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《“基本不等式”省优质课比赛教学设计及反思》

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“基本不等式2abab”教学设计

一． 教材分析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教A版）第三章第4节第一课时，主要内容为基本不等式2abab的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，从利用基本不等式2abab求最值这个侧面来体现基本不等式2abab的应用，而且在基本不等式2abab的推导过程中渗透了分析法的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养．

二．学情分析

学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的．

三．目标分析

教学目标：

1．学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．

2．探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用．

3．培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识，有利于数学生活化、大众化，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦．

教学重难点：

本节课教学重点是应用数形结合的数学思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2abab的证明过程．

教学难点是基本不等式2abab等号成立条件．

四．教学策略

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点．

教法: 问题引导、启发探究和归纳总结相结合 学法: 自主学习与合作讨论相结合

教学手段: 黑板板书为主结合多媒体辅助教学

五．教学过程

Ⅰ．创设情境 引入课题

填写下表，

a b

ab

2ab ab与2ab的大小关系

12 18

14 1

4 16

2 2

……

【问题1】观察ab与2ab的大小关系，从中你发现了什么结论？

猜想得到结论：一般的，如果

+,R,("")2abababab那么当且仅当时取号

【问题2】你能给出它的证明吗？

证法1 用比较法证明：

abba2 作差

=baba22122 变形

=0212ba 判断符号

当且仅当ba，即ba时取"" 取等条件

证法2 用分析法证明：

要证 2abab (1)

只要证 2abab (2)

要证（2），只要证 2abab0 （3）

要证（3），只要证 2()0ab （4）

显然，（4）是成立的．当且仅当ab时，（4）中的等号成立．

设计意图: 通过引导，让学生去证明猜想的结果，进一步巩固比较两个代数式大小的方法，并让学生明白归纳、猜想、证明是我们发现世界、认知世界的重要的思维方法．

师归纳：

（1）如果把2ba看作是正数,ab的等差中项，ab看作是正数,ab的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

（2）在数学中，我们称2ba为,ab的算术平均数，称ab为,ab的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

Ⅱ．自主探究 深化认识

1.认识基本不等式的几何背景

【问题3】能否给基本不等式一个几何解释呢？

探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，ACa,BCb．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．你能利用这个图形得出基本不等式2abab的几何解释吗？

易证RtACD∽RtDCB，那么2CDCACB，即CDab.

这个圆的半径为2ba，显然，它大于或等于CD，即abba2，

其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.

因此：基本不等式2abab几何意义是“半径不小于半弦”

设计意图:

通过展示均值不等式的几何直观解释，培养学生数形结合的意识，并使抽象的问题更加直观、形象，使学生进一步加深对均值不等式的理解．

2.拓广探究

（展示并介绍古代弦图）同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图．它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的．早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一．弦图不仅造型美观，而且蕴藏着很多玄机．

（展示24届国际数学家大会会标）大家现在看到的是2002年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标．这个会标设计源于古代弦图．它的色调明暗相间，使它看上去象一个风车，这不但象征中国人民的热情好客，同时也充分展现了中国古代数学对世界所做出的重大贡献．今天咱们也来研究一下弦图．

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．

1． 探究图形中的不等关系

【问题4】请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不

等关系?

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中四个全等的直角三角形．设直角三角形

的两条直角边长为,ab那么正方形的边长为22ab．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为22ab．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222abab．(利用多媒体演示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积．)

【问题5】大家看，这个图形里还真有点奥妙．我们从图中找到了一个不等式．这里a、b的取值有没有什么限制条件? 不等式中的等号什么时候成立呢？

当直角三角形变为等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH缩为一个点，这时有222abab．

2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba

3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2baabba

当22,()0,,()0,abababab时当时

所以，0)(2ba，即.2)(22abba

师归纳：

（1）从上述两个不等式中，可以发现，如果0,0ab, 对于不等式22()2abab，我们用分别a、b代替,ab，可得2abab，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2abab

（2）以上，我们是从数和形两个角度充分分析了这个不等式.可见，数与形是一个事物的两个方面．

设计意图:

通过问题情境的设计激发学生学习的积极性，培养学生的探究能力；其次，简略介绍中国古代数学家赵爽的生平，渗透数学思想、关注数学文化．

Ⅲ．实际运用 强化新知

【例题】（1）用篱笆围一个面积为1002m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？

分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大

解：（1）设矩形菜园的长为xm ,宽为ym,则100,xy 篱笆的长为2（xy）m

由 2xyxy，

可得 2100xy

2（xy）40

等号当且仅当10xyxy时成立，此时，因此，这个矩形的长、宽为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m．

