1//l α，2//l β，则12l l //D ．若αβ⊥，1l α⊥，2l β⊥，则12l l ⊥ 【答案】D【解析】试题分析：对于A ，B 选项，,αβ可能相交；对于C 选项，12,l l 可能异面，故选D.【考点】空间点线面的位置关系. 8．若13tan ,(,)tan 242ππααα-=∈，则sin(2)4πα+的值为（ ）A ．5-B ．5C ．10-D ．10【答案】D【解析】由题意，化简整理得cos23sin24αα=-，又由三角函数的基本关系式，求得cos2,sin2αα的值，再利用两角和的正弦函数的公式，即可化简求解，得到答案．【详解】由题意，可知13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，即sin cos 3cos sin 2αααα-=， 整理得cos23sin24αα=-，∵42ππα<<，∴22παπ<<，又由22cos 2sin 21αα+=，解得3cos25α=-，4sin25α=，∴sin 2sin2cos242210πααα⎛⎫+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及两角和的正弦函数的公式，合理、准确运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．函数()y f x =是R 上的奇函数，满足()()33f x f x +=-，当()0,3x ∈时，()2x f x =，则()5f -=（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【解析】由()()33f x f x +=-可求出(5)f ，再由()y f x =是R 上的奇函数即可求出(5)f -.【详解】()()33f x f x +=-，(5)323212f f f f ，()y f x =是R 上的奇函数，(5)(5)2f f .故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题.10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A．3πB．12πC．2πD．7π【答案】A【解析】【详解】由三视图可知几何体是个三棱锥，可看作棱长1a=的正方体的一部分，则此几何体的外接球就是正方体的外接球．由正方体的外接球半径与正方体的棱长间的关系可得外接球半径33r a==．其表面积为24πR3πS==．故本题选A．点睛：本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图.11．已知数列{}n a满足:()*111,2nnnaa a n Na+==∈+.若21log1nnba⎛⎫=+⎪⎝⎭，则数列{}nb的通项公式是（）A ．12nB ．1n -C ．nD ．2n【答案】C【解析】根据题干得到1121,n na a +=+变形为11112(1)n n a a ++=+，故11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,公比为2，根据等比数列的公式得到112n na +=，进而得到121log (1)n n b n a +=+=.【详解】 由12n n n a a a +=+得1121,n na a +=+所以11112(1)n n a a ++=+,故11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,公比为2,111112(1)2n n n a a -+=+=,1221log (1)log 2n n n b n a +=+==.故选C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质. 12．设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式2(ln )f x x <的解集为（ ） A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B．C ．1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭D．2e ⎛⎝ 【答案】B【解析】构造函数F （x ）=()2xf x e ，求出导数，判断F （x ）在R 上递增．原不等式等价为F （lnx ）＜F （12），运用单调性，可得lnx ＜12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集． 【详解】可构造函数F （x ）=()2xf x e，F′（x ）=()()22222()x xx f x e f x e e -=()()2'2xf x f x e-，由f′（x ）＞2f （x ），可得F′（x ）＞0，即有F （x ）在R 上递增． 不等式f （lnx ）＜x 2即为()2f lnx x＜1，（x ＞0），即()2lnxf lnx e＜1，x ＞0．即有F （12）=12f e⎛⎫⎪⎝⎭=1，即为F （lnx ）＜F （12），由F （x ）在R 上递增，可得lnx ＜12，解得0＜x． 故不等式的解集为（0）， 故选B ． 【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=， ()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f xg x x=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等二、填空题13．已知0.302a =.，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则a 、b 、c 从小到大的顺序为_______<______<_______． 【答案】c b a【解析】根据对数函数和指数函数单调性可得到答案. 【详解】由指数函数0.2xy =的性质和单调性有：0.3002021..a =<=,则01a << 由对数函数0.2log y x =的单调性有：0.20.20.20log 1log 3log 4=>>， 所以c b a << 故答案为：c ， b ， a 【点睛】本题考查了根据指数函数和对数函数单调性比较大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用，属于基础题.14．已知正方形ABCD 边长为3，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为______． 【答案】9【解析】根据平面向量数量积的几何意义可知DE 在DC 方向上的投影的最大值为3，进一步得到答案. 【详解】根据平面向量数量积的几何意义得：当点E 在点B 时，DE DC ⋅值的最大， 此时DE 在DC 方向上的投影为3，又=3DC所以DE DC ⋅的最大值为9. 故答案为：9. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，涉及到向量的投影，属于常见的基础题型． 15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积()212弦矢矢=⨯+.弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长等于9米的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为__________．（实际面积-弧田面积） 【答案】2732798π-【解析】扇形半径33r =扇形面积等于(()221233923m ππ⋅⋅=，弧田面积()22129sin 9234r m πππ=-=-圆心到弦的距离等于12r ，所以矢长为12r ．按照上述弧田面积经验公式计算，得()21127271922442⎫⨯+=+=⎪⎭弦矢矢（）．∴2712799428ππ⎫-=⎪⎭，按照弧田面积经验公式，计算结果比实际少27928π-- 平方米．故答案为27928π--． 16．已知{}n a 满足()*211112311,,4?4?44nn n n n n a a a n N S a a a a -+⎛⎫=+=∈=++++ ⎪⎝⎭，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得45nn n S a -=__________．【答案】5n 【解析】由21123444n n n S a a a a -=+⋅+⋅+⋯+⋅ ①；得2311231444444n n n n n S a a a a a --⋅=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅+⋅ ②；①+②得：()()()2111223154444n n n n n n S a a a a a a a a --=+++⋅++⋯+⋅++⋅212111114444444n n n na a --⎛⎫⎛⎫=+⨯+⋅+⋯+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111144nnn n a n a =+++⋯++⋅=+⋅．所以45455n nn n n n nS a n S a -⋅=∴-⋅=．点睛：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n 项和公式的方法的理解和掌握．等比数列前n 项和公式的推导主要利用错位相减法，其关键点是在前n 项和的等式两边同时乘以公比，然后利用错位相减求出结果.（错位相减法：针对数列{}n n a b ⋅（其中数列{}{},n n a b 分别是等差数列和等比数列（公比1q ≠）），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是:1.112233...n n n S a b a b a b a b =++++…①；2.等式112233...n n n S a b a b a b a b =++++两边同时乘以等比数列{}n b 的公比，得到112233...n n n qS a b q a b q a b q a b q =++++…②；3.最后①-②，化简即可求出结果.）三、解答题17．已知向量3sin ,4a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b x =-，()()2f x a b b =+⋅． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的增区间 【答案】（1）T π=；（2）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【解析】（1）由()()2222f x a b b a b b =+⋅=⋅+，将a b ，的坐标代入可得出()3242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，从而得到答案.（2）由函数sin y x =的单调区间，可直接求出答案. 【详解】 由向量3sin ,4a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b x =-，则313sin cos sin 2424a b x x x ⋅=-=- 221cos 2cos 112xb x +=+=+ 所以()()233222sin 2cos 232242f x a b b a b b x x x π⎛⎫=+⋅=⋅+=-++=++ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期22T ππ==（2）由（1）()3242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈则3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【点睛】本题考查向量的运算，三角函数的化简运算和三角函数的周期和单调性，属于中档题.18．锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin a B =．（1）求角A 的大小；（2）若5a =，8+=b c ，求ABC 的面积． 【答案】（1）3A π=；（2）133. 【解析】（1）先根据边角互化得3sin A =，再根据锐角三角形得3A π=；（2）先根据余弦定理得：2225bc b c =+-，再根据8+=b c 两边平方得22642bc b c -=+，进而得13=bc ，故1133sin 2ABCSbc A ==. 