高中数学新体系难点03__运用向量法解题

解题宝典立体几何知识是高中数学中的重要内容，也是高考的重点考查对象.有些立体几何问题采用常规方法求解较为困难，此时我们不妨转换解题的思路，将“形”转化为“数”，将向量作为它们转化的桥梁，运用向量法将立体几何问题转化为向量问题来求解.利用向量的性质、运算的几何意义可以轻松证明线线垂直（平行）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直），以及解答线线夹角、线面夹角、面面所成的角等问题.一、运用向量法证明线面平行与垂直运用向量法证明线面平行与垂直的关键是求得所证直线的方向向量和所证平面的法向量.直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个.若直线l ⊥平面α，直线l 的方向向量叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有无数个，且它们是共线向量.求平面的法向量的方法是在平面内找到两个与法向量垂直的向量，运用向量积公式建立关系式即可.在运用向量法证明线面平行与垂直时，只需要证明直线与平面的法向量平行或者垂直即可.例1.已知线段PA 垂直于矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB 与PC 的中点，求证：MN //平面APD .分析：要证明MN //平面APD ，只需证明MN 的方向向量垂直平面APD 的法向量.证明：如图1，设E 为AC 的中点，连接ME 、NE ，设AP = e 1、 AD = e 2、AB = e 3，n 为平面APD 的法向量.∵ MN = ME + EN = e 12+e 22=12( e 1+ e 2)，且n ∙ MN =( e 1× e 2)∙12( e 1+ e 2)=0，∴n ⊥ MN ，∴MN //平面APD .图1本题若采用常规的方法来求解，需要连接NE ，ME ，利用三角形中位线的性质证明NE //PA ，ME //AD ，由面面平行的性质定理得到MN //平面PAD .而向量法是利用两向量的内积为零来证明两向量垂直，从而推出线面平行.相比较而言，运用向量法解题的思路更加简单.例2.在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且AC ⊥DC ，AB ⊥AD ，∠ABC =60°，PA =AB =BC ，E 是PC 的中点.证明：PD ⊥平面ABE .分析：要证明PD ⊥平面ABE ，只需证明PD 垂直于与平面APD 平行的任意向量即可.证明：∵PA ⊥底面ABCD ，且AB ⊥AD ，∴AB 、AD 、AP 两两垂直.以A 为坐标原点，以 AB , AD ,AP 为坐标向量建立空间直角坐标系，如图2所示，设PA =AB =BC =k ，则B (k ,0,0)，A (0,0,0)，P (0,0,k )（其中k ≠0），∵AB =BC ，∠ABC =60°，∴AC =AB =k .又∵∠DAC =30°，且DC ⊥AC ，E 是PC 的中点，∴C (k 2，D ，∴E 为(k 4,k 2).∴AB =()k ,0,0， AE =æèçöø÷k 4,k 2， PD =æèçöø÷-k .设λ1,λ2为两不全为零的任意实数，∴r =λ1 AB +λ2 AE =æèççöø÷÷λ1k +λ2k 4,3λ2k 4,λ2k 2，且r//平面ABE.∵ PD ∙r =0，∴ PD ⊥r ，∴PD ⊥平面ABE .图2用向量法证明直线与平面垂直，可以根据已知条件建立空间直角坐标系，得出相关向量的坐标，利用向量内积的几何意义证明垂直关系.同时也可验算过程，一举两得.43解题宝典二、运用向量法求二面角求二面角的大小即求二面角平面角的大小.两平面的法向量间的夹角即为二面角的平面角（或其补角）.若平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉=θ，则二面角α-l -β为θ或π-θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|=|cos θ|=|n 1⋅n 2||n 1||n 2|.例3.设四棱锥S -ABCD 底面是直角梯形，其中∠ABC =90°，SA =AB =BC =1，AD =12，并且SA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，求平面SCD 与平面SAB 与所成的二面角的平面角α的正切值.分析：两平面的法向量间的夹角即为二面角的平面角（或其补角），所以解答本题，只需求得平面SCD 与平面SAB 的法向量间夹角的正切值即可.解：∵SA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AD 、AB 、AS 两两垂直.以A 为坐标原点，以 AD , AB ,AS 为坐标向量建立空间直角坐标系.如图3，其中A (0，0，0)，D (12,0,0)，B (0,1,0)，S (0,0,1)，C (1,1,0)，则 AD =æèöø12,0,0， SC =()0,1,-1，SD =æèöø12,0,-1.又∵AD ⊥平面SAB ， SD × SC =æèöø-1,-12,-12，∴所以可设平面SAB 的法向量为n 1=(1,0,0)，平面SCD 的法向量为n 2=)2,1,1.∴cos α=|| n 1∙ n2|| n 1|| n 2=(0<α<π)，∴sin α=，∴tan α.图3解答本题的主要思路是，根据已知条件建立空间直角坐标系，利用向量的内、外积性质计算平面SCD 与平面SAB 所成的二面角的平面角α的正弦值，再利用三角函数的关系求出α的正切值.本题若用几何方法求解，需要用垂面法构造出二面角的平面角，要求我们具备很强的观察能力和敏锐的思维能力.可见运用向量法解题更简单、便捷，计算量更小.三、运用向量法求异面直线所成的角向量法是求空间角的通用方法.在运用向量法求异面直线所成的角时，需要结合图形建立合适的空间直角坐标系，然后确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量，再利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.两异面直线所成角的余弦就等于两向量夹角余弦值的绝对值．例4.在棱锥P -ABCD 中，ABCD 为梯形，AB //CD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，且AB =PA =PD =DA =2，∠BCD =π4,∠DAB =π2，求BC 与PD 所成角α的大小.分析：要求两异面直线BC 与PD 所成角，只需要计算两向量PD 与 BC 的夹角余弦值的绝对值即可.解：如图4，过P 点作PO ⊥平面ABCD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且AB =PA =PD =DA ，∴O 为AD 的中点.以O 为坐标原点，以 OA , OM ,OP 为坐标向量建立空间直角坐标系，由题设易得，P (0，0，3)，D (-1，0，0)，C (-1，4，0)，B(1，2，0)，∴ PD =()-1,0,-3，BC =()-2,2,0.∴cos α=|| PD ∙BC || PD |BC =22×22(0≤α≤π2)，∴α=arc .图4值得注意的是，运用向量法求得两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.夹角余弦值的符号需要根据夹角的范围来确定.向量法是解答高中立体几何证明题和计算题的重要方法.运用向量法可以把空间中的点、线、面的位置关系用向量表示出来，使几何问题代数化.这样不仅能拓展我们的解题思路，还能提高解题的效率.本文系基金项目：四川省级大学生创新训练项目（S202010646124，S202010646088），阿坝师范学院质量工程项目（201907018，202004041），阿坝师范学院创新训练项目（202021100，202021109）.（作者单位：阿坝师范学院）44。