(2)设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则2（xy）=36，xy=18，矩形菜园的面积为xy2m，

由 189,22xyxy可得 81xy,

可得等号当且仅当9xyxy时成立，此时

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为812m． 设计意图:

让学生初步运用基本不等式解决实际问题, 通过对实际问题的解决让学生体会数学来源于生活，同时又服务于生活．

Ⅳ．回顾反思 拓展延伸

1.课堂小结

组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实

现对基本不等式认识的再次深化．

①体会从特殊到一般的研究方法；

②体会数形结合的数学思想；

③体会归纳、猜想、证明的思维方法；

④掌握基本不等式，理解它的几何背景，并能运用它解决实际问题．

设计意图:

小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程，重点和难点所在，另一方面，更是对

探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训．

2.作业布置

必做题:P.113—1、2、3、4

选做题：

1.已知,xy都是正数，求证：

（1）如果积xy是定值P，那么和xy有最小值2P，此时xy；

（2）如果和xy是定值S，那么积xy有最大值24S，此时xy．

2.当a>0,b>0时不等式2abab成立，若0(1,2,3,,)iainL，则有不等式————————————————————————————成立．

研究性作业：

（1）设00ab＞，＞，称2abab为,ab的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且,ACaCBb，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作OD的垂线，垂足为E，连结,ADBD,则图中线段 的长度是,ab的算术平均数，线段 的长度是,ab的几何平均数，线段 的长度是,ab的调和平均数．

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高丽-基本不等式【2018年第9届全国高中数学优质课比赛教学设计、课件】

高丽-基本不等式【2018年第9届全国高中数学优质课比赛教学设计、课件】

1 《基本不等式》教学设计

青海省西宁市第五中学 高 丽

一．教学内容解析

基本不等式是选自人教A版数学必修5第三章第4节第1课时，是在学习了“不等关系与不等式”，“一元二次不等式及其解法”和“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究，是不等式的延续与拓展，为后面选修中不等式的学习打下了坚实的基础，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。

本节课内容属于概念性知识，课程标准对它的要求是：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。因此，根据以上课标和学生实际我确定本节课的教学重点是：探索基本不等式的形成与正明，会利用基本不等式求解简单的最值问题。在本节课中，学生通过观察，试验等方法抽象概括，归纳出基本不等式，其中渗透了数形结合的思想。

二．教学目标设置

本章的课程目标是：不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，也是数学本质的体现。根据本节课内容特点和以上分析，我确定了以下教学目标：

知识与技能目标：

了解基本不等式的几何背景和证明方法，理解基本不等式的几何意义，会利用基本不等式求解简单的最大（小）值问题；

过程与方法目标：

了解基本不等式的形成与证明过程，初步认识分析法证明问题的思路，体会利用基本不等式求解最值的方法；

情感态度与价值观目标：

通过实际背景抽象推导出基本不等式，又利用它解决实际生活中的问题，体现了数学来源于生活，又应用于生活；同时培养学生分析问题，解决问题的能力，充分激发学生学习数学的兴趣和勇于探索的精神。

基本不等式可以与函数，三角函数，数列等知识相结合，在求解取值范围和最值等问题时有着广泛的应用，时培养学生思维品质的重要途径。 2 三．学生学情分析

在此之前，学生已经学习了完全平方差公式，圆，三角形以及比较法证明不等式等相关知识，具备了初步的观察能力，分析能力；但由于数学基础相对比较薄弱，还缺乏一定的探究归纳能力以及分析问题和解决问题的能力。

基本不等式教学设计与反思

基本不等式教学设计与反思

学习必备

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“基本不等式”教学设计与教学反思

一、教材背景分析

1.教材的地位和作用

本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体.

本节是复习课，不仅应让学生进一步理解概念，还要掌握应用基本不等式求最值，体会基本不等式在实际生活中的指导作用。

2.学情分析

在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识. 如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用. 因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质.

另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用.

3、教学重难点：

教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程；用基本不等式解决一些简单的最值问题.