【详解】解：（1）根据正弦定理边角互化得：2sin sin 3sin A B B =， 因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0B ≠， 所以3sin 2A =，由于锐角三角形中，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以3A π=.（2）结合（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得：2225bc b c =+-，由于8+=b c ，故两边平方得：22642bc b c -=+， 所以有：2225642bc b c bc +=+=-，解得：13=bc . 所以113133sin 132224ABCSbc A ==⨯⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化，余弦定理，三角形面积公式，考查运算能力，是中档题. 19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA PD =，PA ⊥平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（1）求证：//PB 平面EAC ；（2）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （3）求二面角E AC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）31111-． 【解析】（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ，证明//PB EO 即可； （2）根据条件证明CD ⊥平面PAD 即可；（3）在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥，由Dz ，DA ，DC 建立空间坐标系，利用向量法求解二面角. 【详解】（1）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ， 因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点， 因为E 为棱PD 中点， 所以//PB EO ，因为PB ⊄平面EAC ，EO ⊂平面EAC ， 所以直线//PB 平面EAC ；（2）证明：因为PA ⊥平面PDC ，所以PA CD ⊥， 因为四边形ABCD 为正方形，所以AD CD ⊥， 所以CD ⊥平面PAD ，CD ⊂平面ABCD 所以平面PAD ⊥平面ABCD ；（3）在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ，由Dz ，DA ，DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设4AB =，则()0,0,0D ，()4,0,0A ，()4,4,0B ，()0,4,0C ，()2,0,2P ，()1,0,1E ，所以()3,0,1EA =-，()4,4,0AC =-，设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =，则有0n EA n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以30440x z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =，得()1,1,3n =，又()0,0,1v =是面 ACB 的法向量所以311cos ,n v n v n v⋅==由图可知二面角E AC B --的平面角是钝角， 所以二面角E AC B --的余弦值为 【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明以及用向量法求二面角，属于综合题. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()221n n S a n N n +⎛⎫=-+∈⎪⎝⎭． （1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设数列{}121n n a ++的前n 项和为n T ，求1231111nT T T T ++++． 【答案】（1）证明见解析；（2）13112212n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 【解析】(1)先根据n S 求出递推关系式，然后利用等比数列的定义进行证明； （2）先求出n T ，然后利用裂项相消法求和. 【详解】 由()221n n S a n N n +⎛⎫=-+∈⎪⎝⎭可得，当1n =时，112a =当2n ≥时，有112211n n S a n --⎛⎫=-+⎪-⎝⎭，将以上两式相减. 122111n n n a a n n a --⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,整理得()112121n n a a n n n n -=⨯≥--即1121nn a n a n -=-，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列． （2）由（1）可得1111222n n na n -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭所以12121n n a n ++=+，()2n T n n =+，111122n T n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 12311111311=2212n T T T T n n ⎛⎫++++-- ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题主要考查等比数列的证明及数列求和，等比数列证明一般是利用定义法，数列求和一般是根据通项公式的特点选择合适的方法求解，属于中档题. 21．函数()ln f x x ax a =+-．（1）当1a =-时，判断函数()f x 零点个数；（2）当1≥x 时，不等式()()1xf x a x ≤-恒成立，求a 的取值范围 【答案】（1）有一个零点；（2）12a ≤-． 【解析】（1）当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，求导得()'1xf x x-=，分析导函数取得正负的区间，得原函数的单调性，从而得出函数的最值和图象趋势，可得答案； （2）原不等式等价于1≥x ，ln 0a x ax x +-≤，令()()ln 1ah x x ax x x=+-≥，等价于()()01h x x ≤≥，求导得()()2'21ax x ah x x x++=≥．分0a ≥和0a <两种情况讨论所构造的函数的单调性，得出最值，从而求得a 的取值范围． 【详解】（1）当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，()'1xf x x-=， 所以01x <<时，()'0fx >，()f x 在()01，上单调递增，1x >时，()'0f x <，()f x 在()1+∞，单调递减，所以()()max 10f x f ==，所以函数()f x 有一个零点． （2）当1≥x 时，()()1xf x a x ≤-等价于1≥x ，ln 0ax ax x+-≤， 令()()ln 1ah x x ax x x=+-≥，等价于()()01h x x ≤≥，则()()2'21ax x ah x x x ++=≥．1︒，0a ≥，()'0h x ≥，()h x 在()1,+∞单调递增，因为1≥x ，所以()()10h x h ≥=，不合题意；2︒，0a <，令()'0h x =，即20ax x a ++=，其中214a ∆=-， 当0∆≤，12a ≤-，()h x 在()1,+∞单调递减，因为1≥x ，()()10h x h ≤=，符合题意． 当>0∆，12a >-，设 ()'0h x =的两根是1x ，2x ，且1x <2x ，又()'12+1>0h a =，所以121x x ，所以21x x <<时，()h x 单调递增，()()10h x h >=，不合题意． 综上得，12a ≤-． 【点睛】本题考查利用导函数研究函数的零点个数，根据不等式的恒成立求参数的范围，关键在于构造合适的函数，求导，研究其导函数取得正负的区间，得出原函数的最值，属于较难题． 22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin (02)ρθθθπ=+≤<，点(1,)2M π，以极点O 为原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,A B 两点，且MA MB >. （1）若(,)P ρθ为曲线C 上任意一点，求ρ的最大值，并求此时点P 的极坐标； （2）求||||MA MB . 【答案】（1）ρ取得最大值P的极坐标为)4π.；（2）2+．【解析】试题分析：(1)利用题意结合辅助角公式可得当4πθ=时，ρ取得最大值，此时，P 的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)联立直线的参数方程和圆的直角坐标方程，结合韦达定理可得MA MB的值是2．试题解析：（1）224cos sin πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，∴当4πθ=时，ρ取得最大值P的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）由22cos sin ρθθ=+，得222cos sin ρρθρθ=+，即22220x y x y +--=， 故曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=.将212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()()22112x y -+-=并整理得：210t -=，解得t =， ∵MA MB >，∴由t的几何意义得，MA =，MB =，故2MA MB==。

2020年黑龙江高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知全集，集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数，则的虚部为（ ）．A. B. C. D.3.年某校迎国庆周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）．若甲队得分的中位数是，乙队得分的平均数是，则（ ）．甲乙A. B. C. D.4.的展开式中的系数为（ ）．A. B. C. D.5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术："置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”该术相当于给出了由圆锥的底面周长．与高，计算其体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ）．A.B.C.D.6.已知公差不为的等差数列的前项的和为，，且，，成等比数列，则（ ）．A.B.C.D.7.下列说法正确的是（ ）．A.命题“，”的否定形式是“，”B.若平面，，，满足，则C.随机变量服从正态分布，若，则D.设是实数，“”是“” 的充分不必要条件8.已知双曲线的右焦点与圆的圆心重合，且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.：：9.已知是圆心为坐标原点，半径为的圆上的任意一点，将射线绕点逆时针旋转到交圆于点，则的最大值为（ ）．A.B. C.D.10.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则在方程 表示双曲线的条件下，方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为（ ）．A.B.C.D.11.已知函数，若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）．A.B.C.D.，，12.已知定义在上的函数满足，且当时，．设在上的最大值，且数列的前项的和为．