C1D 1B 1A 1CD BAC 1D 1B 1A 1CDBA高三数学第二轮专题讲座复习：运用向量法解题高考要求平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题重难点归纳1 解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识 二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想2 向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题3 用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考 (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ 典型题例示范讲解例1如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD(1)求证 C 1C ⊥BD (2)当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明 命题意图 本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力知识依托 解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单错解分析 本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系技巧与方法 利用a ⊥b ⇔a ·b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可(1)证明 设CB =a , CD =b ,1CC c =,依题意，|a |=|b |，CD 、CB 、1CC 中两两所成夹角为θ，于是DB =a －b ，1CC BD =c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD(2)解 若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1，由1111()()CA C D CA AA CD CC ⋅=+⋅- =(a +b +c )·(a －c )=|a|2+a ·b －b ·c －|c|2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得当|a =|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ，∴1CC CD =1时，A 1C ⊥平面C 1BD 例2如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点(1)求BN 的长；(2)求cos<11,BA CB >的值；(3)求证 A 1B ⊥C 1M命题意图 本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题 知识依托 解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标错解分析 本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标技巧与方法 可以先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标(1)解 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz依题意得 B (0，1，0)，N (1，0，1)∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-(2)解 依题意得 A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)∴1BA =1(1,1,2),CB -=(0，1，2)11BA CB ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3|1BA |=6)02()10()01(222=-+-+-2221||(00)(10)(20)5CB =-+-+-=11111130cos ,||||65BA CB BA CB BC CB ⋅∴<>===⋅⋅(3)证明 依题意得 C 1(0，0，2)，M (2,21,21)1111(,,0),(1,1,2)22C M A B ==--∴111111(1)1(2)00,,22A B C M A B C M ⋅=-⨯+⨯+-⨯=∴⊥∴A 1B ⊥C 1M 例3三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求 (1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值MNC 1B 1A 1CBAoxzyMNC 1B 1A 1CBAoxz y解 (1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+- 229221||(50)(1).22AM ∴=-+--=2222(2)||(51)(17)10,||(51)(12)5AB AC =++--==-+--=D 点分BC 的比为2∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y2211114||(5)(1) 2.333AD =-+--=(3)∠ABC 是BA 与BC 的夹角，而BA =(6，8），BC =(2，－5）222262(8)(5)522629cos 145||||10296(8)2(5)BA BC ABC BA BC ⋅⨯+-⨯-∴====⋅+-⋅+-学生巩固练习1 设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( D )A 正方形B 矩形C 菱形D 平行四边形2 已知△ABC 中，AB =a ，AC =b ，a ·b <0，S △ABC =415,|a |=3,| b |=5,则a 与b 的夹角是( C )A 30°B －150°C 150°D 30°或150°3 将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a =_(2,0)_ __4 等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的两个平面成60°角，若AB =16 cm,AC =17 cm,则CD =__13 cm_______5 如图，在△ABC 中，设AB =a ，AC =b ，AP =c , AD =λa ,(0<λ<1),AE =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c6 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a(1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角 参考答案5 解 ∵BP 与BE 共线，∴BP =m BE =m (AE －AB )=m (μb －a ),∴AP =AB +BP =a +m (μb －a )=(1－m ) a +m μb ①PED AD M C(1,2)B(-1,7)A(5,-1)oyx又CP 与CD 共线，∴CP =n CD =n (AD －AC )=n (λa －b ), ∴AP =AC +CP =b +n (λa －b )=n λa +(1－n ) b ② 由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a +(1－n ) b∵a 与b 不共线，∴110110m a n m m n n m λλμμ-=+-=⎧⎧⎨⎨=-+-=⎩⎩即 ③解方程组③得 m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =(1－m ) a +m μb =πμ-11［λ(1-μ) a +μ(1-λ)b ］6 解 (1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23aa 2a ) (2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2aa ），连AM ，M C 1，有1MC =(－23a ,0,0）,且AB =(0，a ,0）,1AA =(0,02a ) 由于1MC ·AB =0，1MC ·1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1， ∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角∵1AC =3(,2),(0,2),22a a a AM a =22190244a AC AM a a ∴⋅=++= 22221313||23,||24442a AC a a a a AM a a =++==+=而21934cos ,3232aAC AM a a ∴<>==⨯ 所以1AC AM 与所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°。

