复变函数及积分变换重点公式归纳
复变函数是指定义在复数域上的函数，其自变量和函数值都是复数。复变函数可以表示为两个实变量的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)是实变量的函数。复变函数的积分变换是指对复变函数进行积分变换，得到新的复变函数。
在复变函数的积分变换中，有一些重要的公式需要归纳，包括：
1.度量公式：
对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其微分形式为dz=dx+idy。根据度量公式，有dx=\frac{1}{2}(dz+d\bar{z})，dy=\frac{1}{2i}(dz-d\bar{z})。
2.柯西-黎曼方程：
对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，满足柯西-黎曼方程的充要条件是u_x=v_y和u_y=-v_x。
3.柯西-黎曼积分定理：
对于一个闭合曲线C，如果复变函数f(z)在C内解析（即在C内柯西-黎曼方程成立），那么有\oint_C f(z)dz=0。
4.柯西积分公式：
对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式为\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz=2\pi i f(a)，其中C是D内包围点a的闭合曲线。
5.柯西积分公式的推广： 对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式的推广形式为\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^n} dz=2\pi i \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}，其中C是D内包围点a的闭合曲线。
6.柯西积分公式的应用：
柯西积分公式可以用于计算复变函数的积分，如计算围道上的积分或者在无穷远处的积分等。
7.柯西主值公式：
对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西主值公式为\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PV\frac{1}{2\pi
第二章小结
本章主要介绍了解析函数的概念，给出了一些初等函数的定义，并研究了这些初等函数的性质, 主要知识点有
一、与函数解析有关的问题：要看解析，先看可导
1. 解析与可导的关系：
区域内等价，一点处并不等价，一点处解析是比一点处可导更强的概念
2. 一元实变函数具有的一些求导运算法则对复变函数同样成立，如四则运算、复合运算、反函数求导等
3.形式较简单的函数在一点可导的判断及求导方法
(1). 可导定义
(2). 转化为这些复变函数对应的两个二元实变函数的讨论
a. 判断可导：可微性、C-R方程
b. 求导：'()uvfzixx
4. 形式较复杂函数在一点可导判断及求导步骤：
拆解为一些形式较简单的函数；研究这些函数的可导性并求导；利用求导法则得原函数的可导性及导数
二、与初等函数有关的问题及要求
1. 熟记各种初等函数的定义公式、解析性及求导公式
2. 高数中的初等函数与复变函数中初等函数的区别
ze仅是一个记号、指数函数的周期为2()kikZ；负实数的对数有意义、11,nnnLnznLnzLnzLnz在复数范围内不再成立；(0)bbLnaaea；sin1,cos1zz在复数范围内不再成立
三、与三角函数及双曲函数有关的复数方程的求解步骤
1. 根据三角函数及双曲函数的定义将所给方程用ize或ze表示
2. 整理为关于ize或ze的一元二次方程后并配方、开方
3. 利用方程wez解的公式得原方程解公式
例 求解方程shzi
第三章 复变函数的积分
(Integration of function of thecomplex variable)
第一讲
授课题目：§3.1复积分的概念
§3.2柯西积分定理
教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理.
学时安排：2学时
教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分
2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念
教学重点：复变函数积分的计算问题
教学难点：柯西积分定理
教学方式：多媒体与板书相结合
作业布置：7675P思考题：1、2、习题三：1-10
板书设计：一、复变函数积分的计算问题
二、柯西积分定理
三、举例
参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.
2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.
3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.
4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.
课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分
2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方
法掌握不理想
3、利用课余时间多和学生交流
教学过程：
§3.1 复积分的概念
(The conception of complex integration)
一、复变函数的积分的定义（Complex function of the integral definition）
定义（Definition）3.1设在复平面上有一条连接A及B两点的光滑简单曲线C设),(),()(yxivyxuzf是在C上的连续函数.其中),(yxu及),(yxv是)(zf的实部及虚部.把曲线C用分点BzzzzzAnn,...,,,1210分成n个小弧段，其中),...,2,1,0(nkyxzkkk
41 第3章 复变函数的积分
3.1 复变函数积分、柯西积分定理与解析函数的导数
复变函数的积分本质上是二元函数的第二类线积分.
积分时用到0dsincos;dcossin22d
3-1 设C是iez，从π到π的一周，则Re()dCzz（ ）.
（A）-π （B）π （C）πi （D）πi
解 cos,sin,Re()cos,d(sinixyzz
故 ππ2πRe()dcossindicosdπi.Czz 选（D）.
3-2 ||1sinπd21zzzz（ ）.
（A）2πi （B）2πi （C）πi （D）πi
解 原式12sinπz2πiπi.2z 选（D）.
这些题均可用留数做，在这里是为了熟悉柯西积分公式及复合闭路定理.
3-3 2||1cos2πd861zzzzz（ ）.
（A）0 （B）πi （C）πi （D）2πi
解 2861(41)(21)zzzz，在||1z内被积函数有2个奇点：12z和14z，故
原式1142πicos2πcos2ππiπ.22+141zzzzizz 选（B）.
3-5 22|1|3sinπd231xzzzz（ ）.
（A）0 （B）πi （C）2πi （D）2πi
解 1z和12z都是奇点，故
原式112sinπsinπ2πiπi2πi2+11zzzzzz. 选（C）.