若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若曲线（其中常数）在点处的切线的斜率为，则．14.若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象．则在区间上的最小值为 ．15.如图所示，在边长为的正方形纸片中，与相交于．剪去，将剩余部分沿、折叠，使、重合，则以、、、为顶点的四面体的外接球的体积为 ．16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是 ．xyO三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.在中，为边上一点，，．求．若，，求．（1）（2）18.某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了人的分数．以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：分数若分数不低于分，则称该员工的成绩为“优秀”．从这人中任取人，求恰有人成绩“优秀”的概率．根据这人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题．1 2分数频率组距组别分组频数频率估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．若从所有员工中任选人，记表示抽到的员工成绩为”优秀”的人数，求的分布列和数学期望．频率组距（1）（2）19.已知抛物线的焦点为，过上一点作两条倾斜角互补的直线分别与交于，两点．证明：直线的斜率是．若，，成等比数列，求直线的方程．（1）（2）20.如图，在直角中，，通过以直线为轴顺时针旋转得到（）．点为斜边上一点．点为线段上一点，且．证明：平面．当直线与平面所成的角取最大值时，求二面角的正弦值．【答案】解析:∵，，∴，又∵，∴，故选项正确．解析:∵．（1）（2）21.已知函数，是的导数．当时，令，为的导数．证明：在区间存在唯一的极小值点．已知函数，在上单调递减，求的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点在曲线上，点满足．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点的轨迹的极坐标方程．点，分别是曲线上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．（1）（2）23.已知关于的不等式有解．求实数的最大值．若，，均为正实数，且满足．证明：．B1.A2.∴的虚部为，故选项正确．解析:∵甲队得分的中位数是，乙队得分的平均数为，则由茎叶图性质知：甲队：、、、、、、，若要使甲队中位数为，则只能令，即，乙队：、、、、、、，则，∴解出：，∴，，∴．故选．解析:展开式中的取法有两种．①中取，中取个，个，即，②中取，中取个，个，即，综上所述：的系数为．故选：．解析:设圆锥的底面半径为，则圆锥的底面周长为．所以，所以，所以，D 3.C 4.C 5.所以，所以圆周率近似取为．故选．解析:∵为等差数列，，且，，成等比数列，∴，（舍去），∴，．故选项正确．解析:∵双曲线的右焦点与圆的圆心重合，又∵圆心，∴焦点，∴．双曲线的渐近线方程为，由圆的对称性，不妨取渐近线为，即．∴圆心到直线的距离为：，又∵圆的半径，∴由勾股定理：，即，∴，∴，B 6.D 7.A 8.：：∵，，∴，，∴．故答案为．解析:由题意，设，则，则，因为，所以，故的最大值为．故选．解析:设事件：方程为双曲线，即，或，，．事件：方程为焦点在轴上的双曲线，即，，∵、选取总个数为：，∴，，条件概率：，∴故答案为：．解析:C 9.A 10.B 11.的图象如下图：令，则关于的方程，有六个不相等的实数根，可转化为有两个不相等的实数根，．如图可知：，，令，则有，∴，∴，∴实数的取值范围为．故选．解析:∵，∴，当时，，∴的图象如下图所示，x123456y –11234O ∴由题意可知，，，，∴是以为首项, 为公式的等比数列、，，或C 12.又，∴，令，则，，∴当时，，∴，当时，，∴，∴在时，单调递增，时单调递减，∴的最大值为，∴，∴实数的取值范围为，故选：．13.解析:∵，∴，又∵，∴，．14.解析:∵，∴，则，∵，∴，，∴在区间上的最小值为．15.解析:折叠后的四面体，如图所示，其中，，都是腰长为，以为顶点的等腰直角三角形，是边长为的等边三角形．将四面体放入棱长为的正方体中，如下图所示：则正方体的外接球即该四面体的外接球，所以，故该四面体的外接球的体积．16.解析:由题意可得，∴，∴，，将代入椭圆方程可得，解得，∴，，，记内切圆圆心为，半径为，（1）（2）∴，∴，∴，∴圆的方程为．解析:，∵，∴，∴．∵，∴设，，在中，由正弦定理得，，∴，∴，∵，∴∴．（1）．（2）．17.（1）．1（2）．18.（1）12（2）解析:设从人中任取人恰有人成绩“优秀”为事件，，恰有人“优秀”的概率为．，估计所有员工的平均分数为．分数频率组距组别分组频数频率的可能取值为，，，，随机选取人是“优秀”的概率为 ，∴，∴的分布列为：2的分布列为：数学期望．频率组距（1）（2）∵ ．∴数学期望．解析:在抛物线上，∴，，设，，由题可知，，∴，∴，∴，∴，∴．由问可设：，，，，∵，∴，即：∴，将直线与抛物线联立，可得：，，代入式，可得，∴．（1）证明见解析．（2）．19.（1）证明见解析．（2）．20.（1）（2）解析:在中，由余弦定理得，，∴，∴，由题意可知：∴，，，∴平面，平面，∴，，∴平面．以为坐标原点，以，，的方向为，，轴的方向，建立空间直角坐标系，∵平面，∴在平面上的射影是，∴与平面所成的角是，∴最大时，即，点为中点，，，，，计算可得：平面的法向量，平面的法向量，∴，二面角的正弦值为．（1）证明见解析．21.（1）（2）（1）解析:，设，，当时，单调递增，而，，且在上图象连续不断，所以在上有唯一零点，当时，；当时，；∴在单调递减，在单调递增，故在区间上存在唯一的极小值点；即在区间上存在唯一的极小值点．设，，，∴在单调递增，，即从而，因为函数在上单调递减，∴在上恒成立，令，∵，∴，在上单调递减，，当时，，则在上单调递减，，符合题意；当时，在上单调递减，所以一定存在，当时，，在上单调递增，与题意不符，舍去．综上，的取值范围是．解析:（2）．（1）．（2）．22.（2）（1）（2），∵，∴，∴，由题可知：，．，设，，，∴．解析:∴当时，的最大值为．关于的不等式有解等价于，()当时，上述不等式转化为，解得；()当时，上述不等式转化为，解得．综上所述，实数的取值范围为，则实数的最大值为，即．根据（）求解知，所以，又∵，，，，（1）．（2）证明见解析．23.．即，∴，那么，．。

2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷（理科）1. 已知集合A ={x ∈N|0<x <log 216}，集合B ={x|2x −2>0}，则集合A ∩B 真子集个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 82. i 为虚数单位，则2i 31−i的虚部为( )A. −iB. iC. −1D. 13. 在(√x 3−1x 2)6的展开式中，中间一项的二项式系数为( )A. 20B. −20C. 15D. −154. 已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x +2y −3=0，则该双曲线的离心率为( )A. 5或54B. √5或√52 C. √3或√32D. 5或535. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BC AC=√5−12.根据这些信息，可得sin234°=( )A. 1−2√54B. −3+√58C. −√5+14D. −4+√586. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m//n 的充分条件是( )A. m ，n 与平面α所成角相等B. m//α，n//αC. m//α，m ⊂β，α∩β=nD. m//α，α∩β=n7. 已知点(3,1)和(−4,6)在直线3x −2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是( )A. −7<a <24B. −24<a <7C. a <−1或a >24D. a <−24或a >78. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，3，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间[401,731]的人数为( )A. 10B. 11C. 12D. 139. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为( )A. 45B. 25C. 23D. 1310. 已知a =5ln4π，b =4ln5π，c =5lnπ4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. c <b <aB. c <a <bC. b <a <cD. a <b <c11. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过右焦点F ，若∠FAB =α∈[π12,π3]，则此椭圆离心率的取值范围是( )A. [√22,√3−1]B. [√22,√63]C. (0,√22]D. [√63,1)12. 已知函数f(x)=exx2(其中无理数e =2.718…)，关于x 的方程√f(x)√f(x)=λ有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是( )A. (0,e2)B. (2,+∞)C. (e 2+2e ,+∞)D. (e 24+4e 2,+∞)13. 函数f(x)=a x+1+1，(a >0,a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点坐标为______． 14. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1+11+11+⋯中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+1x =x ，求得x =1+√52，类似上述过程，则√3+√3+√3+√……______．15. 在四面体S −ABC 中，SA =SB =2，且SA ⊥SB ，BC =√5，AC =√3，则该四面体体积的最大值为 (1) ，该四面体外接球的表面积为 (2) ．16. 在△ABC 中，A =π3,AC ：BC =2：3，点D 为线段AB 上一动点，若DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值为−34，则△ABC 的面积为______．17. 已知数列{a n }满足，a 1=1，a 2=4且a n+2−4a n+1+3a n =0(n ∈N ∗).(Ⅰ)求证：数列{a n+1−a n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =2n ⋅a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形，且垂直于底面ABCD ，AB =BC =1，∠BAD =∠ABC =90°，∠ADC =45°，分别是AD ，PD 的中点．(Ⅰ)证明：平面CMN//平面PAB ；(Ⅱ)已知点E 在棱PC 上且CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线NE 与平面PAB 所成角的余弦值．19. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上的两个动点A(x 1,y 1)和B(x 2,y 2)，焦点为F.线段AB 的中点为M (3,y 0)，且A ，B 两点到抛物线的焦点F 的距离之和为8． (1)求抛物线的标准方程；(2)若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求△ABC 面积的最大值．20.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次(次)；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进这时认为每个人的血化验1k行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．