基本不等式教学反思12篇

基本不等式教学反思12篇

基本不等式教学反思

基本不等式教学反思12篇

作为一名到岗不久的人民教师，教学是重要的工作之一，教学的心得体会可以总结在教学反思中，那么大家知道正规的教学反思怎么写吗？以下是小编为大家收集的基本不等式教学反思，欢迎大家分享。

基本不等式教学反思1

数学知识体系是一个前后连贯性很强的知识系统，在空间与图形领域，中小学数学主要体现为由直观几何、实验几何向论证几何逐渐过渡。初中数学教师在教学中要注意与小学教学相衔接,适当复习小学内容,在小学的基础上提高。下面从中小学衔接的角度，对“平行四边形的性质”(新人教版)这节课做了一些反思。

一、反思备课

备教材：

备课时，我首先查阅了本届学生小学时学过的教材。发现，小学教材中“平行四边形”的定义用粗体作了明确界定，“对边相等”的特征学生是用度量或折叠的方法得到的。平行四边形的面积是通过割补转化为长方形进行重点学习的。所以学生应该对平行四边形的概念和特征已经有所认识并会求其面积。

“平行四边形”是全章重点内容之一，它是在学生已掌握了平行线的性质、全等三角形和多边形的有关知识的基础上研究的。平行四边形是平面几何的又一典型图形，它既是以前知识的综合应用也是下一步研究各种特殊平行四边形的基础，具有承上启下的作用。矩形、菱形、正方形的性质和判定都是在平行四边形的基础上扩充的，它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定方法一脉相承。梯形的性质、三角形中位线定理等的推证，也都是以平行四边形的有关定理为依据的。而“平行四边形的性质”又是本章的第一节，这一节的学习对学平行四边形的判定和其它特殊四边形起着关键的作用。教材中平行四边形的“对边相等”、“对角相等”、“对角线互相平分”三个性质是分两部分说明的，因这节课是采用探索式教学法，预计学生在同一节课中就能够得到这三个性质，所以把三个性质放在一节课中进行处理。

备学生：

为了清楚的了解学生的认知情况，我深入学生中间，调查了学生对平行四边形的掌握程度。发现，将近90%的学生能够说出平行四边形的定义;50%多的学生了解“平行四边形对边平行且相等”这一特征;而对“平行四边形对角相等”和“对角线互相平分”的性质，只有很少一部分学生因超前学习才了解。鉴于学生的认知结构，我把探索平行四边形的性质放在了角和对角线方面。

基本不等式教学反思（二篇）

基本不等式教学反思（二篇）

基本不等式教学反思

不等式一章，对学生来说是难点，把握好教学很关键，我经过教学反思见下。

1、教学“不等式组的解集”时，用数形结合的方法，通过借助数轴找出公共部分求出解集，这是最容易理解的方法，也是最适用的方法。用“大大取较大、小小取较小、大小小大取中间、大大小小取不了”求解不等式，我认为减轻学生的学习负担，有易于培养学生的数形结合能力。在教学中我要求学生两者皆用。

2、加强对实际问题中抽象出数量关系的数学建模思想教学，体现课程标准中：对重要的概念和数学思想呈螺旋上升的原则。教学中，一方面加强训练，锻炼学生的自我解题能力。另一方面，通过“纠错”题型的练习和学生的相互学习、剖析逐步提高解题的正确性。

3、把握教学目标,防止在利用一元一次不等式(组)解决实际问题时提出过高的要求,重点加强文字与符号的联系，利用题 目中含有不等语言的语句找出不等关系，列出一元一次不等式(组)解答问题，注意与利用方程解实际问题的方法的区别(不等语言)，防止学生应用方程解答不等关系的实际问题。

4、本节课 课堂容量(安排的例题的题量太多)偏大，而且在思维上也有比较特殊的地方，从而导致学生在课堂上的思考的时间不够，课堂时间比较紧张。因此今后在课时的安排上要尽可能的安排更多的课时，以减少每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和空间，提高课堂的效果。同时还要重视思考题的作用，因为班上有一部分同学体现出基础比较扎实，而且对数学也比较有兴趣，出一些比较难的思考题，能够让这部分学有余力的同学能有所提高。

5.从课堂的效果来看学生对象客观题这样的题型(如：选择题、填空题)用特殊方法解题的思维还不够，他们总是担心会出问题，特别是选择题缺乏比较和分析的能力，因为选择题是一种比较特殊的题型，它的特殊性在于这类题目的答案是已知的，有的学生在做题的时候根本就不看题目中的四个选择答案，实际的解题过程中对于选择题来讲能把四个答案选项分析清楚对提高解题的速度和准确性是很有好处的。但本节课中出现的解客观题的一些特殊的方法在解与不等式有关的题目时特别的有效，但是如果不等式的问题中出现了分类讨论的情况，特殊的方法就有它的局限性，这时就需要学生能够灵活处理了。问题中出现了分类讨论的题目一般来讲都是比较难的题目，教学上我的处理是在教学的过程中如果出现了这类问题就具体跟学生讲解，在学期末的复习时候再跟学生总结。因此要求学生在使用特殊方法用选不等式教学反思教育。