专题03 平面向量的应用A 组 基础巩固1.（2020·山东高三期中）（多选题）下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】AD【解析】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据相等向量的概念知，D 正确.故选：AD2. （2020·北京高二学业考试）（多选题）给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0AB BA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=【答案】AB 【解析】因为0AB BA AB AB ，正确；AB BC AC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误； 0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B .3.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC 满足“勾3股4弦5”，如图所示，其中4AB =，D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD 满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=（ ）A.14425B.25144C.16925D.25169【答案】A【解析】由题意求出125AD =2212144()()525AD CB CA AD AB AD AB AD AD AB -==⋅===，故选A. 4.（多选题）ABC ∆是边长为2的等边三角形,已知向量,a b 满足2AB a =,2AC a b =+,则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．b 为单位向量C ．a b ⊥D ．(4)a b BC +⊥【答案】AD【解析】∵等边三角形ABC 的边长为2,2AB a =,∴||2||2AB a ==,∴||1a =,故A 正确；∵2AC AB BC a BC =+=+,∴BC b =,∴||2b =,故B 错误；由于2,AB a BC b ==,∴a 与b 的夹角为120°,故C 错误； 又∵21(4)4||412402a b BC a b b ⎛⎫+⋅=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭, ∴(4)a b BC +⊥,故D 正确.5. （2020·北京高二学业考试）已知平面向量满足 ，且与夹角为60°，那么等于( )A ．B ．C ．D ．1【答案】C【解析】因为，故选：C. 6.已知O 为ABC ∆内部一点，且5()2AB OB OC =+,则AOB BOC S S ∆∆=（ ） A. 1 B. 54 C. 2 D.52 ,a b 1a b ==a b a b ⋅14131211cos 1122a b a b θ⋅=⋅⋅=⨯⨯=【答案】：D.【解析】由题意，5()2OB OA OB OC -=+，即2350OA OB OC ++=。

高中数学向量题型和解题方法由于向量集数形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，因此关于向量问题的解题方法自然也就多彩多样，解决向量问题时我们应该从多个维度去思考，哪种方法简单，我们就选择哪种方法。

今天我们就从五个方面：利用基本定义求解、利用基底求解、利用坐标或建立坐标系求解、利用几何法求解、利用代数法求解等分别介绍平面向量的解题方法和策略。

只有掌握了所有的这些方法，对于向量的学习才会真正做到融会贯通。

一、利用基本定义求解为了提高和培养孩子的数学学习兴趣，可让孩子读读这本书：二、利用基底求解基底法就是指利用平面向量基本定理，将所求向量转化为已知的两个不共线向量来求解问题。

注意：如果图形中有向量垂直，我们就以互相垂直的向量作为基底。

三、利用坐标或建立坐标系求解利用坐标或建立坐标系求解就是建立适当的直角坐标系，将向量用坐标的形式表示出来，用函数与方程的思想求解。

实际上，坐标法具有天然的优势，有时能轻松解决较为复杂的问题，特别是后面我们要学习的向量在立体几何中的应用。

四、利用几何法求解几何法就是把向量问题利用平面几何的思想和方法，转化为几何问题。

这就需要我们对所学习的平面几何基本图形性质十分清楚。

我们学习到的基本平面图形主要有三角形、四边形、圆、椭圆、双曲线、抛物线等。

每种图形的基本定义、定理、性质甚至推论我们都要了如指掌，转化使用时才会得心应手。

五、利用代数法求解所谓代数法就是将题目中的已知条件和所求结论，利用代数的方法，通过代数运算解决问题。

比如我们学过的完全平方、基本不等式、函数解析式等，通过转化，在这里都会有很巧妙的应用。

以上就是高中数学向量题型和解题方法。