(1)设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；(2)设p=0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)21.已知函数f(x)=(x−a)lnx+12x(a∈R)．(1)若f′(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)=f′(x)−x−alnx的单调性；(2)若a∈(12e,2√e)(e是自然对数的底数)，求证：f(x)>0．22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π6)．(Ⅰ)求曲线C的极坐标的方程以及曲线D的直角坐标方程；(Ⅱ)若过点A(2√2,π4)(极坐标)且倾斜角为π3的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求|AP||AM|⋅|AN|的值．23.已知函数f(x)=|2x−4|+|x+1|，(Ⅰ)解不等式f(x)≤9；(Ⅱ)若不等式f(x)<2x+a的解集为A，B={x|x2−3x<0}，且满足B⊆A，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A ={x ∈N|0<x <4}={1,2,3}，B ={x|x >1}， ∴A ∩B ={2,3}，∴集合A ∩B 真子集的个数是22−1=3个． 故选：B ．可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可得出A ∩B ，从而得出A ∩B 的真子集的个数．本题考查了描述法、列举法的定义，对数的运算，指数函数的单调性，集合真子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵2i 31−i =−2i1−i =−2i(1+i)(1−i)(1+i)=1−i ， ∴2i 31−i的虚部为−1．故选：C ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由(√x 3−1x 2)6的展开式的中间一项为第4项，则其二项式系数为C 63=20，故选：A ．由二项式定理及二项式系数得：(√x 3−1x 2)6的展开式的中间一项为第4项，则其二项式系数为C 63=20，得解．本题考查了二项式定理及二项式系数，属中档题．【解析】解：对称轴为坐标轴的双曲线的标准方程可设为x2a2−y2b2=1或y2a2−x2b2=1(a,b>0)．可得渐近线方程为y=±ba x或y=±abx．∵有一条渐近线平行于直线x+2y−3=0，∴一条渐近线方程为x+2y=0．∴−12=−ba或−ab．∴该双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2=√5或√52．故选：B．对称轴为坐标轴的双曲线的标准方程可设为x2a2−y2b2=1或y2a2−x2b2=1(a,b>0).由于有一条渐近线平行于直线x+2y−3=0，可得−12=−ba或−ab.即可得出该双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】由已知求得∠ACB=72°，可得cos72°的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解sin234°．本题考查三角函数的恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力，是中档题．【解答】解：由图可知，∠ACB=72°，且cos72°=12BCAC=√5−14．∴cos144°=2cos272°−1=−√5+14．则sin234°=sin(144°+90°)=cos144°=−√5+14．故选：C．【解析】解：A.m，n平行、相交或为异面直线，因此不正确；B.m与n可能平行、相交或为异面直线，因此不正确；C.是m//n的充分条件；D.m与n可能平行、相交或为异面直线，因此不正确．故选：C．利用空间线面位置关系的判定方法、简易逻辑的判定方法即可得出．本题考查了空间线面位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，若点(3,1)和(−4,6)在直线3x−2y+a=0的两侧，则有[(3×3−2×1+a)][3×(−4)−2×6+a]<0，即(a+7)(a−24)<0，解可得−7<a<24；故选：A．根据题意，由二元一次不等式与平面区域的关系可得[(3×3−2×1+a)][3×(−4)−2×6+a]<0，化简解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查二元一次不等式的几何意义，关键是由点与直线的位置关系分析得到不等式．8.【答案】C【解析】解：因为采用系统抽样方法从960人中抽取32人，所以抽到的号码构成以30为公差的等差数列{a n}因为某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，因此a n=11+30(n−1)=30n−19，由401≤30n−19≤731，解得14≤n≤25，n∈N∗所以编号落入区间[401,731]的人数为25−14+1=12．故选：C．根据系统抽样的特征可知，抽出的号码成等差数列，由题意即可写出通项公式，解不等式即可求出．本题主要考查系统抽样的特征应用，以及等差数列的通项公式的应用，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：甲在每局比赛中获胜的概率均为：34，失败的概率为：14； 各局比赛结果相互独立且没有平局，则甲获得冠军的概率为：34×34+34×14×34+14×34×34=5464，比赛进行了三局的概率为：34×14×34+14×34×34=1864，故则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为：1864÷5464=13， 故选：D ．分别求出甲比赛获得冠军和比赛三次获胜的概率，在利用条件概率公式计算，即可得出结论．本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：令f(x)=lnx x(x ≥e)，f′(x)=1−lnx x 2，x >e 时，f′(x)<0，可得函数f(x)在(e,+∞)上单调递减． ∴πln44>πln55，∴5ln4π>4ln5π，∴a >b ．lnππ>ln44，∴π4>4π，∴5lnπ4>5ln4π，∴c >a ．∴b <a <c ． 故选：C ．本题考查了利用导数研究函数的单调性，对数运算，属于中档题． 令f(x)=lnx x(x ≥e)，利用导数研究函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系．11.【答案】B【解析】解：设椭圆的另一个焦点为F′，连接AF′，AF ，BF′，则四边形AFBF′是矩形，∴AB =FF′=2c ，FA =2c ⋅cosα，FB =2c ⋅sinα，由椭圆的定义可知，FA +FB =2a ，即2c ⋅cosα+2c ⋅sinα=2a ， ∴离心率e =c a =1sinα+cosα=1√2sin(α+π4)，∵α∈[π12,π3]，∴π4+α∈[π3,7π12]，√2sin(α+π4)∈[√62,√2]，∴e ∈[√22,√63]． 故选：B ．设椭圆的另一个焦点为F′，连接AF′，AF ，BF′，可得到四边形AFBF′是矩形，然后利用锐角三角函数表示出FA 和FB ，再结合椭圆的定义可知2c ⋅cosα+2c ⋅sinα=2a ，于是e =c a=1sinα+cosα=1√2sin(α+π4)，最后结合α∈[π12,π3]，和正弦函数求出y =√2sin(α+π4)的值域即可得解．本题主要考查椭圆的定义、焦点、离心率等几何性质，还涉及三角函数与三角恒等变换，考查学生转化与化归的能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意，函数f(x)=e x x 2的导数为f′(x)=e x (x−2)x 3，∴0<x <2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， x <0或x >2时，f′(x)>0，函数单调递增， ∴x =2时，函数取得极小值e 24，关于x 的方程x 的方程√f(x)+1√f(x)=λ有四个相异实根， 设t =√f(x)，则t +1t =λ的一根在(0,e2)，另一根在(e2,+∞)之间， ∴y =t +1t 在t =e2处取得最小值e2+2e ， ∴λ>e2+2e ， 故选：C ．求导数，确定函数的单调性，可得x =2时，函数取得极小值，关于x 的方程√f(x)+1√f(x)=λ有四个相异实根，则t +1t =λ的一根在(0,e2)，另一根在(e2,+∞)之间，再由对勾函数的单调性即可得出结论．本题考查函数的单调性，考查方程根问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.【答案】(−1,2)【解析】解：由于函数y=a x经过定点(0,1)，令x+1=0，可得x=−1，求得f(−1)=2，故函数f(x)=a x+1+1(a>0,a≠1)，则它的图象恒过定点的坐标为(−1,2)，故答案为(−1,2)解析式中的指数x+1=0，求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定点的坐标．本题主要考查指数函数的图象过定点(0,1)的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的x和y的值，属于基础题．14.【答案】1+√132【解析】解：设x=√3+√3+√3+√……由题意可得：x=√3+x，即x2−x−3=0，(x>0)，解得：x=1+√132．故答案为：1+√132，即可得解．由阅读能力及类比能力结合解方程x2−x−3=0，(x>0)解得：x=1+√132本题考查了阅读能力及类比能力，属中档题．15.【答案】√3068π【解析】解：四面体的体积最大时即面SAB⊥面ABC，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=√5，AC=√3，所以∠ACB=90°，取AB 的中点H ，连接CH ，SH ，SH ⊥AB ，面SAB ∩面ABC =AB ，SH 在面SAB 内，而SH =12√2SA =√2 所以SH ⊥面ABC ，所以V S−ABC =13⋅S △ABC ⋅SH =13⋅12⋅√5⋅√3⋅√2=√306；则外接球的球心在SH 上，设球心为O ，连接OC ，CH =12AB =12⋅√2SA =√2，因为SH =12√2SA =√2，所以O 与H 重合，所以R =CH =SH =√2，所以四面体的外接球的表面积S =4πR 2=8π， 故答案分别为：√306，8π．由题意可得当四面体的体积最大时即面SAB ⊥面ABC ，求出四面体的高，进而求出体积，可得AB 的中点H 则由数值可得H 为外接球的球心，球的半径为SH =CH ，进而求出外接球的表面积．考查四面体的体积最大时的情况，及外接球的表面积公式，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由正弦定理得：BCsinA =ACsinB ， 又A =π3,AC ：BC =2：3， 所以sinB =√33，又AC <BC ， 所以B <A =π3，所以cosB =√1−sin 2B =√63， 所以sinC =sin(B +π3)=3√2+√36，不妨设AC =2t ，则BC =3t ，AB =(√6+1)t ， 设DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λAB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(3+2√2)λ2−(√2+1)λ]t 2， 所以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为√6+1)24(√6+1)2=−34， 解得t =√3，即S △ABC =12|AB||AC|sinA =12(√6+1)×2×√32×3=9√2+3√32，故答案为：9√2+3√32．