§3.3.3-3.3.4点到直线的距离—两平行线间的距离年级：高一一、温故互查1．已知平面上两点),(),,(222111y x P y x P ，则21,P P 的距离=21P P ______________________ (1)若)1,3(),3,8(B A -，则=AB ___________ (2)若)1,9(),1,2(N M ，则=MN _________ 2.已知点P 的横坐标为2，点P 与点)6,1(-Q 间的距离为103，则点P 的纵坐标__________ 3.已知点)0,10(B ),5(与a A -间的距离是17，则 =a ____________________ 二、设问导读（一）探究：1.点到直线的距离1、在平面直角坐标系中，若点P 到直线l 的距离是指____________________________2、在平面直角坐标系中，若点P 的坐标为),(00y x ，直线0:=++C By Ax l ,则当0B 0==或A 时，怎样用点P 的坐标和直线l 的方程表示点P 到直线l 的距离呢?3、在平面直角坐标系中，若点P 的坐标为),(00y x ，直线0:=++C By Ax l ,则当0B 0≠≠或A 时，又怎样用点P 的坐标和直线l 的方程表示点P 到直线l 的距离呢?通过探索发现，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点________),(1x R ； 作y 轴的平行线，交l 于点)(_______,2y S ，由⎩⎨⎧=++=++020011C By Ax C By x A 得：⎩⎨⎧==________________________________21y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=____________________________2010y y PS x x PR ，那么 _________________________________)(_________)(_________22⨯=+=RS4、设d Q P =0,怎么求d 呢？5、当0B 0≠≠或A 时，上述公式是否成立？6、两条平行直线间的距离是指：7、思考（1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？（2）如何取点，可使计算简单？ 结论：两条平行直线0A 021=++=++C By x C By Ax 与间的距离为：2221BA C C d +-=三、自学检测例5：点)2,1(0-P 到直线23:=x l 的距离.思考：还有其他解法吗？例6：已知点),0,1(),1,3(),3,1(-C B A 求ABC ∆的面积.思考：还有其他解法吗？例 7：已知直线,01216:,0872:21=--=--y x l y x l 1l 与2l 是否平行？若平行，求1l 与2l 间的距离.四、巩固训练：1. 求原点到下列直线的距离：（1）02623=-+y x （2）y x =2. 求下列点到直线的距离： （1）0343:),3,2(=++-y x l A （2）033:),0,1(=-+y x l B4.求下列两条直线间的距离： （1）;01832,0832=++=-+y x y x （2）043,1043=+=+y x y x5.求两条平行直线012y -x 30123=+=--与y x 间的距离五、拓展延伸1. 已知点)3,6(),4,3(B A --到直线01:=++y ax l 的距离相等，求a 的值2.求两条平行直线011801243=++=-+y ax y x 与间的距离.3.已知)6,(a A 到直线0243=--y x 的距离d 为下列各值，求a 的值： （1）4=d （2）4<d （3）4>d4.求平行于直线,02=--y x 且与它的距离为22的直线的方程.。
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）3.3.3 点到直线的距离 3.3.4两条平行直线间的距离【课时目标】 1．会应用点到直线的距离公式求点到直线的距离．2．掌握两条平行直线间的距离公式并会应用．3．能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题．点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义点到直线的垂 线段的长度夹在两条平行直 线间____________的长图示公式(或求法) 点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝________________两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝__________________一、选择题1．点(2,3)到直线y ＝1的距离为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2 2．原点到直线3x ＋4y －26＝0的距离是( )A ．2677B ．265C ．245D ．2753．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A ．10 B ．2 2 C ． 6 D ．24．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A ．95B ．185C ．3D ．65．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( )A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝06．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17] 二、填空题7．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．8．若直线3x ＋4y ＋12＝0和6x ＋8y －11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．9．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．三、解答题10．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34．(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．11．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2,3)． (1)求BC 边的高所在直线方程； (2)求△ABC 的面积S ．能力提升12．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．线方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边的方程．1．在使用点到直线的距离公式时，应注意以下两点：(1)若方程不是一般式，需先化为一般式．(2)当点P在直线上时，公式仍成立，点P到直线的距离为0．2．在使用两平行线间的距离公式时，要先把直线方程化为一般式，且两直线方程中x，y的系数要化为分别相等的数．3．注意数形结合思想的运用，将抽象的代数问题几何化，要能见“数”想“形”，以“形”助“数”．3．3．3点到直线的距离3．3．4两条平行直线间的距离答案知识梳理 公垂线段|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 |C 2－C 1|A 2＋B 2作业设计1．D [画图可得；也可用点到直线的距离公式．] 2．B3．B [|OP |最小值即为O 到直线x ＋y －4＝0的距离，∴d ＝|－4|2＝22．]4．C [|PQ |的最小值即为两平行线间的距离，d ＝|3＋12|5＝3．]5．C [①所求直线平行于AB ，∵k AB ＝－2，∴其方程为y ＝－2x ＋1，即2x ＋y －1＝0． ②所求直线过线段AB 的中点M (4,1)， ∴所求直线方程为y ＝1．]6．C [当这两条直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，d 达到最大值，此时 d ＝(2＋1)2＋(－1－3)2＝5． ∴0<d ≤5．] 7．2x ＋y －5＝0 解析如图所示，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，∴k l ＝－2，∴方程为y －1＝－2(x －2)， 即2x ＋y －5＝0． 8．4916π 9．71326解析 直线3x ＋2y －3＝0变为6x ＋4y －6＝0，∴m ＝4．由两条平行线间的距离公式得d ＝|－6－1|62＋42＝71326．10．解 (1)由点斜式方程得，y －5＝－34(x ＋2)，∴3x ＋4y －14＝0．(2)设m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0， 则由平行线间的距离公式得， |c ＋14|5＝3，c ＝1或－29． ∴3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 11．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)， 即x ＋y －3＝0．(2)BC 所在直线方程为：y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0， 点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22， 又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝4 2则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8． 12．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )． ∴|AD |＝2，|BC |＝2b ．梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3． 但b >1，∴b ＝3．从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0．13．解 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边的直线方程为l 1： x ＋3y ＋c ＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标P (－1,0)， 由点P 到两直线l ，l 1的距离相等， 则|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0． 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直，∴设另两边方程为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋12＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或－3，∴另两条边所在的直线方程为 3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0． ∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0．。