由三角形中的正弦定理得及两角和差的正弦得：sinB =√33，又AC <BC ，所以B <A =π3，所以cosB =√1−sin 2B =√63，所以sinC =sin(B +π3)=3√2+√36， 由平面向量的数量积运算得：DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(3+2√2)λ2−(√2+1)λ]t 2，所以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为√6+1)24(√6+1)2=−34，得t =√3，即S △ABC =12|AB||AC|sinA =12(√6+1)×2×√32×3=9√2+3√32，得解．本题考查了解三角形中的正弦定理、两角和差的正弦及平面向量的数量积运算，属难度较大的题型．17.【答案】(Ⅰ)证明：依题意，由a n+2−4a n+1+3a n =0，可得a n+2=4a n+1−3a n ，则a n+2−a n+1=3a n+1−3a n =3(a n+1−a n ). ∵a 2−a 1=4−1=3，∴数列{a n+1−a n }是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴a n+1−a n =3⋅3n−1=3n ，n ∈N ∗． 由上式可得，a 2−a 1=31， a 3−a 2=32，⋅ ⋅ ⋅a n −a n−1=3n−1， 各项相加，可得：a n −a 1=31+32+⋯+3n−1=31−3n 1−3=12⋅3n −32，∴a n =12⋅3n −32+a 1=12⋅3n −32+1=12⋅(3n −1)，n ∈N ∗．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b n =2n ⋅a n =2n ⋅12⋅(3n −1)=n ⋅3n −n ． 构造数列{c n }：令c n =n ⋅3n ． 设数列{c n }的前n 项和为T n ，则T n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n =1⋅31+2⋅32+3⋅33+⋯+n ⋅3n ， 3T n =1⋅32+2⋅33+⋯+(n −1)⋅3n +n ⋅3n ，两式相减，可得：−2T n=31+32+33+⋯+3n−n⋅3n=3−3n+11−3−n⋅3n=−2n−32⋅3n−32，∴T n=2n−34⋅3n+34．故S n=b1+b2+⋯+b n=(c1−1)+(c2−2)+⋯+(c n−n)=(c1+c2+⋯+c n)−(1+2+⋯+n)=T n−n(n+1)2=2n−34⋅3n+34−12n2−12n.【解析】本题第(Ⅰ)题将递推式进行转化可得到a n+2−a n+1=3(a n+1−a n)，则数列{a n+1−a n}是以3为首项，3为公比的等比数列．然后计算出数列{a n+1−a n}的通项公式，再应用累加法可计算出数列{a n}的通项公式；第(Ⅱ)题先根据第(Ⅰ)题的结果可计算出数列{b n}的通项公式b n=n⋅3n−n.构造数列{c n}：令c n=n⋅3n.设数列{c n}的前n 项和为T n，可运用错位相减法计算出数列{c n}的前n项和为T n，最后运用分组求和法计算出数列{b n}的前n项和S n．本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用错位相减法和分组求和法求前n项和．考查了转化与化归思想，构造法，等比数列的通项公式和求和公式，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18.【答案】(Ⅰ)证明：∵∠BAD=∠ABC=90°，∴AD//BC，又∠ADC=45°，AB=BC=1，∴AD=2，而M、N分别是AD、PD的中点，∴MN//PA，故MN//面PAB．又AM//BC且AM=BC，故四边形ABCM是平行四边形，∴CM//AB，CM//面PAB．又MN，CM是面CMN内的两条相交直线，故面CMN//面PAB；(Ⅱ)解：由题意可知，MC，MD，MP两两垂直，分别以MC，MD，MP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,−1,0)，B(1,−1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,√3)，N(0,12,√32)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−√3)， ∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CP⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴E(13,0,2√33)，得NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,−12,√33)， 设平面PAB 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{n⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y −√3z =0，取z =1，得n ⃗ =(0,−√3,1)． ∴|cos <NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|√32+√33|2×√19+14+13=√32．∴直线NE 与平面PAB 所成角的余弦值为√1−(√32)2=12．【解析】(Ⅰ)由已知可得AD//BC ，证明MN//面PAB.再证明四边形ABCM 是平行四边形，得CM//面PAB.由面面平行的判定可得面CMN//面PAB ；(Ⅱ)由题意可知，MC ，MD ，MP 两两垂直，分别以MC ，MD ，MP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的一个法向量与NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，求出直线NE 与平面PAB 所成角的正弦值，再由勾股定理求直线NE 与平面PAB 所成角的余弦值．本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意可知x 1+x 2=6，则|AF|+|BF|=x 1+x 2+p =6+p =8，∴p =2， ∴抛物线的标准方程为：y 2=4x ；(2)设直线AB 的方程为：x =my +n (m ≠0)， 联立方程{x =my +ny 2=4x ，消去x 得：y 2−4my −4n =0，∴y 1+y 2=4m ，∴x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2n =4m 2+2n =6，即n =3−2m 2， 即{△=16(m 2+n)=16(3−m 2)>0y 1+y 2=4m y 1y 2=−4n =8m 2−12，∴|AB|=√m 2+1⋅|y 1−y 2|=4√m 2+1⋅√3−m 2，设AB 的中垂线方程方程为：y −2m =−m(x −3)，即y =−m(x −5)，可得点C 的坐标为(5,0)，∵直线AB 的方程为：x =my +3−2m 2，即x −my +2m 2−3=0，∴点C 到直线AB 的距离d =2√m 2+1=2√m 2+1，∴S =12|AB|⋅d =4(m 2+1)⋅√3−m 2，令t =√3−m 2，则m 2=3−t 2 (0<t <√3)， ∴S =4t(4−t 2)， 令f(t)=4t(4−t 2)，∴f′(t)=4(4−3t 2)，令f′(t)=0得，t =2√33， ∴在(0,2√33)上，f′(t)>0，函数f(t)单调递增；在(2√33,√3)上，f′(t)<0，函数f (t)单调递减， ∴当t =2√33，即m =±√153时，S max =64√39．【解析】(1)利用抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x 1+x 2+p =6+p =8，求出p 的值，从而得到抛物线的方程；(2)设直线AB 的方程为：x =my +n ，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得|AB|=4√m 2+1⋅√3−m 2，利用AB 的中垂线方程可得点C 的坐标，再利用点到直线距离公式求出点C 到直线AB 的距离d ，所以S =12|AB|⋅d =4(m 2+1)⋅√3−m 2，令t =√3−m 2，则S =4t(4−t 2)，利用导数得到当t =2√33，即m =±√153时，S max =64√39． 本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．20.【答案】解：(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则q =1−p ；所以k 个人的混合后呈阴性的概率为q k ，呈阳性反应的概率为1−q k ； 依题意知X 的可能取值为1k ，1+1k ； 所以X 的分布列为；(2)方案②中，结合(1)知每个人的平均化验次数为： E(X)=1k ⋅q k +(1+1k )⋅(1−q k )=1k −q k +1； 所以当k =2时，E(X)=12−0.92+1=0.69， 此时1000人需要化验的总次数为690次； 当k =3时，E(X)=13−0.93+1≈0.6043，此时1000人需要化验的总次数为604次；当k=4时，E(X)=14−0.94+1=0.5939，此时1000人需要化验的总次数为594次；即k=2时化验次数最多，k=3时化验次数居中，k=4时化验次数最少；而采用方案①需要化验1000次；所以在这三种分组情况下，相比方案①，k=4时化验次数最多可以平均减少1000−594=406(次)．【解析】(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为q，依题意知X的可能取值，计算分布列即可；(2)方案②中计算每个人的平均化验次数E(X)，分别求出k=2、3、4时E(X)的值，比较即可．本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)因为f′(x)=lnx−ax +32，所以g(x)=(1−a)lnx−ax−x+32，g′(x)=1−ax +ax2−1=−(x−1)(x+a)x(x>0)，(ⅰ)当−a≤0即a≥0时，所以x+a>0，且方程g′(x)=0在(0,+∞)上有一根，故g(x)在(0,1)上为增函数，(1,+∞)上为减函数，(ⅱ)当−a>0即a<0时，所以方程g′(x)=0在(0,+∞)上有两个不同根或两相等根，(ⅰ)当a=−1时f′(x)=(x−1)2x≤0，f(x)在(0,+∞)上是减函数；(ⅱ)当a<−1时，由f′(x)>0得1<x<−a，所以f(x)在(1,−a)上是增函数；在(0,1)，(−a,+∞)上是减函数；(ⅲ)当−1<a<0时，由f′(x)>0得−a<x<1，所以f(x)在(−a,1)是增函数；在(0,−a)，(1,+∞)上是减函数；(2)证明：因为f′(x)=lnx−ax +32，令ℎ(x)=lnx−ax+32，则ℎ′(x)=1x+ax2，因为a∈(12e ,2√e)，所以ℎ′(x)=1x+ax2>0，即ℎ(x)在(0,+∞)是增函数，下面证明ℎ(x)在区间(a2,2a)上有唯一零点x0，因为ℎ(a2)=ln a2−12，ℎ(2a)=ln2a+1，又因为a∈(12e ,2√e)，所以ℎ(a2)<ln2√e2−12=0，ℎ(2a)>ln(2⋅12e)+1=0，由零点存在定理可知，ℎ(x)在区间(a2,2a)上有唯一零点x0，在区间(0,x0)上，ℎ(x)=f′(x)<0，f′(x)是减函数，在区间(x0,+∞)上，ℎ(x)=f′(x)>0，f′(x)是增函数，故当x=x0时，f(x)取得最小值f(x0)=(x0−a)lnx0+12x0，因为ℎ(x0)=lnx0−a x0+32=0，所以lnx0=ax0−32，所以f(x0)=(x0−a)(a x0−32)+12x0=1x0(x0−a2)(2a−x0)，因为x0∈(a2,2a)，所以f(x)>0，所以a∈(12e,2√e)，f(x)>0．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，令ℎ(x)=lnx−ax +32，问题转化为证明ℎ(x)在区间(a2,2a)上有唯一零点x0，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，老师的零点定理，是一道综合题．22.【答案】解：(Ⅰ)由题意C的方程为：可得C的普通方程为：x29+y24=1，将代入曲线方程可得：ρ2cos2α9+ρ2sin2α4=1．因为曲线D的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π6)，所以ρ2=4ρsin(θ−π6)=4ρ(√32sinθ−12cosθ)．又ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ．所以x2+y2=2√3y−2x．所以曲线C的极坐标方程为：ρ2cos2α9+ρ2sin2α4=1，曲线D的直角坐标方程为：x2+y2=2√3y−2x．(Ⅱ)因为点A(2√2,π4)，化为直角坐标为{x =2√2cos π4=2y =2√2sin π2=2，所以A(2,2)． 因为直线l 过点A(2,2)且倾斜角为π3， 所以直线l 的参数方程为{x =2+12ty =2+√32t， 代入x 29+y 24=1中，得：314t 2+(8+18√3)t +16=0，所以由韦达定理：t 1+t 2=−b a=−32+72√331，t 1t 2=c a =6431，所以|AP||AM|⋅|AN|=|t 1+t 22||t 1t 2|=4+9√316．【解析】本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程的求法，考查一条线段长与两条线段乘积的比值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(Ⅰ)曲线C 的参数方程消去参数t ，能求出C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程；曲线D 的极坐标方程转化为ρ2=4ρsin(θ−π6)=4ρ(√32sinθ−12cosθ).由此能求出曲线D的直角坐标方程．(Ⅱ)点A(2√2,π4)，化为直角坐标为A(2,2).求出直线l 的参数方程代入x 29+y 24=1中，得：314t 2+(8+18√3)t +16=0，由此利用韦达定理能求出|AP||AM|⋅|AN|的值．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)≤9可化为|2x −4|+|x +1|≤9，故{x >23x −3≤9，或{−1≤x ≤25−x ≤9，或{x <−1−3x +3≤9， 解得：2<x ≤4，或−1≤x ≤2，或−2≤x <−1， 所以不等式的解集为[−2,4]； (Ⅱ)易知B =(0,3)，因为B ⊆A ，所以|2x −4|+|x +1|<2x +a 在x ∈(0,3)恒成立， ⇒|2x −4|<x +a −1在x ∈(0,3)恒成立， ⇒|2x −4|+1−x <a 在x ∈(0,3)恒成立， 令g(x)=|2x −4|+1−x ={5−3x, 0<x <2x −3, 2⩽x <3, 所以函数g(x)在(0,2)上单调递减，在[2,3)上单调递增， 又x →0,g(x)→5 ;x →3,g(x)→0 ;则g(x)<5，则只要a⩾5即可，故实数a的取值范围为[5,+∞)．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．(Ⅰ)通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；(Ⅱ)求出B，根据集合的包含关系求出a的范围即可．第21页，共21页。

2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷（理科）（四）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知i 是虚数单位，则1i ⋅(1+i)=( ) A. i B. −i C. 1−i D. 1+i2. 若集合A ={x|y =√1−x},B =〈x|x 2−x −2≤0}，则A ∩B =( )A. [−1,1]B. [−1,2]C. [1,2]D. (−1,1]3. 2019年12月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例.2020年1月12日，世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”.2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID −19(新冠肺炎).新冠肺炎患者症状是发热、干咳、浑身乏力等外部表征．“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知a ⃗ =i +√3j ,b ⃗ =2i ，其中i ,j 是互相垂直的单位向量，则|a ⃗ −3b ⃗ |=( )A. 2√7B. 2√6C. 28D. 24 5. 已知tan(α+π12)=−2，则tan(α+π3)=( )A. −13B. 13C. −3D. 3 6. 函数f(x)=x 2|e x −1|的图象大致为( )A. B.C. D.7. Keep 是一款具有社交属性的健身APP ，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等--站式运动解决方案．Keep 可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小吴根据Keep 记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论不正确的是( )A. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数B. 月跑步里程最大值出现在10月C. 月跑步里程逐月增加D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小8. 如图，M 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，下列命题中假命题是( )A. 过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都相交B. 过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直C. 过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都相交D. 过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行9. 已知函数y =sin(ωx +π3)(ω>0)在区间(−π6,π3)上单调递增，则ω的取值范围是( ) A. (0,12]B. [12,1]C. (13,23]D. [23,2] 10. 如图，双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点F 1(−c,0)、F 2(c,0)，A 为双曲线C 右支上一点，且|AF 1|=2c ，AF 1与y 轴交于点B ，若F 2B 是∠AF 2F 1的角平分线，则双曲线C 的离心率是( )A. 3+√32B. 1+√3C. 3+√53D. 3+√5211. 已知大于1的三个实数a ，b ，c 满足(lga)2−2lgalgb +lgblgc =0，则a ，b ，c 的大小关系不可能是( ) A. a =b =c B. a >b >c C. b >c >a D. b >a >c12. 若关于x 的方程2(lnx)2=a x 2−lnx x 恰有4个不相等实根，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,2−ee 2) B. (−18,2−ee 2) C. (2−e e 2,0) D. (−18,0) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(x −√x )8的展开式中，含x 2项的系数为______．14. 已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 4成等比数列，S 5=15，则a 4=______．15. 已知直线Ax +By +C =0(其中A 2+B 2=C 2，C ≠0)与圆x 2+y 2=6交于点M ，N ，O 是坐标原点，则|MN|=______，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cosA =a(√2−cosC)，c =2，D 为AC 上一点，AD ：DC =1：3，则△ABC 面积最大时，BD =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }是公差为1的等差数列，{b n }是正项等比数列，a 1=b 1=1，_______，c n =a n b n (n ∈N ∗).(1)在①b 3=a 4，②a 3=3b 3，③a 2=4b 2这三个条件中任选一个，补充在上面横线处，判断{c n }是否是递增数列，并说明理由．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．)(2)若S n =132a n −1，求数列{S n }的前n 项和T n ．18. 已知四棱锥P −ABCD 的三视图如图所示，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求证：BD ⊥AE ；(2)若点E 为PC 的中点，求二面角D −AE −B 的大小．19.某服装店每年春季以每件15元的价格购人M型号童裤若干，并开始以每件30元的价格出售，若前2个月内所购进的M型号童裤没有售完，则服装店对没卖出的M型号童裤将以每件10元的价格低价处理(根据经验，1个月内完全能够把M型号童裤低价处理完毕，且处理完毕后，该季度不再购进M型号童裤).该服装店统计了过去18年中每年该季度M型号童裤在前2个月内的销售量，制成如下表格(注：视频率为概率)．前2月内的销售量(单位：件)304050频数(单位：年)684(1)若今年该季度服装店购进M型号童裤40件，依据统计的需求量试求服装店该季度销售M型号童裤获取利润X的分布列和期望；(结果保留一位小数)(2)依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件M型号童裤时所获得的平均利润最大．20. 已知函数f(x)=xe x +lnx x ．(1)求证：函数f(x)有唯一零点；(2)若对任意x ∈(0,+∞)，xe x −lnx ≥1+kx 恒成立，求实数k 的取值范围．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以M(−a,b)，N(a,b)，F 2和F 1为顶点的梯形的高为√3，面积为3√3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A ，B 为椭圆C 上的任意两点，若直线AB 与圆O ：x 2+y 2=127相切，求△AOB 面积的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P(−2√3,0)，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为{x =1k y =√4k−1k(k 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．(1)求曲线S 的普通方程和极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围．23.已知函数f(x)=2|x+2|−3|x−1|．(1)求函数f(x)的最大值M；(2)已知a>0，b>0，a+4b=M，求aa+2+2b2b+1的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：1i ⋅(1+i)=1i+1=−i−i2+1=1−i．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2.【答案】A【解析】解：A={x|x≤1}，B={x|−1≤x≤2}，∴A∩B=[−1,1]．故选：A．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：某人表现为发热、干咳、浑身乏力”，则其不一定是“新冠肺炎患者”，充分性不成立，若某人为新冠肺炎无症状感染者，则无表现，必要性不成立，故选：D．根据“新冠肺炎患者”的表现特征推测出关系．本题考查充要条件的判定方法，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵a⃗=i+√3j,b⃗ =2i，其中i,j是互相垂直的单位向量，∴|a⃗−3b⃗ |2=|−5i+√3j|2=25i2−10√3i⋅j+3j2=28；∴|a⃗−3b⃗ |=2√7．故选：A．先求出|a⃗−3b⃗ |的平方，进而求解结论即可．本题考查了数量积运算性质、数乘运算，模长的求解，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查两角差的和的正切公式的应用，属于基础题．由题意利用两角差的和的正切公式，求得tan(α+π3)=tan[(α+π12)+π4]的值．【解答】解：∵tan(α+π12)=−2，∴tan(α+π3 )=tan[(α+π12)+π4]=tan(α+π12)+tanπ4 1−tan(α+π12)⋅tanπ4=−2+11−(−2)⋅1=−13，故选：A．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，极限思想以及函数值的对应性结合排除法是解决本题的关键．比较基础．根据函数值的对应性以及极限思想进行排除即可．【解答】解：函数f(x)为非奇非偶函数，图象不对称，排除C，由于f(x)>0恒成立，排除A，当x趋近于+∞时，f(x)趋近于0，排除D，故选B．7.【答案】C【解析】解：由所给的折线图可知：月跑步里程的中位数为五月份对应的里程数，故选项A正确；月跑步里程的最大值出现在10月，故选项B正确；月跑步里程并不是逐月递增，故选项C错误；1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月，波动性更小，故选项D正确．故选：C．根据折线图的信息逐项判断，即可得出结论．本题考查折线图数据分析，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：A选项：因为平面ABM与平面B1C1M只有一条交线，所以A正确．B选项：过一点且与一组异面直线垂直的直线只有一条，本题的直线为DD1，所以B正确．C选项：包含平面ABM和平面B1C1M的交线的平面都满足要求，所以C错误．D选项：与AB，B1C1都平行的平面为平行于平面ABCD且不包含直线AB，B1C1的一组平面，过M点的这类平面只有一个，所以D正确．故选：C．通过对平面和平面相交的条件得出直线和直线相交关系．本题主要考查立体几何图形中线面平行、相交、垂直的性质，正确率不高，属于易错题．9.【答案】A【解析】解：由2kπ−π2≤ωx+π3≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ−5π6≤ωx≤2kπ+π6，k∈Z，即2kπ−5π6ω≤x≤2kπ+π6ω，k∈Z∵f(x)在区间(−π6,π3)上单调递增，∴此时函数单调递增区间经过原点，则当k=0时，增区间为[−5π6ω,π6ω].此时满足{−5π6ω≤−π6π6ω≥π3，得{ω≤5ω≤12，解得0<ω≤12，即ω的取值范围是(0,12]， 故选：A ． 求出函数的单调递增区间为，结合单调性之间的关系建立不等式组进行求解即可． 本题主要考查三角函数单调性的应用，结合三角函数的单调性求出递增区间，建立不等式关系是解决本题的关键．难度不大． 10.【答案】D【解析】解：由F 2B 是∠AF 2F 1的角平分线，O 为F 1F 2的中点，则|BF 1|=|BF 2|，∠BF 1F 2=∠BF 2F 1=∠BF 2A ，设为α．又|AF 1|=2c ，则∠A =2α，则∠A +∠AF 1F 2+∠AF 2F 1=5α=180°，即有α=36°，∠ABF 2=2α=72°=∠A ，即有|BF 2|=|AF 2|，由双曲线的定义可得|AF 1|−|AF 2|=2a ，则|AF 2|=2c −2a ，|AB|=2c −(2c −2a)=2a ，由F 2B 是∠AF 2F 1的角平分线，可得|AB||BF 1|=|AF 2||F 1F 2|， 即有2a 2c−2a =2c−2a2c ，即有ac =(c −a)2，即c 2−3ac +a 2=0，由e =c a ，可得e 2−3e +1=0，解得e =3+√52或3−√52，由于e >1，则e =3+√52． 故选：D ．运用等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，可得|BF 1|=|BF 2|，∠BF 2F 1=36°，再由双曲线的定义可得|AF 2|=2c −2a ，再由内角平分线定理可得2a 2c−2a =2c−2a2c ，化简整理，结合离心率公式解方程，即可得到．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，运用等腰三角形的性质和内角平分线定理是解题的关键．11.【答案】D【解析】解：∵三个实数a ，b ，c 都大于1，∴lga >0，lgb >0，lgc >0， ∵(lga)2−2lgalgb +lgblgc =0， ∴(lga)2−lgalgb +lgblgc −lgalgb =0， ∴lga(lga −lgb)+lgb(lgc −lga)=0， ∴lgalg ab +lgblg ca=0，对于A 选项：若a =b =c ，则lg ab =0，lg ca =0，满足题意；对于B 选项：若a >b >c ，则ab >1，0<ca <1，∴lg ab >0，lg ca <0，满足题意； 对于C 选项：若b >c >a ，则0<ab <1，ca >1，∴lg ab <0，lg ca >0，满足题意；对于D 选项：若b >a >c ，则0<ab <1，0<ca <1，∴lg ab <0，lg ca <0，∴lgalg ab +lgblg ca <0，不满足题意； 故选：D ．因为三个实数a ，b ，c 都大于1，所以lga >0，lgb >0，lgc >0，原等式可化为lgalg ab +lgblg ca =0，分别分析选项的a ，b ，c 的大小关系即可判断出结果． 本题主要考查了对数的运算性质，是中档题．12.【答案】B【解析】解：方程2(lnx)2=ax 2−lnx x恰有4个不相等实根，转化为2(xlnx)2=a −xlnx(x >0)恰有4个不相等实根， 令t =xlnx ，可得2t 2+t −a =0． 由t =xlnx ，得t′=lnx +1，当x ∈(0,1e )时，t′<0，当x ∈(1e ,+∞)时，t′>0，可得t =xlnx 在(0,1e )上单调递减，在(1e ,+∞)上单调递增． 作出t =xlnx 的图象如图，由图可知，要使2(xlnx)2=a −xlnx(x >0)恰有4个不相等实根，则t ∈(−1e ,0)，且关于t 的方程2t 2+t −a =0在(−1e ,0)上有两个不相等的实数根， 即g(t)=2t 2+t −a 在(−1e ,0)上有两个不同的零点，则{g(0)=−a >0g(−1e )=2×1e 2−1e −a >0g(−14)=2×142−14−a <0，解得−18<a <2−ee 2．故选：B ． 把程2(lnx)2=ax 2−lnx x恰有4个不相等实根转化为2(xlnx)2=a −xlnx(x >0)恰有4个不相等实根，令t =xlnx ，可得2t 2+t −a =0.作出函数t =xlnx 的图象，把问题转化为关于t 的方程2t 2+t −a =0在(−1e ,0)上有两个不相等的实数根，然后利用一元二次方程根的分布与系数的关系列不等式组求解．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．13.【答案】1120【解析】解：(x √x )8的展开式的通项公式为T r+1=C 8r ⋅(−2)r ⋅x 8−3r2，令8−3r 2=2，求得r =4，可得含x 2项的系数为C 84×(−2)4=1120，故答案为：1120．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得含x 2项的系数． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：数列{a n }为公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，由a 1，a 2，a 4成等比数列，可得a 1a 4=a 22，即a 1(a 1+3d)=(a 1+d)2，化为a 1=d ，由S 5=15，可得5a 1+10d =15，即a 1+2d =3， 解得a 1=d =1， 则a 4=a 1+3d =4．故答案为：4．运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式、求和公式，可得首项和公差的方程组，解得首项和公差，再由等差数列的通项公式，计算可得所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题．15.【答案】2√5 −10【解析】解：由中A 2+B 2=C 2，C ≠0可知，圆心到直线Ax +By +C =0的距离d =22=1，|MN|=2√6−d 2=2√5，设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则cos(π−θ)=12|MN||OM|=√306， 所以cosθ=−√306，所以，OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√6×2√5×(−√306)=−10． 故答案为：2√5；−10．由已知结合直线与圆相交的性质可|MN|，然后结合锐角三角函数的定义可求cosθ，再由向量数量积的定义即可求解．本题主要考查了直线与圆相交的性质的应用及向量数量积的定义的应用，属于基础试题．16.【答案】√62【解析】 【分析】本题考查正余弦定理的应用，属于基础题．对于给出含有边角混合的三角等式的问题时，一般地，要首先应用正弦定理或余弦定理将它转化为只含有角或只含有边的三角等式或代数等式来进行处理．对条件运用正弦定理、两角和与差的三角函数公式即可求出b =√2a ，建立直角坐标系当三角形面积最大时确定C 点位置，求出a ，b 的值，再利用余弦定理即可解得． 【解答】解：因为2cosA =a(√2−cosC)，c =2，由正弦定理，即，即，所以b =√2a ，以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系， 设C(x,y)则√x 2+y 2=√2√(x −2)2+y 2， 整理得(x −4)2+y 2=8，当C 达到圆的最高点或最低点时△ABC 面积最大， 此时C(4,±2√2)， 则a =2√3,b =2√6， 由余弦定理，由AD ：DC =1：3，得AD =√62，由余弦定理=4+64−2×2×√62×√63=64，故BD =√62．故答案为√62．17.【答案】解：∵{a n }是公差为1，首项为1的等差数列，∴a n =1+n −1=n ．设{b n }的公比为q ．(1)若选①，由b 3=a 4，得b 3=a 4=4， 又b 1=1，∴q =2，则b n =2n−1，c n =n ⋅2n−1， 由c ncn+1=n⋅2n−1(n+1)⋅2n =n2(n+1)<1，得c n <c n+1，故{c n }是递增数列．若选②，由a 3=3b 3=3，得b 3=1，q =1，b n =1，c n =n ， 则c n =n <c n+1=n +1，故{c n }是递增数列．若选③，由a 2=4b 2=2，得b 2=12，q =12，b n =12n−1， ∴c n =n2n−1，c n c n+1=n⋅2n(n+1)⋅2n−1=2nn+1≥1，则c n ≥c n+1，故{c n }不是递增数列．(2)∵a n =n ，S n =132a n −1，∴S n =132n−1，∴T n=c1+c2+c3+⋯+c n=131+133+135+⋯+132n−1=13(1−19n)1−19=38(1−19n)．【解析】由已知求得{a n}的通项公式，再设{b n}的公比为q．(1)分别选取条件①②③，求得等比数列的通项公式，得到{c n}的通项公式，利用作商法分析数列{c n}的单调性；(2)把{a n}的通项公式代入S n=132a n−1，再由等比数列的前n项和公式求数列{S n}的前n项和T n．本题考查等差数列与等比数列通项公式的求法，考查等比数列的前n项和，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】(本题满分12分)解：(1)由三视图可知，四棱锥P−ABCD的底面是边长为1的正方形侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.…(1分)连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC.…(2分)∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC.…(3分)又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC.…(4分)∵AE⊂平面PAC.∴BD⊥AE.…(5分)(2)解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF．∵AD=AB=1，DE=BE=√12+12=√2，AE=AE=√3，∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE．∴∠DFB为二面角D−AE−B的平面角．…(7分)在Rt△ADE中，DF=AD⋅DEAE =√2√3=√63，∴BF=√63.…(9分)又BD=√2，在△DFB中，由余弦定理得cos∠DFB=DF2+BF2−BD22DF⋅BF =−12，…(11分)∴∠DFB=2π3，即二面角D−AE−B的大小为2π3.…(12分)解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．则D(1,0，0)，A(1,1，0)，B(0,1，0)，E(0,0，1)，…(6分)从而DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)． 设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为n⃗ =(x,y ，z)，m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， 由{n⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =y =0n⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0，取x =1，得n⃗ =(1,0，1)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a =0m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0，取m ⃗⃗⃗ =(0,−1,−1)，…(9分) 设二面角D −AE −B 的平面角为θ， 则cosθ=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2⋅2=−12，…(11分) ∴θ=2π3，即二面角D −AE −B 的大小为2π3.…(12分)【解析】(1)由三视图可知，四棱锥P −ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC =2，推导出BD ⊥AC ，BD ⊥PC ，由此能证明BD ⊥AE ．(2)法1：在平面DAE 内，过点D 作DF ⊥AE 于F ，连结BF.推导了出Rt △ADE≌Rt △ABE ，从而△ADF≌△ABF ，进而BF ⊥AE.得到∠DFB 为二面角D −AE −B 的平面角，由此能求出二面角D −AE −B 的大小．法2：以点C 为原点，CD ，CB ，CP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −AE −B 的大小．本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.【答案】解：(1)设服装店某季度销售M 型号童裤获得的利润是X(单位：元)，当需求量为30时，X =15×30−5(40−30)=400， 当需求量为40时，X =15×40=600， 当需求量为50时，X =15×40=600，∴P(X=400)=13，P(X=600)=23，∴X的分布列为：E(X)=400×13+600×23=16003≈533.3(元)，∴服装店该季度销售M型号童裤获取利润的均值为533.3元．(2)设销售M型号童裤获得的利润为Y，依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则服装店每年该季度购进的M型号童裤的件数取值可能为30件、40件、50件，当购进M型号童裤30件时，E(Y)=(30−15)×30×39+(30−15)×30×49+(30−15)×30×29=450，当购进M型号童裤40件时，E(Y)=[(30−15)×30−(15−10)×10]×39+(30−15)×40×49+(30−15)×40×29=16003≈533.3，当购进M型号童裤50件时，E(Y)=[(30−15)×30−(15−10)×20]×39+[(30−15)×40−(15−10)×10]×49+(30−15)×50×2 9=47509≈527.8．∴服装店每年该季度在购进40件M型号童裤时所获得的平均利润最大．【解析】(1)设服装店某季度销售M型号童裤获得的利润是X(单位：元)，当需求量为30时，X=400，当需求量为40时，X=15×40=600，当需求量为50时，X=15×40=600，由此能求出X的分布列和E(X)．(2)设销售M型号童裤获得的利润为Y，服装店每年该季度购进的M型号童裤的件数取值可能为30件、40件、50件，分别求出平均利润，由此能求出结果．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】(1)证明：f′(x)=(x+1)e x+1−lnxx，易知f′(x)在(0,1)上为正，因此f(x)在区间(0,1)上为增函数，又f(1e )=e 1e −e 2e<0，f(1)=e >0，因此f(1e )f(1)<0，即f(x)在区间(0,1)上恰有一个零点，由解析式可知f(x)>0在(1,+∞)上恒成立，即在(1,+∞)上无零点， 则f(x)在(0,+∞)上存在唯一零点． (2)解：原不等式可化为xe x −lnx−1x≥k ，设f(x)的零点为x 0，x 0∈(0,1)，令g(x)=xe x −lnx−1x，则g ′(x)=xe x +lnx xx，由(1)可知g(x)在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增，∴g(x)min =g(x 0)， 又x 0e x 0+lnx 0x 0=0，下面分析x 0e x 0+lnx 0x 0=0，设x 0e x 0=t ，则lnx 0x 0=−t ，可得{lnx 0=−tx 0lnx 0+x 0=lnt，即x 0(1−t)=lnt ，若t >1，等式左负右正不相等，若t <1，等式左正右负不相等，只能t =1． 因此g(x 0)=x 0e x 0−lnx 0−1x 0=−lnx 0x 0=1，即k ≤1为所求．故k 的取值范围为(−∞,1]．【解析】本题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于较难题．(1)先求导，判断函数的单调性，根据函数的零点存在定理即可证明； (2)原不等式可化为xe x −lnx−1x≥k ，构造函数g(x)=xe x −lnx−1x，求导，得到函数的单调区间，即可得到g(x)min =g(x 0)，设f(x)的零点为x 0，即x 0e x 0+lnx 0x 0=0，换元可得g(x 0)=1，问题得以解决．21.【答案】解：(1)由题意得b =√3，且2a+2c 2⋅√3=3√3，所以a +c =3，又a 2=c 2=3，解得a =2，c =1， 所以椭圆C 得方程为x 24+y 23=1．(2)如图，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，当圆O 的切线l 的斜率存在时，设l 的方程为：y =kx +m ，切点为H ，连结OH ，则OH ⊥AB ，联立{y =kx +m x 24+y 23=1，整理得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，所以x 1+x 2=−8km4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，因为l 与圆O ：x 2+y 2=127相切，所以d =√k 2+1=√127，m 2=12(1+k 2)7，又|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√64k 2m 2−4(4m 2−12)(4k 2+3)(4k +3)=√1+k 2⋅√48(3+4k 2−m 2)(4k 2+3)2=√3√7√(1+k 2)(9+16k 2)(4k 2+3)2=√3√7⋅√1+k 216k 4+24k 2+9．①若k ≠0时，|AB|=√3√7√1+k 216k 4+24k 2+9√3√7⋅√1+116k 2+24+9k 2．因为而16k 2+24+9k 2≥2√16×9+24=48，当且仅当k =±√32时，“=”成立，所以|AB|≤√3√7+148=√3√74√3=√7，易知|AB|>√3√7即√3√7<AB ≤√7．②若k =0时，|AB|=√37，所以√37≤AB ≤√7．又|OH|=√3√7， 所以S △AOB =12|AB|⋅|OH|=√32√7∈[127,√3]，当圆O 得切线斜率不存在时，则AB 的方程为x =√127或x =−√127，此时A ，B 的坐标分别为(√127,√127)(√127,−√127)或(−√127,√127)(−√127,−√127)此时S △AOB =127，综上，△AOB 面积得取值范围是[127,√3]【解析】(1)由题意得b =√3，且2a+2c 2⋅√3=3√3，及a 2=b 2+c 2，解得a ，c ，进而得出椭圆C 得标准方程．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，当圆O 的切线l 的斜率存在时，设l 的方程为：y =kx +m ，切点为H ，联立切线与椭圆得方程，得x 1+x 2，x 1x 2，l 与圆O ：x 2+y 2=127相切，d ，由弦长公式得|AB|，分析|AB|的取值范围，进而得S △AOB 得取值范围，当圆O 得切线斜率不存在时，则AB 的方程为x =√127或x =−√127，得A ，B 坐标，得到S △AOB 面积值，综上可得答案．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆相相交，直线与椭圆相切，利用基本不等式求三角形面积得取值范围，属于中档题．22.【答案】解：(1)设曲线S 的参数方程为{x =1ky =√4k−1k (k 为参数)，利用x 2=1k 2，y 2=4k−1k 2， 整理得：S 的普通方程为：x 2+y 2−4x =0(0<x ≤4)． 根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0,0≤θ≤π2).(2)曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ.根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4y ，整理得x 2+(y −2)2=4．直线l 经过点P(−2√3,0)，其倾斜角为α， ①当α=π2时，直线与曲线C 没有公共点．②当α≠π2时，则直线的方程为y =tanα(x +2√3)． 由于直线l 与曲线C 有公共点， 所以圆心(0,2)到直线的距离d =√3tanα−2|√1+tan 2α≤2，整理得(√3tanα−1)2≤(1+tan 2α)， 解得0≤tanα≤√3， 故0≤α≤π3． 故α∈[0,π3]．【解析】(1)直接利用转换关系，把曲线的参数方程转换为直角坐标方程，进一步把圆直角坐标方程转换为圆极坐标方程．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数的关系式的变换和一元二次不等式的解法求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数关系式的变换，一元二次不等式的解法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 23.【答案】解：(1)函数f(x)=2|x +2|−3|x −1|={x −7,x <−25x +1,−2≤x ≤1−x +7,x >1．所以函数f(x)的最大值M=f(1)=6；(2)aa+2+2b2b+1=2−2a+2−12b+1=2−(2a+2+12b+1)，令x=a+2，y=2b+1，由题意可得：x+2y=10，x>2，y>1，所以2x +1y=(2x+1y)(x+2y10)=110(4+4yx+xy)≥110(4+2√4)=45，当且仅当x=2y=5时代号成立，此时a=3，b=34，所以aa+2+2b2b+1的最大值为：2−45=65．【解析】(1)化简函数的解析式，然后求解函数的最大值即可．(2)化简表达式，通过转化，结合基本不等式求解最大值即可．本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．第21页，共21页。